Pendahuluan Hasil kali titik Hasil kali silang Garis dan bidang di ruang dimensi 3
Vektor di ruang dimensi 2 dan ruang dimensi 3 Maulana Malik1 (
[email protected]) 1 Departemen
Matematika FMIPA UI Kampus Depok UI, Depok 16424
2014/2015
1/21
[email protected]
Vektor
Pendahuluan Hasil kali titik Hasil kali silang Garis dan bidang di ruang dimensi 3
Vektor di ruang berdimensi 2 Vektor di ruang berdimensi 3
~ = (w1 , w2 ) dan sembarang Diberikan vektor ~v = (v1 , v2 ), w bilangan k. 1 2 3 4 5
~v = w ~ jika dan hanya jika v1 = w1 dan v2 = w2 . ~v + w ~ = (v1 + w1 , v2 + w2 ). ~v − w ~ = (v1 − w1 , v2 − w2 ). k ~v = (k v1 , k v2 ). q Norm dari ~v = (v1 , v2 ), ||~v || = v12 + v22 .
Catatan: hasil perhitungan dari norm vektor adalah suatu bilangan positif . Vektor nol, ~0 = (0, 0). Diberikan titik P1 (x1 , y1 ) dan P2 (x2 , y2 ). −−−→ 1 P P = (x − x , y − y ). 1 2 2 1 2 1 p −−−→ 2 2 d = (x2 − x1 ) + (y2 − y1 )2 (perhatikan d = ||P1 P2 ||). 2/21
[email protected]
Vektor
Pendahuluan Hasil kali titik Hasil kali silang Garis dan bidang di ruang dimensi 3
Vektor di ruang berdimensi 2 Vektor di ruang berdimensi 3
~ = (w1 , w2 , w3 ) dan sembarang Diberikan vektor ~v = (v1 , v2 , v3 ), w bilangan k. 1 ~ ~ jika dan hanya jika v1 = w1 , v2 = w2 dan v3 = w3 . v =w 2 ~ ~ = (v1 + w1 , v2 + w2 , v3 + w3 ). v +w 3 ~ ~ = (v1 − w1 , v2 − w2 , v3 − w3 ). v −w 4 k~ v = (k v1 , k v2 , k v3 ). q 5
Norm dari ~v = (v1 , v2 , v3 ), ||~v || =
v12 + v22 + v32 .
Catatan: hasil perhitungan dari norm vektor adalah suatu bilangan positif . Vektor nol, ~0 = (0, 0, 0). Diberikan titik P1 (x1 , y1 , z1 ) dan P2 (x2 , y2 , z2 ). −−−→ 1 P P = (x − x , y − y , z − z ). 1 2p 2 1 2 1 2 1 2 d = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 (perhatikan −−−→ d = ||P1 P2 ||). 3/21
[email protected]
Vektor
Pendahuluan Hasil kali titik Hasil kali silang Garis dan bidang di ruang dimensi 3
Hasil kali titik Proyeksi Aplikasi
Hasil kali titik (dot product) antara vektor ~u dan ~v . ~u · ~v =
||~u || ||~v || cos θ jika ~u 6= ~0 dan ~v 6= ~0, 0 jika ~u = ~0 atau ~v = ~0,
(1)
dengan θ adalah sudut antara kedua vektor tersebut.
Catatan:
4/21
1
Hasil perhitungan dari hasil kali titik adalah bilangan .
2
0 ≤ θ ≤ π.
[email protected]
Vektor
Pendahuluan Hasil kali titik Hasil kali silang Garis dan bidang di ruang dimensi 3
Hasil kali titik Proyeksi Aplikasi
~ = (w1 , w2 ), maka Jika ~v = (v1 , v2 ), w ~v · w ~ = v1 w1 + v2 w2 .
(2)
~ = (w1 , w2 , w3 ), maka Jika ~v = (v1 , v2 , v3 ), w ~v · w ~ = v1 w1 + v2 w2 + v3 w3 .
5/21
[email protected]
(3)
Vektor
Pendahuluan Hasil kali titik Hasil kali silang Garis dan bidang di ruang dimensi 3
Hasil kali titik Proyeksi Aplikasi
Theorem Diberikan vektor ~u dan ~v . ||~u || =
√ ~u · ~u
(4)
Theorem Misalkan ~u dan ~v bukan vektor nol dan θ adalah sudut di antaranya.
