BARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT)

BARISAN DAN DERET Nurdinintya Athari (NDT)

2

BARISAN 



Definisi Barisan bilangan didefinisikan sebagai fungsi dengan daerah asal merupakan bilangan asli. Notasi: f: N  R n f(n ) = an Fungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan riil {an} dengan an adalah suku ke-n. Bentuk penulisan dari barisan : 1. bentuk eksplisit suku ke-n 2. ditulis barisannya sejumlah berhingga suku awalnya. 3. bentuk rekursi an  1 1 1  Contoh: a = 1 a  1 , a  n 1 1 1, , , , ... n 1  an  2 3 4  n

[MUG1B3] KALKULUS II

16-Mar-15

3

KEKONVERGENAN BARISAN • Definisi: Barisan {an} dikatakan konvergen menuju L atau berlimit L dan ditulis sebagai lim an  L n

Jika untuk tiap bilangan positif , ada bilangan positif N sehingga untuk n  N  an  L   Sebaliknya, barisan yang tidak konvergen ke suatu bilangan L yang terhingga dinamakan divergen.


16-Mar-15

4

CATATAN • Akan kita jumpai banyak persoalan konvergensi barisan. Kita akan menggunakan fakta berikut. Jika lim f ( x )  L , maka x

lim f ( n )  L n 

Fakta ini memudahkan karena kita dapat memakai kaidah I’Hospital untuk soal peubah kontinu.


16-Mar-15

5

SIFAT LIMIT BARISAN • Sifat dari limit barisan, jika barisan {an} konvergen ke L dan barisan {bn} konvergen ke M, maka 1. lim a n  b n   lim a n   lim b n   L  M n 

n

n 

2. lim a n .b n   lim a n . lim b n   L.M n

a 3. lim  n n b  n 

n

n

a n  L  lim n    , untuk M  0   lim b M  n n

Barisan {an} dikatakan

a. Monoton naik bila an+1  an b. Monoton turun bila an+1  an [MUG1B3] KALKULUS II

16-Mar-15

CONTOH Tentukan konvergensi dari barisan di bawah ini: 1.

an 

n 2n  1

Jawab: Ambil : f ( x ) 

x 2x  1

Dalam hal ini, menurut kaidah I’Hospital, x 1 lim f (x )  lim  x  x  2x  1 2 Jadi, n 1 lim  n   2n  1 2 artinya barisan an konvergen menuju ½. 16-Mar-15


6

2.

 1 a n  1    n

CONTOH

n

Jawab: x 1   Ambil f ( x )  1  

x



Dalam hal ini, menurut kaidah I’Hospital,

 1   ln 1    x x x  1        1  1 lim 1    lim exp.ln 1    exp  lim x.ln 1     exp lim 1 x  x   x   x  x  x  x  x  2

Jadi,

  1  x       .     exp lim  x   x  1  2 x  1      x  

     

x    exp lim   e1  e  x  x  1 

n

1  lim 1    e n n 

artinya barisan an konvergen menuju e. 16-Mar-15


7

8

Tentukan konvergensi dari barisan di bawah ini: 4n 2  1 1. a n  2 n  2n  3

7.

3n 2  2 2. a n  n 1

8.

3. 4. 5. 6.


an  an 

n n 1

 

9.

n

4n ln(n ) an  n

an+1 = 1 +

10.

1 an , a1=1 2

LATIHAN

 1 2 3 4   , , , ...  2 3 4 5  2 3 4 5     1, , , , ... 3 5 7 9       1 1 1 1 , , , . ..    1 1 1 2 1 3    2 3 4   4 3 2  1  ... , , ,   2 1 3 1 4 1 5 1    5 4 3 2

16-Mar-15

9

DERET TAK HINGGA Bentuk deret tak hingga dinotasikan dengan notasi sigma, sebagai berikut: 

a

n

 a1  a2  a3  ...  an  ...

n 1

dengan an adalah suku ke-n.


