LAMPIRAN
A.TRANSFORMASI KOORDINAT
1. Koordinat silinder Hubungan antara koordinat kartesian dengan koordinat silinder:
Vector kedudukan adalah
Jadi, kuadrat elemen panjang busur adalah:
Maka:
Misalkan V adalah fungsi skalar,
Universitas Sumatera Utara
Grad V = + Maka operator grad
Operator Laplacian
dalam koordinat silinder adalah:
dalam koordinat silinder adalah:
2. Koordinat bola
Hubungan antara koordinat kartesian dengan koordinat bola:
Vector kedudukan adalah
+
+ Jadi, kuadrat elemen panjang busur adalah:
Universitas Sumatera Utara
Maka:
Misalkan V adalah fungsi skalar, Grad V = + Maka operator grad
dalam koordinat bola adalah:
Universitas Sumatera Utara
Operator Laplacian
dalam koordinat bola adalah:
B. RUMUS EULER
Rumus Euler adalah :
Sehingga:
C. SIFAT ORTHOGONAL DARI POLINOMIAL LEGENDRE
Sifat orthogonal dari polinomial Legendre adalah:
Dimana:
Bentuk
dinyatakan oleh Rodrigues:
Dimana:
Universitas Sumatera Utara
D. FUNGSI GELOMBANG HARMONIS SPHERIS
Fungsi gelombang angular yang ternomalisasi dalam harmonis spheris adalah:
Dimana Dengan,
untuk
dan 1 untuk yang lainnya.
E. FUNGSI HANKEL Fungsi Hankel adalah:
Dan
Fungsi Hankel jenis pertama dan kedua didifenisikan sebagai berikut:
Dan
Universitas Sumatera Utara
F. MOMENTUM SUDUT TOTAL Momentum sudut total didefinisikan sebagai:
Besar ketiga vector momentum sudut ini terkuantisasi menurut:
Dan komponen-komponen-z nya terkuantisasi menurut:
Dengan mengetahui persyaratan berikut:
,
,
kita dapat menyimpulkan ,
dan
dari persyaratan-
Universitas Sumatera Utara
G. Penjabaran persamaan (2.12) hingga persamaan (2.14):
Pada sistem pusat massa, persamaan Schrodinger untuk gerak relatif adalah:
Dengan:
;
adalah massa partikel yang datang dan
adalah massa target.
Pada jarak yang sangat jauh dari penghambur, efek potensial dapat diabaikan sehingga persamaan diatas menjadi:
Karena berkas elektron yang datang dianggap sebagai gelombang bidang maka:
Dengan menggantikan nilai
ke persamaan diperoleh:
Dengan: Dengan metode pemisahan variabel dapat digunakan mencari solusi persamaan diferensial diatas. •
Untuk variabel-X adalah:
Dengan: Untuk mendapatkan hasil persamaan karakteristiknya selalu dinyatakan dalam bentuk eksponensial. Misal:
Jadi, persamaan karakteristiknya menjadi:
Universitas Sumatera Utara
Dengan membagi
diperoleh:
Maka didapatkan solusi nilai X adalah:
Dengan cara yang sama, kita dapat memperoleh solusi untuk variabel-Y dan variabel-Z. •
Untuk variabel-Y adalah:
Dan solusi nilai-Y adalah:
•
Untuk variabel-Z adalah:
Dan solusi nilai-Z adalah:
Jika kita gabung ketiga solusi persamaan diatas maka diperoleh:
Karena berkas elektron yang datang bergerak di sepanjang sumbu-Z maka fungsi gelombangnya adalah:
Universitas Sumatera Utara
H. Penjabaran persamaan (2.18) hingga persamaan (2.20):
Probabilitas Rapat Arus didefinisikan sebagai:
Atau
Probabilitas Rapat Arus Gelombang yang datang adalah:
Atau
Dengan:
Dimana: Probabalitas Rapat Arus Gelombang yang terhambur adalah:
Atau
Dengan:
Universitas Sumatera Utara
Probabilitas rapat arus yang melewati area bola berjari-jari adalah:
Dimana:
Karena fungsi gelombang tidak bergantung pada sudut yang terhambur adalah:
. Maka probabilitas rapat arus
Tampang lintang diferensialnya adalah:
Universitas Sumatera Utara
I. Penjabaran persamaan (2.37) hingga (2.40):
Fungsi gelombang yang datang tidak bergantung pada sudut azimut
Kedua ruas dikalikan dengan diperoleh:
maka
dan diintegralkan terhadap
.
