a11 a12 x1 b1 Lanjutan Mencari Matriks Balikan dengan OBE

 a11 a12  a   21 a22 

Lanjutan Mencari Matriks Balikan dengan OBE

 a11 a12  a  a  21 22 

 x1   b1   x   b   2  2

 x1   b1   x   b   2  2

Untuk DIPERHATIKAN ! •

Untuk mencari Matriks INVERS ordo 2,

a b  A    , dapat c d 

digunakan

rumus:

A •



 d b    a  d  b  c  c a  1

Untuk mencari Matriks INVERS ordo 3, dapat dilakukan dengan cara: – melalui pembentukan matrik ADJOIN, kemudian dibagi dengan nilai DETERMINAN-nya

A – – •

1

1



1 det  A 

 adj  A  

1 A

 adj  A 

menggunakan metode OBE (Operasi Baris Elmenter)  EG atau EGJ atau cara lainnya...?

Untuk mencari Matriks INVERS ordo n (n > 3), disarankan menggunakan metode OBE

Matriks ADJOIN (Classical Adjoint) Definisi: – Jika A sebarang matriks (n x n) dan Cij adalah kofaktor aij,, maka matriks berikut  C11 C12 ... C1n  C C 22 ... C 2 n  21   ... ... ... ...   C   n1 C n 2 ... C nn 

dinamakan matriks kofaktor A – Transpos dari matriks kofaktor adalah Adjoint (sering ditulis: adj(NAMA_MATRIKS)) – Transpos dari matriks kofaktor A adalah Adjoint A (adj(A)).

Matriks ADJOIN versus Matriks INVERS (#1)

 Matriks ADJOIN berordo 2: Carilah matriks adjoin dari matriks di bawah ini:

 2 1 A    4 3 Elemen matriks kofaktor A (= Cij ) adalah C11   3  C12   4 C21  1  C22   2

maka

 3 4 Adj. A    1 2 

T

4

  Kof. A    1 2 

 3 -1   -4 2 

3

Matriks ADJOIN versus Matriks INVERS (#2)

 Determinan: Harga determinan dari matriks di bawah ini:

2 1 2 1  det  A   det    2  4 3 4 3 maka, cara menghitung A 1 adalah sbb:

A

1

1  3 -1     det (A) 2 -4 2  adj(A)

-1  3 2   2 -2 1 

Matriks ADJOIN versus Matriks INVERS (#3)

 Matriks ADJOIN berordo 3: Carilah matriks adjoin dari matrik-matriks berikut ini:

 2 3 4  A   0 4 2    1  1 5   dan

 3 2 1 B  1 6 3    2 4 0  

Matriks ADJOIN vs Matriks INVERS (#4)

 Penyelesaian:  2 3 4  (a). Untuk matriks A  0 4 2  , terlebih dahulu dicari matriks   1  1 5  

kofaktor A dari kesembilan elemen (komponen) matriks tsb: 4 1 3  1 3  4

C11   C21 C31

2 5 4 5 4 2

0 1 2  1 2  0

 C12    C22  C32

2 5 4 5 4 2

0 1 2  1 2  0

 C13    C23  C33

4 1 3 1 3 4

didapatkan  18 2 4   18 11 10 Kof. A   11 14 5   maka Adj. A   2 14 4      5 8   10 4 8  4

Matriks ADJOIN vs Matriks INVERS (#5)

 Penyelesaian:  3 2 1 (b). Untuk matriks B  1 6 3  , terlebih dahulu dicari matriks   2 4 0   kofaktor B dari kesembilan elemen (komponen) matriks tsb: 6 4 2  4 2  6

C11   C21 C31

3 0 1 0 1 3

1 2 3  2 3  1

 C12    C22  C32

3 0 1 0 1 3

1 2 3  2 3  1

 C13    C23  C33

6 4 2 4 2 6

didapatkan  12 6 8  12 4 12  Kof. B   4 2 8  maka Adj. B   6 2 10     12  10 16  8  8 16    

Matriks ADJOIN vs Matriks INVERS (#6)

 Determinan matriks ordo 3: Bagaimana dengan DETERMINAN matriks persegi berordo 3? Bagaimana cara menghitung DETERMINAN tersebut yang paling efektif dan efisien??