16-Mar-15

10

BARISAN JUMLAH PARSIAL Misalkan Sn menyatakan jumlah parsial ke-n suku deret 

 a , maka S =a i

i 1

1

1

S2 = a1 + a2 . . . Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + …+ an =

n

a

i

i 1

Barisan {Sn}, dinamakan barisan jumlah parsial deret Dari jumlah parsial ini di dapat bahwa Sn – Sn-1 = an. [MUG1B3] KALKULUS II



a

i

i 1

16-Mar-15

11

KEKONVERGENAN DERET TAK HINGGA 

Deret tak hingga

 a konvergen dan mempunyai jumlah S i

i 1

jika barisan jumlah-jumlah parsialnya {Sn} konvergen ke S. Sebaliknya, apabila {Sn} divergen maka deret divergen.


16-Mar-15

12

DERET GEOMETRI • Bentuk umum deret geometri adalah 

 ar

n 1

= a +ar +a r2 + ... + a rn-1 + ...

n 1

dengan a  0. 

Jumlah parsial deret ini adalah

Sn =

n

 ar i 1

i 1

= a +ar +a r2 + ... + a rn-1





a 1 r n dan dapat ditulis sebagai Sn = , r  1. 1 r


16-Mar-15

13

SIFAT DERET GEOMETRI 1. Jika r < 1 maka barisan {rn} konvergen ke 0 karena

lim r n = 0, maka deretnya konvergen ke

n 

a 1 r

2. Jika r > 1 maka barisan {rn} divergen karena lim r n =  , maka deretnya juga divergen.


n 

16-Mar-15

14

1.

1 1 1 1 1      . .. 2 4 8 16 32

CONTOH [1] (SELIDIKI KEKONVERGENANNYA)

Jawab: Kalau kita perhatikan

S1 =

S3 =

1 2

=1-

1 2

1 1 1 7   = 2 4 8 8

S2 =

1 1  2 4

1 2

=

3 4

1 2

= 1 – ( )2

= 1 – ( )3

Sehingga kita peroleh jumlah parsial ke-n-nya dan

1 2

Sn = 1 – ( )n

1 n ) )=1 n  n  2 Jadi karena barisan jumlah-jumlah parsialnya konvergen ke 1, maka deret di atas juga konvergen.


lim S n = lim (1 – (

16-Mar-15

15

2.

CONTOH [2]



1  (Deret Kolaps) i 1 i (i  1) Jawab: Kalau kita perhatikan

1 1 = i(i  1) i

-

1 i 1

Dari sini kita peroleh bahwa jumlah parsial ke-n-nya

1 1 1 1 1 1 1   1  Sn = 1            . . .     = 1   Dan



2   2

3   3

4 

 n

n 1



n 1

1   lim S n = lim 1   =1 n  n   n 1

Jadi karena barisan jumlah parsialnya konvergen ke 1, maka deret di atas juga konvergen. [MUG1B3] KALKULUS II

16-Mar-15

16

3.



1 (Deret Harmonik)  i i 1

CONTOH [3]

Jawab: Dari sini kita dapatkan

Sn = 1 +

Sn = 1 + 1+ =1+

1 1 1 1 1 1 1 1        . . . 2 3 4 5 6 7 8 n 1 1 1 1 1 1 1 1        . . .  2 3 4 5 6 7 8 n 1 1 1 1 1 1 1 1        . . .  2  4 4 8 8 8 8 n 1 1 1 1 1     . . . n 2 2 2 2

Sehingga akan kita dapatkan limit untuk Sn untuk n menuju tak hingga harganya adalah tak hingga juga. Jadi deret harmonik di atas adalah deret divergen. [MUG1B3] KALKULUS II

16-Mar-15

UJI KEDIVERGENAN DENGAN SUKU KE-N 

Apabila

a

n

konvergen, maka

n 1

ekivalen

lim an  0 ,

n

lim an  0 maka deret divergen.

n

Catatan: 

Jika

lim an  0 , maka belum tentu  an deret konvergen

n

n 1

(bisa konvergen atau divergen) sehingga perlu pengujian deret positif.

16-Mar-15


17

UJI KEDIVERGENAN DENGAN SUKU KE-N Contoh: Buktikan bahwa



 3n n 1

Bukti :

lim

n  3n 2

n2  3n  4

=

n2 2

 3n  4

1 n  3 4 3  2 n n lim



Jadi terbukti bahwa

 3n n 1

16-Mar-15

divergen.

