a11 a12 a 21 a22
Definisi Vektor di R2 dan R3
a11 a12 a a 21 22
x1 b1 x b 2 2
x1 b1 x b 2 2
Pendahuluan Notasi dan Pengertian Dasar • Skalar, suatu konstanta yang dituliskan dalam huruf kecil • Vektor, simbol atau variabelnya juga akan dituliskan menggunakan huruf kecil (akan berbeda dengan skalar sesuai konteksnya): cetak tebal (bold) bila menggunakan “topi” (tanda caping, ^) di atasnya atau cetak biasa bila menggunakan tanda panah di atasnya. • Vektor satuan, adalah suatu vektor yang ternormalisasi, yang berarti panjangnya bernilai 1 (satu satuan). • Umumnya dituliskan dengan menggunakan ˆ dibaca topi (bahasa Inggris: hat), sehingga: u "u-topi" ('u-hat').
Teori Ruang Vektor (#1)
Ruang vektor adalah struktur matematika yang dibentuk oleh sekumpulan vektor, yaitu objek yang dapat dijumlahkan dan dikalikan dengan suatu skalar. Ruang vektor merupakan subjek yang harus dipahami dengan baik dalam aljabar linier, terutama karena ruang vektor yang dicirikan oleh dimensinya spesifikasi banyaknya arah independen dalam ruang. Teori ruang vektor juga dikembangkan dengan memperkenalkan struktur tambahan, seperti norma atau hasilkali dalam. Ruang seperti ini muncul dengan alamiah dalam analisis matematika, dalam bentuk ruang fungsi berdimensi takhingga, dengan vektornya adalah fungsi.
Teori Ruang Vektor (#2)
Skalar umumnya bilangan riil, tapi perumusan ruang vektor dapat juga berupa perkalian skalar dengan bilangan kompleks, bilangan rasional, atau bahkan medan. Operasi penjumlahan dan perkalian vektor harus memenuhi persyaratan tertentu aksioma. Contoh ruang vektor adalah vektor Euklides yang sering digunakan untuk melambangkan besaran fisika seperti gaya. Dua gaya dengan jenis sama dapat dijumlahkan untuk menghasilkan gaya ketiga, dan perkalian vektor gaya dengan bilangan riil menghasilkan vektor gaya lain. Vektor yang melambangkan perpindahan pada bidang atau pada ruang tiga dimensi juga membentuk ruang vektor.
Sifat dan Aplikasi Ruang Vektor
Ruang vektor sudah banyak diterapkan di seluruh bidang: matematika, sains dan rekayasa. Ruang vektor merupakan konsep aljabar linear yang sesuai untuk penyelesaian sistem persamaan linear (SPL), sebagai kerangka kerja untuk deret Fourier (untuk pemampatan citra), atau untuk dapat digunakan dalam teknik solusi persamaan diferensial parsial (PDP). Lebih jauh lagi, ruang vektor menyajikan cara abstrak dan bebas koordinat untuk penganan objek geometris dan fisis seperti tensor. Dua buah vektor dikatakan sama apabila keduanya memiliki panjang dan arah yang sama Dua buah vektor disebut sejajar (paralel) apabila garis yang merepresentasikan keduanya adalah sejajar.
Resultan Penjumlahan dan Dilatasi dalam Ruang Vektor Penjumlahan vektor dan perkalian skalar: Sebuah vektor v (biru) ditambahkan ke vektor lain w (merah). Resultan =
v+w
v w Berikut ini, w diregangkan (dilatasi) dengan faktor 2, menghasilkan jumlah v + 2·w. Resultan = v+2·w
v 2·w
Beberapa Notasi dan Pengertian Vektor • Secara umum, suatu vektor merupakan vektor kolom,
v v v v v
k ,2 k ,n k ,1
• namun jika ingin menuliskan vektor baris:
vT v
b ,1
v
b ,2
v
b ,n
maka diberi indeks-atas yang menyatakan simbol “transpos” (xT) • Jika Jika diperlukan, dimensi vektor dan atau vektor dapat dituliskan dalam indeks-bawah (umxn, ynx1, dlsb)
Notasi Matriks (Ulangan) • Matrik, dalam matematika dan fisika, adalah kumpulan bilangan, simbol, atau ekspresi (ungkapan), berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. • Bilangan-bilangan yang terdapat di dalam suatu matriks disebut dengan elemen atau anggota matriks. • Matriks, simbolnya dituliskan dalam huruf besar (kapital). • Contoh matriks dengan 2 baris dan 3 kolom (2 x 3) yaitu:
1 M 17 A23
a1,1 a2,1
7 3 a1,2 a2,2
11 4 a1,3 a3,3
Skalar [#1]
Konsep skalar dipakai dalam ilmu matematika dan fisika serta ilmu teknik sebagai terapannya. Konsep yang dipakai dalam ilmu fisika dan teknik adalah versi yang lebih konkret (aplikatif yang nyata) dibandingkan yang ada dalam matematika.
