1
RUANG VEKTOR Nurdinintya Athari (NDT)
RUANG VEKTOR Sub Pokok Bahasan • Ruang Vektor Umum • Subruang • Basis dan Dimensi • Basis Subruang
Beberapa Aplikasi Ruang Vektor • • • •
Beberapa metode optimasi Sistem kontrol Operation Research dan lain-lain
Ruang Vektor Umum Misalkan u , v , w V dan k, l Riil V dinamakan ruang vektor jika terpenuhi aksioma : 1. V tertutup terhadap operasi penjumlahan. Untuk setiap u , v V maka u v V 2. u v v u 3. u v w u v w 4. Terdapat 0 V sehingga untuk setiap u V berlaku u 0 0 u u 5. Untuk setiap u V terdapat u sehingga u u u u 0
6. V tertutup thd operasi perkalian dengan skalar. Untuk setiap u V dan k Riil maka k u V 7. k u v ku kv 8.
k l u ku lu
9. k l u l k u kl u 10. 1. u u
Contoh : 1. Himpunan vektor Euclides dengan operasi standar (operasi penjumlahan dan operasi perkalian dengan skalar). Notasi : Rn (Ruang Euclides orde n) • R : Bilangan real • R2 : Vektor di bidang • R3 : Vektor di ruang tiga dimensi 2. Himpunan matriks berukuran m x n dengan operasi standar (penjumlahan matriks dan perkalian matriks dengan skalar), Notasi : Mmxn (Ruang Matriks mxn) 3. Himpunan polinom pangkat n dengan operasi standar. Notasi : Pn (Ruang Polinom orde n)
Ruang Euclides orde n Operasi-Operasi pada ruang vektor Euclides: • Penjumlahan u v u1 v1 , u 2 v 2 , ..., u n v n • Perkalian dengan skalar Riil sebarang (k)
ku ku1 , ku 2 ,..., ku n
• Perkalian Titik (Euclidean inner product) u v u1v1 u 2 v 2 ... u n v n • Panjang vektor didefinisikan oleh : u u u
1
2
2
2
u1 u 2 ... u n
2
• Jarak antara dua vektor didefinisikan oleh : d u , v u v
u1 v1 2 u 2 v 2 2 ... u n v n 2
Contoh : Diketahui u 1, 1, 2, 3 dan v 2 , 2 , 1, 1 Tentukan panjang vektor dan jarak antara kedua vektor tersebut Jawab: Panjang vektor : u u u
1
2
12 12 2 2 32 15
Jarak kedua vektor v 2 2 2 2 12 12 10
d u , v u v
1 22 1 22 2 12 3 12
12 12 12 22
7
Misalkan W merupakan subhimpunan dari sebuah ruang vektor V. W dinamakan subruang (subspace) V jika W juga merupakan ruang vektor yang tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar. Syarat W disebut subruang dari V adalah : 1. W { } 2. W V 3. Jika u , v W maka u v W 4. Jika u W dan k Riil maka k u W
Contoh 1: Tunjukan bahwa himpunan W yang berisi semua matriks orde 2x2 dimana setiap unsur diagonalnya adalah nol merupakan subruang dari ruang vektor matriks 2x2 Jawab : 0 0 W maka W 1. O 0 0 2. Jelas bahwa W M2x2
3. Ambil sembarang matriks A, B W 0 b1 0 a1 dan B Tulis A a2 0 b2 0
Perhatikan bahwa : 0 a1 0 b1 A B b a 0 0 2 2 a1 b1 0 a b 0 2 2 Ini menunjukan bahwa A B W 4. Ambil sembarang matriks A W dan k Riil, maka
0 kA ka2
ka1 W 0
Ini menunjukan bahwa
kA W
Jadi, W merupakan Subruang dari M2x2.
