Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3

Ruang Vektor Euclid R2 dan R3 Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016

MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U

September 2015

MZI (FIF Tel-U)

Ruang Vektor R2 dan R3

September 2015

1 / 116

Acknowledgements

Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut: 1

Aplikasi Matriks dan Ruang Vektor, Edisi 1 2014, oleh Adiwijaya.

2

Elementary Linear Algebra, 10th Edition, 2010, oleh H. Anton dan C. Rorres.

3

Slide kuliah Aljabar Linier di Telkom University oleh Jondri.

4

Slide kuliah Aljabar Linier di Fasilkom UI oleh Kasiyah M. Junus dan Siti Aminah. Slide kuliah Aljabar Linier di Fasilkom UI oleh L. Y. Stefanus.

5

Beberapa gambar dapat diambil dari sumber-sumber di atas. Slide ini ditujukan untuk keperluan akademis di lingkungan FIF Telkom University. Jika Anda memiliki saran/ pendapat/ pertanyaan terkait materi dalam slide ini, silakan kirim email ke @telkomuniversity.ac.id.

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

2 / 116

Bahasan 1

Vektor di Sekolah Menengah

2

Pendahuluan: Vektor dan Notasinya

3

Dasar-dasar Aljabar Vektor

4

Sifat-sifat Aritmetika Vektor di R2 dan R3

5

Vektor-vektor Basis Standar di R2 dan R3

6

Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R2 dan R3

7

Hasil Kali Titik Dua Vektor di R2 dan R3

8

Proyeksi Ortogonal

9

Hasil Kali Silang Dua Vektor di R3

10

Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R3

11

Latihan MZI (FIF Tel-U)


September 2015

3 / 116


Bahasan 1


2


3


4


5


6


7


8

Proyeksi Ortogonal

9


10


11



September 2015

4 / 116


Vektor di Sekolah Menengah: Operasi Aritmetika

Latihan Soal berikut dapat dikerjakan dengan pengetahuan Anda tentang vektor yang telah diperoleh di sekolah menengah. Diberikan dua titik di R2 , yaitu P1 (3; 5) ! ! dan P2 ( 1; 2). Jika ~u = P1 P2 dan ~v = P2 P 1 , tentukan: 1

~u

2

~v

3

3~u 4~v

4 5

1 2

(~u + 4~v )

MZI (FIF Tel-U)

( 2~v + ~u) + 12 ~u


September 2015

5 / 116


Solusi:

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

6 / 116


Solusi: 1

! ~u = P1 P2 = ( 1

MZI (FIF Tel-U)

3; 2

( 5)) = ( 4; 3).


September 2015

6 / 116


Solusi: 1 2

! ~u = P1 P2 = ( 1 3; 2 ( 5)) = ( 4; 3). ! ~v = P2 P1 = (3 ( 1) ; 5 ( 2)) = (4; 3)

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

6 / 116


Solusi: 1 2 3

! ~u = P1 P2 = ( 1 3; 2 ( 5)) = ( 4; 3). ! ~v = P2 P1 = (3 ( 1) ; 5 ( 2)) = (4; 3) 3~u = 3 ( 4; 3) = ( 12; 9)

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

6 / 116


Solusi: 1 2 3 4

! ~u = P1 P2 = ( 1 3; 2 ( 5)) = ( 4; 3). ! ~v = P2 P1 = (3 ( 1) ; 5 ( 2)) = (4; 3) 3~u = 3 ( 4; 3) = ( 12; 9) 4~v = 4 (4; 3) = ( 16; 12).

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

6 / 116


Solusi: 1 2 3 4 5

! ~u = P1 P2 = ( 1 3; 2 ( 5)) = ( 4; 3). ! ~v = P2 P1 = (3 ( 1) ; 5 ( 2)) = (4; 3) 3~u = 3 ( 4; 3) = ( 12; 9) 4~v = 4 (4; 3) = ( 16; 12). 1 u + 4~v ) 2 (~ 1 1 ~ u u 2 + 2~

( 2~v + ~u) + 12 ~u = 12 ~u + 2~v + 2~v ~u + 12 ~u = ~u + 2~v + 2~v = 4~v = 4 (4; 3) = (16; 12).

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

6 / 116


Vektor di Sekolah Menengah: Jarak dan Panjang Latihan (Jarak dan Panjang di R2 ) Soal berikut dapat dikerjakan dengan pengetahuan Anda tentang vektor yang telah diperoleh di sekolah menengah. Diberikan dua titik di R2 , yaitu P1 (3; 5) dan P2 ( 1; 2). Tentukan 1 2

Jarak dari P1 ke P2 . ! Panjang vektor P2 P1

Latihan (Jarak dan Panjang di R3 ) Soal berikut dapat dikerjakan dengan pengetahuan Anda tentang vektor yang telah diperoleh di sekolah menengah. Diberikan dua titik di R3 , yaitu P1 (1; 1; 3) dan P2 ( 2; 1; 1). Tentukan 1 2

Jarak dari P2 ke P1 . ! Panjang vektor P1 P2 . MZI (FIF Tel-U)


September 2015

7 / 116


Solusi untuk vektor di R2 :

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

8 / 116


Solusi untuk vektor di R2 : 1

Misalkan q d adalah jarak dari P1 ke P2 , maka 2 2 d = (x (P2 ) x (P1 )) + (y (P2 ) y (P1 )) = q q 2 2 2 2 ( 1 3) + ( 2 ( 5)) = ( 4) + (3) = 5 satuan.

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

8 / 116



2

Misalkan q d adalah jarak dari P1 ke P2 , maka 2 2 d = (x (P2 ) x (P1 )) + (y (P2 ) y (P1 )) = q q 2 2 2 2 ( 1 3) + ( 2 ( 5)) = ( 4) + (3) = 5 satuan. ! ! Panjang dari vektor P2 P1 = panjang dari vektor P1 P2 = jarak dari P1 ke P2 , yaitu 5 satuan.

Solusi untuk vektor di R3 :

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

8 / 116



2



Misalkan q d adalah jarak dari P2 ke P1 , maka 2 2 2 d = (x (P1 ) x (P2 )) + (y (P1 ) y (P2 )) + (z (P1 ) z (P2 )) = q q 2 2 2 2 2 2 (1 ( 2)) + ( 1 ( 1)) + ( 3 1) = (3) + (0) + ( 4) = 5 satuan.

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

8 / 116



2



2

Misalkan q d adalah jarak dari P2 ke P1 , maka 2 2 2 d = (x (P1 ) x (P2 )) + (y (P1 ) y (P2 )) + (z (P1 ) z (P2 )) = q q 2 2 2 2 2 2 (1 ( 2)) + ( 1 ( 1)) + ( 3 1) = (3) + (0) + ( 4) = 5 satuan. ! ! Panjang dari vektor P1 P2 = panjang dari vektor P2 P1 = jarak dari P2 ke P1 , yaitu 5 satuan.

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

8 / 116


Vektor di Sekolah Menengah: Hasil Kali Titik dan Hasil Kali Silang Latihan Soal berikut dapat dikerjakan dengan pengetahuan Anda tentang vektor yang telah diperoleh di sekolah menengah. Diberikan dua vektor di R3 , yaitu ~u = (2; 1; 0) dan ~v = (0; 2; 1). Tentukan nilai dari 1

~u ~v

2

~u

~v

Solusi:

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

9 / 116



~u ~v

2

~u

~v

Solusi: 1

~u ~v = (2; 1; 0) (0; 2; 1) = (2) (0) + ( 1) ( 2) + (0) (1) = 2.

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

9 / 116



~u ~v

2

~u

~v

Solusi: 1

2

~u ~v = (2; 1; 0) (0; 2; 1) = (2) (0) + ( 1) ( 2) + (0) (1) = 2. ^{ |^ k^ 2 1 ^ 1 0 2 0 k= ^{ |^ + ~u ~v = 2 1 0 = 0 1 0 2 1 1 0 2 1 ^{ 2^ | 4k^ = ( 1; 2; 4) MZI (FIF Tel-U)


September 2015

9 / 116


Vektor di Sekolah Menengah: Sudut antara Dua Vektor Latihan Soal berikut dapat dikerjakan dengan pengetahuan Anda tentang vektor yang telah diperoleh di sekolah menengah. Diberikan dua vektor di R3 , yaitu ~u = (0; 0; 1) dan ~v = (0; 2; 2). Tentukan sudut terkecil antara ~u dan ~v . Solusi:

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

10 / 116


Vektor di Sekolah Menengah: Sudut antara Dua Vektor Latihan Soal berikut dapat dikerjakan dengan pengetahuan Anda tentang vektor yang telah diperoleh di sekolah menengah. Diberikan dua vektor di R3 , yaitu ~u = (0; 0; 1) dan ~v = (0; 2; 2). Tentukan sudut terkecil antara ~u dan ~v . Solusi: Kita memiliki hubungan ~u ~v = k~uk k~v k cos , dengan k~uk, k~v k berturut-turut adalah panjang dari vektor ~u dan ~v , serta adalah sudut antara vektor ~u dan ~v . Akibatnya cos

= = = =

MZI (FIF Tel-U)

~u ~v (0; 0; 1) (0; 2; 2) = k~uk k~v k k(0; 0; 1)k k0; 2; 2k 2 p p 2 2 2 0 +0 +1 02 + 22 + 22 2 2 1 1p p p = p =p = 2. Jadi 2 1 8 2 2 2 45 =

4

rad.


September 2015

10 / 116


Bahasan 1


2


3


4


5


6


7


8

Proyeksi Ortogonal

9


10


11



September 2015

11 / 116


Pendahuluan: Skalar dan Vektor Di pelajaran Fisika sekolah menengah, Anda sudah diperkenalkan dengan istilah besaran skalar dan besaran vektor.

Besaran Skalar Besaran skalar adalah besaran yang cukup dijelaskan dengan suatu bilangan saja. Contohnya:

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

12 / 116



Besaran Skalar Besaran skalar adalah besaran yang cukup dijelaskan dengan suatu bilangan saja. Contohnya: massa, panjang, dan waktu.

Besaran Vektor Besaran vektor adalah besaran yang memerlukan bilangan dan arah untuk mendeskripsikan secara lengkap besaran tersebut. Contohnya adalah

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

12 / 116



Besaran Skalar Besaran skalar adalah besaran yang cukup dijelaskan dengan suatu bilangan saja. Contohnya: massa, panjang, dan waktu.

Besaran Vektor Besaran vektor adalah besaran yang memerlukan bilangan dan arah untuk mendeskripsikan secara lengkap besaran tersebut. Contohnya adalah kecepatan, perpindahan, dan gaya. Di sini kita akan mengkaji struktur aljabar untuk vektor dan himpunan yang anggota-anggotanya adalah vektor.

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

12 / 116


Penyajian Vektor

Di pelajaran Fisika sekolah menengah, Anda belajar penyajian vektor dalam diagram berikut.

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

13 / 116


Kemudian, pada pelajaran Matematika, vektor pada bidang (vektor pada R2 ) juga dapat disajikan dengan cara berikut.

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

14 / 116


Kemudian, pada pelajaran Matematika, vektor pada bidang (vektor pada R2 ) juga dapat disajikan dengan cara berikut.

Pada kuliah ini, kita akan menyajikan vektor dalam bentuk tupel, matriks baris, atau matriks kolom. Jika ditinjau pada bidang, maka suatu vektor ditulis sebagai (a; b). Perlu diingat bahwa (a; b) tidak selalu sama dengan (b; a).

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

14 / 116


Vektor dan Notasinya Suatu vektor ditulis dengan huruf cetak tebal (contoh: vektor a) atau huruf cetak miring dengan anak panah di atasnya (contoh: vektor ~a). Ini dilakukan ! untuk membedakan skalar dan vektor. Vektor AB menyatakan vektor dengan titik pangkal A dan titik akhir B.

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

15 / 116


Lebih Jauh tentang Notasi Vektor I

Secara aljabar, vektor di R2 dapat ditulis dalam bentuk pasangan bilangan real a (a; b), matriks baris a b , atau matriks kolom . Kita akan cukup sering b a untuk menggunakan notasi tupel (a; b) dan notasi matriks kolom b menyatakan suatu vektor. Notasi matriks baris a b jarang digunakan, tetapi perlu Anda ketahui.

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

16 / 116


Lebih Jauh tentang Notasi Vektor II

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

17 / 116


Lebih Jauh tentang Notasi Vektor III

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

18 / 116


Lebih Jauh tentang Notasi Vektor IV

Pada suatu vektor ~a = a = (a1 ; a2 ) yang ditinjau pada bidang (ditinjau pada R2 ), a1 dan a2 keduanya adalah bilangan real. Kita katakan a1 sebagai komponen pertama (atau komponen x) dari ~a dan a2 sebagai komponen kedua (atau komponen y) dari ~a. Secara serupa, jika ~a = a = (a1 ; a2 ; a3 ) 2 R3 , maka a1 adalah komponen pertama (atau komponen x) dari ~a, a2 adalah komponen kedua (atau komponen y) dari ~a, dan a3 adalah komponen ketiga (atau komponen z) dari ~a.

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

19 / 116


Bahasan 1


2


3


4


5


6


7


8

Proyeksi Ortogonal

9


10


11



September 2015

20 / 116


Kesamaan Vektor Secara Fisik Secara intuitif, dua (atau lebih) vektor dikatakan sama bila besar dan arahnya sama (meskipun titik pangkal dan titik akhirnya mungkin berbeda).

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

21 / 116


Kesamaan Vektor Secara Geometris Secara geometris, dua (atau lebih) vektor dikatakan sama ketika panjang dan arah dari vektor-vektor tersebut sama, tidak tergantung pada posisinya di sistem koordinat.

