KOMUNIKASI ALJABAR PADA PEMECAHAN MASALAH VOLUME BANGUN RUANG SISI LENGKUNG Trisdyanto1 Abstrak: Bangun Ruang Sisi lengkung (BRSL) yang meliputi Tabung, Kerucut, dan Bola merupakan materi matematika yang diperuntukkan bagi pencapaian kompetensi pemecahan masalah berkaitan dengan konteks tersebut. Materi BRSL memuat pengetahuan factual, konseptual, dan prinsip, atau juga procedural, yang satu dengan lainnya dibangun atas dasar konsep ukuran dasar yang sama yaitu tinggi (t) dan jari-jari (r) atau diameter (d). Sebagai pengetahuan yang saling terkait satu dengan lainnya, memiliki konsekuensi dimungkinkannya terbangun komunikasi secara aljabar yang melibatkan sepasang bangun ruang sisi lengkung yang berbeda atas dasar penalaran tertentu. Memudahkan pemecahan masalah yang melibatkan minimal dua jenis bangun ruang ini, maka komunikasi aljabar berperan dalam prosedur pemecahan masalah melalui proses penyederhanaan hubungan kesamaan yang memenuhi syarat tertentu pada ukuran-ukuran dasarnya. Proses penyederhanaan hubungan prinsip dalam kasus tertentu yang melibatkan komunikasi aljabar dapat memudahkan pemecahan masalah dengan sesedikit mungkin melakukan penghitungan bilangan-bilangan yang sering memiliki peluang kesalahan hitung. Akhir dari pemecahan masalah adalah memanfaatkan hasil komunikasi aljabar dengan variable dasar r dan t melalui substitusi ukuran yang lebih sederhana. Kata Kunci: komunikasi aljabar, pemecahan masalah, bangun ruang sisi lengkung.
Pendahuluan Memenuhi kebutuhan pengembangan kurikulum matematika dan pembelajaranya,maka diperlukan Standar Kompetensi (SK) dan Kompetensi Dasar (KD) yang digunakan sebagai acuan lebih lanjut dalam perancangan dan implementasi pembelajaran matematika di kelas. Rumusan SK dan KD tersebut diperuntukkan bagi pembelajaran matematika dalam mengembangkan kemampuan menggunakan matematika dalam pemecahan masalah dan mengkomunikasikan ide atau gagasan dengan menggunakan simbol, tabel, diagram, dan media lain (Depdiknas, 2006:345). Menggaris bawahi pemikiran tersebut, bahwa pengembangan dan imlementasi kurikulum matematika diarahkan pada dua hal mendasar, yaitu memecahkan masalah menggunakan matematika dan mampu mengkomunikasikan ide atau gagasan menggunakan fakta-fakta matematika yang berupa symbol, table, diagram atau lainnya. Kedua hal mendasar ini saling berhubungan dan saling mendukung, utamanya kemampuan mengkomunikasikan ide atau gagasan dengan menggunakan symbol atau lainnya untuk mendukung proses pemecahan masalah.
