BAB 4 RUANG VEKTOR EUCLID
Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT.
KERANGKA PEMBAHASAN 1. Ruang‐n Euclid 2. Transformasi Linier dari Rn dan Rm 3. Sifat-sifat Transformasi Linier
4.1 RUANG‐N EUCLID Jika di bab sebelumnya vektor berada di R2 (2-tuple atau double) dan R3 (triple) seperti pada umumnya di ruang geometri, maka VEKTOR EUCLID berada pada ruang Rn (n-tuple) Contoh-contoh: 1. Data percobaan yang bukan hanya dua atau tiga data, tapi n-data: = ( , , ,…, ) 2. Perusahaan pengangkutan barang memiliki truk-truk untuk melayani 15 depot, sehingga setiap truknya: = ( , , , … , ) 3. Rangkaian listrik menerima empat tegangan masuk = ( , , , ) dan menghasilkan tiga tegangan keluar = ( , , )
SIFA-SIFAT VEKTOR
N R
Perkalian dot (inner product):
=(
. =
+
Contoh:
,
, +
,…,
) dan +⋯+
=( ,
,
, …,
)
APLIKASI HASIL KALI DOT DI ISBN ISBN (International Standard Book Number) terdiri atas 10-dijit yang unik: Grup bilangan yang pertama: Negara atau kumpulan Negara tempat buku itu berasal Grup bilangan kedua: penerbit Grup bilangan ketiga: judul buku itu sendiri Grup bilangan keempat: dijit pengujian (c)
Cara penggunaannya: 1. Perkalian dot a.b, dengan a, b vektor R9 a = (1,2,3,4,5,6,7,8,9), b adalah 9-dijit pertama ISBN 2. Hasil perkaliannya dibagi 11, menghasilkan angka 0 – 10, jika hasilnya 10 maka diganti dengan “X” (untuk menghindari 2-dijit di angka akhir)
CONTOH 1. 10-dijit ISBN 0-471-43329-2 Perhitungannya: a.b = (1,2,3,4,5,6,7,8,9).(0,4,7,1,4,3,3,2,9) = 0+8+21+4+20+18+21+16+81 = 189 dibagi 11 Hasilnya 17 sisa 2 (cocok dengan dijit terakhirnya)
2. 13-dijit ISBN 978-602-8237-95-6 10-a.b mod 11 = 10 – MOD((1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12).(9,7,8,6,0,2,8,2,3,7,9,5)) = 10 – ((9+14+24+24+0+12+56+16+27+70+99+60) mod 11) = 10 - 4 Hasilnya 6 (cocok dengan dijit terakhirnya)
NORMA DAN JARAK DI RUANG-N EUCLID PANJANG vektor didefinisikan oleh : u u u
1
2
2
2
u1 u 2 ... u n
2
JARAK antara dua vektor didefinisikan oleh : d u , v u v
u1 v1 2 u 2 v 2 2 ... u n v n 2
Contoh : Diketahui u 1, 1, 2, 3
dan
v 2, 2 , 1, 1
Tentukan panjang vektor dan jarak antara kedua vektor tersebut Jawab: Panjang vektor : u u u
1
2
12 12 2 2 32 15
v 2 2 2 2 12 12 10
Jarak kedua vektor d u , v u v
1 22 1 22 2 12 3 12
12 12 12 22
7
PERTIDAKSAMAAN CAUCHY-SCHWARTZ Jika = ( maka
,
,
,…,
) dan
=( , .
Karena
.
=
,
,…,
) adalah vektor di Rn,
≤
≤
Sifat lainnya
Jika u.v = 0, maka u dan v ORTOGONAL
CONTOH
HASIL KALI DOT DARI PERKALIAN MATRIKS Jika A = [aij] matriks mxr dan B = [bij] matriks rxn maka elemen ij dari AB adalah + + ⋯+ Yang merupakan perkalian dot dari vektor baris A ke-i dan vektor kolom B ke-j
1.4.2 TRANSFORMASI LINIER DARI RN DAN RM Sebuah fungsi = ( ) dikatakan bahwa b adalah gambaran dari a di bawah sebuah fungsi f atau ( ) adalah nilai dari fungsi f pada a. Dalam bentuk matriks:
= ( )
A adalah domain dari f dan B adalah kodomain dari f B disebut juga selang (range) dari f
A dan B adalah bilangan nyata, sehingga f disebut fungsi nilainyata dari variabel nyata A dapat berupa vektor R2, R3 atau Rn
TABEL FUNGSI
FUNGSI DARI
N R
KE
M R
Jika domain fungsi adalah Rn dan kodomain fungsi adalah Rm, maka di f disebut PETA atau TRANSFORMASI dari Rn ke Rm Notasinya: f: Rn Rm atau T: Rn Rm sehingga TA(x) = Ax atau T(x) = [T]x atau [TA] = A Contoh: Transformasi dari R2 ke R3
CONTOH: TRANSFORMASI DARI
Jika
maka =1 =3 =8
4 R
KE
3 R
OPERATOR REFLEKSI
OPERATOR PROYEKSI
OPERATOR ROTASI
OPERATOR DILASI DAN KONTRAKSI
KOMPOSISI (GABUNGAN) TRANSFORMASI LINEAR Jika ada dua transformasi secara berurutan, maka ditulis: ∘ = ( ) dibaca: lingkaran berarti: mentransformasikan Rn ke Rk, lalu Rk ditransformasikan oleh menjadi Rm ∘ linear karena: ∘ = ( ) = = dengan perkalian BA adalah transformasi linear. ∘ dapat ditulis: ∘ = dan ∘ =
CONTOH: Kasus 1: TIDAK KOMULATIF
CONTOH KASUS 2: KOMULATIF Operator =− pada R2 atau R3 disebut REFLEKSI TERHADAP ASALNYA. Matriks standar untuk operasi ini di R2 adalah
KOMPOSISI TIGA ATAU LEBIH TRANSFORMASI LINEAR