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

22 / 116


Kesamaan Vektor Secara Geometris Secara geometris, dua (atau lebih) vektor dikatakan sama ketika panjang dan arah dari vektor-vektor tersebut sama, tidak tergantung pada posisinya di sistem koordinat.

y

4 2

-4

-2

2 -2

4

x

-4

Semua vektor yang ada pada gambar di atas adalah vektor yang sama, yaitu vektor (1; 2). MZI (FIF Tel-U)


September 2015

22 / 116


Kesamaan Dua Vektor Secara Aljabar

Kesamaan Dua Vektor Dua vektor ~a dan ~b sama, ditulis dengan ~a = ~b jika dan hanya jika komponen-komponen yang bersesuaian sama. Diberikan dua vektor di R2 , yaitu ~a = (a1 ; a2 ) dan ~b = (b1 ; b2 ), maka ~a = ~b , (a1 = b1 ) ^ (a2 = b2 ) . Diberikan dua vektor di R3 , yaitu ~a = (a1 ; a2 ; a3 ) dan ~b = (b1 ; b2 ; b3 ), maka ~a = ~b , (a1 = b1 ) ^ (a2 = b2 ) ^ (a3 = b3 ) .

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

23 / 116


Penjumlahan Vektor Secara Geometris Dua buah vektor yang berada di ruang yang sama dapat dijumlahkan.

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

24 / 116


Sifat Komutatif Penjumlahan Vektor Penjumlahan dua vektor di R2 maupun R3 mengikuti hukum paralelogram (hukum jajar genjang). Akibatnya penjumlahan vektor bersifat komutatif, yaitu v + w = w + v untuk setiap vektor v dan w yang ada di ruang yang sama.

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

25 / 116


Sifat Asosiatif Penjumlahan Vektor

Penjumlahan dua vektor di R2 maupun R3 bersifat asosiatif. Jika u, v, dan w adalah tiga vektor di ruang yang sama, maka (u + v) + w = u + (v + w).

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

26 / 116


Penjumlahan Vektor Secara Aljabar Penjumlahan Vektor Diberikan dua vektor ~a dan ~b pada ruang yang sama, suatu vektor ~c merupakan hasil penjumlahan dua vektor ~a dan ~b, ditulis dengan ~a + ~b, bila komponen-komponen vektor ~c diperoleh dengan menjumlahkan komponen vektor ~a dan ~b yang bersesuaian. Diberikan ~a = (a1 ; a2 ) dan ~b = (b1 ; b2 ). Jika ~c = (c1 ; c2 ) dan ~c = ~a + ~b, maka c1 = a1 + b1 dan c2 = a2 + b2 . Kita dapat menulisnya sebagai

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

27 / 116


Penjumlahan Vektor Secara Aljabar Penjumlahan Vektor Diberikan dua vektor ~a dan ~b pada ruang yang sama, suatu vektor ~c merupakan hasil penjumlahan dua vektor ~a dan ~b, ditulis dengan ~a + ~b, bila komponen-komponen vektor ~c diperoleh dengan menjumlahkan komponen vektor ~a dan ~b yang bersesuaian. Diberikan ~a = (a1 ; a2 ) dan ~b = (b1 ; b2 ). Jika ~c = (c1 ; c2 ) dan ~c = ~a + ~b, maka c1 = a1 + b1 dan c2 = a2 + b2 . Kita dapat menulisnya sebagai (a1 ; a2 ) + (b1 ; b2 ) = a1 b1 + = a2 b2

(a1 + b1 ; a2 + b2 ) a1 + b1 a2 + b2

Hal serupa juga berlaku untuk vektor di R3 .

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

27 / 116


Dari de…nisi penjumlahan vektor secara aljabar, jelas bahwa penjumlahan vektor bersifat komutatif dan asosiatif. Sebagai ilustrasi, di R2 kita memiliki

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

28 / 116


Dari de…nisi penjumlahan vektor secara aljabar, jelas bahwa penjumlahan vektor bersifat komutatif dan asosiatif. Sebagai ilustrasi, di R2 kita memiliki a1 a2

+

b1 b2

=

a1 + b1 a2 + b2

=

b1 + a1 b2 + a2

=

b1 b2

+

a1 a2

.

Dan juga

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

28 / 116


Dari de…nisi penjumlahan vektor secara aljabar, jelas bahwa penjumlahan vektor bersifat komutatif dan asosiatif. Sebagai ilustrasi, di R2 kita memiliki a1 a2

+

b1 b2

=

a1 + b1 a2 + b2

=

b1 + a1 b2 + a2

b1 b2

=

a1 a2

+

.

Dan juga a1 a2

+

MZI (FIF Tel-U)

b1 b2

+

c1 c2

=

a1 + b1 a2 + b2

=

a1 + b1 + c1 a2 + b2 + c2

=

a1 a2

+

=

a1 a2

+


+

c1 c2

b1 + c1 b2 + c2 b1 b2

+

c1 c2

.

September 2015

28 / 116


Vektor Nol Vektor Nol Vektor nol adalah vektor dengan panjang nol. Secara geometris vektor nol digambarkan sebagai titik di R2 atau R3 . Secara aljabar vektor nol, ditulis ~0, merupakan (0; 0) , jika ~0 2 R2 ~0 = (0; 0; 0) , jika ~0 2 R3

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

29 / 116


Catatan Vektor nol adalah satu-satunya vektor yang tidak berarah, vektor nol hanya memiliki besar (panjang) saja, yang nilainya adalah nol.

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

30 / 116


Latihan 0 Bagian 1

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

31 / 116


Latihan 0 Bagian 2

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

32 / 116


Perkalian Vektor dengan Skalar

Perhatikan gambar berikut.

Pada gambar di atas, b searah dengan a dan panjang b lima kali panjang a. Kita dapat menuliskan b = 5a ataupun a = 15 b.

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

33 / 116


Misalkan k 2 R dang k 6= 0. Kita memiliki

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

34 / 116


Misalkan k 2 R dang k 6= 0. Kita memiliki Jika k > 0, maka ka searah dengan a dan panjangnya k kali panjang a.

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

34 / 116


Misalkan k 2 R dang k 6= 0. Kita memiliki Jika k > 0, maka ka searah dengan a dan panjangnya k kali panjang a. Jika k < 0, maka ka berlawanan arah dengan a dan panjangnya k kali panjang a.

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

34 / 116


Misalkan k 2 R dang k 6= 0. Kita memiliki Jika k > 0, maka ka searah dengan a dan panjangnya k kali panjang a. Jika k < 0, maka ka berlawanan arah dengan a dan panjangnya k kali panjang a. Jika k = 1, maka ka = a. Dalam hal ini a dikatakan sebagai negatif dari a. Kita juga memiliki sifat a + ( a) = 0.

Dua Vektor yang Sejajar Dua vektor a dan b dikatakan sejajar apabila a = kb untuk suatu k 2 R. Dengan perkataan lain ketika dua vektor sejajar maka vektor yang satu merupakan kelipatan skalar vektor yang lain.

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

34 / 116


MZI (FIF Tel-U)


September 2015

35 / 116


Selisih Vektor

Selisih Vektor Misalkan u dan v adalah dua vektor di ruang yang sama. Maka u dide…nisikan sebagai u + ( v).

MZI (FIF Tel-U)


v

September 2015

36 / 116


Vektor dari Dua Titik Misalkan P1 (x1 ; y1 ; z1 ) dan P2 (x2 ; y2 ; z2 ) adalah dua titik di R3 dan O ! menyatakan titik (0; 0; 0). Vektor P1 P2 merupakan vektor yang dide…nisikan sebagai ! P1 P2 = (x2 x1 ; y2 y1 ; z2 z1 ) . Kita juga memiliki

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

37 / 116


Vektor dari Dua Titik Misalkan P1 (x1 ; y1 ; z1 ) dan P2 (x2 ; y2 ; z2 ) adalah dua titik di R3 dan O ! menyatakan titik (0; 0; 0). Vektor P1 P2 merupakan vektor yang dide…nisikan sebagai ! P1 P2 = (x2 x1 ; y2 y1 ; z2 z1 ) . Kita juga memiliki ! ! OP1 = (x1 ; y1 ; z1 ) dan OP2 = (x2 ; y2 ; z2 ) . Akibatnya dengan memakai sifat aritmetika vektor, kita memiliki ! P1 P2 =

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

37 / 116


Vektor dari Dua Titik Misalkan P1 (x1 ; y1 ; z1 ) dan P2 (x2 ; y2 ; z2 ) adalah dua titik di R3 dan O ! menyatakan titik (0; 0; 0). Vektor P1 P2 merupakan vektor yang dide…nisikan sebagai ! P1 P2 = (x2 x1 ; y2 y1 ; z2 z1 ) . Kita juga memiliki ! ! OP1 = (x1 ; y1 ; z1 ) dan OP2 = (x2 ; y2 ; z2 ) . Akibatnya dengan memakai sifat aritmetika vektor, kita memiliki ! ! P1 P2 = OP2

! OP1 .

Hal yang serupa juga jelas berlaku di R2 .

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

37 / 116


Bahasan 1


2


3


4


5


6


7


8

Proyeksi Ortogonal

9


10


11



September 2015

38 / 116

Sifat Aritmetika Vektor Teorema Misalkan ~u, ~v , dan w ~ ketiganya adalah vektor di R2 atau R3 (di ruang yang sama), serta ; 2 R, maka

Sifat Aritmetika Vektor Teorema Misalkan ~u, ~v , dan w ~ ketiganya adalah vektor di R2 atau R3 (di ruang yang sama), serta ; 2 R, maka 1

~u + ~v = ~v + ~u


~u + ~v = ~v + ~u

2

(~u + ~v ) + w ~ = ~u + (~v + w) ~


~u + ~v = ~v + ~u

2

(~u + ~v ) + w ~ = ~u + (~v + w) ~

3

~u + ~0 = ~0 + ~u = ~u


~u + ~v = ~v + ~u

2

(~u + ~v ) + w ~ = ~u + (~v + w) ~

3

~u + ~0 = ~0 + ~u = ~u

4

~u + ( ~u) = ( ~u) + ~u = ~0


~u + ~v = ~v + ~u

2

(~u + ~v ) + w ~ = ~u + (~v + w) ~

3

~u + ~0 = ~0 + ~u = ~u

4

~u + ( ~u) = ( ~u) + ~u = ~0

5

( ~u) = (

) ~u


~u + ~v = ~v + ~u

2

(~u + ~v ) + w ~ = ~u + (~v + w) ~

3

~u + ~0 = ~0 + ~u = ~u

4

~u + ( ~u) = ( ~u) + ~u = ~0

5

( ~u) = (

6

) ~u

(~u + ~v ) = ~u + ~v


~u + ~v = ~v + ~u

2

(~u + ~v ) + w ~ = ~u + (~v + w) ~

3

~u + ~0 = ~0 + ~u = ~u

4

~u + ( ~u) = ( ~u) + ~u = ~0

5 6 7

( ~u) = (

) ~u

(~u + ~v ) = ~u + ~v ( + ) ~u = ~u + ~u


~u + ~v = ~v + ~u

2

(~u + ~v ) + w ~ = ~u + (~v + w) ~

3

~u + ~0 = ~0 + ~u = ~u

4

~u + ( ~u) = ( ~u) + ~u = ~0 ( ~u) = (

5

) ~u

(~u + ~v ) = ~u + ~v

6 7

( + ) ~u = ~u + ~u

8

1 (~u) = ~u.

Bukti Cukup mudah. Tinjau ~u, ~v , dan w ~ sebagai suatu matriks kolom berukuran 2 1 atau 3 1. Sifat-sifat yang dijelaskan pada teorema analog dengan sifat yang dimiliki matriks kolom berukuran 2 1 maupun 3 1. (Q.E.D).


Teorema Jika ~u adalah vektor di R2 atau R3 , dan 1 0~u = ~0 2 3

2 R maka

~0 = ~0 ( 1) ~u =

~u

Teorema Jika ~u adalah vektor di R2 atau R3 dengan sifat ~u = ~0, maka

MZI (FIF Tel-U)


= 0 atau ~u = ~0.

September 2015

40 / 116


Bahasan 1


2


3


4


5


6


7


8

Proyeksi Ortogonal

9


10


11



September 2015

41 / 116


Vektor-vektor Basis Standar di R2 dan R3 Basis Standar di R2 Himpunan vektor-vektor basis standar di R2 adalah fi = (1; 0) ; j = (0; 1)g. Vektor i juga dapat ditulis sebagai ^{, ~e1 , atau e1 . Vektor j juga dapat ditulis sebagai |^, ~e2 , atau e2 . Setiap vektor ~v = (v1 ; v2 ) 2 R2 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari ^{ dan |^ secara tunggal ~v = ^{ + |^ ,

MZI (FIF Tel-U)

=


September 2015

42 / 116



MZI (FIF Tel-U)

= v1 dan


=

September 2015

42 / 116



MZI (FIF Tel-U)

= v1 dan


= v2 .

September 2015

42 / 116



MZI (FIF Tel-U)

= v1 dan


= v2 .