Dalam ilmu matematika (mathematics), arti skalar bergantung pada konteksnya; kata ini dapat berkaitan dengan bilangan nyata atau bilangan kompleks atau bilangan rasional.
Secara umum, ketika vektor ruang dalam medan F dipelajari, maka F disebut medan skalar. Dalam aljabar matriks, skalar didefinisikan sebagai matriks berordo 1×1 dan memiliki sifat-sifat seperti bilangan belaka.
Dalam ilmu fisika (physics), skalar adalah kuantitas yang dapat dijelaskan dengan suatu angka (baik tanpa dimensi, atau dalam suatu kuantitas fisika). Berbeda dengan vektor, kuantitas skalar mempunyai besar (magnitude), tetapi tidak mempunyai arah.
Secara lebih formal, suatu skalar adalah besaran yang tidak berubah dalam rotasi koordinat (atau transformasi Lorentz, untuk relativitas).
Skalar [#2] Bila kita mengukur suatu “besaran fisika”, maka kita akan dapatkan suatu angka, nilai atau kumpulan angka-angka dan susunan tertentu. Contoh: jika kita mengukur massa, jarak, waktu, muatan listrik, suhu (temperatur), volume, usaha, kerja, kecepatan, energi, densitas, dsb, maka akan didapatkan “besaran” sebagai skalar. Beberapa skalar dapat diperbandingkan memiliki satuan yang sama.
bila
mereka
Misalnya, kita dapat membandingkan variabel-variabel kecepatan yang memiliki satuan km/jam (atau bahkan m·s-1), namun kita tak dapat membandingkan suatu variabel kecepatan dengan densitas, densitas dengan viskositas dan seterusnya.
Skalar dan Larik (Array) Suatu barisan atau runtunan (sequence) skalar dalam order tertentu disebut juga suatu larik (array). Sebagai contoh, bila pengukuran kita lakukan dalam 1 hari penuh dan mencatatnya dalam sekuens (urutan yang teratur) maka akan kita dapatkan suatu “larik pengukuran” (array of a mesurements) Suatu “larik dari larik” yang disusun berdasarkan nilai-nila skalar seperti di atas sehingga membentuk tabel berbentuk persegi panjang, maka tabel yang terbentuk dinamakan juga suatu matriks. Sebagai contoh, bila pengukuran seperti di atas kita lanjutakan sampai beberapa hari berbeda dan setiap harinya kita lakukan sejumlah pengukuran yang sama seperti hari-hari sebelumnya, sehingga kita dapat menyusunnya sebagai sebuat tabel persegi-empat, maka tabel tersebut dinamakan matriks. Suatu matriks terdiri atas m baris dan n kolom.
Produk Skalar (#1) Konsep produk skalar (scalar dot product) berkaitan dengan operasi 2 buah vektor yang dapat dijelaskan sbb: Bila vektor u u1 , u2 , , un dan v v1 , v2 , , vn , maka “produk skalar” dari kedua vektor di atas didefinisikan sebagai
v1 v u v uv T u1 , u2 , , un 2 vn
n
u v i 1
i
i
di mana Σ melambangkan notasi penjumlahan (summation notation) dan n adalah dimensi ruang vektor.
Produk Skalar (#2) Misalnya, dalam ruang tiga dimensi, produk skalar dari vektor-vektor: u 1, 3, 5 dan v 4, 2, 1
adalah 4 u v u v T 1, 3, 5 2 (1 4) (3 2) (5 1) 1 3
Hal “produk skalar” seperti di atas akan dibahas lebih jauh dan komprehensif dalam pembahasan vektor selanjutnya.
