Bab 2 Daerah Euclid Pada bab ini akan dijelaskan mengenai daerah Euclid beserta struktur lain yang terkait dengannya. Beberapa struktur aljabar tersebut selanjutnya akan digunakan untuk melihat struktur gelanggang polinom.
2.1
Struktur Daerah Euclid
Keberadaan suatu fungsi bernilai bulat tak negatif yang memungkinkan berlakunya algoritma pembagian di suatu daerah integral memunculkan suatu definisi daerah Euclid. Definisi 2.1.1 Suatu daerah integral D disebut daerah Euclid atau Euclidean domain (ED) jika terdapat suatu fungsi (i) untuk semua
berlaku
(ii) untuk semua sehingga
sehingga ,
dengan atau
terdapat
dengan
.
Contoh 2.1.2 Berikut contoh-contoh daerah Euclid. a. Himpunan bilangan bulat
beserta fungsi
dengan
. b. Himpunan bilangan bulat Gauss (Gaussian integers) dengan bentuk beserta suatu fungsi
dengan
(Rujukan Durbin [2000], Section 37).
3
Pengkajian struktur daerah Euclid dibatasi pada kaitan daerah Euclid dengan dua struktur aljabar lain yaitu daerah ideal utama dan daerah faktorisasi tunggal. Berikut definisi dan contoh dari kedua struktur aljabar tersebut. Definisi 2.1.3 Daerah integral D disebut daerah ideal utama atau principal ideal domain (PID) jika setiap ideal pada D merupakan ideal utama (ideal yang dibangun oleh satu unsur). Contoh 2.1.4 Himpunan bilangan bulat utama karena setiap ideal pada
juga merupakan suatu daerah ideal
dapat dibangun oleh satu unsur.
Definisi 2.1.5 Suatu daerah integral D disebut daerah faktorisasi tunggal atau Unique Factorization Domain (UFD) jika memenuhi (i) jika
dan
bukan unit, maka
dapat ditulis sebagai perkalian
sejumlah hingga unsur-unsur tak terurai di D, yaitu unsur-unsur tak terurai ( (ii) jika
) dan
dan
unit di D, dengan masing-masing
unsur-unsur tak terurai, dan
dengan
unit di D, maka
dan
dan
untuk suatu
.
Contoh 2.1.6 Gelanggang bilangan bulat
merupakan suatu daerah
faktorisasi tunggal. Pernyataan ini sesuai dengan Teorema Dasar Aritmatika (The Fundamental Theorem of Arithmetic) yang menyatakan bahwa setiap bilangan bulat lebih dari 1 dapat ditulis sebagai hasiil kali bilangan prima secara tunggal. Teorema ini dapat dilihat pada rujukan Durbin (2000), Section 13. Ketiga struktur aljabar di atas merupakan struktur atau kelas khusus dari daerah integral. Ketiganya berbeda, namun memiliki hubungan yang cukup dinilai penting dalam pengkajian ini.
4
Berikut dua buah teorema yang menyatakan hubungan antara daerah Euclid, daerah ideal utama, dan daerah faktorisasi tunggal. Teorema 2.1.7
Jika D suatu daerah integral yang merupakan daerah Euclid
maka D daerah ideal utama. Bukti Misalkan D daerah integral yang merupakan daerah Euclid dan misalkan I suatu ideal di D. Akan ditunjukkan bahwa setiap ideal di D merupakan ideal utama. Untuk
jelas I dibangun oleh unsur
Misalkan
, sehingga
. Karena D merupakan daerah Euclid, maka terdapat
pemetaan
sehingga
adalah
himpunan tak hampa yang memuat bilangan nonnegatif. Perhatikan bahwa A tak hampa karena terdapat
sehingga
Karena
yang tak hampa, maka A memilki nilai minimum misalnya setiap
berlaku
. Selanjutnya, pilih
, maka untuk setiap
).
. Ambil yang memenuhi
. Diketahui bahwa
Karena
untuk
untuk setiap
(karena
setiap
,
. Andaikan
, kontradiksi dengan . Diperoleh
sehingga
berlaku
sehingga menurut definisi daerah Euclid terdapat , dengan
. Artinya, untuk
maka maka
. Dengan demikian, haruslah
. Maka
Sedangkan
, karena
Jadi,
Akibatnya, D merupakan daerah ideal utama. Perlu dicatat bahwa kebalikan teorema ini tidak berlaku. Tidak setiap daerah ideal utama merupakan daerah Euclid. Contohnya, himpunan bilangan kompleks
dengan
merupakan suatu
daerah ideal utama namun bukan daerah Euclid (non-Euclidean PID). Pembuktian dari contoh ini dapat dilihat pada rujukan Iwanto (2011) halaman 14.
5
Teorema 2.1.8
Setiap daerah ideal utama merupakan daerah faktorisasi
tunggal. Bukti Misalkan R suatu daerah integral yang merupakan daerah ideal utama. Akan ditunjukkan bahwa R merupakan daerah faktorisasi tunggal. i) Pertama, akan ditunjukkan bahwa sebarang unsur tak nol dan bukan unit di R dapat dinyatakan sebagai perkalian sejumlah hingga unsur tak terurai. Misalkan,
adalah unsur tak nol dan bukan unit di R. Jika
maka selesai. Misalkan di R dengan
dan
komposit (terurai) sehingga terdapat bukan unit yang memenuhi
dan
sebab artinya
Jika
dan
. Jika
maka
haruslah unit, kontradiksi.
komposit), sehingga ada
unit dan memenuhi
dan
sehingga
seterusnya sehingga jika
dan
, maka terdapat
maka
dan
untuk . Ambil sebarang
,
sedemikian sehingga
. Tanpa mengurangi keumuman misalkan sehingga
berlaku
dan
dan
. Untuk
. Perhatikan bahwa
dan
. Jadi,
. Diperoleh,
, maka
, dan , maka
ideal di R.