September 2015

42 / 116


Basis Standar di R3 Himpunan vektor-vektor basis standar di R3 adalah fi = (1; 0; 0) ; j = (0; 1; 0) ; k = (0; 0; 1)g. Vektor i juga dapat ditulis sebagai ^{, ~e1 , atau e1 . Vektor j juga dapat ditulis sebagai |^, ~e2 , atau e2 . Vektor k juga ^ ~e3 , atau e3 . dapat ditulis sebagai k, Setiap vektor ~v = (v1 ; v2 ; v3 ) 2 R3 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari ^{, |^, dan k^ secara tunggal ~v = ^{ + |^ + k^ , =

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

43 / 116


Basis Standar di R3 Himpunan vektor-vektor basis standar di R3 adalah fi = (1; 0; 0) ; j = (0; 1; 0) ; k = (0; 0; 1)g. Vektor i juga dapat ditulis sebagai ^{, ~e1 , atau e1 . Vektor j juga dapat ditulis sebagai |^, ~e2 , atau e2 . Vektor k juga ^ ~e3 , atau e3 . dapat ditulis sebagai k, Setiap vektor ~v = (v1 ; v2 ; v3 ) 2 R3 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari ^{, |^, dan k^ secara tunggal ~v = ^{ + |^ + k^ , = v1 , =

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

43 / 116


Basis Standar di R3 Himpunan vektor-vektor basis standar di R3 adalah fi = (1; 0; 0) ; j = (0; 1; 0) ; k = (0; 0; 1)g. Vektor i juga dapat ditulis sebagai ^{, ~e1 , atau e1 . Vektor j juga dapat ditulis sebagai |^, ~e2 , atau e2 . Vektor k juga ^ ~e3 , atau e3 . dapat ditulis sebagai k, Setiap vektor ~v = (v1 ; v2 ; v3 ) 2 R3 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari ^{, |^, dan k^ secara tunggal ~v = ^{ + |^ + k^ , = v1 , = v2 , dan =

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

43 / 116


Basis Standar di R3 Himpunan vektor-vektor basis standar di R3 adalah fi = (1; 0; 0) ; j = (0; 1; 0) ; k = (0; 0; 1)g. Vektor i juga dapat ditulis sebagai ^{, ~e1 , atau e1 . Vektor j juga dapat ditulis sebagai |^, ~e2 , atau e2 . Vektor k juga ^ ~e3 , atau e3 . dapat ditulis sebagai k, Setiap vektor ~v = (v1 ; v2 ; v3 ) 2 R3 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari ^{, |^, dan k^ secara tunggal ~v = ^{ + |^ + k^ , = v1 , = v2 , dan = v3 .

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

43 / 116


Basis Standar di R3 Himpunan vektor-vektor basis standar di R3 adalah fi = (1; 0; 0) ; j = (0; 1; 0) ; k = (0; 0; 1)g. Vektor i juga dapat ditulis sebagai ^{, ~e1 , atau e1 . Vektor j juga dapat ditulis sebagai |^, ~e2 , atau e2 . Vektor k juga ^ ~e3 , atau e3 . dapat ditulis sebagai k, Setiap vektor ~v = (v1 ; v2 ; v3 ) 2 R3 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari ^{, |^, dan k^ secara tunggal ~v = ^{ + |^ + k^ , = v1 , = v2 , dan = v3 .

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

43 / 116


Bahasan 1


2


3


4


5


6


7


8

Proyeksi Ortogonal

9


10


11



September 2015

44 / 116


Norm Euclid dari Vektor di R2 Norm Euclid dari Vektor di R2 Misalkan u = ~u = (u1 ; u2 ) adalah suatu vektor di R2 . Norm Euclid atau panjang dari u, ditulis dengan kuk, dide…nisikan sebagai q kuk = u21 + u22 .

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

45 / 116


Norm Euclid dari Vektor di R3 Norm Euclid dari Vektor di R3 Misalkan u = ~u = (u1 ; u2 ; u3 ) adalah suatu vektor di R3 . Norm Euclid atau panjang dari u, ditulis dengan kuk, dide…nisikan sebagai q kuk = u21 + u22 + u23 .

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

46 / 116


Penting Norm Euclid (panjang) dari suatu vektor selalu bernilai tak negatif. Untuk sembarang vektor u pada bidang maupun ruang, kuk 0.

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

47 / 116


Norm dan Jarak Dua Titik Kita akan meninjau keterkaitan antara norm Euclid dan jarak antara dua titik pada R3 . Diberikan dua titik P1 (x1 ; y1 ; z1 ) dan P2 (x2 ; y2 ; z2 ) di R3 . Jarak dari P1 ke P2 ! tidak lain merupakan norm dari vektor P1 P2 .

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

48 / 116


! Karena P1 P2 = (x2

x1 ; y2 y1 ; z2 z1 ), kita memiliki q ! 2 2 P1 P2 = (x2 x1 ) + (y2 y1 ) + (z2

Bila d menyatakan jarak dari P1 ke P2 , kita memiliki q ! 2 2 d = P1 P2 = (x2 x1 ) + (y2 y1 ) + (z2

MZI (FIF Tel-U)


2

z1 ) .

2

z1 ) .

September 2015

49 / 116





2

z1 ) .

2

z1 ) .

Untuk dua titik P1 (x1 ; y1 ) dan P2 (x2 ; y2 ) di R2 , bila jarak dari P1 ke P2 dinyatakan dengan d, kita memiliki q ! 2 2 d = P1 P2 = (x2 x1 ) + (y2 y1 ) .

Latihan Tentukan jarak dari P1 (2; 1; 5) ke P2 (4; 3; 1).

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

49 / 116





2

z1 ) .

2

z1 ) .

Untuk dua titik P1 (x1 ; y1 ) dan P2 (x2 ; y2 ) di R2 , bila jarak dari P1 ke P2 dinyatakan dengan d, kita memiliki q ! 2 2 d = P1 P2 = (x2 x1 ) + (y2 y1 ) .

Latihan Tentukan jarak dari P1 (2; 1; 5) ke P2 (4; 3; 1). Solusi: q bila jarak dari P1 ke P2 adalah d, maka p 2 2 2 d = (4 2) + ( 3 + 1) + (1 + 5) = 2 11. MZI (FIF Tel-U)


September 2015

49 / 116


Norm Euclid dan Perkalian Skalar Suatu Vektor Teorema Diberikan sembarang vektor ~u di R2 atau R3 dan bilangan real , maka k ~uk = j j k~uk .

Bukti

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

50 / 116



Bukti Kita akan buktikan teorema di atas untuk vektor di R2 . Bukti untuk vektor di R3 ditinggalkan kepada pembaca sebagai latihan. Bila ~u = (u1 ; u2 ), maka k ~uk

=

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

50 / 116




= =

k (u1 ; u2 )k

k( u1 ; u2 )k (perkalian skalar suatu vektor)

=

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

50 / 116




= = = =

MZI (FIF Tel-U)

k (u1 ; u2 )k

k( u1 ; u2 )k (perkalian skalar suatu vektor) q q q 2 2 2 u2 + 2 u2 = 2 (u2 + u2 ) ( u1 ) + ( u2 ) = 1 2 1 2


September 2015

50 / 116




= = = = =

MZI (FIF Tel-U)

k (u1 ; u2 )k

k( u1 ; u2 )k (perkalian skalar suatu vektor) q q q 2 2 2 u2 + 2 u2 = 2 (u2 + u2 ) ( u1 ) + ( u2 ) = 1 2 1 2 q p 2 u21 + u22 Ruang Vektor R2 dan R3

September 2015

50 / 116




= = = = =

MZI (FIF Tel-U)

k (u1 ; u2 )k

k( u1 ; u2 )k (perkalian skalar suatu vektor) q q q 2 2 2 u2 + 2 u2 = 2 (u2 + u2 ) ( u1 ) + ( u2 ) = 1 2 1 2 q p 2 u21 + u22 j j k~uk , karena norm selalu tak negatif (Q.E.D). Ruang Vektor R2 dan R3

September 2015

50 / 116

Vektor Satuan (Unit Vector) De…nisi Suatu vektor ~u di R2 atau R3 dikatakan sebagai vektor satuan (unit vector ) bila k~uk = 1.

Contoh Vektor-vektor basis standar ^{, |^, dan k^ di R3 adalah vektor satuan karena


Contoh Vektor-vektor basis standar ^{, |^, dan k^ di R3 adalah vektor satuan karena k^{k = k(1; 0; 0)k = 1, k^ |k = k(0; 1; 0)k = 1, Vektor ~u = karena

p1 ; 0; p1 2 2

dan ~v =

p1 ; 3

p1 ; p1 3 3

k^ = k(0; 0; 1)k = 1.

juga merupakan vektor satuan


Contoh Vektor-vektor basis standar ^{, |^, dan k^ di R3 adalah vektor satuan karena k^{k = k(1; 0; 0)k = 1, k^ |k = k(0; 1; 0)k = 1, Vektor ~u = karena

p1 ; 0; p1 2 2

k~uk =

dan ~v =

1 1 p ; 0; p 2 2

p1 ; 3

p1 ; p1 3 3

= 1, k~v k =

k^ = k(0; 0; 1)k = 1.

juga merupakan vektor satuan 1 p ; 3

1 1 p ;p 3 3

= 1.

Catatan Secara umum, suatu vektor ~u di Rn dikatakan sebagai vektor satuan bila k~uk = 1.


Mengkonstruksi Suatu Vektor Satuan

Permasalahan Diberikan suatu vektor ~u = (u1 ; u2 ; u3 ) yang tidak nol. Berikan semua vektor satuan yang sejajar dengan ~u.

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

52 / 116



Permasalahan Diberikan suatu vektor ~u = (u1 ; u2 ; u3 ) yang tidak nol. Berikan semua vektor satuan yang sejajar dengan ~u. Pilih vektor ~v =

MZI (FIF Tel-U)

1 u. k~ uk ~


September 2015

52 / 116




1 u. k~ uk ~

k~v k

MZI (FIF Tel-U)

Karena ~u tak nol, maka k~uk = 6 0. Perhatikan bahwa =


September 2015

52 / 116




1 u. k~ uk ~

k~v k

MZI (FIF Tel-U)


1 ~u = k~uk


September 2015

52 / 116




1 u. k~ uk ~

k~v k


1 1 ~u = k~uk (sifat norm) k~uk k~uk

=

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

52 / 116




1 u. k~ uk ~

k~v k

Karena ~u tak nol, maka k~uk = 6 0. Perhatikan bahwa = =

1 1 ~u = k~uk (sifat norm) k~uk k~uk 1 k~uk = 1. k~uk

Jadi k~v k adalah suatu vektor satuan. Karena ~v adalah kelipatan skalar dari ~u, maka ~v adalah vektor satuan yang sejajar dengan ~u.

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

52 / 116


Diberikan sebuah vektor tak nol ~u = (u1 ; u2 ; u3 ) yang tidak nol. Semua vektor ~v =

1 ~u k~uk

merupakan vektor satuan yang sejajar dengan ~u. Lebih jauh, kita memiliki 1

vektor

2

vektor

1 k~ uk 1 k~ uk

k~uk sejajar dan searah dengan ~u, k~uk sejajar dan berlawanan arah dengan ~u.

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

53 / 116


Latihan 1: Mengkonstruksi Vektor Satuan

Latihan 1 2

3 4

Berikan vektor satuan yang sejajar dan searah dengan ~u = (3; 4) di R2 . Berikan vektor satuan yang sejajar dan berlawanan arah dengan ~v = ( 6; 8) di R2 . Berikan vektor satuan yang sejajar dan searah dengan ~a = ( 1; 2; 2) di R3 . Berikan vektor satuan yang sejajar dan berlawanan arah dengan ~b = ( 2; 1; 2) di R3 .

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

54 / 116


Solusi:

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

55 / 116


Solusi: 1

p Kita memiliki k~uk = 32 + 42 = 5. Vektor satuan yang sejajar dan searah dengan ~u adalah k~u1 k ~u = 15 (3; 4) = 35 ; 45 .

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

55 / 116


Solusi: 1

2

p Kita memiliki k~uk = 32 + 42 = 5. Vektor satuan yang sejajar dan searah dengan ~u adalah k~u1 k ~u = 15 (3; 4) = 35 ; 45 . q 2 Kita memiliki k~v k = ( 6) + 82 = 10. Vektor satuan yang sejajar dan berlawanan arah dengan ~v adalah k~v1k ~v = 101 ( 6; 8) = 35 ; 54 .

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

55 / 116


Solusi: 1

2

3

p Kita memiliki k~uk = 32 + 42 = 5. Vektor satuan yang sejajar dan searah dengan ~u adalah k~u1 k ~u = 15 (3; 4) = 35 ; 45 . q 2 Kita memiliki k~v k = ( 6) + 82 = 10. Vektor satuan yang sejajar dan berlawanan arah dengan ~v adalah k~v1k ~v = 101 ( 6; 8) = 35 ; 54 . q 2 2 Kita memiliki k~ak = ( 1) + 22 + ( 2) = 3. Vektor satuan yang sejajar 1 2 2 dan searah dengan ~a adalah k~a1k ~a = 13 ( 1; 2; 2) = 3; 3; 3 .

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

55 / 116


Solusi: 1

2

3

4

p Kita memiliki k~uk = 32 + 42 = 5. Vektor satuan yang sejajar dan searah dengan ~u adalah k~u1 k ~u = 15 (3; 4) = 35 ; 45 . q 2 Kita memiliki k~v k = ( 6) + 82 = 10. Vektor satuan yang sejajar dan berlawanan arah dengan ~v adalah k~v1k ~v = 101 ( 6; 8) = 35 ; 54 . q 2 2 Kita memiliki k~ak = ( 1) + 22 + ( 2) = 3. Vektor satuan yang sejajar 1 2 2 dan searah dengan ~a adalah k~a1k ~a = 13 ( 1; 2; 2) = 3; 3; 3 . q 2 Kita memiliki ~b = ( 2) + 12 + 22 = 3. Vektor satuan yang sejajar dan berlawanan arah dengan ~b adalah ~b1 ~b = 31 ( 2; 1; 2) = 23 ; 31 ; 32 . kk

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

55 / 116


Bahasan 1


2


3


4


5


6


7


8

Proyeksi Ortogonal

9


10


11



September 2015

56 / 116


Hasil Kali Titik (Dot Product) di R2 dan R3 Diberikan dua vektor tak nol u dan v di R2 atau R3 . Ketika titik pangkal dari u dan v dibuat saling bertumpuan, kita dapat menentukan sudut antara u dan v.

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

57 / 116


Diberikan dua vektor tak nol u dan v di R2 atau R3 . Jika antara u dan v maka kita senantiasa memiliki 0 .