=

n2 2


 3n  4

1 3

(Tidak Nol)

divergen.

18

19

MASALAH BARU Dalam banyak kasus bahwa lim a n = 0, tetapi dari sini n 

kita sangat sulit menentukan apakah deret tersebut konvergen atau divergen. Sebagai contoh deret harmonik, 

 n 1

1 n

=1 +

Jelas bahwa

1 1 1 1 1 1 1 1        . . .  +... 2 3 4 5 6 7 8 n

lim a n = 0, tetapi deret harmonik adalah

n 

deret yang divergen. Oleh karena itu, perlu dilakukan uji-uji untuk deret positif.


16-Mar-15

UJI DERET POSITIF 1. Tes Integral Misalkan fungsi f kontinu monoton turun dan f(x) > 0 pada selang [1,) a. Jika integral tak wajar 

 f (n )



 f (x) 1

dx konvergen, maka deret

konvergen.

n 1





b. Jika integral tak wajar f ( x ) dx divergen, maka deret 

 f (n) divergen.

1

n 1

16-Mar-15


20

21



1. Selidiki kekonvergenan dari

ne n 1

Jawab: Kita ambil 

xe 1

x 2

f (x)  x e

dx = lim

b

x2

, sehingga

xe

x2

b 1

1 x 2 =  lim e 2 b 

Jadi karena


CONTOH

n 2



xe 1

x 2

b 1 x2 e d(x 2 ) dx = lim 2 b 1 b 1 1 1 = =  lim 2e 1 2 b  e b 2  e 1





dx

konvergen, maka



2

n e  n juga konvergen.

n 1

16-Mar-15

22

2. Selidiki kekonvergenan dari



 n 2

CONTOH

1 n ln n

Jawab: Kita ambil





2

f ( x) 

1 , sehingga x ln x

b dx dx  lim  lim x ln x b   2 x ln x b



b

2

d (ln x ) ln x

 lim ln ln x   lim ln ln b   ln ln 2    b

Jadi karena


b





2

dx x ln x



divergen, maka

 n 2

1 juga divergen. n ln n 16-Mar-15

23

LATIHAN Selidiki kekonvergenan deret berikut: 

1.

 n  2 n 3



2. 3.

 n 1


4.

2

2

 n 1 

1

 n ln n 2 



1

5.

n

1 2n  1 1

 4n n 1

2

1

1

4  3n 

3 2

16-Mar-15

UJI DERET POSITIF 2. Uji Deret - P Deret-p atau deret hiperharmonik mempunyai bentuk umum

1  p i 1 i 

Dengan menggunakan tes integral, kita dapatkan





1

1 dx  lim p t  x



t

1

t

 x1 p  1 t1 p  1 dx  lim    lim p t  x 1  p 1 t  1  p

Kalau kita perhatikan, untuk 1. p = 1 diperoleh deret harmonik, sehingga untuk p = 1 deret divergen. 2. p > 1 maka 16-Mar-15

lim t 1 p

t 

= 0, sehingga diperoleh deret yang konvergen.


24

UJI DERET POSITIF 3. p < 1 maka

lim t 1 p

t 

=∞, sehingga diperoleh deret yang divergen. n

4. p < 0, suku ke-n deret

1

i i 1

P

, yaitu,

1 tidak menuju 0. nP

Jadi deret divergen menurut Uji Suku ke-n Sehingga dapat kita simpulkan untuk uji deret-p, yaitu: 1. Deret-p konvergen apabila p > 1 2. Deret-p divergen apabila 0  p  1

16-Mar-15


25

26

CONTOH Apakah deret berikut konvergen atau divergen?  1 1.  1, 001 n 1 n  1 Berdasarkan uji deret-p, deret  1, 001 konvergen karena p = 1,001 > 1 n 1 n 

2.