Karena R merupakan daerah ideal utama maka terdapat . Karena,
dan
merupakan hasilkali sejumlah tak hingga
Selanjutnya, misalkan
dan
komposit
di R yang bukan
dan
unsur lain, maka diperoleh setiap
dan . Artinya,
tak terurai, selesai. Namun jika tidak, misalkan
(sama halnya jika
tak terurai,
untuk suatu
. Padahal,
sehingga
. Jadi, . Diperoleh
kontradiksi. Maka haruslah ada
sehingga
setiap
dapat dinyatakan sebagai hasil
. Jadi, unsur sebarang
kali sejumlah hingga unsur tak terurai.
6
untuk
ii) Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa penulisan unsur tak nol dan bukan unit di R sebagai perkalian sejumlah hingga unsur tak terurai adalah tunggal. Ambil
. Misalkan
dan
dengan
adalah unsur-unsur tak terurai di R serta u dan v adalah
unit di R. Tanpa mengurangi keumuman, misalkan
. Perhatikan
bahwa
. Akibatnya,
untuk suatu
tak terurai, maka
, dengan
, hal ini berarti . Misalkan
. Karena
unit. Jadi, diperoleh
. Andaikan
.
Karena R komutatif, dengan mengulangi proses, akan diperoleh
Karena
haruslah
Persamaan terakhir menimbulksn kontradiksi karena tidak mungkin unsur-unsur tak terurai atas salah dan haruslah
membagi 1. Dengan demikian pengandaian di .
Selanjutnya, untuk setiap atau
terdapat
, dengan
unit. Jadi,
sehingga (
dan
sekawan/
associated). Seperti juga teorema sebelumnya, Teorema 2.1.8 ini pun tidak berlaku sebaliknya. Tidak semua daerah faktorisasi tunggal merupakan daerah ideal utama.
Contohnya,
yaitu
gelanggang polinom atas bilangan bulat. Himpunan polinom dengan konstanta genap membentuk ideal di
namun bukan merupakan ideal utama. Contoh
ini dapat dilihat di rujukan Durbin (2000), Section 41.
7
Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa daerah Euclid merupakan daerah ideal utama dan juga merupakan daerah faktorisasi tunggal. Hal ini dapat digambarkan dalam bagan berikut.
Daerah Ideal Utama
Daerah Euclid
Daerah Faktorisasi Tunggal
2.2 Gelanggang Polinom atas Lapangan sebagai Daerah Euclid Berikut akan diuraikan mengenai gelanggang polinom dan kaitannya dengan struktur aljabar yang telah dijelaskan pada Subbab 2.1. Definisi 2.2.1 Misalkan R suatu gelanggang komutatif dengan unsur kesatuan (untuk selanjutnya gelanggang R selalu dimaksudkan bersifat komutatif juga dengan unsur kesatuan kecuali jika disebut lain). Polinom dalam
atas
R
berbentuk
dengan
. Dengan definisi ini dapat dikatakan
sebagai variabel tak
diketahui dan R sebagai gelanggang koefisien dari polinom tersebut. Jika maka
adalah derajat polinom dan
disebut koefisien utama (leading
coefficient). Polinom-polinom tersebut dihimpun dalam suatu gelanggang polinom
Contoh 2.2.2
adalah gelanggang polinom atas bilangan bulat, yaitu himpunan polinom berbentuk
dengan
bilangan bulat.
8
masing-masing
Contoh di atas merupakan suatu contoh gelanggang polinom atas gelanggang (koefisien-koefisien dari polinom-polinomnya merupakan anggota suatu gelanggang). Namun, jika kita melihat ke ruang yang lebih khusus daripada gelanggang yaitu lapangan, akan ditemukan bahwa suatu gelanggang polinom atas lapangan merupakan suatu daerah Euclid. Misalkan F suatu lapangan. Kita dapat membentuk suatu gelanggang polinom atas F yang berbentuk:
Karena F adalah suatu lapangan maka F merupakan daerah integral. Berikut pembuktiannya. Ambil sebarang
dengan
bahwa
. Karena F lapangan dan
atau
terdapat
. Misalkan
dan akan dibuktikan
dengan demikian atau
maka
sehingga diperoleh
.
Selanjutnya, karena F adalah daerah integral maka
merupakan daerah
integral. Perhatikan bahwa untuk setiap
di
dengan
dan berlaku
atau
Misalkan pemetaan setiap
dengan
untuk
. Perhatikan bahwa
(i) Untuk setiap
dengan
dan berlaku
.
Maka,
.
Jadi,
9
.
(ii) Juga untuk setiap
dengan
Untuk
,
pilih
dan
,
maka berlaku
. Dalam hal ini, jelas Untuk
.
, terapkan induksi matematika pada
Misalkan sifat berlaku untuk
. Selanjutnya, akan
dibuktikan juga sifat berlaku untuk Misalkan dan
. Pandang dua kasus:
dan
. Diperoleh
dengan
. .
Pandang
.
Dalam hal ini,
.
Menurut hipotesis induksi terdapat memenuhi hubungan atau
.
.
Pilih
b) Jika
dengan dan
, dengan a) Jika
.
dan
di
yang
dengan .
Diperoleh
Tulis
maka
.
Dengan uraian di atas terbukti bahwa gelanggang polinom atas suatu lapangan merupakan suatu daerah Euclid yang berarti juga merupakan daerah ideal utama dan daerah faktorisasi tunggal.
10