MZI (FIF Tel-U)


adalah sudut terkecil

September 2015

58 / 116


Diberikan dua vektor tak nol u dan v di R2 atau R3 . Jika antara u dan v maka kita senantiasa memiliki 0 .

MZI (FIF Tel-U)


adalah sudut terkecil

September 2015

58 / 116


Hasil Kali Titik Dua Vektor: De…nisi 1

Di pelajaran Fisika sekolah menengah, Anda sudah mengenal de…nisi berikut.

De…nisi (Hasil Kali Titik) adalah Diberikan dua vektor u dan v di R2 atau R3 , jika dengan 0 sudut antara u dan v, maka hasil kali titik (dot product) antara u dan v, ditulis dengan u v, dide…nisikan sebagai u v=

MZI (FIF Tel-U)

0, kuk kvk cos ,

jika u = 0 atau v = 0 lainnya.


September 2015

59 / 116


Hasil Kali Titik Dua Vektor: De…nisi 2

Teorema Diberikan dua vektor tak nol u dan v di R2 atau R3 , jika adalah sudut antara u dan v, maka u v

= kuk kvk cos u1 v1 + u2 v2 , = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 ,

dengan 0

jika u; v 2 R2 jika u; v 2 R3

Untuk 1 i 3, ui adalah komponen ke-i dari vektor u dan vi adalah komponen ke-i dari vektor v.

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

60 / 116


Untuk membuktikan teorema tersebut, terlebih dulu tinjau gambar berikut.

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

61 / 116


Bukti Kita akan membuktikan teorema untuk vektor di R2 . Bukti untuk vektor di R3 dapat diperoleh secara serupa. Berdasarkan rumus cosinus, ku

vk

2

MZI (FIF Tel-U)

=


September 2015

62 / 116



vk

2

kuk kvk cos

MZI (FIF Tel-U)

=

2

kuk + kvk

2

2 kuk kvk cos , jadi

=


September 2015

62 / 116



vk

2

kuk kvk cos

= =

2

2

kuk + kvk 2 kuk kvk cos , jadi 1 2 2 2 kuk + kvk ku vk . 2

=

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

62 / 116



vk

2

kuk kvk cos

= = =

Tinjau bahwa (u1

MZI (FIF Tel-U)

2

2

kuk + kvk 2 kuk kvk cos , jadi 1 2 2 2 kuk + kvk ku vk . 2 1 2 2 u + u22 + v12 + v22 (u1 v1 ) + (u2 2 1 2

v1 ) + (u2

2

v2 )

.

2

v2 ) =


September 2015

62 / 116



vk

2

kuk kvk cos

= = =

Tinjau bahwa (u1 Akibatnya

2

2

v1 ) + (u2

kuk kvk cos

MZI (FIF Tel-U)

2


v2 ) = u21 + u22 + v12 + v22

2

v2 )

2u1 v1

.

2u2 v2 .

=


September 2015

62 / 116



vk

2

kuk kvk cos

= = =


2

2


v1 ) + (u2

kuk kvk cos

2

v2 ) = u21 + u22 + v12 + v22

=

2

v2 )

2u1 v1

.

2u2 v2 .

1 (2u1 v1 + 2u2 v2 ) 2

=

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

62 / 116



vk

2

kuk kvk cos

= = =


2

2

v1 ) + (u2

kuk kvk cos

MZI (FIF Tel-U)

2


v2 ) = u21 + u22 + v12 + v22

2

v2 )

2u1 v1

.

2u2 v2 .

1 (2u1 v1 + 2u2 v2 ) 2 = u1 v1 + u2 v2 (Q.E.D). =


September 2015

62 / 116


Dua De…nisi Hasil Kali Titik De…nisi (De…nisi hasil kali titik 1) Diberikan dua vektor u dan v di R2 atau R3 , jika dengan 0 adalah sudut antara u dan v, maka hasil kali titik (dot product) antara u dan v, ditulis dengan u v, dide…nisikan sebagai 0, kuk kvk cos ,

u v=

jika u = 0 atau v = 0 lainnya.

De…nisi (De…nisi hasil kali titik 2) Diberikan dua vektor u dan v di R2 atau R3 . Jika ui dan vi menyatakan komponen ke-i dari masing-masing vektor tersebut, maka u v

=

u v

=

u1 v1 + u2 v2 (jika u; v 2 R2 )

u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 (jika u; v 2 R3 )

De…nisi kedua selanjutnya juga akan kita gunakan untuk memperumum de…nisi hasil kali titik di Rn untuk n 4. MZI (FIF Tel-U)


September 2015

63 / 116


Sudut dan Hasil Kali Titik Dua Vektor Berdasarkan rumus hasil kali titik, untuk dua vektor u dan v pada ruang yang sama dan adalah sudut antara keduanya, kita memiliki u v = kuk kvk cos . Perhatikan bahwa maka

1 cos 1. Karena kuk dan kvk senantiasa tak negatif, 8 < < 0, jika cos < 0 atau sudut tumpul = 0, jika u tegak lurus dengan v u v : > 0, jika cos > 0 atau sudut lancip.

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

64 / 116


Dua Vektor yang Saling Ortogonal De…nisi Dua vektor u dan v pada ruang yang sama dikatakan ortogonal apabila u v = 0.

Teorema Vektor 0 senantiasa ortogonal dengan sembarang vektor di ruang yang sama.

Bukti

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

65 / 116




Bukti Bukti untuk kasus di R3 ditinggalkan kepada pembaca sebagai latihan. Bukti untuk kasus di R2 dijelaskan berikut. Jika 0 = (0; 0) dan u = (u1 ; u2 ) 2 R2 , maka 0 u =

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

65 / 116




Bukti Bukti untuk kasus di R3 ditinggalkan kepada pembaca sebagai latihan. Bukti untuk kasus di R2 dijelaskan berikut. Jika 0 = (0; 0) dan u = (u1 ; u2 ) 2 R2 , maka 0 u =

(0; 0) (u1 ; u2 )

=

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

65 / 116




Bukti Bukti untuk kasus di R3 ditinggalkan kepada pembaca sebagai latihan. Bukti untuk kasus di R2 dijelaskan berikut. Jika 0 = (0; 0) dan u = (u1 ; u2 ) 2 R2 , maka 0 u = =

(0; 0) (u1 ; u2 ) 0u1 + 0u2 = 0 (Q.E.D).

Diberikan dua vektor u dan v pada ruang yang sama, notasi u?v menyatakan bahwa u dan v saling ortogonal. MZI (FIF Tel-U)


September 2015

65 / 116


Catatan Secara geometris, dua vektor u dan v di R2 atau R3 yang keduanya tak nol bersifat ortogonal bila u tegak lurus dengan v.

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

66 / 116


Norm Euclid dan Hasil Kali Titik Apakah keterkaitan antara norm dan hasil kali titik?

Diberikan suatu vektor u = (u1 ; u2 ) 2 R2 , kita memiliki u u = kuk kuk cos . Karena sudut antara u dengan dirinya sendiri adalah

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

67 / 116



Diberikan suatu vektor u = (u1 ; u2 ) 2 R2 , kita memiliki u u = kuk kuk cos . Karena sudut antara u dengan dirinya sendiri adalah 0, maka = 0, sehingga cos ( ) =

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

67 / 116



Diberikan suatu vektor u = (u1 ; u2 ) 2 R2 , kita memiliki u u = kuk kuk cos . Karena sudut antara u dengan dirinya sendiri adalah 0, maka = 0, sehingga 2 cos ( ) = 1. Akibatnya u u = kuk . Jadi kuk =

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

67 / 116



Diberikan suatu vektor u = (u1 ; u2 ) 2 R2 , kita memiliki u u = kuk kuk cos . Karena sudut antara u dengan dirinya sendiri adalah p 0, maka = 0, sehingga 2 cos ( ) = 1. Akibatnya u u = kuk . Jadi kuk = u u.

Teorema Jika u adalah sebuah vektor di R2 atau R3 , maka kuk = MZI (FIF Tel-U)


p

u u. September 2015

67 / 116


Ketaksamaan Cauchy-Schwarz

Teorema (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz) Diberikan dua vektor ~u dan ~v yang keduanya ada di R2 atau R3 , maka j~u ~v j

k~uk k~v k .

Bukti Perhatikan bahwa j~u ~v j = =

MZI (FIF Tel-U)

jk~uk k~v k cos j


September 2015

68 / 116




k~uk k~v k .


MZI (FIF Tel-U)

jk~uk k~v k cos j

k~uk k~v k jcos j , karena k~uk ; k~v k


0

September 2015

68 / 116




k~uk k~v k .


jk~uk k~v k cos j

k~uk k~v k jcos j , karena k~uk ; k~v k k~uk k~v k , karena jcos j

MZI (FIF Tel-U)


0

1. (Q.E.D)

September 2015

68 / 116


Beberapa Sifat Hasil Kali Titik

Teorema Jika u; v; w adalah tiga vektor yang berada pada ruang yang sama dan maka

MZI (FIF Tel-U)


2 R,

September 2015

69 / 116



Teorema Jika u; v; w adalah tiga vektor yang berada pada ruang yang sama dan maka 1

2 R,

u v=v u

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

69 / 116




u v=v u

2

u (v + w) = u v + u w

MZI (FIF Tel-U)


2 R,

September 2015

69 / 116




u v=v u

2

u (v + w) = u v + u w

3

2 R,

(u v) = ( u) v = u ( v)

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

69 / 116




u v=v u

2

u (v + w) = u v + u w

3 4

2 R,

(u v) = ( u) v = u ( v) v v > 0 jika v 6= 0, dan v v = 0 jika dan hanya hanya jika v = 0.

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

69 / 116


Bukti Bukti untuk sifat nomor 1–3 cukup mudah dan diserahkan kepada pembaca sebagai latihan. Untuk sifat nomor 4 kita akan membuktikan untuk vektor di R2 saja. Bukti untuk vektor di R3 dapat diperoleh secara analog. Misalkan v = (v1 ; v2 ), maka v v

=

(v1 ; v2 ) (v1 ; v2 ) = v12 + v22 0 berdasarkan sifat bilangan real = 0, jika v1 = v2 = 0. v12 + v22 > 0, lainnya

Jadi v v > 0 jika v 6= 0 dan v v = 0 jika dan hanya jika v = 0. (Q.E.D)

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

70 / 116


Latihan 2: Hasil Kali Titik Latihan 1

Jika panjang vektor ~u adalah dua kali panjang vektor ~v , panjang vektor ~v adalah 10 satuan, serta ~u dan ~v membentuk sudut 45 , tentukan nilai dari ~u ~v .

2

Tentukan besar sudut terkecil antara vektor ~u = (0; 0; 1) dan ~v = (0; 2; 2).

3


Solusi:

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

71 / 116




2


3


Solusi: 1

Kita memiliki k~uk = 2 k~v k, sehingga k~uk = 20 dan k~v k = 10. Akibatnya

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

71 / 116




2


3


Solusi: 1

Kita memiliki k~uk = 2 k~v k, sehingga k~uk = 20 dan k~v k = 10. Akibatnya ~u ~v = k~uk k~v k cos (45 ) = (20) (10)

MZI (FIF Tel-U)


1p 2 2

p = 100 2.

September 2015

71 / 116

2

Kita memiliki ~u ~v = (0) (0) + (0) (2) + (1) (2) = 2, k~uk = 1, dan p k~v k = 2 2. Misalkan sudut terkecil antara ~u dan ~v , karena ~u ~v

= k~uk k~v k cos , maka

cos

=

2

Kita memiliki ~u ~v = (0) (0) + (0) (2) + (1) (2) = 2, k~uk = 1, dan p k~v k = 2 2. Misalkan sudut terkecil antara ~u dan ~v , karena ~u ~v cos

= k~uk k~v k cos , maka 1p ~u ~v 2 = 2 = p = k~uk k~v k 2 2 2 =

2


= k~uk k~v k cos , maka 1p ~u ~v 2 = 2 = p = k~uk k~v k 2 2 2 1p = arccos 2 = 45 . 2

2


3


Kita memiliki ~u ~v = (2) (1) + ( 1) (1) + (1) (2) = 3, k~uk = p k~v k = 6. Misalkan sudut terkecil antara ~u dan ~v , karena ~u ~v


cos

=

p

6, dan

2


3


Kita memiliki ~u ~v = (2) (1) + ( 1) (1) + (1) (2) = 3, k~uk = p k~v k = 6. Misalkan sudut terkecil antara ~u dan ~v , karena ~u ~v cos

= k~uk k~v k cos , maka ~u ~v 3 1 = p 2 = = k~uk k~v k 2 6 =

p

6, dan

2


3


Kita memiliki ~u ~v = (2) (1) + ( 1) (1) + (1) (2) = 3, k~uk = p k~v k = 6. Misalkan sudut terkecil antara ~u dan ~v , karena ~u ~v cos

= k~uk k~v k cos , maka ~u ~v 3 1 = p 2 = = k~uk k~v k 2 6 =

arccos

1 2

= 60 .

p

6, dan

Proyeksi Ortogonal

Bahasan 1


2


3


4


5


6


7


8

Proyeksi Ortogonal

9


10


11



September 2015

73 / 116

Proyeksi Ortogonal

Proyeksi Ortogonal pada Sumbu Koordinat Pada pelajaran Fisika di sekolah, Anda sudah diperkenalkan dengan proyeksi dari suatu vektor pada sumbu koordinat.

Pada ilustrasi di atas, kita memiliki v = vx + vy . MZI (FIF Tel-U)


September 2015

74 / 116

Proyeksi Ortogonal

Proyeksi Ortogonal

Pada kuliah ini kita akan mempelajari proyeksi ortogonal dari suatu vektor pada sembarang vektor tak nol.

