MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN

4

Vektor di Bidang dan di Ruang

Vektor di Bidang dan Ruang Sub Pokok Bahasan •

Notasi dan Operasi Vektor

•

Perkalian titik

•

Perkalian silang

Beberapa Aplikasi

2

•

Proses Grafika Komputer

•

Kuantisasi pada Proses Kompresi

•

Least Square pada Optimisasi

•

dan lain-lain.

3/1/2017

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Notasi Vektor •

Vektor adalah besaran yang mempunyai arah

•

Notasi Vektor

•

Notasi Panjang Vektor

𝑐1 𝑐റ = 𝑐2 = 𝑐1 𝑖Ƹ + 𝑐2 𝑗Ƹ + 𝑐3 𝑘෠ 𝑐3

𝑐റ =

•

3

𝑐12 + 𝑐22 + 𝑐32

Vektor Satuan adalah vektor dengan panjang atau norm sama dengan satu

3/1/2017


Operasi Vektor •

Operasi Vektor meliputi: A. Penjumlahan antar Vektor (Vektor-vektor yang berasal dari ruang yang sama) B. Perkalian Vektor

i.

Vektor dengan scalar

ii. Vektor dengan vektor a. Hasil Kali Titik (Dot Product) b. Hasil Kali Silang (Cross Product)

4

3/1/2017


Operasi Vektor_Penjumlahan antar Vektor A. Penjumlahan antar Vektor Misalkan 𝑢 dan 𝑣റ adalah vektor-vektor yang berada diruang yang sama. vektor 𝑢+𝑣റ didefiniskan

𝒖 Contoh: Misalkan 𝑢 = (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) dan 𝑣റ = (𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ) maka 𝑢 + 𝑣റ = (𝑢1 + 𝑣1 , 𝑢2 + 𝑣2 , 𝑢3 + 𝑣3 ) 5

3/1/2017


Operasi Vektor_Perkalian Vektor dengan Skalar i.

Vektor dengan scalar Perkalian vektor 𝑢 dengan scalar 𝑘, (𝑘 𝑢) didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya 𝑘 kali panjang vektor 𝑢 dengan arah:

𝟐𝒖

- Searah dengan 𝑢, jika 𝑘 > 0 - Berlawanan arah dengan 𝑢, jika 𝑘 < 0

𝒖 Contoh: Misalkan 𝑢 = (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ) dan 𝑣റ = (𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ) maka

-𝒖

1. 𝑢 − 𝑣റ = (𝑢1 − 𝑣1 , 𝑢2 − 𝑣2 , 𝑢3 − 𝑣3 )

2. 𝑘𝑢 = (𝑘𝑢1 , 𝑘𝑢2 , 𝑘𝑢3 )

6

3/1/2017


Operasi Vektor_Perkalian antar Vektor (Dot Product) ii. Vektor dengan vektor a. Hasilkali Titik (Dot Product) Hasilkali titik merupakan operasi antara dua buah vektor pada ruang yang sama. Hasil perkalian ini menghasilkan sebuah skalar. Misalkan 𝑢 dan 𝑣റ adalah vektor pada ruang yang sama, Maka hasil kali titik antara 2 vektor tersebut adalah: 𝑢 ∙ 𝑣റ = 𝑢 𝑣റ cos 𝛼 dimana 𝑢 : panjang 𝑢 𝑣റ : panjang 𝑣റ 𝛼

7

3/1/2017

: sudut antara keduanya


Operasi Vektor_Perkalian antar Vektor (Dot Product)_2 Contoh: Tentukan hasil kali titik dari dua vektor 𝑎റ = 2𝑖Ƹ dan 𝑏 = 2𝑖Ƹ + 2𝑗Ƹ Jawab:

𝑦

𝑥 Karena tan 𝛼 = 1 ; artinya 𝛼 = 45 𝑎റ ∙ 𝑏 = 𝑎 =2 8

𝑏 cos 𝛼 1 2

=4 8

3/1/2017


Operasi Vektor_Perkalian antar Vektor (Dot Product)_3 Ingat aturan cosinus

c

a



𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐 cos 𝛼

b

Perhatikan

𝑎റ 𝑏 − 𝑎റ

𝑎റ



−𝑏 𝑏 − 𝑎റ 9

2

3/1/2017

= 𝑎റ

2

+ 𝑏

𝑏 𝑏

2

− 2 𝑎റ

𝑏 cos 𝛼 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Operasi Vektor_Perkalian antar Vektor (Dot Product)_4 Selanjutnya dapat ditulis

𝑎റ

1 𝑏 cos 𝛼 = 2

𝑎റ

2

+ 𝑏

2

− 𝑏 − 𝑎റ

2

Ingat bahwa:

1. 𝑎റ ∙ 𝑏 = 𝑎റ

𝑏 cos 𝛼

2. ‖𝑎റ ‖2 = 𝑎12 + 𝑎22 + ⋯ + 𝑎𝑛2 3. ‖𝑏 ‖2 = 𝑏12 + 𝑏22 + ⋯ + 𝑏𝑛2 4.