 n 1

1 n

1

2

Berdasarkan uji deret-p, deret




 n 1

1 n

1

2

divergen karena p = ½ < 1

16-Mar-15

UJI DERET POSITIF 3. Tes Perbandingan dengan deret lain Andaikan 

1. Jika

b





a n 1`

n

n

dan

b n 1`

a

a

n

konvergen

n 1`



n

divergen, maka

b

n

divergen

n 1`

n 1`

16-Mar-15



konvergen, maka

n 1` 

2. Jika

deret positif, jika an  bn maka

n


27

28

CONTOH

Selidiki Kekonvergenan deret berikut: 

1.

n n 3

n 2

5

Jawab: Akan kita bandingkan deret ini dengan 

an =

n , 1 dan bn  n n2  5

1 adalah deret harmonik dan n n 1  n 1 1  , sehingga karena deret divergen, maka 2 n n 5 n n 1

kita tahu bahwa







n n 2


n 2

5

deret yang divergen.

16-Mar-15

29

CONTOH 

2.

n n 1

1 2

5

Jawab: Akan kita bandingkan deret ini dengan bn= 

kita tahu bahwa p = 2 >1 dan

1

1

n n 1

2

1

1 n

2

dan an=

1 n2 5

adalah deret hiperharmonik dengan 



1

, Sehingga karena  2 deret 2 2 n 5 n 1 n n  1 deret yang konvergen. konvergen, maka 2 n 1 n  5




16-Mar-15

30

LATIHAN Selidiki kekonvergenan deret berikut 

1.

n n 1



2.

n n 3 

3.

2 n 1


n 2

5

1 2

5



4.

1

 n  2 n 3 

5.

 n 1

2

1 2n  1

1 n

1

16-Mar-15

31

UJI DERET POSITIF 4. Tes Banding limit Andaikan an dan bn deret positif dan 



a

1. Jika 0 < L <  maka

n

n 1`

dan

an =L n  b n lim

b

n

sama-sama

n 1`

konvergen atau divergen 



2. Jika L = 0 dan

b

n

n 1`


konvergen maka

a

n

konvergen.

n 1`

16-Mar-15

32

CONTOH

Selidiki kekonvergenan dari deret berikut : 1.



n n 1

3

2n  3  5n 2  7

Jawab: Kita gunakan Uji Banding Limit. Kalau kita perhatikan deret tersebut, suku umumnya mirip dengan bn= 1 sehingga

a lim n  lim n  b n  n

2n  3

n3  5n 2  7  lim 2n  3n = 2 1 2 n   n 3  5n 2  7 n 3



Jadi karena L = 2 dan

n n 1


3

1

n n 1



n2

2

2

konvergen, maka deret

2n  3 konvergen.  5n 2  7 16-Mar-15

33

CONTOH

Selidiki kekonvergenan dari deret berikut : 

2.

 n 1

1 n2  4

Jawab: Kita gunakan Uji Banding Limit. Kalau kita perhatikan deret tersebut, suku umumnya mirip dengan bn= 1 sehingga

a lim n = n  b n

1 lim

n 

2

n n 2  4 lim =1 = n  n2  4 1 n 

1 divergen, maka deret Jadi karena L=1 dan  n n 1


n



 n 1

1 n2  4

divergen.

16-Mar-15

34

LATIHAN Selidiki kekonvergenan dari deret berikut: 1.

n  2 n 1 n  2 n  3 

2.

n n 1



3.

 n 1


1 n 1

3n  1  3 n 1 n  4 



4.



5.

ln n  2 n 1 n

2n  3 n2

16-Mar-15

35

UJI DERET POSITIF

5. Tes Hasil Bagi  Diketahui  ak merupakan suatu deret dengan suku-suku yang positif. k 1 a k 1  k  a k

Misalkan lim 1. Jika 2. Jika

 

< 1 maka deret



ak k 1

konvergen



> 1 maka deret

ak

divergen

k 1

3. Jika


 = 1 maka uji deret ini tidak dapat dilakukan.

16-Mar-15

36

Selidiki kekonvergenan deret berikut:

CONTOH



3n 1.  n 1 n ! Jawab:

3n , maka suku ke-n+1 Misalkan suku ke-n adalah an = n! 3n 1 adalah an+1= sehingga n  1! a lim n 1 n a n

3n  1  lim n

n  1!