1
Drs. Trisdyanto, M.Pd. guru Matematika pada SMP Negeri 1 Bungoro Pangkep
Melihat istilah “mengkomunikasikan”, dalam matematika kita pahami sebagai suatu bentuk pengaitan, membangun hubungan antara suatu konsep matematika satu dengan lainnya, sehingga dapat membentuk suatu hubungan logis yang bersifat factual atau konseptual dengan melibatkan symbol-simbol matematika atau prinsip-prinsip tertentu dalam matematika. Pembelajaran matematika yang muatannya tidak dapat dilepaskan dengan symbol dan bilangan (kuantitas) diarahkan pada pencapaian tujuan-tujuan yang lebih formal dibandingkan yang sekedar tujuan material, yakni kemampuan atau ketrampilan dalam matematika itu sendiri. Namun, pada kenyataannya, pencapaian tujuan material saja masih menemui banyak kendala dan masalah, yang sering terjadi dan terbentuk pada anak didik kita adalah cenderung membangun kemampuan menyelesaikan masalah dengan hitungan semata dan melupakan prinsip komunikasi matematika. Komunikasi matematika belum menjadi suatu kebiasaan dalam belajar matematika. Ini berarti pembelajaran matematika masih belum mampu mengarahkan anak didik kita sebagai seorang pemikir, melainkan sebagai pekerja, yang kerjanya berhitung dan berhitung. Fakta, konsep, dan prinsip aljabar dalam segala bentuk unsur-unsurnya mulai yang elementer hingga yang komplek, dalam matematika merupakan objek matematika yang memiliki peranan besar dalam membangun komunikasi matematika. Yang paling factual adalah symbol atau peubah, yang awalnya sekedar berupa huruf tanpa arti (kosong dari arti), tetapi ketika dikaitkan dengan symbol lainnya dengan menggunakan symbol-simbol operasi matematika, maka akan terbangun suatu aturan atau prinsip tertentu dan memuat konsep-konsep tertentu pula. Misalnya symbol a jika dihubungkan dengan b dalam suatu bentuk a x b ini berarti bentuk operasi perkalian a dan b. Bentuk a = b adalah bentuk kesamaan yang dapat dikembangkan lebih lanjut menjadi a.c = b.c atau a/c = b/c, atau a + c = b + c, atau a – c = b – c, dsb. Ketika sebagai suatu bentuk aljabar, fakta-fakta dan prinsip-prinsip tersebut belum terlalu memiliki makna sebelum dikaitkan dengan suatu konteks tertentu. Bagi anak didik pada jenjang pendidikan dasar, pemahaman terhadap fakta yang berupa symbol masih belum sepenuhnya bisa dipahami karena bersifat abstrak. Keabstrakan fakta, konsep, dan prinsip tersebut membuat anak didik kita mengalami kesulitan dalam pengalihannya pada konteks lain yang membicarakan objek matematika non aljabar tetapi sebenarnya membutuhkan fakta, konsep, dan prinsip aljabar. Misalnya pada pemecahan masalah yang melibatkan Bangun Ruang Sisi Lengkung (BRSL). Berdasarkan pada pengamatan dan pengalaman melaksanakan pembelajaran BRSL dikelas, siswa mudah memahami objek yang bersifat factual atau prinsip sederhana. Misalnya symbol jari-jari (r), symbol diameter (d), hubungan diameter dan jari-jari (d = 2r). Tetapi masih banyak terjadi yang sederhana ini sulit dipahami ketika harus menyatakan r dengan menggunakan d, yakni r = ½ d. Yang sering terjadi adalah r = 2d. Fakta lainnya adalah bahwa siswa kelihatan mudah memahami dan melakukan penghitungan yang menggunakan rumus secara langsung, misalnya menghitung luas atau volume menggunakan rumus jadi (langsung). Misal, Luas selimut tabung = 2πrt (r= jari-jari alas, t= tinggi), Luas selimut kerucut = πrs (r = jari-jari alas, s = panjang garis pelukis), Luas Bola = 4πr2. Kelihatan banyak siswa mengalami kesulitan apabila penggunaan aturan-aturan penghitungan itu kalau sudah divariasikan, misalnya diketahui besar luasan, dan menentukan jari-jarinya atau tingginya. Kesulitan ini akan nampak lebih hebat lagi apabila siswa diminta memecahkan masalah melibatkan segenap konsep dan aturan yang berlaku dalam suatu konteks yang lebih komplek.Kebanyakan yang mereka alami dalam proses pemecahan masalah adalah