CONTOH Temukan matriks standar untuk transformasi linear T: R3 R3 yang pertama merotasi sebuah vektor berlawanan jarum jam terhadap sumbu-z melalui sudut , lalu hasilnya direfleksikan terhadap bidang-yz, dan kemudian diproyeksikan secara orthogonal pada bidang-xy. SOLUSI: Lihat kembali tabel-tabel transformasi T1 rotasi terhadap sumbu-z: T2 refleksi terhadap bidang-yz: T3 proyeksi ortoganal terhadap bidang-xy:
MAKA
4.3 SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI LINIER Pada bagian ini akan dibahas: Hubungan antara invertibilitas sebuah matriks dan sifatsifat transformasi matriks Karakteristik transformasi linear dari Rn ke Rm yang membentuk basis transformasi linear yang lebih umum Sifat-sifat geometris dari eigenvectors
TRANSFORMASI LINEAR (TL) SATU-PER-SATU TL yang memetakan vektor (titik) yang berbeda ke vektor (titik) yang berbeda pula adalah sangat khusus Contohnya, operator linear T: R2 R2 yang merotasi setiap vektor dengan sudut Secara geometrik jika vektor u dan v adalah vektor yang berbeda di R2, maka akan menjadi vektor yang terrotasi T(u) dan T(v) Sebaliknya, jika T: R3 R3 adalah proyeksi ortogonal R3 pada bidang-xy, maka titik-titik berbeda yang terletak pada garis vertical yang sama tersebut akan dipetakan pada titiktitik yang sama di bidang-xy DEFINISI: TL T: Rn Rm disebut satu-per-satu jika T memetakan vektor (titik) yang berbeda di Rn ke vektor (titik) yang berbeda di Rm
PERNYATAAN YANG EKIVALEN Jika A adalah matriks nxn dan T: Rn Rm dikalikan dengan A, maka pernyataan berikut adalah ekivalen:
CONTOH 1. Vektor x yang diperoleh melalui merotasi w dengan sudut - memetakan kedalam w saat dirotasi dengan sudut
Lihat tabel sebelumnya:
dapat dibalikkan karena
2. Pada contoh sebelumnya, bahwa operator proyeksi T: R3 R3 bukanlah satu-per-satu. Untuk menunjukkan secara langsung, bahwa selang T tidak semua dari R3 dan bahwa matriks standarnya tidak dapat dibalikkan det[T] = 0
BALIKAN OPERATOR LINEAR SATU-PER-SATU (OLSPS) Jika TA: Rn Rn adalah OL-SPS, maka matriks A dapat dibalikkan OL Rn
: Rn Rn sendiri adalah OL; dan disebut balikan TA dan
menghilangkan efek satu sama lainnya untuk semua x di
CONTOH Tunjukkan bahwa OL T: R2 R2 yang didefinisikan oleh persamaan adalah satu-per-satu dan temukan JAWAB:
(
,
)
SIFAT LINEARITAS Transformasi T: Rn Rm adalah linear jika dan hanya jika hubungan berikut berlaku untuk semua vektor u dan v di Rn dan untuk setiap skalar c:
Jika T: Rn Rm adalah TL dan e1, e1, …, en adalah vektorvektor basis standar di Rn, maka matriks standar untuk T adalah = ( ) ( ) …| ( )
CONTOH Maka
Diinginkan TA: R3 R2 dikalikan dengan maka
Matriks kolom
CONTOH
1. Temukan matriks standar T 2. Temukan proyeksi ortogonal vektor x = (1,5) pada garis yang melalui asalnya yang membuat sudut = /6
SOLUSI 1. Anggaplah sudut adalah 0 /2 yang sama dengan /2 . Merujuk ke gambar (b), = cos , sehingga
dan merujuk ke gambar (c),
Matriks standar T adalah
= sin , sehingga
SOLUSI 2. Karena sin /6 = ½ dan cos /6 = ½√3, maka
atau
INTERPRETASI GEOMETRIK DARI EIGENVEKTOR Ingat kembali SPL berbentuk Ax = x yang ekivalen dengan (I-A)x = 0
Vektor bukan-nol x adalah vektor eigen dari A sesuai dengan Harga eigen dan vektor eigen dapat didefinisikan dengan transformasi linear pada Rn DEFINISI:
Jika T: Rn Rn adalah transformasi linear, maka skalar disebut eigenvalue dari T jika ada sebuah x bukan nol di Rn sedemikian rupa hingga =
ILUSTRASI Perkalian dengan A memetakan setiap vektor eigen x kedalam vektor yang terletak pada garis yang sama:
CONTOH TL T: R2 R2 melalui rotasi dengan sudut , maka matriks standarnya untuk T adalah: Nilai eigen matriks ini adalah solusi persamaan karakteristik Sehingga Harga tergantung pada harga . Jika adalah kelipatan dari , maka sin = 0 dan cos = 1 atau cos = −1 Jika sin Jika sin
= 0 dan cos = 0 dan cos
= 1, maka = −1, maka
sehingga sehingga
CONTOH Proyeksi ortogonal pada bidang-xy matriks standarnya adalah
Persamaan karakteristik dari A: Harga = 0 dan = 1 Jika = 0 Jika = 1