𝑏 − 𝑎റ

2

= 𝑏1 − 𝑎1

2

+ 𝑏2 − 𝑎2

2

+ ⋯ + 𝑏𝑛 − 𝑎𝑛

2

= 𝑏12 + 𝑏22 + … + 𝑏𝑛2 + 𝑎12 + 𝑎22 + ⋯ + 𝑎𝑛2 − 2𝑏1 𝑎1 − 2𝑏2 𝑎2 − ⋯ − 2𝑏𝑛 𝑎𝑛 𝑎റ ∙ 𝑏 = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑏𝑛

10

3/1/2017


Operasi Vektor_Perkalian antar Vektor (Dot Product)_5 Perhatikan setiap sukunya, diperoleh hubungan: 𝑎റ ∙ 𝑏 = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑏𝑛 Tentukan kembali hasil kali titik dari dua vektor pada contoh sebelumnya, maka 𝑎റ ∙ 𝑏 = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 = 2(2) + 0(2) =4 Beberapa sifat hasilkali titik:

1. 𝑎റ ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎റ

2. 𝑎റ ∙ 𝑏 + 𝑐റ = 𝑎റ ∙ 𝑏 + (𝑎റ ∙ 𝑐) റ 3. 𝑘 𝑎റ ∙ 𝑏 = 𝑘𝑎റ ∙ 𝑏=𝑎റ ∙ 𝑘𝑏, dimana 𝑘 ∈ 𝑅

11

3/1/2017


Operasi Vektor_Perkalian antar Vektor (Dot Product)_6 𝑎റ 𝑤

𝑐റ = 𝑃𝑟𝑜𝑗𝑏 𝑎റ

𝑏

Terlihat bahwa 𝑃𝑟𝑜𝑗𝑏 𝑎റ = 𝑐=𝑘𝑏 റ

Karena 𝑎റ = 𝑤 + 𝑐റ ↔ 𝑎റ ∙ 𝑏 = (𝑤 + 𝑐) റ ∙𝑏 = 𝑤 ∙ 𝑏 + 𝑐റ ∙ 𝑏 =𝑘𝑏 ∙𝑏

↔𝑘=

=𝑘 𝑏 𝑎റ ∙ 𝑏 𝑏

2

2

Sehingga dapat disimpulkan

𝑃𝑟𝑜𝑗𝑏 𝑎റ = 𝑐= റ 12

3/1/2017

𝑎 ∙𝑏 𝑏

2

𝑏 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Operasi Vektor_Perkalian antar Vektor (Dot Product)_7 Contoh: −2 1 Tentukan proyeksi orthogonal vektor 𝑢 = −4 terhadap vektor 𝑣റ = 3 3 −4 Jawab:

𝑃𝑟𝑜𝑗𝑣 𝑢 = =

=

𝑢∙𝑣 𝑣റ 𝑣 2 −2 1 −4 ∙ 3 3 −4 2 2 1 +3 + −4 2

26

3/1/2017

1 3 −4 1 −1 3 = −3 −4 4

−2+ −12 +(−12) 26

= − 26 13

1 3 −4


Operasi Vektor_Perkalian antar Vektor (Cross Product)_1 b. Hasilkali silang (Cross Product) Hasilkali silang merupakan operasi antara dua buah vektor pada ruang ℝ3 . Hasil perkalian ini menghasilkan sebuah vektor di ℝ𝟑 yang tegak lurus terhadap kedua vektor lainnya. 𝑖Ƹ 𝑗Ƹ 𝑘෠ 𝑐റ = 𝑎റ × 𝑏 = 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑏1 𝑏2 𝑏3 𝑎2 𝑎3 𝑎1 𝑎3 𝑎1 𝑎2 = 𝑏 𝑏 𝑖Ƹ − 𝑏 𝑏 𝑗Ƹ + 𝑏 𝑏 𝑘෠ 2 3 1 3 ! 2

14

3/1/2017


Operasi Vektor_Perkalian antar Vektor (Cross Product)_2 Contoh: Tentukan 𝑤 = 𝑢 × 𝑣റ dimana 𝑢 = 1,2, −2 , 𝑣റ = 3,0,1 Jawab: 𝑖Ƹ 𝑗Ƹ 𝑤 = 𝑢 × 𝑣റ = 𝑢1 𝑢2 𝑤1 𝑤2 𝑖Ƹ 𝑗Ƹ 𝑘෠ = 1 2 −2 3 0 1

