Curve
Diberikan
adalah sebuah kurva.
Pada Bab 1, bagian 4, telah didefinisikan vektor kelajuan saat t. Sekarang kita definisikan kecepatan dari
dari
saat t yaitu panjang
dari vektor kelajuan. Dengan demikian, kecepatan merupakan sebuah fungsi bernilai real pada interval I. Dalam koordinat Euclid
Oleh karena itu, fungsi kecepatan
dari
dinyatakan dengan perumusan :
Dalam fisika, jarak yang dilalui oleh perpindahan titik dapat ditentukan dengan mengintegralkan kecepatannya terhadap waktu. Dengan demikian, kita definisikan panjang busur untuk
dari
ke
yaitu
Panjang busur ini hanya melibatkan batasan dari
(didefinisikan pada
beberapa interval terbuka) untuk interval tertutup seperti dengan
. Batasan
disebut segmen kurva , dan panjangnya dilambangkan . Perhatikan bahwa kecepatan dari
titik-titik terakhir
dan
dari
terdefinisi dengan baik di
.
Terkadang salah satu yang menarik hanya rute yang dilalui oleh sebuah kurva dan bukan pada kecepatan tertentu dimana sebuah kurva melintasi rutenya. Salah satu cara untuk mengabaikan kecepatan dari kurva reparameterisasi kurva
yang memiliki kecepatan unit
menggambarkan “perjalanan standar” sepanjang rute .
yaitu dengan . Maka
2.1 Teorema
Jika
Teorema 2.1 adalah kurva regular di , maka terdapat suatu reparameterisasi ß dari sedemikian hingga ß memiliki kecepatan satuan.
Bukti: Akan dibuktikan terdapat ß suatu reparameterisasi dari diberikan nilai (fixed) pada domain I dari fungsi
sehingga . Misal dan fungsi panjang busur
Kemudian derivatif dari fungsi adalah fungsi kecepatan dari dari - . Karena - regular maka menurut definisi , sehingga . Menurut Teorema Dasar Kalkulus, fungsi memiliki fungsi invers dimana derivatif pada adalah kebalikan dari pada . Secara sama berarti . Sekarang misalkan ß reparameterisasi aturan rantai diperoleh
dari - . Dengan menggunakan
Dari sini maka diperoleh kecepatan ß
Sehingga terbukti bahwa reparameterisasi ß dari - sedemikian hingga ß memiliki kecepatan satuan.
Contoh: Helix
.
Maka kelajuan Sehingga . Maka
mempunyai kecepatan konstan .
Dengan panjang busur dari t=0: .
Dengan mensubstitusikan t(s)=s/c ke , maka didapat:
Dan mudah diketahui bahwa kecepatan satuan.
untuk semua s, sehingga
punya
2.2 Definisi
Definisi 2.2 Medan vector Y pada kurva adalah sebuah fungsi yang mengawankan setiap sebagai tangent vector Y(t) terhadap pada (t) Y(t) = (y1(t), y2(t), y3(t)) (t) = yi(t)Ui( (t)) Dengan yi pada I disebut fungsi koordinat Euclidean pada Y.
Operasi-operasi: Jika diberikan Y, Z medan vector pada kurva (Y + Z) (t) = Y(t) + Z(t) (f Y) (t) = f(t) Y(t)
dan f fungsi, maka
Jika diberikan
Maka
Jika Contoh:
maka
Turunan dari
yaitu
Misal
.
merupakan percepatan dari . maka
.
Dan berbeda dengan kecepatan, percepatan tidak menyinggung kurva
Diferensiasi selalu memenuhi sifat linear dan sifat Leibnizian. Sifat linear: Sifat Leibnizian: Jika
adalah fungsi konstan maka
Jika mempunyaipanjang konstan maka dan orthogonal di setiap titik. Sedemikian hingga konstan maka
2.3 Lemma
2.3 Lemma 1. Suatu kurva konstan jika dan hanya jika kecepatannya nol, =0; 2. Kurva tidak konstan adalah garis lurus jika dan hanya jika percepatannya nol, =0; 3. Suatu medan vector Y pada kurva adalah sejajar jika dan hanya jika turunannya nol, Y’=0.
Bukti Lemma: Karena kurva
konstan,
Jika konstanta, maka kurva
, maka , berarti
konstan,
. dengan
sebarang
.
1
Bukti Lemma: Karena
kurva tidak konstan dan garis lurus, . . jika dan hanya jika masing-masing dengan
, sehingga
, tidak lain merupakangaris lurus, maka yang merupakan kurva tidak konstan.
2
Bukti Lemma: Suatu medan vector, pada kurva sejajar jika semua tangent vector-nya sejajar, Tangen vector dan sejajar jika dan sehingga konstanta, dan Karena
. , maka
, sedangkan diketahui pula
kesejajaran medan vector ekuivalen dengan kekonstanan dari fungsi kordinat Euclidan. Berarti Y sejajar.
3
Benawi Adha(11/316884/PA/14004) Era Dwi Irianti(11/313469/PA/14274) Erna Dwi Astuti(11/313469/PA/13692) Farida Iin Nuraini(11/316917/PA/14036) Riska Amalia Pertiwi(11/316871/PA/13993) Risky Novita Listyorini(11/317028/PA/14145)
Credits
