Úvod do elektrotechniky Metody náhradního zdroje (Théveninova a Nortonova věta) lze využít při částečné analýze elektrického obvodu, kdy máme stanovit proud nebo napětí v určitém místě obvodu. Příklad: Určete v obvodu na obr. proud I67 protékající odpory R6 a R7, je-li dáno: R1 = 1Ω, R2 = 2Ω, R3 = 3Ω, R4 = 5Ω, R5 = 3Ω, R6 = 2Ω, R7 = 4Ω, R8 = 4,5Ω, U0 = 60V, a) pomocí Théveninovy věty, b) pomocí Nortonovy věty.
R3
R6
R4
R2
+ R1
R7
R5
=
R8
U0
Řešení: a) pomocí Théveninovy věty Náhradní ekvivalentní obvod –ze zadaného obvodu odpojíme vyšetřovanou větev s odpory R6 a R7 a připojíme ji ke zdroji napětí o parametrech Uoe a Rie
R6
R7
R67 = R6 + R7 = 2 + 4 = 6 Ω I 67 =
Lenka Šroubová ZČU v Plzni, FEL, KTE e-mail:
[email protected]
U oe Rie + R67
Úvod do elektrotechniky Stanovení napětí Uoe – napětí mezi uzly B a C, mezi kterými byla připojena vyšetřovaná větev
R3
R4
R2
R5
+ R1
=
R8
U0
R 23 = R 2 + R3 = 2 + 3 = 5 Ω
R 234 =
R23 R 4 5⋅5 = = 2,5 Ω R 23 + R 4 5 + 5
R = R1 + R 234 + R5 + R8 = 1 + 2,5 + 3 + 4,5 = 11 Ω I = U oe
U 0 60 = = 5,45 A R 11 = U BC0 = R5 I = 3 ⋅ 5,45 = 16,36 V
Stanovení odporu Rie – odporu mezi uzly B a C po odpojení vyšetřované větve s odpory R6,R7
R3
R4
R2
R5
R1 R 23 = R 2 + R3 = 2 + 3 = 5 Ω R12348 = R1 + R 234 + R8 = 1 + 2,5 + 4,5 = 8 Ω Rie = R BC0 =
R5 R12348 3⋅8 = = 2,18 Ω R5 + R12348 3 + 8
Z náhradního ekvivalentního obvodu: I 67 =
U oe 16,36 = = 2A Rie + R67 2,18 + 6
Lenka Šroubová ZČU v Plzni, FEL, KTE e-mail:
[email protected]
R8 R 234 =
R23 R 4 5⋅5 = = 2,5 Ω R 23 + R 4 5 + 5
Úvod do elektrotechniky b) pomocí Nortonovy věty Náhradní ekvivalentní obvod – ke zdroji proudu o parametrech Ioe a Rie je připojena vyšetřovaná větev s odpory R6 a R7
R6
R7
I 67 = I oe
Rie Rie + R67
R67 = R6 + R7 = 2 + 4 = 6 Ω
Stanovení proudu Ioe – proudu, který teče zkratem mezi uzly B a C, tj. zkratem, kterým byla nahrazena vyšetřovaná větev
R3
R4
R2
R5
+ R1
=
R8
U0
R 23 = R 2 + R3 = 2 + 3 = 5 Ω
R 234 =
R 23 R 4 5⋅5 = = 2,5 Ω R 23 + R 4 5 + 5
R05 =
0 ⋅ R5 =0Ω 0 + R5
R = R1 + R 234 + R05 + R8 = 1 + 2,5 + 0 + 4,5 = 8 Ω
I =
U 0 60 = = 7,5 A R 8
I5 = I
0 = 0A R5 + 0
Proud neteče odporem R5, teče zkratem.
I oe = I BC K = I = 7,5 A
Stanovení odporu Rie – obr. a postup – viz řešení pomocí Theveninovy věty Rie = R BC0 =
R5 R12348 3⋅8 = = 2,18 Ω R5 + R12348 3 + 8
Z náhradního ekvivalentního obvodu:
I 67 = I oe
Rie 2,18 = 7,5 ⋅ = 2A Rie + R67 2,18 + 6
Výsledek můžeme porovnat s řešením pomocí Theveninovy věty (viz a)) a s řešením pomocí transfigurace na elementární obvod i s řešením pomocí Kirchhoffových zákonů (viz 1. příklad v souboru UE_2_cviceni.pdf). Lenka Šroubová ZČU v Plzni, FEL, KTE e-mail:
[email protected]
Úvod do elektrotechniky Příklad: Určete v obvodu na obr. proud I2 protékající odporem R2, je-li dáno: R1 = 3Ω, R2 = 2Ω, R3 = 3Ω, R4 = 6Ω, R5 = 5Ω, R6 = 6Ω, R7 = 5Ω, U01 = 48V, U02 = 43,2 V, a) pomocí Nortonovy věty, b) pomocí Theveninovy věty.