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

75 / 116

Proyeksi Ortogonal


Pada gambar di atas u1 dikatakan sebagai proyeksi ortogonal dari u pada b. Kita akan mencari keterkaitan antara u1 dan b.

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

76 / 116

Proyeksi Ortogonal


Pada gambar di atas u1 dikatakan sebagai proyeksi ortogonal dari u pada b. Kita akan mencari keterkaitan antara u1 dan b. Tinjau bahwa u1 + u2 = u, akibatnya u1 =

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

76 / 116

Proyeksi Ortogonal


Pada gambar di atas u1 dikatakan sebagai proyeksi ortogonal dari u pada b. Kita akan mencari keterkaitan antara u1 dan b. Tinjau bahwa u1 + u2 = u, akibatnya u1 = u u2 . Karena u1 sejajar dengan b, maka u1 =

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

76 / 116

Proyeksi Ortogonal


Pada gambar di atas u1 dikatakan sebagai proyeksi ortogonal dari u pada b. Kita akan mencari keterkaitan antara u1 dan b. Tinjau bahwa u1 + u2 = u, akibatnya u1 = u u2 . Karena u1 sejajar dengan b, maka u1 = kb, untuk suatu k 2 R. Perhatikan bahwa u b =

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

76 / 116

Proyeksi Ortogonal



MZI (FIF Tel-U)

(u1 + u2 ) b =


September 2015

76 / 116

Proyeksi Ortogonal



(u1 + u2 ) b = u1 b + u2 b

=

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

76 / 116

Proyeksi Ortogonal


Pada gambar di atas u1 dikatakan sebagai proyeksi ortogonal dari u pada b. Kita akan mencari keterkaitan antara u1 dan b. Tinjau bahwa u1 + u2 = u, akibatnya u1 = u u2 . Karena u1 sejajar dengan b, maka u1 = kb, untuk suatu k 2 R. Perhatikan bahwa u b = = =

MZI (FIF Tel-U)

(u1 + u2 ) b = u1 b + u2 b kb b + 0 (karena u1 = kb dan u2 ?b)


September 2015

76 / 116

Proyeksi Ortogonal


Pada gambar di atas u1 dikatakan sebagai proyeksi ortogonal dari u pada b. Kita akan mencari keterkaitan antara u1 dan b. Tinjau bahwa u1 + u2 = u, akibatnya u1 = u u2 . Karena u1 sejajar dengan b, maka u1 = kb, untuk suatu k 2 R. Perhatikan bahwa u b = = = k MZI (FIF Tel-U)

(u1 + u2 ) b = u1 b + u2 b kb b + 0 (karena u1 = kb dan u2 ?b) 2

2

k kbk (karena b b = kbk )

= Ruang Vektor R2 dan R3

September 2015

76 / 116

Proyeksi Ortogonal


Pada gambar di atas u1 dikatakan sebagai proyeksi ortogonal dari u pada b. Kita akan mencari keterkaitan antara u1 dan b. Tinjau bahwa u1 + u2 = u, akibatnya u1 = u u2 . Karena u1 sejajar dengan b, maka u1 = kb, untuk suatu k 2 R. Perhatikan bahwa u b = = = k MZI (FIF Tel-U)

=

(u1 + u2 ) b = u1 b + u2 b kb b + 0 (karena u1 = kb dan u2 ?b) 2

2

k kbk (karena b b = kbk ) u b 2. kbk Ruang Vektor R2 dan R3

September 2015

76 / 116

Proyeksi Ortogonal

Oleh karenanya kita memiliki u1 =

u b kbk

2

!

b

Vektor u1 juga akan kita tuliskan sebagai projb u yang berarti proyeksi dari vektor u sepanjang vektor b.

Proyeksi Ortogonal Diberikan sebuah vektor u dan vektor tak nol b pada ruang yang sama. Proyeksi ortogonal dari u sepanjang b (atau proyeksi ortogonal dari u pada b), ditulis dengan projb u, dide…nisikan sebagai ! u b projb u = b. 2 kbk

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

77 / 116

Proyeksi Ortogonal

Kita juga dapat memperoleh projb u dengan cara lain. Dari gambar, kita mengetahui bahwa

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

78 / 116

Proyeksi Ortogonal

Kita juga dapat memperoleh projb u dengan cara lain. Dari gambar, kita mengetahui bahwa ku1 k = kuk cos , dengan

adalah sudut antara u dan b (atau u dan u1 ). Tinjau bahwa

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

78 / 116

Proyeksi Ortogonal


adalah sudut antara u dan b (atau u dan u1 ). Tinjau bahwa u b

MZI (FIF Tel-U)

=


September 2015

78 / 116

Proyeksi Ortogonal



=

cos

=

MZI (FIF Tel-U)

kuk kbk cos


September 2015

78 / 116

Proyeksi Ortogonal



=

cos

=

ku1 k

=

MZI (FIF Tel-U)

kuk kbk cos u b , karena ku1 k = kuk cos , maka kuk kbk


September 2015

78 / 116

Proyeksi Ortogonal



=

cos

=

ku1 k

=

kuk kbk cos u b , karena ku1 k = kuk cos , maka kuk kbk u b u b kuk = . kuk kbk kbk

Karena u1 = kb, maka ku1 k = jkj kbk, jadi jkj =

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

78 / 116

Proyeksi Ortogonal



=

cos

=

ku1 k

=


Karena u1 = kb, maka ku1 k = jkj kbk, jadi jkj = ku1 k = kbk. Akibatnya diperoleh u1 =

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

78 / 116

Proyeksi Ortogonal



=

cos

=

ku1 k

=


Karena u1 = kb, maka ku1 k = jkj kbk, jadi jkj = ku1 k = kbk. Akibatnya diperoleh u1 = kb =

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

78 / 116

Proyeksi Ortogonal



=

cos

=

ku1 k

=


Karena u1 = kb, maka ku1 k = jkj kbk, jadi jkj = ku1 k = kbk. Akibatnya diperoleh ku1 k b= u1 = kb = kbk

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

78 / 116

Proyeksi Ortogonal



=

cos

=

ku1 k

=


Karena u1 = kb, maka ku1 k = jkj kbk, jadi jkj = ku1 k = kbk. Akibatnya diperoleh ku1 k u b b= u1 = kb = 2 b. kbk kbk

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

78 / 116

Proyeksi Ortogonal

Contoh Kita akan menentukan proyeksi ortogonal dari ~u = ( 2; 4; 3) terhadap ~v = (1; 3; 4). Kita memiliki

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

79 / 116

Proyeksi Ortogonal

Contoh Kita akan menentukan proyeksi ortogonal dari ~u = ( 2; 4; 3) terhadap ~v = (1; 3; 4). Kita memiliki proj~v ~u = ~v , dengan

=

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

79 / 116

Proyeksi Ortogonal


=

~ u~ v , k~ v k2

jadi

proj~v ~u =

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

79 / 116

Proyeksi Ortogonal


=

~ u~ v , k~ v k2

jadi

proj~v ~u =

MZI (FIF Tel-U)

~u ~v 2

k~v k

!

~v =


September 2015

79 / 116

Proyeksi Ortogonal


=

~ u~ v , k~ v k2

jadi

proj~v ~u = =

=

MZI (FIF Tel-U)

~u ~v 2

k~v k q

!

2

~v = 12

( 2; 4; 3) (1; 3; 4) k(1; 3; 4)k

12

2

12

+

32

+ ( 4)

(1; 3; 4)

(1; 3; 4)

2

26 (1; 3; 4) = 26


September 2015

79 / 116

Proyeksi Ortogonal


=

~ u~ v , k~ v k2

jadi

proj~v ~u = =

=

MZI (FIF Tel-U)

~u ~v 2

k~v k q

!

2

~v = 12

( 2; 4; 3) (1; 3; 4) k(1; 3; 4)k

12

2

12

+

32

+ ( 4)

(1; 3; 4)

(1; 3; 4)

2

26 (1; 3; 4) = ( 1; 3; 4) . 26


September 2015

79 / 116

Proyeksi Ortogonal

Latihan 3: Proyeksi Ortogonal

Latihan 1

Misalkan ~u = ( 1; 1) dan ~v = (0; 1). Tentukan 1 2

2

Proyeksi ortogonal dari ~ u terhadap ~v . Proyeksi ortogonal dari ~v terhadap ~ u.

Misalkan ~a = (1; 1; 1) dan ~b = (0; 2; 2). Tentukan 1 2

Proyeksi ortogonal dari ~a terhadap ~b: Proyeksi ortogonal dari ~b terhadap ~a.

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

80 / 116

Proyeksi Ortogonal

Solusi: 1

Kita memiliki

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

81 / 116

Proyeksi Ortogonal

Solusi: 1

Kita memiliki 1

proyeksi ortogonal dari ~ u terhadap ~v adalah ( 1;1) (0;1) u ~ ~ v ~ v = (0; 1) = 11 (0; 1) = (0; 1), proj~v ~ u = k~ 2 vk k(0;1)k2

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

81 / 116

Proyeksi Ortogonal

Solusi: 1

Kita memiliki 1

2

2

proyeksi ortogonal dari ~ u terhadap ~v adalah ( 1;1) (0;1) u ~ ~ v ~ v = (0; 1) = 11 (0; 1) = (0; 1), proj~v ~ u = k~ 2 vk k(0;1)k2 proyeksi ortogonal dai ~v terhadap ~ u adalah (0;1) ( 1;1) 1 ~ v u ~ ~ u = ; proju~ ~v = k~ ( 1; 1) = 12 ( 1; 1) = 2 uk 2 k( 1;1)k

1 2

.

Kita memiliki

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

81 / 116

Proyeksi Ortogonal

Solusi: 1

Kita memiliki 1

2

2


1 2

.

Kita memiliki 1

proyeksi ortogonal dari ~a terhadap ~b adalah ~ (0;2;2) (0; 2; 2) = 84 (0; 2; 2) = (0; 1; 1). proj~b~a = ~a~ b2 ~b = (1;1;1) k0;2;2k2 k bk

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

81 / 116

Proyeksi Ortogonal

Solusi: 1

Kita memiliki 1

2

2


1 2

.

Kita memiliki 1

2

proyeksi ortogonal dari ~a terhadap ~b adalah ~ (0;2;2) (0; 2; 2) = 84 (0; 2; 2) = (0; 1; 1). proj~b~a = ~a~ b2 ~b = (1;1;1) k0;2;2k2 k bk proyeksi ortogonal dari ~b terhadap ~a adalah ~ (1;1;1) proj~a~b = k~bak~a2 ~a = (0;2;2) (1; 1; 1) = 34 (1; 1; 1) = 43 ; 43 ; 43 . k(1;1;1)k2

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

81 / 116


Bahasan 1


2


3


4


5


6


7


8

Proyeksi Ortogonal

9


10


11



September 2015

82 / 116


Hasil Kali Silang (Cross-Product) di R3 Di pelajaran Fisika sekolah menengah, kita sudah mengenal de…nisi hasil kali silang (cross product) berikut.

Hasil Kali Silang di R3 Diberikan dua vektor u = (u1 ; u2 ; u3 ) dan v = (v1 ; v2 ; v3 ) di R3 , hasil kali silang u v merupakan vektor yang diperoleh sebagai berikut u

v=

i u1 v1

j u2 v2

k u3 v3

.

Dari pengetahuan kita tentang menghitung determinan dengan kofaktor, kita memiliki u2 u3 u1 u3 u1 u2 u v= i j+ k. v2 v 3 v1 v3 v1 v2

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

83 / 116


Penyalahagunaan Notasi

Catatan i j k u1 u2 u3 merupakan suatu bentuk v1 v2 v3 penyalahgunaan notasi (abuse of notation) mengingat i, j, dan k ketiganya adalah vektor satuan. Kita tidak mengenal nilai determinan dari suatu matriks yang entrinya adalah vektor. Perlu diingat bahwa de…nisi u

MZI (FIF Tel-U)

v=


September 2015

84 / 116


De…nisi Hasil Kali Silang Agar tidak terjadi penyalahgunaan notasi, kita akan mende…nisikan hasil kali silang dari dua vektor sebagai berikut.

De…nisi Diberikan dua vektor u = (u1 ; u2 ; u3 ) dan v = (v1 ; v2 ; v3 ) di R3 . Hasil kali silang u v dide…nisikan sebagai vektor u

v=

u2 v2

u3 v3

u1 v1

;

u3 v3

;

u1 v1

u2 v2

Kita dapat mengingat de…nisi ini dengan membentuk matriks 2 u1 v1

u2 v2

Hasil kali silang u v tak lain adalah u1 u2 u3 u1 u2 u3 u1 ; ; v1 v2 v3 u1 u2 u3 u1 MZI (FIF Tel-U)

. 3 berikut

u3 v3 u2 u2


u3 u3

. September 2015

85 / 116


Latihan 4: Hasil Kali Silang Latihan 1

Carilah u

v dan v

u jika u = (1; 2; 2) dan v = (3; 0; 1).

2

Carilah u

v dan v

u jika u = (1; 4; 4) dan v = (0; 3; 2).

Solusi:

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

86 / 116



Carilah u

v dan v

u jika u = (1; 2; 2) dan v = (3; 0; 1).

2

Carilah u

v dan v

u jika u = (1; 4; 4) dan v = (0; 3; 2).

Solusi: 1

u

v=

2 0

2 ; 1

1 3

2 1 ; 1 3

2 0

= (2;

(7) ; 6) =

(2; 7; 6).

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

86 / 116



Carilah u

v dan v

u jika u = (1; 2; 2) dan v = (3; 0; 1).

2

Carilah u

v dan v

u jika u = (1; 4; 4) dan v = (0; 3; 2).

Solusi: 1

u

v=

2 0

1 3

0 2 ( 7) ; 6) = ( 2; 7; 6).