3n

n!

3n 1 n ! 3  lim n 0  lim n   3 n  1! n   n  1 

3n Karena nilai limit r = 0 ( < 1), maka deret  konvergen n ! n 1 [MUG1B3] KALKULUS II

16-Mar-15

37

CONTOH



n 3 2.  2 n 1 n

Jawab:

3n Misalkan suku ke-n adalah an = 2 , maka suku ke-n+1 n n 1 adalah an+1= 3 sehingga 2 n  1 a lim n 1  lim n a n n

3n  1

n  12

3n

 lim n

n2

3 n  1 n2

3n n  1

2

 lim n

3n2

n  12

3



3n Karena nilai limit r = 3 (> 1), maka deret  2 divergen n 1 n [MUG1B3] KALKULUS II

16-Mar-15

38

LATIHAN Selidiki kekonvergenan dari deret berikut: 4.

5n  n 1 n !

5.

n3  n 1 2 n !



1.

n!  n n 1 n 





n

2.

n  n 1 2 n  !

3.

4n  n  n! n 1 


16-Mar-15

UJI DERET POSITIF 6. Tes Akar



Diketahui  ak merupakan suatu deret dengan k 1

suku-suku yang positif, misalkan lim k ak  a 

1. Jika a< 1 maka deret

ak k 1

k 

konvergen



2. Jika a > 1 maka deret  a k divergen k 1

3. Jika a = 1 maka uji deret ini tidak dapat dilakukan.

16-Mar-15


39

40

CONTOH

Selidiki kekonvergenan deret  2n2  1.   n 1  n  1  

n

Jawab:

 2n  2  Misalkan suku ke-n adalah an =  n  1  

n

maka nilai limitnya adalah

2n  2 2 n  n  1

lim n an  lim n 

 2n  2   divergen Karena nilai limit r = 2 (> 1), maka deret    n 1  n 1  


n

16-Mar-15

41

2.

 n2      2 n 1 n 1   

CONTOH

n

Jawab:

 n2   Misalkan suku ke-n adalah an =   2n  1 

n

maka nilai limitnya adalah

n2 1  n  2n  1 2

lim n an  lim n 

 2n  2  Karena nilai limit r = ½ (< 1), maka deret    konvergen  n 1  n 1  


n

16-Mar-15

42

LATIHAN Selidiki kekonvergenan dari deret berikut: 

1.

 1     n 1  ln n  

2.


n

 n      3 n 2  n 1 



n

3.

1 1     n n 1  2

4.

 3n  2      2 n 1  n 1 

n



n

16-Mar-15

43

DERET GANTI TANDA DAN KEKONVERGENAN MUTLAK • Deret Ganti Tanda Deret ini mempunyai bentuk sebagai berikut 

  1n 1 a n  a1  a 2  a 3  a 4  ... n 1

dengan an > 0, untuk semua n. Contoh penting adalah deret harmonik berganti tanda, yaitu 

n 1    1  n 1


1 1 1 1  1    ... n 2 3 4

16-Mar-15

44

UJI DERET GANTI TANDA Andaikan deret ganti tanda, deret tersebut dikatakan konvergen jika 1. an+1< an 2.

lim a n  0

n 

Contoh Tentukan kekonvergenan deret ganti tanda berikut

1 1 1    ... 2 3 4 1 1 1 2. 1     . . . 2! 3! 4! 1.


1

16-Mar-15

45

CONTOH 1. Jawab (uji ganti tanda) 1 1 , dan a = Dari soal diatas kita punya an= , deret n+1 n 1 n

tersebut konvergen jika 1 a n  n  1  1  1  1  an >an+1 n a.  an 1 1 n n n 1 b.

1 0 n  n

lim an  lim n 

Karena a dan b terpenuhi maka deret di atas konvergen.


16-Mar-15

46

CONTOH 2. Jawab (uji ganti tanda)

1 1 , dan an+1 = Dari soal diatas kita punya an= n  1! n! deret tersebut konvergen jika a.

b.

an an 1

1  n!  n  1  1 1 ( n  1)!

 an >an+1

1 0 n  n !

lim an  lim n 

Karena a dan b terpenuhi maka deret di atas konvergen. [MUG1B3] KALKULUS II

16-Mar-15

47

LATIHAN Selidiki kekonvergenan dari deret ganti tanda berikut: 

1.