Latihan #1 - Cari Matriks ADJOIN ordo 3 x 3

 3 2 1 A  1 6 3     2 4 0   Cari nilai kofaktor • • • • • • • • •

C11 = (6*0 – 3*(-4)) = 12 C12 = (-1)1+2 (1*0 – 3*2) = 6 C13 = (-1)1+3 (1*(-4) – 6*2) = -16 C21 = (-1)2+1 (2*0 – (-1)*(-4)) = 4 C22 = (-1)2+2 (3*0 – (-1)*2) = 2 C23 = (-1)2+3 (3*(-4)– 2*2) = 16 C31 = (-1)3+1 (2*3 – (-1)*6) = 12 C32 = (-1)3+2 (3*3 – (-1)*1) = -10 C33 = (-1)3+3 (3*6 – 2*1) = 16 (-1)1+1

• Matriks Kofaktor A

12 6 16  4 2 16    12 10 16  • Transpos matriks Kof. A adalah Adjoint A (= adj(A))

 12 4 12  Adj ( A)   6 2 10     16 16 16 

Matriks Bujursangkar

Determinan Matriks PERSEGI

Definisi: Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks persegi (matriks bujur-sangkar). Determinan matriks hanya dimiliki oleh matriks persegi. Determinan matriks juga digunakan untuk mencari matriks INVERS (matriks balikan) atau dapat juga digunakan untuk penyelesaian SPL dengan aturan Cramer. Bagaimanakah mencari determinan untuk matriks berordo 2, matriks berordo 3, dan bahkan matriks yang berordo lebih tinggi?

Determinan Matriks Berordo 2

Jika diketahui matriks berordo 2 berikut:  a11 a12  a b A       a a c d    21 22 

Maka determinan dari matriks di atas dapat dihitung menggunakan rumus berikut: a b  det  A   det   a  d  b c   c d   a11 a12      a11  a22  a12  a21    a21 a22 

Determinan Matriks Berordo 3 Jika diketahui matriks berordo 3 berikut:  a11  A   a21   a31

a12 a22 a32

a13   a23   a33 

Maka determinan dari matriks di atas dapat dihitung dengan: (a). Ekspansi Kofaktor

  (b). (c).

Minor dan Kofaktor: Ekspansi Kofaktor Pada Baris, dan Minor dan Kofaktor: Ekspansi Kofaktor Pada Kolom

Metode Sarrus Determinan Matriks Segitiga Atas/Bawah (Ordo sembarang)

Mencari Determinan Matriks Berordo 3 dengan Minor dan Kofaktor (#1)

Jika diketahui matriks berordo 3 berikut:  a11  A   a21   a31

a12 a22 a32

a13   a23   a33 

Maka langkah-langkah penentuan determinan dari matriks di atas dengan Minor dan Kofaktor adalah sbb: (a).

Pertama kali, buat minor dari a11 M11

(b).

 a22    a32

a23   a33 

 det M11   M11   a22  a33  a23  a32

Kemudian, kofaktor dari a11 adalah C11   1  det M11    1   a22  a33  a23  a32 11

11





Mencari Determinan Matriks Berordo 3 dengan Minor dan Kofaktor (#2)

langkah-langkah penentuan determinan dari matriks di atas  sbb:

(c).

Kemudian, minor dan kofaktor dari a12 adalah M12

 a21    a31

C12   1

1 2

a23   a33 

 det M12   M12

  a21  a33  a23  a31

 det M12    1   a21  a33  a23  a31 3





(d). Kemudian, minor dan kofaktor dari a13 adalah M13

 a21    a31

C13   1

13

a22   a32 

 det M13   M13

  a21  a32  a22  a31

 det M11    1   a21  a32  a22  a31 4



(e). Secara keseluruhan, DETERMINAN adalah det  A   a11  C11  a12  C12  a13  C13



Mencari Determinan Matriks Berordo 3 dengan Minor dan Kofaktor (#3)

Latihan: Tentukanlah DETERMINAN dari matriks 1 2 3    A   2 5 8   4 3 2  

Dengan ekspansi Ekspansi Kofaktor pada Baris! Penyelesaian: det  A   a11  C11  a12  C12  a13  C13  1   34    2    36    3   14   34  72  42  64

Mencari Determinan Matriks Berordo 3 dengan Minor dan Kofaktor (#4)

Latihan: Tentukanlah DETERMINAN dari matriks 1 2 3    A   2 5 8   4 3 2  

Dengan ekspansi Ekspansi Kofaktor pada Kolom! Penyelesaian: det  A   a11  C11  a21  C21  a31  C31  1   34    2   13   4   1  34  26  4  64

Mencari Determinan Matriks Berordo 3 dengan Metode Sarrus (#1)