kesulitan memahami hubungan konsep dari suatu konteks yang dikondisikan secara komplikasi. Kalaupun siswa mampu membangun hubungan kontekstual dan konseptual, yang mereka tempuh adalah menghitungnya secara manual satu per satu masalah sehingga membutuhkan banyak waktu dan resiko kesulitan penghitungan yang berulang dengan bilangan yang tidak sederhana (misal bilangan desimal). Kondisi ini terjadi pada pemecahan masalah seperti berikut. Sebuah bak mandi berbentuk tabung dan berdiameter 70 cm dan tingginya 50 cm akan diisi penuh dengan air. Kedalam bak tersebut akan diisi air dengan menggunakan timba berbentuk tabung, yang berjari-jari 7 cm dan tingginya 10 cm hingga penuh. Sampai berapa timba air yang digunakan untuk memenuhi bak mandi tersebut? Yang biasa siswa lakukan untuk menjawab masalah di atas adalah menghitung volume masing-masing model tabung, dan membaginya volume bak mandi dengan volume timba. Ini berarti siswa bekerja dengan hitung-hitungan sebanyak 3 kali yang tentunya relative lebih lama dan rentan kesalahan penghitungan. Mengapa siswa menempuh jalan demikian? Karena siswa belum mampu menggunakan matematika sebagai bahasa membangun penalaran dan komunikasi. Masih banyak contoh kasus lain yang terjadi di kelas yang mencerminkan lemahnya kemampuan siswa membangun bentuk komunikasi matematika dengan menggunakan penalarannya yang melibatkan operasi bentuk aljabar. Bagaimanakah komunikasi aljabar pada BRSL yang dapat dibangun sehingga memudahkan pemecahan masalah BRSL? Ini adalah masalah yang akan dibahas lebih lanjut dalam tulisan ini. Pembahasan Pemecahan masalah dalam matematika menempati beberapa konteks, yaitu sebagai tujuan pembelajaran matematika, merupakan tipe belajar matematika yang paling tinggi, merupakan pendekatan pembelajaran, atau sebagai sebagai suatu ketrampilan puncak dalam matematika. Dalam standar isi kurikulum matematika untuk pendidikan dasar dan menengah, sebagaimana dalam Permendiknas RI nomor 22 tahun 2006, sebagian Standar Kompetensi (SK) dan Kompetensi Dasar (KD) dirumuskan untuk pencapaian kompetensi pemecahan masalah. Dalam posisi yang beragam tersebut, pemecahan masalah dalam matematika sering membutuhkan suatu analisis dan strategi pemecahan yang melibatkan manipulasi dan transformasi aljabar dari suatu bentuk tertentu menjadi bentuk lain yang ekivalen dan lebih sederhana. Penyederhanaan masalah untuk mendapatkan pemecahan suatu masalah matematika yang demikian ini artinya dengan membangun komunikasi aljabar. Komunikasi aljabar yang dimaksud adalah sebuah bentuk hubungan antar prinsip yang melibatkan beberapa variable, yang melibatkan prinsip-prinsip penyederhanaan bentuk hubungan kesamaan hingga diperoleh bentuk yang paling sederhana. Bentuk paling sederhana ini sebagai dasar melakukan penghitungan atau penemuan jawaban atas masalah yang ingin dipecahkan. Bangun ruang sisi lengkung (BRSL) yang meliputi Tabung, Kerucut, dan Bola merupakan salah satu materi dalam SK dan KD yang diorientasikan pada kompetensi pemecahan masalah. Sebagai pengetahuan, BRSL memuat beragam jenis pengetahuan, yaitu pengetahuan factual (fakta), deklaratif (konseptual), prinsip, dan prosedur. Masalah-masalah dalam BRSL terdapat pada masing-masing jenis BRSL atau keterkaitannya. Dengan demikian, pemecahannya melibatkan pengetahuan-pengetahuan pada masing-masing Tabung, Kerucut, atau Bola. Pembahasan berikut menguraikan
pemecahan masalah pada BRSL yang melibatkan komunikasi aljabar yang menggunakan variable dasar tinggi (t) dan jari-jari (r) BRSL. Masalah 1: (Bola dalam Kubus) Pada gambar disamping, sebuah bola kaca disimpan dalam akuarium kaca yang berbentuk kubus sedemikian hingga semua dinding akuarium menyentuh permukaan bola kaca. Panjang rusuk akuarium s = 10 cm. Jika dalam akuarium berisi air hingga permukaan atas, berapakah volume air dalam akuarium, yang berada di luar bola? Masalah ini dapat diselesaikan dengan pemikiran bahwa banyaknya air dalam akuarium yang berada di luar bola adalah selisih antara volume akuarium dengan volume bola. Beberapa cara yang dapat ditempuh untuk Gbr. 1. Bola dalam Kubus mendapatkan pemecahan masalah di atas. Dalam pemikiran matematis pada kebanyakan siswa, yang dilakukan adalah menghitung volume setiap jenis model kubus dan bola, yakni : V (Kubus) = s3 = 103 = 1000 cm. V (Bola) =
s
s
s
=
. 3,14.