(2; 7; 6). v ( 2;

2 ; 1

MZI (FIF Tel-U)

u=

2 1 2 ; = (2; (7) ; 6) = 1 3 0 1 3 1 3 0 ; ; = 2 1 2 1 2


September 2015

86 / 116



Carilah u

v dan v

u jika u = (1; 2; 2) dan v = (3; 0; 1).

2

Carilah u

v dan v

u jika u = (1; 4; 4) dan v = (0; 3; 2).

Solusi: 1

u

v=

2 0

1 3

0 2 ( 2; ( 7) ; 6) = ( 2; 7; 6). 4 4 1 u v= ; 3 2 0

(2; 7; 6). v

2

2 ; 1 u=

2 1 2 ; = (2; (7) ; 6) = 1 3 0 1 3 1 3 0 ; ; = 2 1 2 1 2 4 1 ; 2 0

4 3

= (20;

(2) ; 3) =

(20; 2; 3).

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

86 / 116



Carilah u

v dan v

u jika u = (1; 2; 2) dan v = (3; 0; 1).

2

Carilah u

v dan v

u jika u = (1; 4; 4) dan v = (0; 3; 2).

Solusi: 1

u

v=

2 0

1 3

2 1 2 ; = (2; (7) ; 6) = 1 3 0 1 3 1 3 0 ; ; = 2 1 2 1 2

0 2 ( 2; ( 7) ; 6) = ( 2; 7; 6). 4 4 1 4 1 4 u v= ; ; = (20; (2) ; 3) = 3 2 0 2 0 3 3 2 0 2 0 3 ; ; = (20; 2; 3). v u = 4 4 1 4 1 4 ( 20; ( 2) ; 3) = ( 20; 2; 3).

(2; 7; 6). v

2

2 ; 1 u=

Dari dua soal di atas, kita menemukan bahwa u MZI (FIF Tel-U)


v=

(v

u). September 2015

86 / 116


Penting

Operasi Hasil Kali Silang Operasi hasil kali silang (cross product) merupakan operasi yang melibatkan dua vektor dan menghasilkan sebuah vektor. Dengan perkataan lain, operasi ini memiliki input dua buah vektor (boleh sama) dan memberikan output sebuah vektor. Perlu diingat bahwa hasil kali silang hanya dide…nisikan di ruang vektor R3 saja. Kita tidak memiliki de…nisi hasil kali silang untuk dua vektor di ruang Rn untuk n selain 3.

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

87 / 116


Hasil Kali Silang Vektor Basis Standar

Diberikan tiga vektor basis standar di R3 , yaitu i = (1; 0; 0), j = (0; 1; 0), dan k = (0; 0; 1). Kita akan meninjau nilai dari i j, j k, dan hasil kali silang lain yang melibatkan vektor-vektor basis standar. Tinjau bahwa i

j=

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

88 / 116



Diberikan tiga vektor basis standar di R3 , yaitu i = (1; 0; 0), j = (0; 1; 0), dan k = (0; 0; 1). Kita akan meninjau nilai dari i j, j k, dan hasil kali silang lain yang melibatkan vektor-vektor basis standar. Tinjau bahwa 0 0 1 0 1 0 ; ; i j= = 1 0 0 0 0 1

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

88 / 116



Diberikan tiga vektor basis standar di R3 , yaitu i = (1; 0; 0), j = (0; 1; 0), dan k = (0; 0; 1). Kita akan meninjau nilai dari i j, j k, dan hasil kali silang lain yang melibatkan vektor-vektor basis standar. Tinjau bahwa 0 0 1 0 1 0 ; ; i j= = (0; 0; 1) = 1 0 0 0 0 1

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

88 / 116



Diberikan tiga vektor basis standar di R3 , yaitu i = (1; 0; 0), j = (0; 1; 0), dan k = (0; 0; 1). Kita akan meninjau nilai dari i j, j k, dan hasil kali silang lain yang melibatkan vektor-vektor basis standar. Tinjau bahwa 0 0 1 0 1 0 ; ; i j= = (0; 0; 1) = k. 1 0 0 0 0 1 j

k=

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

88 / 116



Diberikan tiga vektor basis standar di R3 , yaitu i = (1; 0; 0), j = (0; 1; 0), dan k = (0; 0; 1). Kita akan meninjau nilai dari i j, j k, dan hasil kali silang lain yang melibatkan vektor-vektor basis standar. Tinjau bahwa 0 0 1 0 1 0 ; ; i j= = (0; 0; 1) = k. 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 ; ; = j k= 0 1 0 1 0 0

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

88 / 116



Diberikan tiga vektor basis standar di R3 , yaitu i = (1; 0; 0), j = (0; 1; 0), dan k = (0; 0; 1). Kita akan meninjau nilai dari i j, j k, dan hasil kali silang lain yang melibatkan vektor-vektor basis standar. Tinjau bahwa 0 0 1 0 1 0 ; ; i j= = (0; 0; 1) = k. 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 ; ; = (1; 0; 0) = j k= 0 1 0 1 0 0

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

88 / 116



Diberikan tiga vektor basis standar di R3 , yaitu i = (1; 0; 0), j = (0; 1; 0), dan k = (0; 0; 1). Kita akan meninjau nilai dari i j, j k, dan hasil kali silang lain yang melibatkan vektor-vektor basis standar. Tinjau bahwa 0 0 1 0 1 0 ; ; i j= = (0; 0; 1) = k. 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 ; ; = (1; 0; 0) = i. j k= 0 1 0 1 0 0 i

i=

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

88 / 116



Diberikan tiga vektor basis standar di R3 , yaitu i = (1; 0; 0), j = (0; 1; 0), dan k = (0; 0; 1). Kita akan meninjau nilai dari i j, j k, dan hasil kali silang lain yang melibatkan vektor-vektor basis standar. Tinjau bahwa 0 0 1 0 1 0 ; ; i j= = (0; 0; 1) = k. 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 ; ; = (1; 0; 0) = i. j k= 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 ; ; = i i= 0 0 1 0 0 0

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

88 / 116



Diberikan tiga vektor basis standar di R3 , yaitu i = (1; 0; 0), j = (0; 1; 0), dan k = (0; 0; 1). Kita akan meninjau nilai dari i j, j k, dan hasil kali silang lain yang melibatkan vektor-vektor basis standar. Tinjau bahwa 0 0 1 0 1 0 ; ; i j= = (0; 0; 1) = k. 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 ; ; = (1; 0; 0) = i. j k= 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 ; ; = (0; 0; 0) = 0. i i= 0 0 1 0 0 0 Secara serupa, kita juga dapat dengan mudah membuktikan bahwa j j = 0 dan k k = 0.

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

88 / 116


Di pelajaran Fisika sekolah menengah, Anda sudah mengetahui bahwa hasil kali silang vektor-vektor basis standar dapat diingat dengan diagram berikut

Dari diagram di atas, kita dapat dengan mudah mengetahui bahwa:

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

89 / 116


Di pelajaran Fisika sekolah menengah, Anda sudah mengetahui bahwa hasil kali silang vektor-vektor basis standar dapat diingat dengan diagram berikut

Dari diagram di atas, kita dapat dengan mudah mengetahui bahwa: j = k dan j

i=

k

j

k = i dan k

j=

i

i

k=

i

MZI (FIF Tel-U)

j dan k


i=j

September 2015

89 / 116


Hasil Kali Skalar Tripel

De…nisi (Hasil Kali Skalar Tripel) Diberikan tiga vektor di R3 berikut: u = (u1 ; u2 ; u3 ), v = (v1 ; v2 ; v3 ), dan w = (w1 ; w2 ; w3 ). Hasil kali skalar tripel dinotasikan dengan u (v w).

Teorema Jika u = (u1 ; u2 ; u3 ), v = (v1 ; v2 ; v3 ), dan w = (w1 ; w2 ; w3 ), maka 2 3 u1 u2 u3 u (v w) = det 4 v1 v2 v3 5 . w1 w2 w3

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

90 / 116


Perhatikan bahwa u (v

w)

=

(u1 ; u2 ; u3 )

v2 w2

v3 w3

;

v1 w1

v3 w3

;

v1 w1

v2 w2

=

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

91 / 116



w)

=

(u1 ; u2 ; u3 )

=

u1

v2 w2

v3 w3

v2 w2

v3 w3

+ ( 1) u2

; v1 w1

v1 w1

v3 w3

;

v1 w1

v2 w2

v3 w3

+ u3

v1 w1

v2 w2

=

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

91 / 116



w)

=

(u1 ; u2 ; u3 )

=

u1

=

MZI (FIF Tel-U)

v2 w2

v3 w3

;

v1 w1

v2 v3 v1 v3 + ( 1) u2 w2 w3 w1 w3 3 2 u1 u2 u3 det 4 v1 v2 v3 5 . (Q.E.D). w1 w2 w3


v3 w3

;

v1 w1

v2 w2

+ u3

v1 w1

v2 w2

September 2015

91 / 116


Aturan Tangan Kanan Di pelajaran Fisika sekolah menengah, Anda sudah mengenal aturan tangan kanan. Jika u dan v adalah dua vektor (yang tidak sejajar), maka “arah” dari u v selalu tegak lurus dengan u maupun v dan dapat ditentukan melalui aturan tangan kanan.

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

92 / 116


Keterkaitan Hasil Kali Silang dan Hasil Kali Titik Teorema Misalkan u = (u1 ; u2 ; u3 ), v = (v1 ; v2 ; v3 ), dan w = (w1 ; w2 ; w3 ) adalah tiga vektor di R3 , maka: 1

u (u v) = 0 dan v (u terhadap u v.

2

ku

3 4

u

(u

2

2

2

vk = kuk kvk

(v

v)

v) = 0. Ini berarti baik u maupun v ortogonal 2

(u v) (identitas Lagrange).

w) = (u w) v

(u v) w

w = (u w) v

(v w) u

Bukti dari sifat-sifat pada teorema di atas tidak sulit, Anda hanya butuh ketelitian dan kesabaran untuk membuktikannya. Di sini kita hanya akan membuktikan sifat pada nomor 1 dan ide untuk membuktikan sifat nomor 2. Sisanya dapat dikerjakan sebagai latihan.

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

93 / 116


Bukti (Bukti sifat nomor 1) Perhatikan bahwa u (u

v)

=

(u1 ; u2 ; u3 )

u2 v2

u3 v3

;

u1 v1

u3 v3

;

u2 v2

u3 v3

=

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

94 / 116



v)

=

(u1 ; u2 ; u3 )

= u1

u2 v2

u3 v3

u2 v2

u3 v3

+ ( 1) u2

; u1 v1

u1 v1

u3 v3

;

u2 v2

u3 v3

u3 v3

+ u3

u2 v2

u3 v3

=

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

94 / 116



v)

=

u2 v2

= u1 =

u2 v2

(u1 ; u2 ; u3 )

u1 u1 v1

u3 v3 u2 u2 v2

u3 v3

+ ( 1) u2 u3 u3 v3

; u1 v1

u1 v1

u3 v3

;

u2 v2

u3 v3

u3 v3

+ u3

u2 v2

u3 v3

= 0 (baris pertama dan kedua sama).

Dengan cara yang serupa, v (u v) = 0 (Anda dapat memperoleh matriks yang baris pertama dan ketiganya sama). (Q.E.D)

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

94 / 116


Bukti (Ide untuk nomor 2) Tinjau bahwa u ku

u2 v2

v= 2

vk = (u2 v3

u3 v3

; 2

u1 v1

u3 v2 ) + (u3 v1

u3 v3

u1 v1

;

u2 v2

. Akibatnya

2

u1 v3 ) + (u1 v2

2

u2 v1 ) .

(1)

Tinjau pula bahwa 2

2

kuk kvk

(u v)

2

=

u21 + u22 + u23

2

v12 + v22 + v32

(2)

2

(u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 ) . Bukti dapat diperoleh dengan menjabarkan bentuk (1) dan (2) serta memeriksa kesamaannya.

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

95 / 116


Norm dari Vektor Hasil Kali Silang 2

2

2

2

Identitas Langrange menyatakan bahwa ku vk = kuk kvk (u v) untuk setiap vektor di R3 . Karena u v = kuk kvk cos , dengan adalah sudut antara u dan v, maka ku

MZI (FIF Tel-U)

2

vk

=


September 2015

96 / 116



2

2

2


MZI (FIF Tel-U)

2

vk

= =

2

kuk kvk

2

2

2

kuk kvk cos2


September 2015

96 / 116



2

2

2


2

vk

= =

2

2

2

2

kuk kvk kuk kvk

2

1

2

kuk kvk cos2 cos2

=

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

96 / 116



2

2

2


2

vk

= = =

ku

MZI (FIF Tel-U)

vk

=

kuk kvk

2

2

2

2

2

2

kuk kvk

2

1

2

kuk kvk cos2 cos2

kuk kvk sin2


September 2015

96 / 116



2

2

2


2

vk

= = =

ku

vk

=

kuk kvk

2

2

2

2

2

2

kuk kvk

2

1

2

kuk kvk cos2 cos2

kuk kvk sin2 kuk kvk sin

mengingat sin

0 untuk 0

Jadi kita memiliki ku

MZI (FIF Tel-U)

vk = kuk kvk sin .


September 2015

96 / 116


Sifat-sifat Hasil Kali Silang & Skalar Tripel

Teorema Misalkan u = (u1 ; u2 ; u3 ), v = (v1 ; v2 ; v3 ), dan w = (w1 ; w2 ; w3 ) adalah tiga vektor di R3 dan k 2 R, maka v=

(v

1

u

2

Jika u sejajar dengan v, maka u

3

(ku)

4

u

5

u (v

v=u

u); (kv) = k (u

(v + w) = (u w) = (u

MZI (FIF Tel-U)

v) + (u

v=v

u = 0. Akibatnya u

u = 0;

v); w);

v) w


September 2015

97 / 116


Bahasan 1


2


3


4


5


6


7


8

Proyeksi Ortogonal

9


10


11



September 2015

98 / 116


Hasil Kali Silang dan Luas Jajar Genjang di R3

Perhatikan paralelogram (jajar genjang) berikut

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

99 / 116


Jika luas jajar genjang tersebut adalah A, kita memiliki A

MZI (FIF Tel-U)

=


September 2015

100 / 116



=

(panjang alas)

(tinggi)

=

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

100 / 116



=

(panjang alas)

=

kuk kvk sin

=

MZI (FIF Tel-U)


(tinggi)

September 2015

100 / 116



=

(panjang alas)

=

kuk kvk sin

=

ku

(tinggi)

vk .