Contoh 2 Apakah W sub ruang dari ruang vektor R3 jika W didefinisikan sebagai {(a,b,c) dimana a.b.c = 0} Jawab W = {(a,b,c) dimana a.b.c = 0, a,b,c R} Vektor (0,0,0) W
W ≠ { } dan W R3
Misalkan a = (0,1,2), b = (2,1,0) adalah vector di W c = a + b = (2,2,2)
c bukan vector di W karena 2.2.2 = 8 ≠ 0
W bukan sub ruang di R3
* Jika c di W, kita tidak dapat membuat kesimpulan bahwa W sub ruang dari R3
Contoh 3: Periksa apakah himpunan W yang berisi semua matriks orde 2x2 yang determinannya nol merupakan subruang dari ruang vektor M2x2 Jawab :
a b a b W= det 0, a, b, c, d R c d c d 0 0 1. W , maka W 0 0 2. Jelas bahwa W M 22
3. Misalkan ambil sembarang matriks A, B W. Pilih a ≠ b : a b , jelas bahwa det (A) = 0 A 0 0 0 0 , jelas bahwa det (B) = 0 B b a
A B
a b = b a
Karena a ≠ b
Maka det (A + B ) = a2 – b2 ≠ 0 Jadi W bukan merupakan subruang karena tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan
Contoh 4 Tunjukkan bahwa W : garis yang berasal dari titik pusat di bidang adalah sub ruang dari ruang vektor R2 Jawab W = {(x,y) | ax + by = 0, a,b R} W≠{} 1. Garis x + y = 0 dan x – y = 0 W 2. Misalkan Garis1: a1x + b1y = 0 dan Garis2 : a2x + b2y = 0 adalah garis di W
W R2
3. Garis3 = Garis1+Garis2 = (a1+a2)x + (b1+b2)y = 0 ada di W 4. k Garis1= ka1x + kb1y = 0 ada di W Maka, W sub ruang di R2
Sebuah vektor u dinamakan kombinasi linear dari vektor-vektor
v1, v2 , … , vn jika vektor-vektor tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk :
u k1v1 k 2v2 ... k n vn dimana k1, k2, …, kn adalah skalar riil.
Contoh
Misal u (2, 4, 0) dan v (1, – 1, 3) adalah vektor-vektor di R3. Apakah vektor berikut merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor di atas
a. a (4, 2, 6) b. b (1, 5, 6) c. c (0, 0, 0)
Jawab : a. Tulis k1u k 2 v a akan diperiksa apakah ada k1, k2, sehingga kesamaan tersebut dipenuhi. 4 1 2 k1 4 k 2 - 1 2 6 3 0
Ini dapat ditulis menjadi: 2 1 4 1 0 3
k1 4 2 k 6 2
dengan OBE, diperoleh:
2 1 4 -1 0 3
4 1 12 2 ~ 0 1 6 0 0
2 1 0 2 ~ 0 1 0 0 0
1 2 0
Dengan demikian, k1 = 1 dan k2 = 2
a merupakan kombinasi linear dari vektor u dan v atau
a u 2v
b. Tulis : k1u k 2 v b 2 k1 4 k 2 0
1 1 -1 5 3 6
ini dapat ditulis menjadi: 2 1 4 1 0 3
1 k1 5 k2 6
dengan OBE dapat kita peroleh : 2 4 0
1 -1 3
1 5 6
1 ~ 0 0
1
2
-3 3
0 3 ~ 6
1 0 0
1
1 0
2
2 ~ 3 1
2
1 0 0
0 1 0
2 3
-1
2
Baris terakhir pada matriks ini menunjukkan bahwa SPL tersebut adalah tidak konsisten (tidak mempunyai solusi). Jadi, tidak ada nilai k1 dan k2 yang memenuhi b tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari u dan v
c. Dengan memilih k1 = 0 dan k2 = 0, maka dapat ditulis
k1u k 2 v c
artinya vektor nol merupakan kombinasi linear dari vektor apapun.
