1
2 R
VECTOR DI BIDANG 3 DAN RUANG R Nurdinintya Athari (NDT)
VEKTOR DI BIDANG (R2) DAN DI RUANG (R3) Pokok Bahasan : 1. Notasi dan Operasi Vektor 2. Perkalian titik dan Proyeksi Ortogonal 3. Perkalian silang dan Aplikasinya Beberapa Aplikasi : • Proses Grafika Komputer • Kuantisasi pada proses kompresi • Least Square pada Optimasi • Klasifikasi sinyal
Notasi dan Operasi Vektor besaran yang mempunyai arah c1 Notasi vektor c c2 c1iˆ c2 ˆj c3 kˆ c1 , c2 , c3 c 3 c1 Panjang vektor c c2 adalah c 3
2
2
c c1 c2 c3
2
Vektor satuan Vektor dengan panjang atau norm sama dengan satu
Operasi Vektor meliputi : 1. Penjumlahan antar vektor (pada ruang yang sama) 2. Perkalian vektor (a) dengan skalar (b) dengan vektor lain • Hasil kali titik (Dot Product) • Hasil kali silang (Cross Product)
Penjumlahan Vektor Misalkan u dan v adalah vektor-vektor yang berada di ruang yang sama, maka vektor u v didefinisikan :
v
u v
u
u
Perkalian vektor dengan skalar
Perkalian vektor u dengan skalar k, k u didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya k kali panjang vektor dengan arah u Jika k > 0 searah dengan u Jika k < 0 berlawanan arah dengan u
2u u
2u
Secara analitis, kedua operasi pada vektor diatas dapat dijelaskan sebagai berikut : Misalkan a a1 , a 2 , a 3 dan
b b1 , b 2 , b 3
adalah vektor-vektor di ruang yang sama maka :
1. a b a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 2. a b a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 3. k a ka1 , ka2 , ka3
Perkalian antara dua vektor • Hasil kali titik (dot product) • Hasil kali silang (cross product) Hasil kali titik (dot product) Hasil kali titik merupakan operasi antara dua buah vektor pada ruang yang sama yang menghasilkan skalar Hasil kali silang (Cross product) Hasil kali silang merupakan operasi antara dua buah vektor pada ruang R3 yang menghasilkan vektor
Dot Product Misalkan a, b adalah vektor pada ruang yang sama maka hasil kali titik antara dua vektor : a b a b cos
dimana a
: panjang a
b
: panjang b
: sudut antara keduanya
Contoh : Tentukan hasil kali titik dari dua vektor a 2iˆ dan b 2iˆ 2 ˆj Jawab :
karena tan = 1 atau = 450
a b a b cos
2 8 =4
1 2
Ingat Aturan Cosinus c
a
a2 = b2 + c2 – 2 bc cos
b
a ab
a
b
b
a b
2
a
2
b
2
2 a
b
b cos b a
2
Selanjutnya dapat ditulis
b cos
a
Ingat bahwa : 1. a b a b cos 2.
3.
4.
a
2
b
ba
2
2
2
b
2
b a
2
2
b 1 b 2 ... b n 2
2
a b a1b1 a2b2 ... anbn
a 1 a 2 ... a n 2
a
1 2
2
b1 a1 b2 a2 ... bn an 2
2
2
2
2
2
2
2
b1 b 2 ... b n a 1 a 2 ... a n 2 b1 a 1 2 b n a n ... 2 b n a n
2
2
Perhatikan setiap sukunya, diperoleh hubungan :
a b a1b1 a2b2 ... anbn Contoh: Tentukan hasil kali titik dari vektor a 2iˆ dan b 2iˆ 2 ˆj a b a1b1 a 2 b2 = 2 (2) + 0 (2) =4 Beberapa sifat hasil kali titik : 1. a b b a
2.
a b c ab ac
3.
k a b k a b a kb , dimana k R
DOT PRODUCT Persamaan u .v u v cos dapat dinyatakan sebagai :
cos
u.v u v
Persamaan hasil kali titik (dot product) dapat digunakan untuk menghitung sudut () diantara dua buah vektor sudut lancip sudut tumpul = /2
jika dan hanya jika u.v > 0 jika dan hanya jika u.v < 0 jika dan hanya jika u.v = 0
OPERASI VEKTOR 2 2 Misal u = (u1,u2), maka || u || u1 u2 2 2 2 Misal u = (u1,u2,u3), maka || u || u1 u2 u3
Jarak antara dua buah titik (Vektor) Misal A(a1, a2) dan B(b1, b2) adalah dua titik di R2. Maka, jarak antara titik A dan B adalah
d A, B AB
b1 a1 2 b2 a2 2
Misal A(a1, a2, a3) dan B(b1, b2, b3) adalah dua titik di R3. Maka, jarak antara titik A dan B adalah
d A.B AB
b1 a1 2 b2 a2 2 b3 a3 2
OPERASI VEKTOR Contoh 1 Misalkan u = (1,2,2), ||u||= ? Jawab : || u || 12 2 2 2 2 9 3
