RUANG VEKTOR (lanjut..)

RUANG VEKTOR (V t Space) (Vector S ) dan Ruang Bagian (Subspace)

28/02/2009

budi murtiyasa ums surakarta

1

RUANG VEKTOR (VECTOR SPACE) Diketahui himpunan V dengan u, v, w ∈ V dan operasii (+) berlaku b l k diantara di t anggota-anggota t t V. V Diketahui Field F dengan a, b ∈ F. Antara anggota-anggota F dan anggotagg V berlaku operasi p ((x). ) anggota Himpunan V disebut ruang vektor atas field F jika berlaku : 28/02/2009


2

RUANG VEKTOR (lanjut..)

Untuk operasi (+) ( ) pada anggota-anggota anggota anggota V memenuhi sifat : 1 tertutup; u + v ∈ V 1. 2. asosiatif; (u + v) + w = u + (v + w) 3 mempunyaii elemen 3. l id identitas tit 0 0; sedemikian hingga u + 0 = u 4. setiap unsurnya mempunyai invers; setiap u ada (-u) ( u) sehingga u + ((- u) = 0 5. komutatif; u + v = v + u 28/02/2009


3

RUANG VEKTOR (lanjut..)

Antara anggota anggota-anggota anggota F dengan anggota anggotaanggota V memenuhi sifat : 6. tertutup; a u ∈ V 7. distributif; a ( u + v)) = a u + a v 8. distributif; (a + b) u = a u + b u 9 asosiatif; a (b u) = (a b) u 9. 10. identitas perkalian; ada 1 ∈ F, sehingga 1u=u

28/02/2009


4

Catatan : 1 Jika V mer 1.Jika merupakan pakan ruang r ang vektor, ektor anggotaanggota anggota gg V disebut vektor. 2.Operasi penjumlahan pada V selanjutnya di b t operasii penjumlahan disebut j l h vektor kt 3.Operasi p p perkalian antara anggota gg F dengan g anggota V disebut perkalian skalar 4. Vektor 0 ∈ V yg merupakan elemen identitas penjumlahan vektor, disebut Vektor nol. 5. Vektor (-u) yang merupakan invers dari vektor u adalah lawan atau negatif dari u. 28/02/2009


5

Berdasarkan definisi ruang vektor tersebut, semua himpunan yang memenuhi ke 10 sifat g vektor; dan anggotagg tersebut dinamakan ruang anggotanya dapat disebut sebagai vektor.

Contoh : M = { semua matriks berdimensi 3x2}. Operasi penjumlahan pada M adalah operasi penjumlahan matriks. Operasi perkaliannya k li adalah d l h perkalian k li skalar k l d darii F g anggota-anggota gg gg M. dengan Apakah M merupakan ruang vektor ? 28/02/2009


6

Solusi : Ambil A3x2, B3x2, C3x2 ∈ M 1. Tertutup dipenuhi, sebab A + B = D3x2 ∈ M 2. asosiatif dipenuhi, sebab (A + B) + C = A + (B + C) 3. Mempunnyai identitas,

4. Untuk setiap

⎛ a 11 ⎜ A = ⎜ a 21 ⎜ ⎝ a 31

⎛0 ⎜ O = ⎜0 ⎜0 ⎝

0⎞ ⎟ 0⎟ 0 ⎟⎠

a 12 ⎞ ⎟ a 22 ⎟ a 32 ⎟⎠

⎛ − a 11 ⎜ − A = ⎜ − a 21 ⎜− a 31 ⎝

ada

sehingga A + 0 = A − a 12 ⎞ ⎟ − a 22 ⎟ − a 32 ⎟⎠

sehingga A + - A = 0

5. Komutatif dipenuhi ; A + B = B + A 6. Untuk kk, m ∈ F ; maka k A ∈ M 6 7. distributif; k(A + B) = k A + k B 8. distributif; (k + m) A = k A + m A 9 asosiatif; 9. i if k ((m A) = (k m)) A 10. identitas perkalian; ada 1 ∈ F, sehingga 1 A = A Karena 10 sifat dipenuhi, maka M adalah ruang vektor. 28/02/2009


7

Manakah yang merupakan ruang vektor ? 1 P = {semua 1. {sem a polinom berderajat 2} 2}, dengan operasi penj penjumlahan mlahan antara polinom dan perkalian skalar dengan polinom. 2. Himpunan 2-tuple, dengan operasi penjumlahan adalah sbb :

⎛ a1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎛ a1 + b1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ a2 ⎠ ⎝ b2 ⎠ ⎝ a2 − b2 ⎠

dengan operasi perkalian didefinisikan

⎛ a1 ⎞ ⎛ ka1 ⎞ ⎟⎟ k ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝ a2 ⎠ ⎝ ka2 ⎠ 3. Himpunan 2-tuple, dengan operasi penjumlahan adalah sbb :

⎛ a1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎛ a1 + b1 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ a2 ⎠ ⎝ b2 ⎠ ⎝ a2 + b2 ⎠

k 1⎞ ⎛ a1 ⎞ ⎛ ka k ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ 28/02/2009 ⎝ 1 ⎠ ⎝ a2 ⎠


8

Himpunan pasangan berurutan dari n bilangan real (n – tuple) :