= . 3,14. = . 3,14. 10 = . 3,14. 1000 = . 3140 = 523,3 cm3. Volume air dalam akuarium di luar bola adalah 1000 – 523,3 = 476,7 cm3. Pola penghitungan pemecahan masalah tersebut tidak melibatkan komunikasi aljabar kedua prinsip penghitungan volume kubus dan bola. Apabila melibatkan prinsip komunikasi aljabar, maka dapat diselesaikan seperti berikut. Fakta yang diberikan menunjukkan adanya hubungan kesamaan pada kedua model bangun ruang, yaitu panjang rusuk kubus sama dengan diameter bola. Jadi s = d = 2r. V(k-b) = VK – VB = s3 – = (2r)3 – = 8r3 – = r3 (8 –
)
= (½ d)3 (8 – =
)
(8 – 12,56/3)
= [1000(8 – 4,186)]/8 = [1000 x 3,814]/8 = 3814/8 = 476,66 Jadi volume air dalam kubus di luar bola sebanyak 476,66 cm3 Masalah 2: (Bola dalam Tabung) Gambar di samping adalah sebuah bola yang disimpan dalam tabung sedemikian hingga bola menyentuh semua bidang sisi tabung pada alas, atas, dan selimut. Masalah yang diajukan untuk konteks tersebut adalah berapakah volume dalam tabung yang berada di luar bola. Menganalisis masalah demikian, tinjauan mendasar yang menjadi acuan pemecahan selanjutnya adalah hubungan antara kedua bangun tersebut, yakni kesamaan-kesamaan yang ada. Kesamaan itu ada pada tinggi tabung dan tinggi bola (diameter bola). Jadi tinggi Gbr. 2. Bola dalam Tabung tabung (t) = d = 2r. Berdasarkan kesamaan keduanya, maka bentuk matematika pemecahan masalah tersebut dapat disusun seperti berikut. Misal, volume yang dimaksud adalah V, maka: V = Volume Tabung – Volume Bola V = πr2t V = πr2.2r V = 2πr3 V = (2 - ) πr3 V = πr Gbr. 3. Kerucut dalam Kubus Masalah 3: Kerucut dalam Kubus Masalah kerucut dalam kubus (gb. di samping) merupakan salah satu masalah dalam topic ini. Sesuai gambar tersebut, nampak bahwa sebuah kerucut disimpan dalam kubus sedemikian hingga rusuk alasnya menyinggung rusuk alas kubus dan puncaknya menyentuh sisi atas kubus. Masalah yang diajukan adalah berapakah volume dalam kubus yang berada di luar kerucut?. Memecahkan masalah demikian, analisis yang perlu dilakukan untuk membangun model matematika pemecahan masalah adalah melihat hubungan kedua bangun, yakni kesamaan-kesamaan yang ada. Sesuai situasi masalah tersebut, kesamaan itu terdapat pada rusuk kubus sama dengan diameter alas dan tinggi kerucut. Jika rusuk kubus adalah s, dan jari-jari kerucut adalah r, tingginya t, maka terdapat hubungan s = t, s = d atau s = 2r. Hubungan ini mendukung penyusunan model matematika pemecahan masalah berikut. Misal volume yang ditentukan adalah V, maka: V = Volume kubus – volume kerucut
V = s3 2
V = (2r)3 V = 8r3 V = r3(8 -
)
Masalah 4: Kerucut dalam tabung
t r
Masalah yang sejenis dengan masalah 3 adalah kerucut dalam tabung. Sebuah kerucut yang disimpan dalam tabung sedemikian hingga bidang alas kerucut menempati alas tabung dan puncak kerucut menyentuh sisi atas tabung. Masalah yang diajukan adalah (1) berapakah volume dalam tabung dan di luar kerucut apabila tinggi kerucut sama dengan tinggi tabung, (2) berapakah volume yang sama apabila tinggi kerucut adalah ½ tinggi tabung dan jari-jarinya sama, (3) berapakah volume yang sama apabila jarijari kerucut ½ jari-jari tabung dan tinggi kerucut sama dengan tinggi tabung? (4) berapakah perbandingan volume kedua bangun ruang tersebut pada ketiga