  1 n 1

n 1

2 3n  1

n n3   1   n2  n n 1



3.

n 1 



2.


  1 n

4.

n    1  n 1

n 3n 1 n( n  1)

16-Mar-15

48

KONVERGEN MUTLAK DAN KONVERGEN BERSYARAT Suatu deret dikatakan konvergen mutlak bila harga mutlak deret tersebut konvergen. Atau dengan kata lain : 

b

n



dikatakan konvergen mutlak jika

n 1

b

n

n 1

Dan dikatakan konvergen bersyarat jika 

tetapi  b n konvergen.

konvergen.



b

n

divergen,

n 1

n 1


16-Mar-15

49

PENGUJIAN KEKONVERGENAN MUTLAK Misalkan



a

n

n 1

dengan an  0 dan lim

n

an1 r an

Maka 1. Jika r < 1, maka deret konvergen mutlak 2. Jika r > 1, maka deret divergen 3. Jika r = 1, maka tes gagal


16-Mar-15

50

CONTOH Selidiki deret berikut konvergen bersyarat, konvergen mutlak atau divergen 

1.

  1 n 1

n 1

2n n!

Jawab: n 1 n 2 2 n  2 Dari soal diatas kita memiliki an   1 n 1 , dan an 1   1 n!  n  1! sehingga n  2 2 n 1    1 an 1 n  1!  lim 2n1 n ! 2 r  lim  lim 0 lim  n n  2 n  1! n  a n  n n  1 n 1 2 n n  1 n ! Menurut uji hasil bagi mutlak, deret ini konvergen mutlak [MUG1B3] KALKULUS II

16-Mar-15

51



2.

n 1 1     n 1

CONTOH

1 n

Jawab: 

Dengan uji deret ganti tanda deret 

(buktikan!!), sedangkan

 n 1



an 

  1 n1

 n 1

n 1

1 konvergen n

1 adalah deret divergen n

(karena merupakan deret-p dengan p= ½ < 1) 

Jadi deret

  1 n 1


n 1

1 adalah konvergen bersyarat. n

16-Mar-15

52

LATIHAN Selidiki apakah deret tersebut konvergen mutlak, konvergen bersyarat atau divergen: 

 1  nn  5  n 1 n

1.



2.

(1) n  n 1 3n  2

4.

(1) n 1  n 1 n ln n

5.

(1) n 1  n 1 n n  1







3.




1  1  nn  1 n 1 n

16-Mar-15

53

DERET PANGKAT Deret pangkat secara umum ada dua bentuk 1. Deret pangkat dalam x didefinisikan 

a

nx

n 0

n

= a0 + a1 x + a2 x2 + . . .

2. Deret pangkat dalam (x – b) didefinisikan 

a n 0

n

x  b n = a0 + a1 (x-b) + a2 (x-b)2 + . . .

Untuk kali ini kita bicara selang kekonvergenan / untuk harga x berapa saja deret pangkat tersebut konvergen. [MUG1B3] KALKULUS II

16-Mar-15

54

SELANG KEKONVERGENAN Selang kekonvergenan ditentukan dengan uji hasil bagi mutlak sebagai berikut: Misalkan



 a x  b 

n 0

n

n

an  1 ( x  b)n  1 dan L  lim n an ( x  b)n

1. Jika L < 1, maka deret konvergen. 2. Jika L = 1, tidak dapat diambil kesimpulan  gunakan uji deret sebelumnya.


16-Mar-15

55

SOAL Tentukan selang kekonvergenan deret 

1.

 n 0



2.



xn (n  1)!