⎛ a1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ a2 ⎟ dengan operasi penjumlahan yg didefinisikan dengan : a=⎜ ⎟ ... ⎜ ⎟ ⎜a ⎟ ⎝ n⎠ ⎛ a1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ a2 ⎟ ⎜ ... ⎟ ⎜ ⎟ ⎜a ⎟ ⎝ n⎠

+

⎛ a1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ a2 ⎟ = k⎜ ⎟ ... ⎜ ⎟ ⎟ ⎜28/02/2009 a ⎝ n⎠

⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ b2 ⎟ ⎜ ... ⎟ ⎜ ⎟ ⎜b ⎟ ⎝ n⎠ ⎛ ka1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ka2 ⎟ ⎜ ... ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ka ⎟ ⎝ n⎠

=

⎛ a1 + b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ a2 + b2 ⎟ ⎜ ... ⎟ ⎟ ⎜ ⎜a + b ⎟ ⎝ n n⎠

dengan operasi perkalian Didefinisikan :

Himpunan n-tuple tersebut memenuhi 10 sifat ruang vektor. Jadi himpunan n-tuple dari bilangan real adalah ruang vektor. Secara umum dinyatakan budi murtiyasa dengan Rn.ums surakarta

9

Teorema 1: Andaikan V adalah ruang vektor F maka dengan u ∈ V dan k ∈ F, (i) Untuk 0 ∈ F, berlaku 0 u = O (ii) Untuk O ∈ V, berlaku k O = O (iii) Untuk -1 ∈ F, berlaku (-1) u = - u (iv) Jika k u = 0, maka k = 0 atau u = O (v) –(k (k u) = ((-k) k) u = k (( u)

28/02/2009


10

0 ∈ F,, berlaku 0 u = O Bukti : 0+0=0 sifat field (0 + 0) u = 0 u 0 +0 0u 0u = 0 0u sifat if t RV kke 7 0u + 0u + (- 0u) = 0u + (-0u) 0u + 0 = 0 sifat RV ke 4 0u = 0 sifat RV ke 3 (terbukti).

28/02/2009


11

RUANG VEKTOR BAGIAN

v

W

Ruang vektor

M

W⊂V M ⊂V

Jika W memenuhi 10 aksioma ruang vektor vektor, maka W disebut Ruang Bagian (Subspace) V

Ruang Vektor Bagian (Subspace) Teorema : W adalah subspace dari ruang vektor V jika dan hanya jika • W tidak kosong • Tertutup T t t terhadap t h d penjumhan; j h u, v ∈ W; W u+ v∈W • Tertutup terhadap perkalian; u ∈ W, au ∈ W; W dengan d a adalah d l h skalar. k l

Akibat Teorema : W subspace dari ruang vektor V jika dan hanya jika : ¾O ∈ W ¾ Untuk u u, v ∈ W, W maka ku + lv ∈ W; dengan k, l adalah skalar. Contoh :

A d ik V = R3. Andaikan ⎛a ⎜ Apakah W = { ⎜ b ⎜c ⎝

⎞ ⎟ ⎟ | b = 2c; a, b, c ∈ R }. ⎟ ⎠

Selidiki apakah W subspace dari V ?.

(i)0 = (ii)

⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠

anggota W sebab 0 = 2.0

⎛ a1 ⎞ ⎜ ⎟ Misal u = ⎜ b1 ⎟ ⎜c ⎟ ⎝ 1⎠ ⎛ a2 ⎞ v = ⎜b ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜c ⎟ ⎝ 2⎠

dengan syarat b1 = 2c1 d dengan syarat b2 = 2c 2 2

⎛ ka 1 + la 2 ⎞ ⎛ la 2 ⎞ ⎛ ka 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ku + lv = ⎜ kb ⎟ + ⎜ lb 2 ⎟ = ⎜ kb1 + lb 2 ⎟ 1 ⎜ kc + lc ⎟ ⎜ lc ⎟ ⎜ kc ⎟ 2 ⎠ ⎝ 1 ⎝ 2⎠ ⎝ 1⎠

kb1 + lb2 = 2kc1 + 2lc2 = 2(kc1 + lc2) Jadi ku + lv adalah anggota W W. Jadi W subspace V

Teorema : Andaikan U dan W adalah subspace dari V, maka U ∩ W jjuga g subspace p dari V

Bukti : Karena U dan W adalah subspace subspace,, maka O ∈ U dan O ∈ W, berarti O ∈ (U ∩ W). Ambil u, v ∈ (U ∩ W), berarti : u, v ∈ U au + bv ∈ U u v∈W u, au + bv ∈ W au + bv ∈ (U ∩ W). Jadi U ∩ W adalah subspace dari V.

Contoh : Andaikan V = R3. Jika U dan W adalah subspace V dengan : ⎛a⎞ U={ ⎜ ⎟ |a+b=0 0; a, b b, c ∈ R }}, d dan

W={

⎜b⎟ ⎜c⎟ ⎝ ⎠ ⎛ a⎞ ⎜ ⎟ ⎜ b⎟ ⎜c⎟ ⎝ ⎠

| a = 2c; a, b, c ∈ R }, maka :

⎛ a⎞ ⎜ ⎟ U∩W = { ⎜ b ⎟ | a + b = 0; a = 2c; dng a,b, c ∈R }. ⎜c⎟ ⎝ ⎠

Tunjukkan bahwa U ∩ W juga subspace dari V.

RUANG VEKTOR (lanjut..)

Recommend Documents