Contoh 2 Hitunglah jarak antara titik A(1, 1, 1) dan B(2, 3, 4) Jawab : d A.B
2 1 3 1 4 1 2
2
2
14
PROYEKSI ORTOGONAL
u
w2
u w1 w2 karena w1 proja u , ( w1 proyeksi u pada a )
a
w1 proya u
maka w2 u proja u
u w1 w2
u ka w2 .....................( w1 ka ) u a ka w2 a ...........(a ) u a k a k
u a a
2
2
w2 a
proja u
..........................( w2 a 0)
Karena w1 proja u ka , maka w1 proja u
proja u
u a a
2
a
u a a
2
u a a
2
a
a ......( ku k u )
u a ............( a proja u a
2
0)
proja u u cos .......(u a u a cos )
Contoh Carilah proyeksi ortogonal vektor 1 relatif pada vektor v 3 4
2 w 4 3
Jawab : Proy v w
wv v
2
v
2 1 4 3 3 4 2 2 2 1 3 ( 4)
1 3 4 1 2 ( 12) ( 12) 3 26 4 1 1 26 3 3 26 4 4
LATIHAN 1. Misalkan a = (k,k,1) dan b = (k,3,-4). Carilah nilai k a. Jika sudut antara a dan b runcing b. Jika sudut antara a dan b tumpul c. Jika sudut antara a dan b ortogonal 2. Carilah proyeksi ortogonal vektor a relatif pada vektor b
a . a (6, 2 ), b (3, 9 ) b . a (5, 6 ), b ( 2, 1) c . a (1, 0, 0 ), b ( 4, 3, 8) d . a (3, 2, 6 ), b (1, 2, 7 )
CROSS PRODUCT Definisi Cross product (hasil kali silang) merupakan hasil kali antara dua vektor di ruang (R3) yang menghasilkan vektor yang tegak lurus terhadap kedua vektor yang dikalikan tersebut. Misalkan a =(a1,a2,a3) dan b = (b1,b2,b3) adalah vektor di R3, maka cross product a x b adalah vektor yang didefinisikan
iˆ
a b a1 b1 a2 b2 a2 b2
ˆj
kˆ
a2 b2
a3 b3
a3 a ˆi 1 b3 b1 a3 b3
,
a1 b1
a3 a ˆj 1 b3 b1 a3 a1 , b3 b1
a2 b2
a2 ˆ k b2
CROSS PRODUCT Hubungan antara Cross Product dan Dot Product
(1) a (a b) 0
( a x b ortogonal terhadap a)
(2) b (a b) 0
( a x b ortogonal terhadap b)
2
(3) a b a
2
2
b ( a b) 2
(Identitas Lagrange)
Sifat dari Cross Product Jika a, b, and c adalah vektor di ruang R3 dan k skalar, maka (1) a b (b a) (2) a (b c) (a b) (a c) (3) (a b) c (a c) (b c) (4) k (a b) (ka) b a kb (5) a 0 0 a 0 (6) a a 0
CROSS PRODUCT a b
2
a
2
b
a
2
a
2
a
2
a
2
a b
2
2
b b
2
b
2
b
2
2
a b cos
a
2
b
1 cos 2 2
sin
Maka, a x b a b sin
2
cos 2
2
Contoh : Carilah w u v dimana u 1, 2, 2 , v (3, 0, 1) Jawab : iˆ ˆj w u1 u2 v1 v2
kˆ iˆ ˆj kˆ u3 1 2 2 3 0 1 v3
2.1 0( 2) iˆ 3(2) 1.1 ˆj 1.0 3.2 kˆ 2 iˆ 7 ˆj 6 kˆ
CROSS PRODUCT Interpretasi Geometri a b a b sin a ||a|| sin ||b||
Apakah ini?
Luas Jajargenjang/Parallelogram
a b sin a b
b Luas Segitiga
1 1 a b sin a b 2 2
Contoh: Misalkan koordinat titik A, B, dan C sbb : A = (1, –1, –2) B = (4, 1, 0) C = (2, 3, 3) Gunakan cross product untuk mencari luas segitiga ABC dan luas parallelogram ABCD!
Jawab : • A sebagai acuan C
A B B – A 4 ,1, 0 – 1, – 1, – 2 (3, 2 , 2 ) A C C – A 2 , 3, 3 – 1, – 1, – 2 1, 4 , 5 B
A
iˆ
ˆj kˆ
AB AC 3 2 2 2iˆ 13 ˆj 10kˆ 1 4 5
• Luas segitiga ABC
1 1 4 169 100 273 2 2
• Luas parallelogram 4 169 100 273
• B sebagai acuan C
B
BA a b 1, 1, 2 – 4,1,0 3, 2, 2 BC c b 2,3,3 – 4,1, 0 2, 2,3 A
ˆj iˆ kˆ BA BC 3 2 2 2iˆ 13kˆ 10 ˆj 2 2 3
1 1 1 4 169 100 273 Luas segitiga ABC BA xBC 2 2 2
Luas parallelogram 4 169 100 273
LATIHAN 1. Tentukan cos sudut yang terbentuk oleh pasangan vektor berikut :
1 6 a. u dan v 8 2
1 8 b. u 3 dan v 2 7 2
2. Tentukan proyeksi ortogonal vektor a terhadap vektor b dan tentukan panjang vektor proyeksi tersebut: 1 2 2 3 a. a dan b b. a 1 dan b 2 3 2 1 2
u (3,4), v (5, 1), w (7,1) Cari : a. u (7v w) b. (u v) w
3. Diketahui
c. u (v w)
d . ( u v ) w
4. Tentukan dua buah vektor satuan di bidang yang 3 tegak lurus terhadap vektor u 2 5. Tentukan vektor yang tegak lurus terhadap vektor 7 2 u 3 dan v 0 1 4
6. Tentukan luas segitiga yang mempunyai titik sudut P (2,0,–3), Q (1,4,5), dan R (7,2,9) dan tentukan luas paralellogram!