(n  1)! x n

n 0 

3.

xn (n  1)2n

n 0


16-Mar-15

56

JAWAB [1] 1. Kita akan gunakan Uji Hasil Bagi Mutlak, untuk menyelidiki kekonvergenan mutlak.

x n1 xn x (n  1) x L  lim n1 :  lim  n 2 (n  2) (n  1)2n n 2 (n  2) 2 Jadi deret tersebut konvergen mutlak apabila L< 1, yaitu –2 < x < 2 Kemudian akan kita cek untuk titik ujung intervalnya, yaitu x = 2 atau x = -2 . 

Pada x = 2 

 n 1

2n   n  1 2n



 n 1

1  n  1

deret ini adalah deret harmonik yang divergen. [MUG1B3] KALKULUS II

16-Mar-15

57

JAWAB [2] 

Pada x = –2

 2  n  n 1 2  n   n 1 

1 n    n  1 n 1 

deret ini adalah deret harmonik berganti tanda yang konvergen. Sehingga selang kekonvergenannya adalah –2  x < 2


16-Mar-15

58

JAWAB [3] 2. Kita akan gunakan Uji Hasilbagi Mutlak, untuk menyelidiki kekonvergenan mutlak.

x n1 xn x L  lim :  lim 0 n  n  2  !  n  1 ! n  n  2  Karena L = 0 < 1, maka deret selalu konvergen untuk semua nilai x. Jadi selang kekonvergenannya adalah (-,)


16-Mar-15

59

JAWAB [4] 3. Kita akan gunakan Uji Hasilbagi Mutlak, untuk menyelidiki kekonvergenan mutlak.

n  2  ! x n1  L  lim n  n  1 ! x n

 0, jika x  0  lim  n  2  x   n , jika x  0

Jadi deret tersebut konvergen hanya untuk x = 0.


16-Mar-15

60

TEOREMA 1 

Himpunan kekonvergenan deret pangkat



an x n berbentuk

n 0

selang yang berupa salah satu dari ketiga jenis berikut: 1. satu titik x = 0 2. selang (-c, c), mungkin ditambah salah satu atau keduanya titik ujungnya. 3. seluruh himpunan bilangan riil


16-Mar-15

61

TEOREMA 2 

Himpunan kekonvergenan deret pangkat

 a n ( x  b) n

n 0

berbentuk selang yang berupa salah satu dari ketiga jenis berikut : 1. satu titik x = b 2. selang (b-c, c+b), mungkin ditambah salah satu atau keduanya titik ujungnya. 3. seluruh himpunan bilangan riil


16-Mar-15

62

LATIHAN Tentukan selang kekonvergenan deret pangkat berikut: 

1.

( x  1) n

 n  1 n 0

2.

2

 x  2  ln 2 2

2.9

 x  2  ln 3 3



3.27

4



2 3     x  2 x  2 3.  x  2     ...

2!


 x  2  ln 4 4.81

 ...

3!

16-Mar-15

63

OPERASI DERET PANGKAT Dalam pasal sebelumnya untuk 1  x  1 deret 





ax  n

n 0

 n 1

ax n1 

a 1 x

Pertanyaan yang muncul mengenai sifat-sifat deret kuasa di 

atas (misal S(x)=

 ax

n

) misalkan bagaimana jika S(x)

n 0

didiferensialkan dan jika S(x) diintegralkan.


16-Mar-15

64

TEOREMA • Andaikan S(x) adalah jumlah sebuah deret pangkat pada sebuah selang I, jadi 

S ( x) 

a x

n

n

 a0  a1 x  a2 x 2  a3 x3  ...

n 0



maka : 1. S '( x) 

 n 0

D  an x n   d [a0  a1x  a2 x 2  a3 x3  ...]  a1  2a2 x  3a3 x 2  ... 



a n x

n 1

n

n 1

2. [MUG1B3] KALKULUS II



x

0



S (t ) dt 

 n 0

x

0

1 1 ant dt  a0 x  a1 x 2  a2 x3  ...  2 3 n



 n 0

an n1 x n 1 16-Mar-15

65

CONTOH

Sesuai teorema di atas, 1 = 1 + x + x2 + x3 + . . . untuk -1< x <1 1 x

Tentukan: a.