6/21
1
~u · ~v > 0 jika dan hanya jika θ adalah sudut lancip.
2
~u · ~v < 0 jika dan hanya jika θ adalah sudut tumpul.
3
~u · ~v = 0 jika dan hanya jika θ = π/2.
[email protected]
Vektor
Pendahuluan Hasil kali titik Hasil kali silang Garis dan bidang di ruang dimensi 3
Hasil kali titik Proyeksi Aplikasi
Theorem ~ dan bilangan k, maka Diberikan vektor ~u , ~v dan w
7/21
1
~u · ~v = ~v · ~u
2
~u · (~v + w ~ ) = ~u · ~v + ~u · w ~
3 4
k(~u · ~v ) = (k~u ) · ~v = ~u · (k~v ) ~u · ~u > 0 jika ~u 6= ~0
5
~u · ~u = 0 jika ~u = ~0
[email protected]
Vektor
Pendahuluan Hasil kali titik Hasil kali silang Garis dan bidang di ruang dimensi 3
Hasil kali titik Proyeksi Aplikasi
Theorem Diberikan vektor ~u dan ~a. Jika ~u 6= ~0, maka 1
Komponen vektor ~u pada ~a proy~a ~u =
2
~u · ~a ~a ||~a||2
Komponen vektor ~u yang tegak lurus dengan ~a ~u − proy~a ~u = ~u −
8/21
(5)
~u · ~a ~a ||~a||2
[email protected]
(6)
Vektor
Pendahuluan Hasil kali titik Hasil kali silang Garis dan bidang di ruang dimensi 3
Hasil kali titik Proyeksi Aplikasi
Jarak titik P(x0 , y0 ) ke garis ax + by + c = 0 D=
9/21
|a x0 + b y0 + c| √ . a2 + b 2
[email protected]
(7)
Vektor
Pendahuluan Hasil kali titik Hasil kali silang Garis dan bidang di ruang dimensi 3
Definisi Sifat
Misalkan ~u = (u1 , u2 , u3 ) = u1 ~i + u2 ~j + u3 ~k dan ~v = (v1 , v2 , v3 ) = v1 ~i + v2 ~j + v3 ~k. ~i = (1, 0, 0),~j = (0, 1, 0), ~k = (0, 0, 1). Hasil kali silang (cross product) antara ~u dan ~v : ~i ~j ~k = det u1 u2 u3 v1 v2 v3
~u × ~v
10/21
1
Hasil kali silang hanya untuk vektor di ruang dimensi 3.
2
Hasil dari hasil kali silang adalah vektor .
[email protected]
(8)
Vektor
Pendahuluan Hasil kali titik Hasil kali silang Garis dan bidang di ruang dimensi 3
1
Vektor ~u × ~v tegak lurus dengan ~u dan ~v .
2
Arah vektor ~u × ~v mengikuti Aturan Tangan Kanan. ~i × ~j = ~k, ~j × ~k = ~i, ~k × ~i = ~j.
3 4
11/21
Definisi Sifat
||~u × ~v || = ||~u || ||~v || sin θ, yaitu luas jajar genjang yang dibentuk oleh vektor ~u dan ~v .
[email protected]
Vektor
Pendahuluan Hasil kali titik Hasil kali silang Garis dan bidang di ruang dimensi 3
Definisi Sifat
Theorem ~ adalah vektor di ruang dimensi 3. Misalkan ~u , ~v dan w
12/21
1
~u · (~u × ~v ) = 0
2
~v · (~u × ~v ) = 0
3
||~u × ~v ||2 = ||~u ||2 ||~v ||2 − (~u · ~v )2
4
~u × (~v × w ~ ) = (~u · w ~ )~v − (~u · ~v )~ w
5
~ = (~u · w ~ )~v − (~v · w ~ )~u (~u × ~v ) × w
[email protected]
Vektor
Pendahuluan Hasil kali titik Hasil kali silang Garis dan bidang di ruang dimensi 3
Definisi Sifat
Theorem ~ adalah vektor di ruang dimensi 3, dan k Misalkan ~u , ~v dan w adalah sembarang bilangan.