Vektor: Definisi dan Konsep Vektor dalam ilmu matematika dan fisika didefinisikan sebagai suatu obyek geometri yang memiliki besar dan arah dalam ruang. Vektor, jika digambarkan dalam ruang, dilambangkan dengan tanda panah (→). Besar vektor proporsional dengan panjang panah dan arahnya bertepatan dengan arah panah. Vektor dapat melambangkan perpindahan dari titik A ke B. Vektor sering ditandai sebagai
AB Vektor memiliki peran yang sangat penting dalam ilmu fisika, yaitu dalam perhitungan dan penentuan: posisi, medan listrik, kecepatan dan percepatan (dari suatu obyek yang bergerak), serta gaya.
Vektor secara Geometris (#1) Vektor sebagai panah dapat “ditranslasikan” sepanjang garis lintasan vektor tersebut (disebut garis aplikasi) dan dapat dipindahkan (digeser) sejajar dengan garis aplikasi tersebut dan vektor dapat juga diaplikasikan ke setiap titik ruang sepanjang besarnya (magnitude) dan arahnya tidak berubah.
Vektor secara Geometris (#2)
Setiap VEKTOR dinyatakan secara geometris sebagai segmen garis berarah pada bidang (R2) atau ruang (R3), dengan notasi garis berpanah. Ekor panah garis tersebut merupakan titik awal vektor, sedangkan ujung panah sebagai titik akhir (ujung atau pucuk) vektor tersebut (Gambar [a])
Vektor-vektor yang memiliki panjang dan arah yang sama dinamakan ekivalen (Gambar [b]) B
B
a AB A
A
[a]
[b]
Vektor sebagai “titik” Ketika vektor direpresentasikan sebagai titik di dalam ruang, kita juga dapat memandangnya bahwa vektor tersebut sebagai panah yang dimulai dari awal suatu sistem koordinat yang mengarah (menuju) ke titik tersebut. Karena sistem koordinatnya tidak berubah, maka kita hanya perlu untuk menggambarkan titik-titik jalurnya tanpa panah. Menggunakan vektor sebagai titik, akan mewakilkan nilai multidimensi hanya sebagai satu titik dalam ruang multidimensi. Hal ini sangat menyderhanakan.
Vektor secara Aljabar
Misalkan u ( uˆ atau kadang ditulis u ) merupakan suatu vektor di R 2 uˆ u 1 , u 2 , dimana u 1 , u 2 R Misalkan pula bahwa vˆ (atau v ) merupakan suatu vektor di 3 R v v1 , v 2 , v 3 , dimana v1 , v 2 , v 3 R Maka: dalam hal seperti di atas: u 1 , u 2 disebut komponen u , sedangkan v1 , v 2 , v 3 disebut komponen v
Dua buah vektor dikatakan ekivalen jika dan hanya jika besar
dan arahnya sama atau dengan kata lain: komponen yang “bersesuaian sama” Contoh: Diketahui u u1 , u 2 dan q q1 , q 2
u w u 1 w 1 dan u 2 w 2
Vektor Posisi Vektor posisi adalah vektor yang berpangkal pada titik
asal ordinat y
A = x1, y1
OA = x1 , y1 , vektor posisi titik A
a
O
x
Vektor dan Larik (Array) Tidak seperti larik (array) biasa, vektor adalah sesuatu yang khusus yang dapat kita bisa dilihat dalam sudut pandang yang berbeda, baik dalam pengertian aljabar atau pun geometris. Secara aljabar, sebuah vektor adalah hanyalah sebuah larik yang beranggotakan elemen-elemen skalar. Dari sudut pandang komputasi (aplikasi pemrograman komputer), suatu vektor direpresentasikan sebagai larik 2-dimensi, sementara larik biasa direpresentasikan sebagai larik 1-dimensi, seperti telah dibahas di atas. Secara geometris, vektor direpresentasikan sebagai panah atau titik dalam ruang.
Vektor: Contoh dan Perbandingan Contoh dari vektor dalam ilmu fisika, adalah: perpindahan (displacement), kecepatan, percepatan, gaya, momentum, medan listrik, dll. Dua buah vektor (atau lebih) dapat diperbandingkan jika mereka memiliki satuan fisik dan dimensi geometrik yang sama. Sebagai contoh, suatu gaya 2-dimensi dapat bandingkan dengan gaya 2-dimensi yang lain, tetapi suatu gaya 2dimensi tak dapat dibandingkan dengan gaya lain yang 3dimensi. Demikian pula, kita tak dapat membandingkan suatu gaya dengan kecepatan karena keduanya tidak memiliki satuan fisik yang sama.