1

1  x 2

b. ln(1 – x)

Jawab: a. Dengan menurunkan suku demi suku, kita peroleh



 1  2 3 Dx    Dx 1  x  x  x  ... 1 x  1  1  2 x  3 x 2  ... 2 1  x  







n x n 1 ,  1  x  1

n 1


16-Mar-15

66

CONTOH b. ln (1 – x) Sedangkan dengan mengintegralkan suku demi suku, kita peroleh juga x

 ln(1  x ) 

x

1 dt  1  t  t 2  t 3  ... dt 1 t 0 0 x 1 2 1 3 1 4 1 1 1  t  t  t  t  ...  x  x 2  x 3  x 4  ... 2 3 4 2 3 4 0  1 n x , -1< x <1 ln(1  x )  n n 1








16-Mar-15

67

LATIHAN Tentukan (Petunjuk : Lihat contoh a dan b di atas) 1.

f ( x) 

2. f ( x ) 


1 1 x 1

1  x 

2

3.

x2 1 f ( x)   x2 1 x 1 x

4.

f ( x) 

5.

f ( x )  tan 1 x

6.

1 x  f ( x )  ln  1 x 

7.

1 f ( x)  2  3x 

1 1 x2

16-Mar-15

DERET TAYLOR DAN DERET MACLURIN Deret Taylor • Definisi: Misalkan f(x) dapat diturunkan sampai n kali pada x=b, maka f(x) dapat diperderetkan menjadi deret kuasa dalam bentuk 

f ( x) 

 n 0

f ( n ) (b) f ''(b)( x  b) 2 n  ...  x  b   f (b)  f '(b)( x  b)  n! 2!

deret di atas disebut Deret Taylor dengan pusat x = b. Bila b = 0, kita peroleh Deret Mac Laurin, yaitu 

f ( x) 

 n 0

16-Mar-15

f ''(0) x 2 f ( n ) (0) n  ...  x   f (0)  f '(0) x  n! 2!


68

69

Perderetkan fungsi berikut dengan deret maclaurin: 1. f(x)= sin x Jawab: f(x) = sin x

 f(0) = 0

f ’(x) = cos x

 f’(0) = 1

f ’’(x) = - sin x

 f’’(0) = 0

f ’’’(x) = - cos x

 f’’’(0) = -1

f lV (x) = sin x

 f lV(0) = 0

CONTOH

Sehingga,  x3 x5 x7 x 2 n 1 n f ( x)  sin x  x     . . .    1 3! 5! 7 ! 2n  1! n 0 [MUG1B3] KALKULUS II

16-Mar-15

70

2. f(x)=

CONTOH

ex

Jawab: f(x) = ex

 f(0) = 1

f ’(x) = ex

 f’(0) = 1

f ’’(x) = ex

 f’’(0) = 1

f ’’’(x) = ex

 f’’’(0) = 1

f lV (x) = ex

 f lV(0) = 1

Sehingga,

n  x 2 x3 x 4 x f ( x)  e  1  x     . . .   2 ! 3! 4 ! n 0 n !

x


16-Mar-15

71

CONTOH 3. Perderetkan f(x)= ex dengan deret taylor dengan pusat di x=1 Jawab: f(x) = ex

 f(1) = e

f ’(x) = ex

 f’(1) = e

f ’’(x) = ex

 f’’(1) = e

f ’’’(x) = ex

 f’’’(1) = e

f lV (x) = ex

 f lV(1) = e

Sehingga,

f ( x)  e [MUG1B3] KALKULUS II

x

2  x  1  e  e ( x  1)  e

2!

3  x  1 e

3!

. . . 





n0

n  x  1 e

n!

16-Mar-15

72

1. Perderetkan dengan f(x) berikut deret maclaurin a. f(x) = cos x

e. f(x) = sin2 x

b. f(x) = cos x2

f. f(x) = sec x

c. f(x) = cos2 x

g. f(x) = tan x

d. f(x) = ex + sin x

h. f(x) = sec x

LATIHAN

2. Perderetkan dengan f(x) berikut deret taylor dengan pusat x = a a. f(x) = cos x, a = /3

a. f(x) = ex, a = 2

b. f(x) = sin x, a = /3 [MUG1B3] KALKULUS II

16-Mar-15

BARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT)

Recommend Documents