13/21
1
~u × ~v = −(~v × ~u )
2
~u × (~v + w ~ ) = ~u × ~v + ~u × w ~
3
~ = ~u × w ~ + ~v × w ~ (~u + ~v ) × w
4 5
k(~u × ~v ) = (k ~u ) × ~v = ~u × (k ~v ) ~u × ~0 = ~0 × ~u = ~0
6
~u × ~u = ~0
[email protected]
Vektor
Pendahuluan Hasil kali titik Hasil kali silang Garis dan bidang di ruang dimensi 3
Definisi Sifat
~ = (w1 , w2 , w3 ), maka Jika ~u = (u1 , u2 , u3 ), ~v = (v1 , v2 , v3 ) dan w u1 u2 u3 ~u · (~v × w ~ ) = det v1 v2 v3 (9) w1 w2 w3 disebut hasil kali tripel skalar (scalar triple product). Catatan:
14/21
1
~ ) adalah bilangan . Hasil ~u · (~v × w
2
~ )| : volume paralelepipedum yang dibentuk ~u , ~v , w ~. |~u · (~v × w
[email protected]
Vektor
Pendahuluan Hasil kali titik Hasil kali silang Garis dan bidang di ruang dimensi 3
Definisi Sifat
Theorem ~ = (w1 , w2 , w3 ) Misalkan ~u = (u1 , u2 , u3 ), ~v = (v1 , v2 , v3 ) dan w mempunyai titik awal yang sama. Ketiga vektor tersebut terletak di bidang yang sama jika dan hanya jika u1 u2 u3 ~u · (~v × w ~ ) = det v1 v2 v3 = 0. w1 w2 w3
15/21
[email protected]
Vektor
Pendahuluan Hasil kali titik Hasil kali silang Garis dan bidang di ruang dimensi 3
Bidang Garis
Vektor normal : vektor tak-nol yang tegak lurus suatu bidang.
Persamaan bidang yang melalui titik P(x0 , y0 , z0 ) dan mempunyai vektor normal ~n = (a, b, c): a (x − x0 ) + b (y − y0 ) + c (z − z0 ) = 0.
16/21
[email protected]
(10)
Vektor
Pendahuluan Hasil kali titik Hasil kali silang Garis dan bidang di ruang dimensi 3
Bidang Garis
−→ Titik P(x, y , z) pada bidang; vektor posisi ~r = OP = (x, y , z). Titik P0 (x0 , y0 , z0 ) pada bidang; vektor posisi −−→ r~0 = OP0 = (x0 , y0 , z0 ). Persamaan bidang dalam bentuk vektor: ~n · (~r − r~0 ) = 0. 17/21
[email protected]
(11) Vektor
Pendahuluan Hasil kali titik Hasil kali silang Garis dan bidang di ruang dimensi 3
Bidang Garis
Dua bidang sejajar? Persamaan bidang yang melalui titik (5, 4, 3), (4, 3, 1) dan (1, 5, 4)?
18/21
[email protected]
Vektor
Pendahuluan Hasil kali titik Hasil kali silang Garis dan bidang di ruang dimensi 3
Bidang Garis
Persamaan parametrik garis yang melalui titik P(x0 , y0 , z0 ) dan mempunyai vektor arah ~v = (a, b, c):
19/21
x
= x0 + a t,
y
= y0 + b t,
z
= z0 + c t.
[email protected]
Vektor
Pendahuluan Hasil kali titik Hasil kali silang Garis dan bidang di ruang dimensi 3
Bidang Garis
−→ Titik P(x, y , z) pada garis l; vektor posisi ~r = OP = (x, y , z). Titik P0 (x0 , y0 , z0 ) pada garis l; vektor posisi −−→ r~0 = OP0 = (x0 , y0 , z0 ). Persamaan garis dalam bentuk vektor: ~r = r~0 + t ~v = 0,
(12)
dengan −∞ < t < ∞. 20/21
[email protected]
Vektor
Pendahuluan Hasil kali titik Hasil kali silang Garis dan bidang di ruang dimensi 3
Bidang Garis
Dua garis sejajar? Perpotongan garis dengan bidang?
21/21
[email protected]
Vektor