U02
U01 +
=
+
-
R2
R1
-
R4
R3
R6
R5
=
R7
Řešení: a) pomocí Nortonovy věty Náhradní ekvivalentní obvod – ze zadaného obvodu odpojíme vyšetřovanou větev s odporem R2 a připojíme ji ke zdroji proudu o parametrech Ioe a Rie
I 2 = I oe
R2
Rie Rie + R2
Stanovení proudu Ioe – proudu, který teče zkratem mezi uzly A a B, tj. mezi uzly, kde byla v zadaném obvodu připojena vyšetřovaná větev
U02
U01 +
=
+
-
R1
R6
-
R4
R3
R5 Lenka Šroubová ZČU v Plzni, FEL, KTE e-mail:
[email protected]
=
R7
Úvod do elektrotechniky Pro určení proudu Ioe použijeme princip superpozice analýza obvodu při působení zdroje U01:
U01 +
=
-
R1
R5 I I oe = I 1I =
R4
R3
R6
R7
U 01 48 = = 16A R1 3
analýza obvodu při působení zdroje U02:
U02 +
R1
=
-
R4
R3
R5
R6
R7 R3 R567 3 ⋅16 = = 2,526 Ω R3 + R567 3 + 16
R567 = R5 + R 6 + R7 = 5 + 6 + 5 = 16 Ω
R3567 =
R II = R 4 + R3567 = 6 + 2,526 = 8,526 Ω
Proud neteče odporem R1, teče zkratem.
II I oe
U 02
43,2 = 5,067 A 8,526 R R3 3 = I 4II = 5,067 = 0,8 A R3 + R567 3 + 16
I 4II =
II
=
superpozice dílčích výsledků: I II I oe = I AB K = I oe − I oe = 16 − 0,8 = 15,2 A
Lenka Šroubová ZČU v Plzni, FEL, KTE e-mail:
[email protected]
Úvod do elektrotechniky Stanovení odporu Rie – odporu mezi uzly A a B po odpojení vyšetřované větve s odporem R2
R1
R5 R34 =
R4
R3
R3 R 4 3⋅ 6 = = 2Ω R3 + R 4 3 + 6
R6
R7
R567 = R5 + R6 + R 7 = 5 + 6 + 5 = 16 Ω
R34567 = R34 + R567 = 2 + 16 = 18 Ω Rie = R AB0 =
R1 R345674 3 ⋅18 = = 2,571 Ω R1 + R34567 3 + 18
Z náhradního ekvivalentního obvodu: I 2 = I oe
Rie 2,571 = 15,2 ⋅ = 8,55 A Rie + R 2 2,571 + 2
b)
pomocí Theveninovy věty
Náhradní ekvivalentní obvod – ke zdroji napětí o parametrech Uoe a Rie je připojena vyšetřovaná větev s odporem R2
R2
I2 =
Lenka Šroubová ZČU v Plzni, FEL, KTE e-mail:
[email protected]
U oe Rie + R 2
Úvod do elektrotechniky Stanovení napětí Uoe – napětí mezi uzly A a B, mezi kterými byla připojena vyšetřovaná větev
U02
U01 +
=
+
-
R1
=
-
R4
R3
R6
R5
R7
Pro určení napětí Uoe použijeme princip superpozice: analýza obvodu při působení zdroje U01:
U01 +
=
-
R1
R5 R34
R4
R3
R R 3⋅ 6 = 3 4 = = 2Ω R3 + R 4 3 + 6
R I = R1 + R34 + R567 = 3 + 2 + 16 = 21 Ω
R6
R7
R567 = R5 + R 6 + R7 = 5 + 6 + 5 = 16 Ω I 1I =
U 01 R
I
=
48 = 2,286A 21
analýza obvodu při působení zdroje U02:
U02 +
R1
R6
-
R4
R3
R5 Lenka Šroubová ZČU v Plzni, FEL, KTE e-mail:
[email protected]
=
R7
Úvod do elektrotechniky R1567 = R1 + R5 + R6 + R 7 = 3 + 5 + 6 + 5 = 19 Ω
R31567 =
R II = R 4 + R31567 = 6 + 2,59 = 8,59 Ω
I 4II =
I 1II = I 4II
R3 R1567 3 ⋅19 = = 2,59 Ω R3 + R1567 3 + 19
U 02 R
II
=
43,2 = 5,029 A 8,59
R3 3 = 5,029 = 0,686 A R3 + R1567 3 + 19
superpozice dílčích výsledků: I 1 = I 1I + I 1II = 2,286 + 0,686 = 2,972 A
určení napětí Uoe
U oe = U AB 0 = − R1 I 1 + U 01 = −3 ⋅ 2,972 + 48 = 39,086 V
Stanovení odporu Rie – obr. a postup – viz řešení pomocí Nortonovy věty Rie = R AB0 =
R1 R345674 3 ⋅18 = = 2,571 Ω R1 + R34567 3 + 18
Z náhradního ekvivalentního obvodu: I2 =
U oe 39,086 = = 8,55 A Rie + R 2 2,571 + 2
Výsledek můžeme porovnat s řešením pomocí Nortonovy věty (viz a)) a s řešením pomocí transfigurace na elementární obvod i s řešením pomocí Kirchhoffových zákonů (viz 2. příklad v souboru UE_2_cviceni.pdf).
Lenka Šroubová ZČU v Plzni, FEL, KTE e-mail:
[email protected]