Vektor: Ukuran dan Panjang Jumlah total elemen (anggota) himpunan dalam suatu vektor disebut juga sebagai dimensi atau ukuran dari vektor. Karena vektor dapat memiliki sejumlah n elemen, maka ruang di mana vektor tersebut berada disebut sebagai ruang multidimensi dengan dimensi n. Ukuran (magnitude) suatu vektor disebut juga sebagai panjang vektor, atau norma suatu vektor. Arah suatu vektor dalam ruang diukur (secara relatif) dengan vektor sejenis lainnya (yaitu: standard basis vector), direpresentasikan oleh sudut cosinus yang terbentuk di antara kedua vektor tersebut.
v
y
cos
φ 0
x
0x 0v
Vektor Satuan (Unit Vector)
Vektor satuan (unit vector) adalah suatu vektor dengan panjang "satu satuan" digunakan untuk menunjukkan arah. Seperti sebelumnya, suatu vektor satuan dapat diindikasikan dengan sebuah "topi" di atas huruf "a" kecil sebagaimana â. Vektor satuan dari sebuah vektor dapat juga dihitung dengan cara sbb:
a
a1 ˆ a2 ˆ a3 aˆ i j kˆ a a a a
Normalisasi Vektor (Vector Normalizing ) Vektor satuan (unit vector) adalah suatu vektor dengan panjang "satu satuan" digunakan untuk menunjukkan arah. Normalisasi (normalizing) vektor: suatu vektor dengan panjang sembarang dibagi oleh panjangnya untuk mendapatkan vektor satuan. Untuk normalisasi vektor a = [a1, a2, a3], bagilah vektor tersebut dengan panjangnya || a ||, sehingga:
aˆ
a a
a1 a
e1
a2 a
e2
a3 a
e3
Normalisasi suatu vektor a menjadi vektor satuan â:
Menentukan Panjang Vektor Menentukan panjang sebuah vektor dalam ruang euklidian 3-dimensi, digunakan cara berikut: a a ai2 a 2j ak2 e12 e 22 e32 sebagai konsekuensi logis dari Teorema Pythagoras, karena pada dasarnya e1, e2, e3 merupakan vektorvektor satuan yang saling tegak-lurus (ortogonal). Persamaan di atas, sebenarnya identik dengan akar pangkat dua dari produk titik (dot product) dari vektor itu sendiri:
a
aˆ aˆ
a a
Vektor Nol (Null Vector) Vektor nol (null vector atau zero vector) adalah suatu vektor yang panjangnya “nol". Penulisan dalam koordinat vektor ini adalah
(0,0,0), dan biasanya diberi lambang 0 , atau 0 .
Vektor nol tidak dapat dinormalisasi (tak ada vektor satuan sebagai kelipatan vektor nol). Jumlah vektor nol dengan vektor sembarang a adalah a (artinya: 0 + a =
a).
Aksioma Operasi Vektor Ruang Suatu ruang vektor adalah kumpulan vektor V, bersama-sama dengan dua operasi, yaitu penjumlahan vektor dan perkalian skalar, yang memenuhi aksiomaaksioma berikut: Aksioma dan Definisi
Pernyataan (Ungkapan)
Sifat asosiatif penjumlahan
u + (v + w) = (u + v) + w
Sifat komutatif penjumlahan
v+w=w+v
Elemen identitas penjumlahan Elemen invers penjumlahan
Terdapat elemen 0 ∈ V, dinamakan sebagai vektor nol, sedemikian sehingga v + 0 = v untuk semua v ∈ V Untuk semua v ∈ V, terdapat elemen w ∈ V, dinamakan sebagai invers penjumlahan v, sedemikan sehingga v + w = 0. Invers penjumlahan ini dilambangkan sebagai −v
Sifat distributif perkalian skalar terhadap penjumlahan vektor Sifat distributif perkalian skalar terhadap penjumlahan medan
a(v + w) = av + aw
Kesesuaian perkalian skalar dengan perkalian medan
a(bv) = (ab)v
Elemen identitas pada perkalian skalar
1v = v, dengan 1 melambangkan entitas perkalian dalam F
(a + b)v = av + bv Aksioma ini tidak menyatakan sifat asosiatif operasi, karena ada dua operasi dalam hal ini, perkalian skalar: bv; dan perkalian medan: ab
Operasi-operasi Vektor:
[#01]. Penjumlahan Vektor Hanya vektor-vektor yang berukuran (jumlah elemen) dan berbentuk (kolom atau baris) sama dapat dijumlahkan atau dikurangkan.