LATIHAN Misalkan
u = (1, 2, -1) dan v = (6, 4, 2)
adalah vektor di R3. Apakah vektor berikut merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor di atas a.
a = (9, 2, 7)
b. b = (4, -1, 8) c.
c
= (2, 6, 10)
Definisi membangun dan bebas linear Himpunan vektor S v1 , v 2 , ... , v n dikatakan membangun suatu ruang vektor V jika setiap vektor pada V selalu dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor di S. Contoh : Tentukan apakah v1 = (1, 1, 2),
v2 = (1, 0, 1), dan
v3 = (2, 1, 3)
membangun V???
Jawab : Ambil sembarang vektor di R2 misalkan .
Tulis : .
u1 u u2 u 3
u k1 v1 k 2 v 2 k 3 v 3
Sehingga dapat ditulis dalam bentuk : 1 1 2 k1 u1 1 0 1 k u 2 2 u 2 1 3 k3 3
Syarat agar dapat dikatakan kombinasi linear SPL tersebut harus mempunyai solusi (konsisten) Dengan OBE diperoleh :
Agar SPL itu konsisten haruslah u3 – u2 – u1 = 0 Ini kontradiksi dengan pengambilan vektor sembarang (unsur-unsurnya bebas, tak bersyarat) Dengan demikian, vektor-vektor tersebut tidak membangun R3
Misalkan S u1 , u 2 ,..., u n adalah himpunan vektor diruang vektor V S dikatakan bebas linear (linearly independent) JIKA SPL homogen :
k1u1 k2u2 ... kn un 0 hanya mempunyai satu solusi (tunggal), yakni k1 0, k 2 0, ... , k n 0 Jika solusinya tidak tunggal, maka S kita namakan himpunan tak bebas linear (Bergantung linear / linearly dependent)
Contoh : Diketahui u 1, 3, 2 dan a 1, 1, 1 Apakah saling bebas linear di R3 Jawab : Tulis
k1u k 2 a 0
atau -1 1 k1 1 3 2 1 k2
0 0 0
dengan OBE dapat diperoleh : -1 1 0 1 1 0 ~ 0 3 2 1 0 0
1 0 1 0 0 0 1 0 4 0 ~ 0 0 0 1 0
dengan demikian diperoleh solusi tunggal yaitu : k1 = 0, dan k2 = 0. Ini berarti ū dan ā adalah saling bebas linear.
Contoh : Misalkan
, 1 a 3 2 ,
2 1 b 1 c 6 1 4
Apakah ketiga vektor diatas saling bebas linear R3 Jawab : Tulis : 0 k1 a k 2 b k 3 c
atau
2 k1 0 1 1 3 1 6 k 2 0 2 1 4 k 0 3
dengan OBE diperoleh : 1 1 1 2 0 ~ 0 0 4 0 1 0 0
1 2 1 0 0 0
Ini menunjukan bahwa k1, k2, k3 merupakan solusi tak hingga banyak Jadi
a , b , c adalah vektor-vektor yang bergantung linear.
1 0 0 0 1 0 0 0 0
1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0
1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0
0 0
Basis dan Dimensi Jika V adalah sembarang ruang vektor dan S = { ū1, ū2, … , ūn } merupakan himpunan berhingga dari vektor-vektor di V, maka S dinamakan basis bagi V jika kedua syarat berikut dipenuhi : • S membangun V • S bebas linear
Contoh : Tunjukan bahwa himpunan matriks berikut : M
3 6 3 6,
8 1 0 0 1 0 1 0 , 12 4, 1 2
merupakan basis bagi matriks berukuran 2 x 2 Jawab : Tulis kombinasi linear :
0 1 3 6 k3 k1 k 2 1 0 3 6 atau 3k1 k 4 3k1 k 2 12k 3 k 4
0 8 12 4 k4
1 0 a b 1 2 c d
6k1 k 2 8k 3 a b 6k1 4k 3 2k 4 c d
dengan menyamakan setiap unsur pada kedua matriks, diperoleh SPL : 0 0 1 k1 a 3 6 1 8 0 k b 2 3 1 12 1 k3 c 6 0 4 2 k 4 d
Determinan matriks koefisiennya (MK) = 48 • det(MK) 0 SPL memiliki solusi untuk setiap a,b,c,d Jadi, M membangun M2 x 2 • Ketika a = 0, b = 0, c = 0, d = 0, det(MK) 0 SPL homogen punya solusi tunggal. Jadi, M bebas linear.