Teorema Luas jajar genjang yang dibentuk oleh vektor u dan v di R3 adalah ku

MZI (FIF Tel-U)


vk.

September 2015

100 / 116


Hasil Kali Silang dan Luas Segitiga di R3

Jika P (x1 ; y1 ; z1 ), Q (x2 ; y2 ; z2 ), dan R (x3 ; y3 ; z3 ) adalah tiga titik berbeda di ! ! R3 , maka kita dapat membentuk segitiga yang sisi-sisinya adalah P Q, P R, dan ! QR. Dari pengetahuan kita sebelumnya, luas jajar genjang yang sisi-sisinya adalah ! ! P Q dan P R adalah dua kali luas segitiga P QR. Akibatnya luas segitiga P QR adalah A P QR =

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

101 / 116


Hasil Kali Silang dan Luas Segitiga di R3

Jika P (x1 ; y1 ; z1 ), Q (x2 ; y2 ; z2 ), dan R (x3 ; y3 ; z3 ) adalah tiga titik berbeda di ! ! R3 , maka kita dapat membentuk segitiga yang sisi-sisinya adalah P Q, P R, dan ! QR. Dari pengetahuan kita sebelumnya, luas jajar genjang yang sisi-sisinya adalah ! ! P Q dan P R adalah dua kali luas segitiga P QR. Akibatnya luas segitiga P QR adalah ! 1 ! A P QR = PQ PR 2

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

101 / 116


Contoh Kalkulasi Luas Jajar Genjang dan Segitiga di R3

Diberikan titik-titik P (1; 1; 2), Q (4; 1; 0), dan R (2; 3; 3). Jika A adalah luas ! ! jajar genjang yang dibangun oleh vektor P Q dan P R, maka A

=

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

102 / 116




=

! PQ

! P R = k(4

= k(3; 2; 2)

1; 1 + 1; 0

2)

(2

1; 3 + 1; 3

2)k

(1; 4; 1)k

=

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

102 / 116




=

! PQ

! P R = k(4

1; 1 + 1; 0

= k(3; 2; 2) (1; 4; 1)k 2 2 3 2 = ; 4 1 1 1

;

3 1

2)

(2

1; 3 + 1; 3

2)k

2 4

=

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

102 / 116




=

! PQ

! P R = k(4

1; 1 + 1; 0

2)

(2

1; 3 + 1; 3

2)k

= k(3; 2; 2) (1; 4; 1)k 2 2 3 2 3 2 = ; ; 4 1 1 1 1 4 q p 2 = k(10; 5; 10)k = 102 + ( 5) + 102 = 225 =

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

102 / 116




=

! PQ

! P R = k(4

1; 1 + 1; 0

2)

(2

1; 3 + 1; 3

2)k

= k(3; 2; 2) (1; 4; 1)k 2 2 3 2 3 2 = ; ; 4 1 1 1 1 4 q p 2 = k(10; 5; 10)k = 102 + ( 5) + 102 = 225 = 15 satuan luas. Kemudian luas segitiga P QR adalah

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

102 / 116




=

! PQ

! P R = k(4

1; 1 + 1; 0

2)

(2

1; 3 + 1; 3

2)k

= k(3; 2; 2) (1; 4; 1)k 2 2 3 2 3 2 = ; ; 4 1 1 1 1 4 q p 2 = k(10; 5; 10)k = 102 + ( 5) + 102 = 225 = 15 satuan luas.

Kemudian luas segitiga P QR adalah 12 A =

MZI (FIF Tel-U)

15 2

= 7 12 satuan luas.


September 2015

102 / 116


Untuk mencari luas segitiga P QR, kita juga dapat mencari setengah dari luas ! ! jajar genjang yang sisi-sisinya adalah RP dan RQ. Misalkan A adalah luas jajar genjang yang dimaksud, maka A

=

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

103 / 116



=

! RP

! RQ = k(1

= k( 1; 4; 1)

2; 1

3; 2

3)

(4

2; 1

3; 0

3)k

(2; 2; 3)k

=

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

103 / 116



=

! RP

! RQ = k(1

2; 1

= k( 1; 4; 1) (2; 2; 3)k 4 1 1 1 = ; 2 3 2 3

3; 2

;

3) 1 2

(4

2; 1

3; 0

3)k

4 2

=

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

103 / 116



=

! RP

! RQ = k(1

2; 1

3; 2

3)

(4

2; 1

3; 0

3)k

= k( 1; 4; 1) (2; 2; 3)k 4 1 1 1 1 4 = ; ; 2 3 2 3 2 2 q p 2 = k(10; 5; 10)k = 102 + ( 5) + 102 = 225 =

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

103 / 116



=

! RP

! RQ = k(1

2; 1

3; 2

3)

(4

2; 1

3; 0

3)k

= k( 1; 4; 1) (2; 2; 3)k 4 1 1 1 1 4 = ; ; 2 3 2 3 2 2 q p 2 = k(10; 5; 10)k = 102 + ( 5) + 102 = 225 = 15.

Akibatnya luas segitiga P QR adalah 12 A =

MZI (FIF Tel-U)

15 2

= 7 21 satuan luas.


September 2015

103 / 116

Latihan

Bahasan 1


2


3


4


5


6


7


8

Proyeksi Ortogonal

9


10


11



September 2015

104 / 116

Latihan

Latihan 5: Vektor yang Ortogonal Dengan Vektor Lain

Latihan (Vektor yang ortogonal vektor lain di R2 ) Berikan semua vektor di R2 yang ortogonal terhadap ~u = (1; 2). Solusi:

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

105 / 116

Latihan


Latihan (Vektor yang ortogonal vektor lain di R2 ) Berikan semua vektor di R2 yang ortogonal terhadap ~u = (1; 2). Solusi: Misalkan ~v adalah vektor yang ortogonal terhadap ~u, maka ~u ~v = 0. Karena ~v 2 R2 , maka ~v = (v1 ; v2 ). Akibatnya ~u ~v

MZI (FIF Tel-U)

=

(1; 2) (v1 ; v2 ) =


September 2015

105 / 116

Latihan



=

(1; 2) (v1 ; v2 ) = 0

=

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

105 / 116

Latihan



=

(1; 2) (v1 ; v2 ) = 0

= v1

2v2 = 0,

diperoleh v1 = 2v2 . Jika v2 = t, maka v1 = 2t, akibatnya (v1 ; v2 ) = (2t; t), dengan t 2 R. Jadi semua vektor yang berbentuk (2t; t) dengan t 2 R ortogonal terhadap (1; 2). Salah satunya adalah vektor (2; 1) yang diperoleh ketika t = 1.

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

105 / 116

Latihan

y

5 4 3 2 1

-5

-4

-3

-2

-1

1 -1

2

3

4

5

x

-2 -3 -4 -5

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

106 / 116

Latihan

Latihan (Vektor yang ortogonal vektor lain di R3 ) Berikan semua vektor di R3 yang ortogonal terhadap ~u = ( 6; 4; 2) dan ~v = (3; 1; 5).

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

107 / 116

Latihan

Latihan (Vektor yang ortogonal vektor lain di R3 ) Berikan semua vektor di R3 yang ortogonal terhadap ~u = ( 6; 4; 2) dan ~v = (3; 1; 5). Solusi: kita dapat mengerjakan soal ini dengan dua cara. Cara 1:

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

107 / 116

Latihan

Latihan (Vektor yang ortogonal vektor lain di R3 ) Berikan semua vektor di R3 yang ortogonal terhadap ~u = ( 6; 4; 2) dan ~v = (3; 1; 5). Solusi: kita dapat mengerjakan soal ini dengan dua cara. Cara 1: karena vektor ~u ~v ortogonal terhadap ~u maupun ~v , maka semua vektor yang ortogonal terhadap ~u dan ~v adalah vektor yang berbentuk

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

107 / 116

Latihan

Latihan (Vektor yang ortogonal vektor lain di R3 ) Berikan semua vektor di R3 yang ortogonal terhadap ~u = ( 6; 4; 2) dan ~v = (3; 1; 5). Solusi: kita dapat mengerjakan soal ini dengan dua cara. Cara 1: karena vektor ~u ~v ortogonal terhadap ~u maupun ~v , maka semua vektor yang ortogonal terhadap ~u dan ~v adalah vektor yang berbentuk k (~u

~v ) , dengan k 2 R.

Perhatikan bahwa

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

107 / 116

Latihan



Perhatikan bahwa ~u

MZI (FIF Tel-U)

~v

=


September 2015

107 / 116

Latihan



Perhatikan bahwa ~u

~v

4 1

= =

(20

2 5 2;

;

6 3

2 5

( 30

6) ; ( 6

;

6 3

4 1

12))

=

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

107 / 116

Latihan



Perhatikan bahwa ~u

~v

4 1

=

2 5 2;

;

6 3

( 30

6) ; ( 6

=

(20

=

(18; 36; 18) .

2 5

;

6 3

4 1

12))

Jadi semua vektor yang ortogonal dengan ~u maupun ~v adalah semua vektor w ~ yang berbentuk

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

107 / 116

Latihan



Perhatikan bahwa ~u

~v

4 1

=

2 5 2;

;

6 3

( 30

6) ; ( 6

=

(20

=

(18; 36; 18) .

2 5

;

6 3

4 1

12))

Jadi semua vektor yang ortogonal dengan ~u maupun ~v adalah semua vektor w ~ yang berbentuk s (18; 36; 18) =

(18s; 36s; 18s)

= MZI (FIF Tel-U)


September 2015

107 / 116

Latihan



Perhatikan bahwa ~u

~v

4 1

=

2 5 2;

;

6 3

( 30

6) ; ( 6

=

(20

=

(18; 36; 18) .

2 5

;

6 3

4 1

12))

Jadi semua vektor yang ortogonal dengan ~u maupun ~v adalah semua vektor w ~ yang berbentuk s (18; 36; 18) = = MZI (FIF Tel-U)

(18s; 36s; 18s) (t; 2t; t) , dengan t 2 R.


September 2015

107 / 116

Latihan

Cara 2: misalkan w ~ = (w1 ; w2 ; w3 ) adalah vektor yang ortogonal dengan ~u maupun ~v , kita memiliki

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

108 / 116

Latihan

Cara 2: misalkan w ~ = (w1 ; w2 ; w3 ) adalah vektor yang ortogonal dengan ~u maupun ~v , kita memiliki w ~ ~u =

6w1 + 4w2 + 2w3

=

0

w ~ ~v = 3w1 + w2 + 5w3

=

0

Dengan menyelesaikan SPL, diperoleh

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

108 / 116

Latihan


6w1 + 4w2 + 2w3

=

0

w ~ ~v = 3w1 + w2 + 5w3

=

0

Dengan menyelesaikan SPL, diperoleh w1 = t, w2 = 2t, dan w3 = t. Jadi semua vektor yang ortogonal dengan ~u maupun ~v pasti berbentuk

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

108 / 116

Latihan


6w1 + 4w2 + 2w3

=

0

w ~ ~v = 3w1 + w2 + 5w3

=

0

Dengan menyelesaikan SPL, diperoleh w1 = t, w2 = 2t, dan w3 = t. Jadi semua vektor yang ortogonal dengan ~u maupun ~v pasti berbentuk ( t; 2t; t) dengan t 2 R atau

(t; 2t; t) dengan t 2 R

Catatan Cara 1 hanya dapat digunakan di R3 saja. Cara 2 dapat digunakan pada semua ruang vektor Rn , n 1.