4 2 4 Jika: a 3 1 0 ; b 3 ; c ; d 1 5 ; e 3 2 1 maka
a b tidak dapat hasil
b c tidak dapat hasil
a c tidak dapat hasil
b d tidak dapat hasil
a d tidak dapat hasil
b e tidak dapat hasil
a e tidak dapat hasil
c d tidak dapat hasil
c e diperoleh hasil
d e tidak dapat hasil
Operasi-operasi Vektor:
[#02]. Perkalian Vektor dengan Skalar Semua jenis vektor, yang berukuran (jumlah elemen) atau berbentuk (kolom atau baris) apapun dapat dikalikan dengan suatu vektor (konstanta). Jika: a 3
4 b 3 ; 1
1 0 ;
maka
r 3a
9
3 0
4 3 s 1b 1 10 t 5c 15
2 c 3
Operasi-operasi Vektor:
[#03a]. Transpos Vektor Operator “transpos” (transpose) mengindikasikan atau menyatakan “pertukaran posisi” atau “perubahan tempat” antara baris dengan kolom dan sebaliknya. Misalnya: jika u adalah T
suatu vektor kolom, maka vektor barisnya dinyatakan sebagai u . Jika: a 3
4 b 3 ; 1
1 ;
maka T
3 1
a
bT
2 0 cT 3 1
4
3 1
2 3 c 0 1
Operasi-operasi Vektor:
[#03b]. Sifat-sifat Transpos Vektor
Operator “transpos” (transpose) mengindikasikan atau menyatakan “pertukaran posisi” atau “perubahan tempat” antara baris dengan kolom dan sebaliknya. Misalnya: jika u adalah suatu vektor kolom, maka vektor barisnya dinyatakan sebagai uT . Jika: Suatu operasi transpos merupakan "involusi"
(self-inverse) Operasi transpos mengikuti operasi penjumlahan
atau pengurangan
SOAL - Latihan
Diketahui dua vektor berikut ini:
P 2 i 4 j 3k R 6i 2 j k Selesaikanlah hasil-hasil operasi vektor seperti di bawah ini: (a).
P·R
(b).
PxR
a11 a12 a 21 a22
Operasi Operasi Vektor Vektor dan dan Hasil Hasil Kali Kali Vektor Vektor
a11 a12 a a 21 22
x1 b1 x b 2 2
x1 b1 x b 2 2
Aritmetika Vektor (Review #1)
Q
v
u
P
R
w u v w u v w
S
Perhatikan!
Vektor u v w dan u v w adalah sama!
Aritmetika Vektor (Review #2)
Q
u P
v
R
w S
Perhatikan! Vektor u v w dan u v w adalah sama
Norma suatu Vektor (Review #1)
Jika
v = v1 , v2 adalah vektor di R 2 (ruang dimensi
2), maka "norma" (panjang) vektor v ditulis
v
didefinisikan sebagai (ingat rumus phytagoras!):
v2 + v2
v =
1
2
Di R3 (ruang dimensi 3), jika vektor maka “norma” dari vektor
w =
w = w1 , w2 , w3
w tersebut adalah:
2
2
2
1
2
3
w +w +w
Norma suatu Vektor (Review #2)
Jika P1 = x1, y1, z1 dan P2 titik di R 3 (ruang dimensi a ntara kedua titik tersebut
= x2 , y2 , z2 adalah 2 3), maka jarak d di adalah norma vektor
P1 P2 , karena: P1 P2 = x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 Maka, jarak d dapat dihitung sebagi berikut:
d =
P1 P2
x2 x1
2
y2 y1
2
z2 z1
2
Norma suatu Vektor (Review #3)
Jarak dari titik P1 = x1, y1, z1 ke P2 = x2 , y2 , z2 adalah norma vektor
P1 P2 , yang digambarkan:
z P2 = x2 , y2 , z2
P1 = x1, y1, z1
y
x
Suatu vektor bernorma 1 (satu), disebut vektor satuan
Resultan Penjumlahan Dua Buah Vektor Penjumlahan dua buah vektor: perhatikan di bawah ini, vektor v (biru) ditambahkan ke vektor w (merah), ilustrasinya adalah: Resultan =