𝑘෠ 𝑢3 𝑤3

= 2.1 − 0 −2 𝑖+(3(-2)-1(1)) Ƹ 𝑗+(1(0)-3(2)) Ƹ 𝑘෠ = 2𝑖Ƹ − 7𝑗Ƹ − 6𝑘෠

15

3/1/2017


Operasi Vektor_Perkalian antar Vektor (Cross Product)_3 Beberapa sifat Cross Product:

a. 𝑢 ∙ 𝑢 × 𝑣റ = 0 b. 𝑣റ ∙ 𝑢 × 𝑣റ = 0 c. 𝑢 × 𝑣റ 2 = 𝑢

2

𝑣റ

2

− 𝑢 ∙ 𝑣റ

2

Dari sifat ke-3 diperoleh 𝑢 × 𝑣റ

2

= 𝑢

2

𝑣റ

2

− 𝑢 ∙ 𝑣റ

2

= 𝑢

2

𝑣റ

2

− 𝑢 ∙ 𝑣റ

2

= 𝑢

2

𝑣റ

2

−

𝑣റ cos 𝛼

= 𝑢

2

𝑣റ

2

− 𝑢

= 𝑢

2

𝑣റ

2

1 + cos 2 𝛼

= 𝑢

2

𝑣റ

2 sin2 𝛼

Jadi 𝑢 × 𝑣റ = 𝑢 16

3/1/2017

𝑢 2

𝑣റ

2

2 cos 2 𝛼

𝑣റ sin 𝛼 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Operasi Vektor_Perkalian antar Vektor (Cross Product)_4 Perhatikan Ilustrasi berikut: 𝑣റ 𝑣റ sin 𝛼

𝛼 𝑢

𝑢

Luas Jajar Genjang= 𝑢 × 𝑣റ = 𝑢

𝑣റ sin 𝛼

Luas Segitiga yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut adalah 1 𝑢 × 𝑣റ 2

17

3/1/2017


Operasi Vektor_Perkalian antar Vektor (Cross Product)_5 Diketahui titik-titik diruang adalah 𝐴 = 1, −1, −2 𝐵 = 4,1,0 𝐶 = (2,3,3) Dengan menggunakan hasilkali silang, tentukan luas segitiga ABC!

Jawab: Orientasi pada titik A 1. 𝐴𝐵 = 𝐵 − 𝐴 = 4,1,0 - 1, −1, −2 =(3,2,2) 2. 𝐴𝐶 = 𝐶 − 𝐴 = (2,3,3) - 1, −1, −2 =(1,4,5) 𝑖Ƹ 𝐴𝐵 × 𝐴𝐶 = 3 1

𝑗Ƹ 2 4

𝑘෠ 2 = 2𝑖Ƹ − 13𝑗Ƹ + 10𝑘෠ 5

Luas segitiga 𝐴𝐵𝐶 yang berimpit di 𝐴 adalah Luas= 18

3/1/2017

1 2

4 + 169 + 100 =

1 2

273 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Operasi Vektor_Perkalian antar Vektor (Cross Product)_6 Orientasi pada titik B 1. 𝐵𝐴 = 𝐴 − 𝐵 = 1, −1, −2 − 4,1,0 =(-3,-2,-2) 2. 𝐵𝐶 = 𝐶 − 𝐵 = (2,3,3) - 4,1,0 =(-2,2,3) 𝑖Ƹ 𝐵𝐴 × 𝐵𝐶 = − 3 −2

𝑗Ƹ −2 2

𝑘෠ −2 = -2𝑖Ƹ + 13𝑗Ƹ − 10𝑘෠ 3

Luas segitiga 𝐴𝐵𝐶 yang berimpit di 𝐴 adalah Luas=

19

3/1/2017

1 2

4 + 169 + 100 =

1 2

273


LATIHAN 1. Tentukan cos α sudut yang terbentuk oleh pasangan vektor berikut: 6 1 a) 𝑢 = dan 𝑣റ = 2 −8 1 8 b) 𝑢 = −3 dan 𝑣റ = −2 7 −2 2. Tentukan proyeksi orthogonal vektor terhadap vektor dan tentukan panjang vektor proyeksi tersebut: 2 −3 a) 𝑢 = dan 𝑣റ = 1 2 2 1 b) 𝑢 = −1 dan 𝑣റ = 2 3 2 3. Tentukan 2 buah vektor satuan di bidang yang tegak lurus terhadap 3 𝑢= −2

20

3/1/2017


LATIHAN_2 4. Tentukan vektor yang tegak lurus terhadap vektor −7 2 𝑢 = 3 dan 𝑣റ = 0 1 4 5. Tentukan luas segitiga yang mempunyai titik sudut 𝑃 2,0, −3 , 𝑄(1,4,5) dan 𝑅(7,2,9)

21

3/1/2017

THANK YOU

MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Recommend Documents