Gbr. 4. Kerucut dalam Tabung kondisi itu? Memecahkan masalah tersebut, maka analisis yang perlu dilakukan adalah meninjau kesamaan-kesamaan kedua bangun ruang tersebut. Melihat situasi masalah ini, nampak bahwa kondisi I adalah kesamaan jari-jari alas tabung dan kerucut, dan kesamaan tinggi tabung dan tinggi kerucut, dan yang kedua jari-jari tabung sama dengan jari-jari kerucut dan tinggi kerucut ½ tinggi tabung. Maka bentuk matematika kedua situasi itu adalah sebagai berikut. 1. Situasi 1 Model hitungan matematika pertama dibangun berdasarkan kondisi bahwa tinggi kerucut sama dengan tinggi t, misalnya t. Bentuk hitungan volume yang dimaksud dihitung dengan pemikiran bahwa volume tabung di luar kerucut adalah V. V = Volume Tabung – Volume Kerucut = πr2t - r2t = πr2t = 2. r2t Bentuk hitungan itu dapat dimaknai bahwa : (a) volume yang dimaksud sebesar 2 kali volume kerucut, (b) volume yang dimaksud sebesar volume tabung, (c) perbandingan volume kerucut dengan volume tabung tersebut sebesar 1 : 3. 2. Situasi 2 Model hitungan matematika kedua disusun berdasarkan kondisi bahwa tinggi kerucut sama dengan ½ tinggi tabung. Jika tinggi tabung adalah t, maka tinggi kerucut = ½ t. Jadi bentuk hitungan volume dimaksud ditentukan oleh: V = Volume Tabung – Volume Kerucut = πr2t - r2( t)
= πr2t -
r2t
= r2t Bentuk hitungan itu dapat dimaknai bahwa (a) volume yang dimaksud sebesar 5/2 kali volume kerucut, (b) sebesar volume tabung, (c) perbandingan volume kerucut dengan volume tabung sebesar 1 : 6. 3. Situasi 3 Model hitungan matematika situasi 3 disusun berdasarkan hubungan bahwa tinggi kerucut = tinggi tabung. Jika jari-jari tabung dan kerucut adalah r dan tinggi kerucut t, maka bentuk hitungan matematika volume (V) yang dimaksud adalah sebagai berikut: V = πr2t - r2( t) = πr2t -
r2t
= πr2t Hasil hitungan tersebut dapat dimaknai bahwa (a) volume dalam tabung di luar kerucut sebesar volume tabung, (b) Volume yang dimaksud sama dengan volume kerucut, (c) perbandingan volume tabung dengan volume kerucut adalah 1 : 9. Sesuai analisis dengan berbagai kondisi tersebut di atas, dapat diperoleh hubungan perbandingan volume antara tabung dan kerucut : (a) untuk perbandingan tinggi tabung dan tinggi kerucut 1:1, maka perbandingan volumenya adalah 1:3, (b) perbandingan tinggi tabung dengan tinggi kerucut 1:0,5, maka perbandingan volumenya 1:6, (c) apabila perbandingan tinggi tabung dengan tinggi kerucut 1: , maka perbandingan volumenya adalah 1:9. Sehingga perbandingan volume tabung dengan kerucut untuk tinggi kerucut (t=tinggi tabung) adalah 1 : (3n). Perubahan perbandingan pada dimensi jari-jari, maka diperoleh hubunganhubungan: (a) apabila perbandingan jari-jari tabung dan jari-jari kerucut 1:1, maka perbandingan volumenya adalah 1:3, (b) apabila perbandingan jarijari tabung dan jari-jari kerucut 1: , maka perbandingan volumenya adalah 1: 3(n2). Pola perbandingan ini kami serahkan kepada pembaca untuk melakukan penyelidikan kasus-kasus hubungan t2 volume kedua bangun tabung dan kerucut seperti uraian di atas.