r
r v
v w
r
w
Jika r adalah hasil penjumlahan (= resultan) dua buah vektor, maka:
r
v 2 w 2 2 v w cos()
Hal PENTING yang perlu diketahui Jika dua buah vektor F1 dan F2 dengan besar nilai yang sama dan keduanya membentuk sudut 120º, maka resultan kedua vektor tersebut besarnya sama dengan besar salah satu vektornya. Perhatikan ilustrasi gambar di bawah ini:
R F1 F2
F1
F1
60º
120º
F2
60º
F2
(Ulangan #1)
Operasi Penjumlahan Vektor di R2
Penjumlahan di R 2 (bidang atau ruang 2 dimensi): Jika ada 2 buah vektor di R 2 , masing-masing adalah p x1 , y1 dan r x2 , y2 , maka hasil penjumlahan keduanya adalah:
p r x1 x2 , y1 y2
Secara geometri dapat digambarkan sbb: y
p r = x1 + x2 , y1 + y2
p = x1, y1 r = x2 , y2
x
(Ulangan #2)
Operasi Penjumlahan Vektor di R3
Penjumlahan di R3 (ruang 3 dimensi): Jika ada 2 buah vektor di R3 , masing masing u x1 , y1 , z1 dan v x2 , y2 , z2 , maka hasil penjumlahan keduanya adalah:
u v x1 x2 , y1 y2 , z1 z2
(Ulangan #3)
Operasi Perkalian Vektor dengan Skalar
Perkalian Vektor dengan SKALAR: Definisi: u x1 , y1 adalah sembarang vektor di R 2 (ruang 2 dimensi) dan k adalah bilangan riil (nyata) “tak nol” (berupa SKALAR), maka hasil kali
k u didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya k kali panjang u dan arahnya sama seperti arah u jika k 0 dan berlawanan arah jika k 0 .
Operasi Hasil Kali Titik pada Vektor
Perkalian “dot” Vektor: Hasil kali titik (dot product) merupakan operasi perkalian antara dua buah vektor yang akan menghasilkan skalar.
a
dan b adalah vektor-vektor pada ruang yang sama,
Misal maka hasil kali titik dari dua vektor tersebut didefinisikan:
a b cos ; a, b 0 a b = a = 0 atau b 0 0;
a b < 0 a b > 0 a b = 0
sudut tumpul sudut lancip ortogonal
Operasi Hasil Kali Silang pada Vektor
Perkalian “cross” Vektor: Hasil kali silang (cross product) merupakan perkalian antara dua vektor yang akan menghasilkan suatu vektor baru
Definisi: Jika u u1 , u2 , u3 dan v v1 , v 2 , v3 adalah vektor-vektor dalam R 3 (ruang dimensi 3), maka perkalian
silang u v akan menghasilkan vektor yang didefinisikan sebagai:
u v u2 v3 u3 v2 , u3 v1 u1 v3 , u1 v2 u2 v1 u2 v2
u3 u1 u3 u1 u2 , , v3 v1 v3 v1 v2
Sifat-sifat Operasi Hasil Kali Silang pada Vektor
Sifat hasil kali silang yang penting, antara lain: 1.
u u v 0
2.
v u v 0
3.
u v
2
u u u u u
2
2
2
2
2
v v v v v
2
2
2
2
2
2 u v 2 u v cos 2 2 u v cos 2
1 cos 2
sin 2
CONTOH #1:
Perkalian “dot” dan “cross” Diketahui dua vektor berikut ini (Howard Anton, 188 & 201):
u 0 i 0 j k 0,0,1 v 0 i 2 j 2 k 0, 2, 2 Sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 2, sudut antara vektor
u
dan
v
adalah 45º (=
4 ), selesaikanlah hasil-hasil
operasi vektor seperti di bawah ini:
(a). u v (b). u v
Pembahasan: CONTOH #1 (Perkalian “dot” dan “cross”) Lihat juga di Howard Anton, halaman 188 dan 201!!!