maka
Pada ruas kanan merupakan bentuk integral parsial. Bentuk integral ini dapat diselesaikan dengan rumus: Misalkan :
Hasil integral
adalah:
Dengan:
Bentuk kedua pada hasil integralnya akan menghasilkan faktor ketika
Oleh karena itu,
maka hasil integral
Maka diperoleh:
Universitas Sumatera Utara
Dengan:
Dengan : Sehingga,
Dengan:
Universitas Sumatera Utara
J. Penjabaran persamaan (3.1) hingga persamaan (3.7)
Persamaan Schrodinger dalam koordinat bola:
Dimana: berikut:
..............(1) adalah massa tereduksi antara elektron dan target, yang dirumuskan sebagai
Jika kita mengalikan seluruh persamaan (1) dengan
didapatkan hasil:
..............(2) Untuk mencari solusi persamaan (2) dapat dilakukan dengan cara pemisahan variabel dan kemudian kita susun ulang persamaan hasil pemisahannya untuk menghitung solusinya. Pertama, kita misalkan fungsi gelombangnya adalah: …………..(3) Substitusikan persamaan (3) ke persamaan (2) dan membagi seluruh persamaan dengan , maka diperoleh:
..............(4) Suku ketiga pada persamaan (4) hanya merupakan fungsi azimut, sedangkan suku yang lainnya hanya merupakan fungsi dan . Persamaan (4) dapat kita atur kembali sehingga menjadi:
................(5)
Universitas Sumatera Utara
Persamaan (5) hanya benar jika kedua ruas itu sama dengan tetapan yang sama, karena suku kiri dan suku kanan merupakan fungsi variabel yang berbeda, untuk memudahkan perhitungan kita misalkan suatu konstanta, , sehingga persamaan diferensial untuk fungsi menjadi:
.................(6) Kemudian kita substitusikan , suku ruas kanan persamaan (5) dan susun kembali persamaan tersebut sehingga diperoleh:
.................(7) Karena kedua ruas mempunyai persamaan dengan variabel yang berbeda, kita dapat memisalkan suatu konstanta yang sama untuk kedua ruas,yakni sehingga sekarang ruas kanan persamaan (7) menjadi:
.................(8) Dan ruas kiri persamaan (7) menjadi:
.................(9) Persamaan (6,8,9) dapat ditulis sebagai berikut: •
Persamaan untuk
adalah:
•
Persamaan untuk
adalah:
•
Persamaan untuk
adalah:
Universitas Sumatera Utara
Untuk menyelesaikan persamaan angularnya yakni dan , digunakan fungsi polinomial Legendre yang terasosiasi yang disebut sebagai fungsi harmonis spheris.
Dimana
untuk
dan 1 untuk yang lainnya.
Karena fungsi gelombangnya tidak bergantung pada sudut azimut maka fungsi yakni . Sehingga solusi gelombang angularnya tidak mengandung komponen persamaan bagian angularnya menjadi:
Maka solusi fungsi gelombangnya dapat ditulis menjadi:
Fungsi gelombang radialnya adalah:
Dengan :
Untuk
, fungsi gelombang radialnya adalah:
Universitas Sumatera Utara
Dengan :
Solusinya adalah:
Untuk
, fungsi gelombang radialnya adalah:
Dengan:
pergeseran fase Sehingga:
Universitas Sumatera Utara
K. Penjabaran persamaan (3.8) hingga persamaan (3.14):
Dengan:
Dengan:
……….(1)
………..(2) Persamaan (1) diselesaikan:
Universitas Sumatera Utara
Diperoleh:
Persamaan (2) diselesaikan: Dengan membagi
dan mensubstitusi nilai
ke persamaan (2) maka diperoleh:
Dengan:
Dimana:
Universitas Sumatera Utara