t3
Masalah 5: Bola dalam Tabung Masalah kelima adalah peristiwa memasukkan bola-bola berjari-jari r dalam tabung berjari-jari R yang berisi air. Persoalan utama dalam kasus seperti ini adalah berapakah kenaikan tinggi air dalam tabung ketika beberapa bola dimasukkan ke dalam tabung. Contoh kasus tsb adalah sebagai berikut. Gbr. 5. 3 Bola dalam Tabung
t1
Sebuah tabung berjari-jari R diisi air sampai ketinggian p. Ke dalam tabung dimasukkan 1 buah bola padat (bola bisa tenggelam) dengan jari-jari r, dimana r = ½R. Berapakah kenaikan air dalam tabung pada peristiwa tersebut? Berapakah kenaikan tinggi air dalam tabung jika dimasukkan 2 bola berjari-jari r = ½R? Berapakah kenaikan tinggi air dalam tabung jika dimasukkan 3 bola berjari-jari r = ½R?, begitu seterusnya. Pemecahan masalah tersebut dapat dilakukan dengan membangun bentuk hitungan matematika yang melibatkan komunikasi aljabar bahwa “banyaknya cairan yang bergerak naik sama dengan banyaknya isi bola yang dimasukkan ke dalam cairan” dan fakta fisik kedua yang menjadi dasar membangun hubungan matematik adalah bahwa bentuk cairan yang bergerak sama dengan bentuk wadahnya. Dengan demikian, berikut adalah uraian pemecahan masalah yang melibatkan hubungan-hubungan tersebut secara kasus per kasus. Kasus 1: Satu bola dimasukkan dalam tabung Volume cairan yang bergerak naik dalam tabung (V(N)) sama dengan volume 1 bola yang dimasukkan. V(N) = V(B) πR2t = π(2r)2t = 4πr2t
=
t
=
=
Jadi kenaikan air dalam tabung akibat memasukkan sebuah bola ke dalamnya setinggi (r = jari-jari kelereng bentuk Bola). Kasus 2: Dua bola dimasukkan dalam tabung Volume cairan yang bergerak naik dalam tabung (V(N)) sama dengan volume 2 bola yang dimasukkan. V(N) = 2. V(B) πR2t = 2. π(2r)2t = 2. 4πr2t t
= 2. =
.
=
Jadi kenaikan air dalam tabung akibat memasukkan sebuah bola ke dalamnya setinggi (r = jari-jari kelereng bentuk Bola). Kasus 3: Tiga bola dimasukkan dalam tabung Volume cairan yang bergerak naik dalam tabung (V(N)) sama dengan volume 3 bola yang dimasukkan. V(N) = 3. V(B) πR2t = 3.
π(2r)2t = 3. 4πr2t t
= 3. =
.
=
=
Jadi kenaikan air dalam tabung akibat memasukkan tiga buah bola ke dalamnya adalah setinggi = (r = jari-jari kelereng bentuk Bola). Melihat pemecahan ketiga kasus di atas terlihat bahwa pada hubungan dengan kondisi jari-jari bola yang besarnya ½ jari-jari tabung, maka tingginya kenaikan cairan dalam tabung untuk n bola yang dimasukkan ke dalamnya, terjadi kenaikan sebesar (r = jari-jari bola). Hubungan seperti di atas dapat diselidiki dengan membuat kasuskasus khusus lainnya, misalnya jari-jari bola jari-jari tabung, dst. Komunikasi aljabar lainnya yang dapat dibangun dalam konteks bangun ruang sisi lengkung adalah masalah luasan, seperti hubungan luasan bola yang dimasukkan dalam tabung sedemikian rupa sehingga bola menyinggung semua sisi tabung, menghitung luasan permukaan belahan ½ bola padat, luasan permukaan tabung yang tingginya sama dengan jari-jari atau diameternya, dan sebagainya. Pembahasan itu semua akan diuraikan pada judul berikutnya. Kesimpulan Memperhatikan uraian pembahasan di atas, beberapa hal penting yang dapat digarisbawahi adalah: 1. Komunikasi matematika dalam bentuk hubungan-hubungan aljabar diantara prinsipprinsip volume pada bangun ruang sisi lengkung perlu dibangun dalam bentuk model hubungan kesamaan tertentu dengan memperhatikan hubungan pada ukuranukuran dasarnya seperti tinggi dan jari-jarinya. 