(a).
uv 0 i 0 j 1k 0 i 2 j 2 k 0 i 0 i 0 i 2 j 0 i 2k
0 j 0 i 0 j 2 j 0 j 2k 1k 0 i 1k 2 j 1k 2 k 0 i i 0 i j 0 i k 0 j i 0 j j 0 j k 0 k i 2 k j 2 k k 000000002 2
(b).
uv 0 i 0 j 1k 0 i 2 j 2 k 0 i 0 i 0 i 2 j 0 i 2k
0 j 0 i 0 j 2 j 0 j 2k 1k 0 i 1k 2 j 1k 2 k 0 i i 0 i j 0 i k 0 j i 0 j j 0 j k 0 k i 2 k j 2 k k 0 0 0 0 0 0 0 6 i 0 6 i 0 j 0 k 6, 0, 0
CONTOH #2:
Perkalian “dot” dan “cross”
Diketahui dua vektor berikut ini: p 2 i 4 j 3k r 6i 2 j k
Selesaikanlah hasil-hasil operasi vektor seperti di bawah ini: (a). p r (b). p r
Pembahasan: CONTOH #2 (Perkalian “dot” dan “cross”) Pelajari !!!
(a).
pr 2i 4 j 3 k 6i 2 j k 2i 6i 2i 2 j 2i (k )
4 j i 4 j 2 j 4 j (k ) 3k 6i 3k 2 j 3k (k ) 12 i i 4 i j 2 i k 24 j i 8 j j 4 j k 18 k i 6 k j 3 k k 12 0 0 0 8 0 0 0 3 1
(b).
p r 2i 4 j 3 k 6i 2 j k 2i 6i 2i 2 j 2i (k )
4 j i 4 j 2 j 4 j (k ) 3k 6i 3k 2 j 3k (k ) 12 i i 4 i j 2 i k 24 j i 8 j j 4 j k 18 k i 6 k j 3 k k 0 4 k 2 j 24 k 0 4 i 18 j 6 i 0 2 i 20 j 28 k
Metode Penjumlahan Dua Buah Vektor (#1) Aturan Jajaran Genjang: Metode jajaran-genjang adalah metode penentuan vektor resultan dengan memodifikasi titik himpit dan arah vektor, seperti di bawah ini: Jika dua buah vektor dengan pangkal berimpit digambarkan sebagai dua sisi yang berdekatan dari sebuah bangun jajaran-genjang, maka jumlah kedua vektor tersebut adalah sama dengan vektor diagonal yang pangkalnya sama dengan pangkal kedua vektor yang berhimpit tadi.
Dua vektor (vektor a dan Vektor b ) sebelumnya terpisah, kemudian kita himpitkan pangkalnya sedemikian rupa sehingga keduanya membentuk sudut dan masingmasing vektor menjadi sisi-sisi yang berdekatan dari sebuah jajaran genjang.
Metode Penjumlahan Dua Buah Vektor (#2) Aturan Jajaran Genjang: Melalui aturan jajaran-genjang seperti di atas, resultan dua buah vektor dapat dicari dengan rumus seperti di bawah ini:
r
a 2 b2 2 a b cos() a OA ;
b OA ;
r OR
Berlaku juga "aturan sinus" pada segitiga untuk menentukan sudut-sudut resultan, sebagai berikut:
a
sin 1
b
sin 2
r
sin
Metode Penjumlahan Dua Buah Vektor (#3) Aturan Sinus: Dari "aturan sinus" seperti dijelaskan sebelumnya,
a
sin 1
b
sin 2
r
sin
asalnya adalah dapat diilustrasikan sebagai berikut:
Metode Penjumlahan Dua Buah Vektor (#4) Aturan Segitiga: Aturan segi-tiga ini mirip dengan aturan jajaran genjang. Penjumlahan atau selisih dua buah vektor dapat dicari menggunakan metode segitiga dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Pangkal dari vektor Kedua diletakkan pada ujung vektor pertama 2. Resultan hasil penjumlahan digambarkan mulai dari pangkal vektor pertama ke ujung vektor kedua.
Metode Penjumlahan Dua Buah Vektor (#5) Rumus Aturan Segitiga:
Melalui aturan segi-tiga seperti di atas, resultan dua buah vektor dapat dicari dengan rumus seperti di bawah ini:
r
A2 B2 2 A B cos()
Di sini, berlaku juga "aturan sinus" pada segitiga untuk penentuan sudut-sudut resultan:
A sin
B sin
R sin
Metode Penjumlahan Dua Buah Vektor (#6) Metode Vektor Komponen (Penguraian Vektor): Alternatif lain menentukan resultan vektor dapat dilakukan dengan menguraikan setiap vektor ke dalam komponen-komponen x dan y -nya.