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

108 / 116

Latihan

Latihan 6

Latihan 1

2

Tentukan besar sudut terkecil yang dapat dibentuk oleh pasangan vektor-vektor berikut: 2 3 2 3 1 0 1 6 (a) ~u = dan ~v = (b) ~u = 4 1 5 dan ~v = 4 1 5 2 8 0 1 Tentukan panjang vektor proyeksi ortogonal dari ~u2terhadap ~ v bila diketahui 3 3 2 1 1 2 3 dan ~v = (b) ~u = 4 2 5 dan ~v = 4 0 5 (a) ~u = 1 2 3 1

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

109 / 116

Latihan

Solusi: 1 (a)

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

110 / 116

Latihan

Solusi: 1 (a) Kita memiliki p ~u ~v = (1; 2) (6; 8) = 6 16 = 10, k~uk = k(1; 2)k = 5, dan k~v k = k(6; 8)k = 10. Misalkan antara ~u dan ~v , karena

MZI (FIF Tel-U)

~u ~v


cos

=


sudut terkecil

September 2015

110 / 116

Latihan

Solusi: 1 (a) Kita memiliki p ~u ~v = (1; 2) (6; 8) = 6 16 = 10, k~uk = k(1; 2)k = 5, dan k~v k = k(6; 8)k = 10. Misalkan antara ~u dan ~v , karena ~u ~v cos

= k~uk k~v k cos , maka ~u ~v 10 = p = = k~uk k~v k 5 (10)

sudut terkecil

1p 5, jadi 5

=

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

110 / 116

Latihan


= k~uk k~v k cos , maka ~u ~v 10 = p = = k~uk k~v k 5 (10) 1p = arccos 5 . 5

sudut terkecil

1p 5, jadi 5

(b)

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

110 / 116

Latihan



sudut terkecil

1p 5, jadi 5

(b) Kita memiliki ~u ~vp= (1; 1; 0) (0; 1; 1) = 1,p k~uk = k(1; 1; 0)k = 2, dan k~v k = k(0; 1; 1)k = 2. Misalkan terkecil antara ~u dan ~v , karena

MZI (FIF Tel-U)

~u ~v

=

cos

=

sudut

k~uk k~v k cos , maka


September 2015

110 / 116

Latihan



sudut terkecil

1p 5, jadi 5

(b) Kita memiliki ~u ~vp= (1; 1; 0) (0; 1; 1) = 1,p k~uk = k(1; 1; 0)k = 2, dan k~v k = k(0; 1; 1)k = 2. Misalkan terkecil antara ~u dan ~v , karena ~u ~v

=

cos

=

k~uk k~v k cos , maka ~u ~v 1 p = = p k~uk k~v k 2 2

sudut

1 , jadi 2

= MZI (FIF Tel-U)


September 2015

110 / 116

Latihan



sudut terkecil

1p 5, jadi 5

(b) Kita memiliki ~u ~vp= (1; 1; 0) (0; 1; 1) = 1,p k~uk = k(1; 1; 0)k = 2, dan k~v k = k(0; 1; 1)k = 2. Misalkan terkecil antara ~u dan ~v , karena

MZI (FIF Tel-U)

~u ~v

=

cos

=

k~uk k~v k cos , maka ~u ~v 1 p = = p k~uk k~v k 2 2

=

arccos

1 2

= 120 =


sudut

1 , jadi 2 4

rad. September 2015

110 / 116

Latihan

2

(a) proj~v ~u =

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

111 / 116

Latihan

2

(a) proj~v ~u =

~ u~ v ~v k~ v k2

=

Akibatnya kproj~v ~uk =

MZI (FIF Tel-U)

(2;1) (3; 2) k(3; 2)k2

(3; 2) =


4 13

(3; 2).

September 2015

111 / 116

Latihan

2

(a) proj~v ~u =

=

~ u~ v ~v k~ v k2

=

Akibatnya kproj~v ~uk (b) proj~v ~u =

MZI (FIF Tel-U)

(2;1) (3; 2) 4 (3; 2) = 13 (3; 2). k(3; 2)k2 p 4 4 4 = 13 (3; 2) = 13 k(3; 2)k = 13 13.

~ u~ v ~v k~ v k2


September 2015

111 / 116

Latihan

2

(a) proj~v ~u =

=

~ u~ v ~v k~ v k2

=


(2;1) (3; 2) 4 (3; 2) = 13 (3; 2). k(3; 2)k2 p 4 4 4 = 13 (3; 2) = 13 k(3; 2)k = 13 13.

~ u~ v ~v k~ v k2

Akibatnya kproj~v ~uk =

MZI (FIF Tel-U)

(1;2;3) (1;0; 1) k(1;0; 1)k2

(1; 0; 1) =


(1; 0; 1).

September 2015

111 / 116

Latihan

2

(a) proj~v ~u =

=

~ u~ v ~v k~ v k2

=


(2;1) (3; 2) 4 (3; 2) = 13 (3; 2). k(3; 2)k2 p 4 4 4 = 13 (3; 2) = 13 k(3; 2)k = 13 13.

~ u~ v ~v k~ v k2

(1;2;3) (1;0; 1) k(1;0; 1)k2

(1; 0; 1). p Akibatnya kproj~v ~uk = k (1; 0; 1)k = j 1j k(1; 0; 1)k = 2.

MZI (FIF Tel-U)

(1; 0; 1) =


September 2015

111 / 116

Latihan

Latihan 7

Latihan 1 2

Carilah dua vektor satuan di R2 yang ortogonal dengan ~u = (3; 2). Carilah dua vektor satuan di R3 yang ortogonal dengan ~u = ( 7; 3; 1) dan ~v = (2; 0; 4).

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

112 / 116

Latihan

Solusi nomor 1: Misalkan ~x adalah vektor di R2 dengan sifat ~x?~u, maka ~x ~u = 0. Karena ~x 2 R2 , misalkan ~x = (x1 ; x2 ). Akibatnya ~x ~u = 0 , (x1 ; x2 ) (3; 2)

MZI (FIF Tel-U)


=

0

September 2015

113 / 116

Latihan

Solusi nomor 1: Misalkan ~x adalah vektor di R2 dengan sifat ~x?~u, maka ~x ~u = 0. Karena ~x 2 R2 , misalkan ~x = (x1 ; x2 ). Akibatnya ~x ~u = 0 , (x1 ; x2 ) (3; 2) 3x1

2x2

=

0

=

0.

Bila x2 = t, maka x1 = 23 t. Jadi vektor yang ortogonal dengan (3; 2) berbentuk 2 3 t; t dengan t 2 R, atau dapat pula ditulis (2t; 3t) dengan t 2 R. Pilih t = 1, maka diperoleh vektor ~x = (2; 3). Kita memiliki (2; 3) ? (3; 2) karena (2; 3) (3; 2) = 0. Vektor satuan yang sejajar dengan ~x ada dua, yaitu ~y

=

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

113 / 116

Latihan


2x2

=

0

=

0.


=

1 ~x = k~xk

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

113 / 116

Latihan


2x2

=

0

=

0.


=

~z

=

1 1 ~x = p (2; 3) = k~xk 13

MZI (FIF Tel-U)

2 3 p ;p 13 13


yang searah ~x, dan

September 2015

113 / 116

Latihan


2x2

=

0

=

0.


=

~z

=

1 1 ~x = p (2; 3) = k~xk 13 1 ~x = k~xk

MZI (FIF Tel-U)

2 3 p ;p 13 13


yang searah ~x, dan

September 2015

113 / 116

Latihan


2x2

=

0

=

0.


=

~z

=

1 1 ~x = p (2; 3) = k~xk 13 1 1 ~x = p (2; 3) = k~xk 13

2 3 p ;p yang searah ~x, dan 13 13 2 3 p ;p yang berlawanan arah ~x. 13 13

Jadi vektor satuan di R2 yang ortogonal dengan ~u adalah ~y =

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

113 / 116

Latihan


2x2

=

0

=

0.


=

~z

=

1 1 ~x = p (2; 3) = k~xk 13 1 1 ~x = p (2; 3) = k~xk 13


Jadi vektor satuan di R2 yang ortogonal dengan ~u adalah ~y =

p2 ; p3 13 13

dan

~z = MZI (FIF Tel-U)


September 2015

113 / 116

Latihan


2x2

=

0

=

0.


=

~z

=

1 1 ~x = p (2; 3) = k~xk 13 1 1 ~x = p (2; 3) = k~xk 13


Jadi vektor satuan di R2 yang ortogonal dengan ~u adalah ~y = ~z =

p2 ; 13

p3 13

MZI (FIF Tel-U)

p2 ; p3 13 13

dan

. Ruang Vektor R2 dan R3

September 2015

113 / 116

Latihan

Solusi nomor 2: Misalkan ~x adalah vektor di R3 dengan sifat ~x?~u dan ~x?~v , maka ~x ~u = 0 dan ~x ~v = 0. Karena (~u ~v ) ?~u dan (~u ~v ) ?~v , maka kita dapat memilih ~x yang sejajar dengan ~u ~v . Tinjau bahwa ~u

~v

=

( 7; 3; 1)

(2; 0; 4)

=

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

114 / 116

Latihan


~v

= = =

MZI (FIF Tel-U)

( 7; 3; 1) (2; 0; 4) 3 1 7 1 ; ; 0 4 2 4 (12;

( 28

7 2

3 0

2) ; 6) =


September 2015

114 / 116

Latihan


~v

= = =

( 7; 3; 1) (2; 0; 4) 3 1 7 1 ; ; 0 4 2 4 (12;

( 28

7 2

3 0

2) ; 6) = (12; 30; 6) .

Perhatikan bahwa (12; 30; 6) =

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

114 / 116

Latihan


~v

= = =

( 7; 3; 1) (2; 0; 4) 3 1 7 1 ; ; 0 4 2 4 (12;

( 28

7 2

3 0

2) ; 6) = (12; 30; 6) .

Perhatikan bahwa (12; 30; 6) = 3 (4; 10; 2). Akibatnya ~u (4; 10; 2). Misalkan ~x = (4; 10; 2), kita memiliki

~v searah dengan

~x ~u =

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

114 / 116

Latihan


~v

= = =

( 7; 3; 1) (2; 0; 4) 3 1 7 1 ; ; 0 4 2 4 (12;

( 28

7 2

2) ; 6) = (12; 30; 6) .

Perhatikan bahwa (12; 30; 6) = 3 (4; 10; 2). Akibatnya ~u (4; 10; 2). Misalkan ~x = (4; 10; 2), kita memiliki ~x ~u = ~x ~v

MZI (FIF Tel-U)

3 0

(4; 10; 2) ( 7; 3; 1) =

28 + 30

~v searah dengan 2 = 0 dan

=


September 2015

114 / 116

Latihan


~v

= = =

( 7; 3; 1) (2; 0; 4) 3 1 7 1 ; ; 0 4 2 4 (12;

( 28

7 2

3 0

2) ; 6) = (12; 30; 6) .

Perhatikan bahwa (12; 30; 6) = 3 (4; 10; 2). Akibatnya ~u (4; 10; 2). Misalkan ~x = (4; 10; 2), kita memiliki ~x ~u =

(4; 10; 2) ( 7; 3; 1) =

~x ~v

(4; 10; 2) (2; 0; 4) = 8 + 0

MZI (FIF Tel-U)

=


28 + 30

~v searah dengan 2 = 0 dan

8 = 0.

September 2015

114 / 116

Latihan

Vektor satuan yang sejajar ~x ada dua, yaitu ~y

=

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

115 / 116

Latihan


=

1 ~x = k~xk

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

115 / 116

Latihan


=

~z

=

1 1 ~x = p (4; 10; 2) = k~xk 2 30

MZI (FIF Tel-U)

2 5 p ;p ; 30 30


1 p 30

yang searah ~x, dan

September 2015

115 / 116

Latihan


=

~z

=

1 1 ~x = p (4; 10; 2) = k~xk 2 30 1 ~x = k~xk

MZI (FIF Tel-U)

2 5 p ;p ; 30 30


1 p 30

yang searah ~x, dan

September 2015

115 / 116

Latihan


=

~z

=

1 ~x = k~xk 1 ~x = k~xk

1 p (4; 10; 2) = 2 30 1 p (4; 10; 2) = 2 30

2 5 1 p ;p ; p yang searah ~x, dan 30 30 30 2 5 1 p ; p ;p yang berlawanan arah 30 30 30

Jadi vektor satuan di R3 yang ortogonal ~u adalah ~y = ~z =

p2 ; 30

p5 ; p1 30 30

MZI (FIF Tel-U)

p2 ; p5 ; 30 30

p1 30

dan

.


September 2015

115 / 116

Latihan

Latihan 8 Latihan Diberikan tiga titik di R3 , yaitu P (1; 0; 0), Q (1; 3; 0), dan R (0; 5; 1). Tentukan ! ! 1 luas jajar genjang yang dibentuk oleh vektor P Q dan P R, 2

luas segitiga P QR.

Solusi:

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

116 / 116

Latihan


luas segitiga P QR.

Solusi: ! 1 Kita memiliki P Q =

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

116 / 116

Latihan


luas segitiga P QR.

Solusi: ! ! 1 Kita memiliki P Q = (0; 3; 0) dan P R =

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

116 / 116

Latihan


luas segitiga P QR.

Solusi: ! ! 1 Kita memiliki P Q = (0; 3; 0) dan P R = ( 1; 5; 1). Misalkan A adalah luas ! ! jajar genjang yang dibentuk oleh vektor P Q dan P R, maka A

MZI (FIF Tel-U)

=


September 2015

116 / 116

Latihan


luas segitiga P QR.

Solusi: ! ! 1 Kita memiliki P Q = (0; 3; 0) dan P R = ( 1; 5; 1). Misalkan A adalah luas ! ! jajar genjang yang dibentuk oleh vektor P Q dan P R, maka ! ! P Q P R = k(0; 3; 0) ( 1; 5; 1)k A = =

3 5

0 1

;

0 1

0 ; 1

0 1

3 5

=

MZI (FIF Tel-U)


September 2015

116 / 116

Latihan


luas segitiga P QR.

Solusi: ! ! 1 Kita memiliki P Q = (0; 3; 0) dan P R = ( 1; 5; 1). Misalkan A adalah luas ! ! jajar genjang yang dibentuk oleh vektor P Q dan P R, maka ! ! P Q P R = k(0; 3; 0) ( 1; 5; 1)k A = = = 2

3 5

0 1

0 0 3 ; 1 1 5 p p p 2 2 k(3; 0; 3)k = 3 + 3 = 18 = 3 2 satuan luas. ;

0 1

Luas segitiga P QR adalah setengah dari luas jajar genjang yang dibentuk ! ! oleh P Q dan P R, yaitu MZI (FIF Tel-U)


September 2015

116 / 116

Latihan


luas segitiga P QR.

Solusi: ! ! 1 Kita memiliki P Q = (0; 3; 0) dan P R = ( 1; 5; 1). Misalkan A adalah luas ! ! jajar genjang yang dibentuk oleh vektor P Q dan P R, maka ! ! P Q P R = k(0; 3; 0) ( 1; 5; 1)k A = = = 2

3 5

0 1

0 0 3 ; 1 1 5 p p p 2 2 k(3; 0; 3)k = 3 + 3 = 18 = 3 2 satuan luas. ;

0 1

Luas segitiga P QR adalah setengah dari luas jajar genjang yang dibentuk p p ! ! oleh P Q dan P R, yaitu 12 3 2 = 23 2 satuan luas. MZI (FIF Tel-U)


September 2015

116 / 116

Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3

Recommend Documents