Karena M bebas linear dan membangun M2 x 2 maka M merupakan basis bagi M2 x 2. Ingat… Basis untuk setiap ruang vektor adalah tidak tunggal. Contoh : Untuk ruang vektor dari M2 x 2, himpunan matriks :
1 0 0 1 0 0 0 0 0 1, 0 0, 1 0, 0 1
juga merupakan basisnya.
Misalkan matriks : 1 2 1 1 A 1 2 3 1 1 2 2 1
Vektor baris
Vektor kolom dengan melakukan OBE diperoleh :
Perhatikan kolom-kolom pada matriks hasil OBE
matriks A mempunyai basis ruang kolom yaitu : 1 1 1 , 3 1 2
basis ruang baris diperoleh dengan cara, mentransposkan terlebih dahulu matriks A, lakukan OBE pada At, sehingga diperoleh :
Kolom-kolom pada matriks hasil OBE yang memiliki satu utama berseseuaian dengan matriks asal (A). Ini berarti, matriks A tersebut mempunyai basis ruang baris : 1 1 2 2 , 1 3 1 1
Dimensi basis ruang baris = ruang kolom dinamakan rank. Jadi rank dari matriks A adalah 2.
Contoh : Diberikan SPL homogen : 2p + q – 2r – 2s = 0 p – q + 2r – s =0 –p + 2q – 4r + s = 0 3p – 3s =0 Tentukan basis ruang solusi dari SPL diatas Jawab :
2 1 2 2 SPL dapat ditulis dalam bentuk : 1 1 2 1 1 2 4 1 3 0 0 3
0 0 0 0
dengan melakukan OBE diperoleh : 1 0 0 0
0 0 1 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Solusi SPL homogen tersebut adalah : p 1 0 q 0 2 r 0 a 1 b s 1 0 dimana a, b merupakan parameter.
Jadi, basis ruang solusi dari SPL diatas adalah :
1 0 0 , 1
0 2 1 0
Dimensi dari basis ruang solusi dinamakan nulitas. Dengan demikian, nulitas dari SPL diatas adalah 2.
Latihan Bab 5 6 3 1.Nyatakanlah matriks 0 8
sebagai kombinasi linear dari matriks berikut : 1 2 0 1 3 , 2
1 4 2 , dan 4 0 2
2. Periksa, apakah himpunan berikut bebas linear ! a. {6 – x2 , 6 + x + 4x2 } b. {1 + 3x + 3x2, x + 4x2, 5 + 6x + 3x2, 7 + 2x – x2} 3. Periksa, apakah himpunan A = {6 – x2 , 6 + x + 4x2 } membangun polinom orde 2 !
4. Periksa, apakah himpunan berikut merupakan basis bagi polinom orde 2 (P2) a. {4 + 6x + x2, – 1 + 4x + 2x2, 5 + 2x – x2} b. {– 4 + x + 3x2, 6 + 5x + 2x2, 8 + 4x + x2} 5. Misalkan J a bx cx 2
a 2 b 2 c 2
merupakan himpunan bagian dari ruang vektor Polinom orde dua. Periksa apakah J merupakan sub ruang dari ruang vektor Polinom orde dua Jika ya, tentukan basisnya
6. Diberikan SPL homogen : p + 2q + 3 r = 0 p + 2q – 3 r = 0 p + 2q + 3 r = 0, Tentukan basis ruang solusi (buktikan) dan tentukan dimensinya. 7. Tentukan rank dari matriks : 1 2 1 1 1 2 3 1 1 2 2 1