Metode Penjumlahan Dua Buah Vektor (#6) Contoh Metode Vektor Komponen Sebuah vektor dengan panjang 20 satuan dan membentuk sudut 60º dengan sumbu x , maka cara menguraikannya adalah sbb:
Fy
Fy F sin() F
Fx F cos( ) 20 0,5 10 3 Fy F sin( ) 20 0,5 3 10 3 3
Resultan vektor: F
Fx2 Fy2
Sudut apit: Fx F cos() Fx
Fy arctan Fx
Operasi Perluasan Vektor
Perluasan Vektor: Jika diketahui u u1 , u2 , u3 dan v v1 , v2 , v3 dengan u dan v R3 , maka: u v u1 v1 u2 v 2 u3 v3 Atau, jika u u1 , u2 , , un dan v v1 , v2 , , vn dengan u dan v R n , maka: u v u1 v1 u2 v2 un vn dan
u u u1 u1 u2 u2 un un u
2
Proyeksi Ortogonal (Pemisahan Komponen Vektor) Secara geometri, proyeksi ortogonal suatu vektor terhadap vektor lain (di ruang yang sama) dapat diilustrasikan sebagai berikut:
w2 a
w1 Proy b a
b
a w1 w 2 w = proyeksi ortogonal a pada b 1 w 2 = komponen a yang tegak-lurus pada b
Proyeksi Ortogonal (Pemisahan Komponen Vektor) Jika diketahui terdapat w 1 k b , k suatu konstanta, maka: a w1 w 2 k b w 2 a b k b w 2 b k b b w 2 b ingat: w 2 b 2 a b k a b k b 2 b
Sehingga diperoleh a b w 1 2 b dan b Panjang proyeksinya a b w1 b
w2
a b a 2b b
SOAL - Latihan Soal No. 1
Diberikan dua buah vektor gaya yang sama, masing-masing sebesar 10 N (Newton) dan keduanya saling membentuk sudut 60º seperti pada gambar berikut ini: F1
60º
F2
Tentukanlah nilai “resultan” dari kedua vektor tersebut! Pembahasan
Resultan untuk dua buah vektor yang diketahui sudutnya adalah:
R
F12 F22 2 F1 F2 cos
102 102 2 10 10 cos (60)
300
10 3 Newton
SOAL - Latihan Soal No. 2
u
v , masing-masing besarnya 20 m·s-1 dan 40
Dua buah vektor kecepatan dan m·s-1 membentuk sudut 60º seperti gambar berikut: v
u 60º
Tentukanlah “selisih” dari kedua vektor di atas! Pembahasan
Selisih dari dua buah vektor dengan sudut 60º seperti di atas adalah:
u v
u 2 v 2 2 u v cos (60)
202 402 2 20 40 (0,5)
1200 m s 1
20 3 m s 1
SOAL - Latihan Soal No. 3
Dua buah vektor gaya, masing-masing besarnya 8 N dan 4 N, saling mengapit 2 dengan sudut 3 (120º). Tentukanlah besar resultan kedua vektor tersebut! Pembahasan
F1 8 N 2 membentuk sudut 3 (120) F2 4 N Resultan dari dua buah vektor tersebut dengan sudut
F12 F22
F12 F22 2 F1 F2 cos ( 3 )
82 42 2 8 4 (0,5)
64 16 32 m s 1
2
4 3 m s 1 Catatan: cos cos
2 3
, adalah:
SOAL - Latihan
Soal No. 4
Perhatikan gambar di bawah ini:
F1
F2
Jika satu kotak mewakili 10 Newton, tentukanlah resultan dari
kedua vektor F1 dan F2 tersebut!
SOAL - Latihan Pembahasan
Dari gambar seperti di atas, untuk mencari resultan gaya-gaya yang bekerja pada sumbu-x dan sumbu-y, langkah-langkahnya adalah sebagai berikut: yang pertama, perhatikanlah kotak dari masing-masing vektor
F1 (sumbu-
x: 30 N ke kanan dan sumbu-y: 40 N ke atas) dan F2 (sumbu-x: 50 N ke kanan dan sumbu-y: 20 N ke atas), kemudian, hitunglah jumlah gaya-gaya yang bekerja pada arah sumbu-x dan sumbu-y, sebagai berikut:
Fx 30 50 80 Newton Fy 20 40 60 Newton terakhir, hitung resultan keduanya dengan menggunakan rumus di bawah ini, dengan memperhatikan sudut 90 :
R
Fx2 Fy2 802 602 10 Newton