2. Dalam hal tertentu model-model hubungan antara prinsip-prinsip volume pada bangun ruang sisi lengkung akan menjadikan pemecahan masalah lebih mudah dilakukan, namun demikian bisa menjadikan lebih sulit. Faktor yang mempengaruhinya adalah kemampuan manipulasi atau komunikasi aljabar, yang meliputi penyederhanaan bentuk kesamaan aljabar dan tingkat kompleksitas masing-masing prinsip volume bangun ruang yang terlibat.. 3. Komunikasi aljabar pada konteks hubungan prinsip-prinsip volume antar bangun ruang sisi lengkung memperkecil resiko kesalahan penghitungan yang melibatkan bilangan-bilangan yang tidak bulat, karena penghitungan hanya dilakukan setelah diperoleh hubungan yang paling sederhana atas variable-variabel yang dilibatkan. 4. Bagaimanapun komunikasi aljabar dalam upaya pemecahan masalah volume bangun ruang sisi lengkung masih melibatkan objek matematika yang memiliki keabstrakan tertentu bagi siswa. Untuk itu pembelajarannya harus memperhatikan pengetahuan dan pengalaman prasyarat pada siswa, yakni kemampuan pada operasi bentuk aljabar, utamanya adalah penyederhanaan bentuk aljabar dalam suatu kesamaan. Saran-saran Agar pembelajaran pemecahan masalah yang melibatkan komunikasi aljabar dalam prinsip kesamaan volume pada bangun ruang sisi lengkung mudah bagi siswa,
maka beberapa hal perlu disarankan kepada teman-teman guru yang mengajarkan matematika pada jenjang SD atau SMP adalah sebagai berikut: 1. Pembelajaran sangat perlu memperhatikan pengetahuan prasyarat tentang penyederhanaan bentuk aljabar dengan melibatkan berbagai symbol variable. 2. Pengetahuan konseptual, pengetahuan prinsip tentang volume bangun ruang sisi lengkung perlu dikuasai siswa, berikut tentang operasi aljabar yang melibatkan variable dasar di dalamnya, yaitu tinggi (t) dan jari-jari (r). 3. Pemahaman konteks suatu masalah sangat diperlukan untuk membangun penalaran dan komunikasi dalam rangka menyusun bentuk hitungan hingga diperoleh bentuk pemecahan yang sederhana. Daftar Rujukan Adinawan, M. Cholik dan Sugijono. 2007. Matematika 3A untuk SMP Kelas IX. Jakarta: Erlangga Agus, Nuniek Avianti. 2008. Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX SMP/MTs. Bse. Jakarta: Pusat Perbukuan Depdiknas. Depdiknas. 2006. Permendiknas RI Nomor 22 tahun 2006, tentang Standar Isi Kurikulum Pendidikan Dasar dan Menengah. Jakarta : Depdiknas Depdiknas. 2006. Standar Isi Kurikulum Pendidikan Dasar dan Menengah Djumanta, Wahyuddin dan Susanti, Dwi. 2008. Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX SMP/MTs. Bse. Jakarta: Pusat Perbukuan Depdiknas. Hutauruk, Naipospos. 1983. Kamus Matematika. Terjemahan dari Kamus Matematika oleh Roy Hollands (1981). Departement of Mathematics, Dundee College of Education, Longman Group Limited. Jakarta: Erlangga Ilman, Oetjoep, dkk. 1970. Ilmu Ukur Ruang Djilid 3 Untuk Kelas III. Djakarta: Widjaja Djakarta. Jurgensen, Ray C., dkk. 1983. Geometry. Teacher’s Edition. Boston : Houghton Mifflin Company Negoro, ST dan Harahap, B. 1998. Ensiklopedia Matematika. Jakarta: Ghalia Indonesia Salamah, Umi. 2007. Membangun Kompetensi Matematika 3 untuk Kelas IX SMP dan MTs. Solo: Tiga Serangkai Sulaiman, R. dkk. 2008. Contextual Teaching and Learning Matematika SMP/MTs. Kelas IX Edisi 4. Bse. Jakarta: Pusat Perbukuan Depdiknas. Suwarsono. 2007. Matematika untuk SMP dan MTs Kelas IX. Jakarta: Widya Utama Tim Penulis. 2003. Matematika SLTP Kelas 2. Edisi I. Jakarta: Ditjen PLP, Dirjen Dikdasmen, Depdiknas Wagiyo, dkk. 2008. Pegangan Belajar Matematika 3 Untuk SMP/Mts Kelas IX. Bse. Jakarta: Pusat Perbukuan Depdiknas.