Jika diketahui matriks berordo 3 berikut:  a11  A   a21   a31

a12 a22 a32

a13   a23   a33 

Dengan skema penentuan determinan menurut Metode Sarrus sbb:

 a11   a21   a31

–

– a12

a13

a11

a22

a23

a21

a32

a33

a31





– a11   a22   a32 



Mencari Determinan Matriks Berordo 3 dengan Metode Sarrus (#2)

Maka nilai determinan menurut Metode Sarrus adalah: det  A  

 a11  a22  a33 

  a12  a23  a31    a13  a21  a32  

 a31  a22  a13 

  a32  a23  a11    a33  a21  a11 

Latihan: Tentukan determinan dari matriks 1  A  2  4

2 5 3

3  8  2

menggunakan Metode Sarrus seperti di atas!

Mencari Determinan Matriks Berordo di atas 3 ???

Metode-metode penentuan DETERMINAN yang telah dipelajari selama ini, hanyalah dapat diterapkan untuk matriks-matriks bujursangkar (matriks persegi) berordo 2 atau (maksimum) berordo 3.

 Bagaimana menentukan DETERMINAN untuk matriks berordo lebih besar dari 3???

IDE DASAR: Penentuan Determinan Matriks Berordo Sembarang

a11 a12  0 a22 A    0  0

a1m  a2 m    amm 

dan 0  a11  a21 a22 B    am1 am 2

0  0    amm 

 a11 a12  a   21 a22 

Mencari Determinan MBS dan Aturan Cramer

 a11 a12  a  a  21 22 

 x1   b1   x   b   2  2

 x1   b1   x   b   2  2

Ulangan - Cari Matriks ADJOIN ordo 3 x 3  3 2 1 A  1 6 3    2  4 0  

• Matriks Kofaktor A

12 6 16  4 2 16    12 10 16 

 Cari elemen kofaktor • • • • • • • • •

C11 = (-1)1+1 (6*0 – 3*(-4)) = 12 C12 = (-1)1+2 (1*0 – 3*2) = 6 C13 = (-1)1+3 (1*(-4) – 6*2) = -16 C21 = (-1)2+1 (2*0 – (-1)*(-4)) = 4 C22 = (-1)2+2 (3*0 – (-1)*2) = 2 C23 = (-1)2+3 (3*(-4)– 2*2) = 16 C31 = (-1)3+1 (2*3 – (-1)*6) = 12 C32 = (-1)3+2 (3*3 – (-1)*1) = -10 C33 = (-1)3+3 (3*6 – 2*1) = 16

• Transpos matriks Kof. A adalah Adjoint A (= adj(A)):

 12 4 12  Adj ( A)   6 2 10     16 16 16 

Determinan Matriks PERSEGI (MBS)

Definisi: Determinan adalah suatu fungsi tertentu sebagai penghubung dari suatu skalar (bilangan real) dengan suatu matriks persegi (matriks bujur-sangkar). Determinan matriks hanya dimiliki oleh matriks persegi (MBS, Matriks Bujur Sangkar). Determinan matriks juga digunakan untuk mencari matriks INVERS (matriks balikan) atau dapat juga digunakan untuk penyelesaian SPL dengan aturan Cramer. Bagaimanakah mencari determinan untuk matriks berordo 3, matriks berordo 4, dan bahkan matriks yang berordo lebih tinggi?

Ulangan Matriks Kofaktor dari suatu MBS ordo 3  2 3 4  Jika diberikan matriks berordo 3, sebut A  0 4 2  , maka langkah  1  1 5  

langkah mencari “Matriks Kofaktor” dari MBS di atas adalah: 

Pertama, carilah kesembilan elemen (komponen) dari matriks minor-kofaktor A dari matriks tsb: 4 1 3  1 3  4

C11   C21 C31



2 5 4 5 4 2

0 1 2  1 2  0

 C12    C22  C32

2 5 4 5 4 2

0 1 2  1 2  0

 C13    C23  C33

4 1 3 1 3 4

Kemudian, susunlah matriks kofaktor dari matriks A di atas sbb:  18 2 4  Matriks Kofaktor (dari Matriks) A   11 14 5     10  4  8  

Determinan Matriks Ordo 3 dengan Minor-Kofaktor (Ulangan #2)

langkah-langkah penentuan determinan dari matriks di atas  sbb:

(c).

Kemudian, tentukan minor-kofaktor dari a12 : M12

 a21    a31

C12   1

1 2

a23   a33 

 det M12   M12

  a21  a33  a23  a31

 det M12    1   a21  a33  a23  a31 3





(d). Terakhir, harga minor-kofaktor dari a13 : M13

 a21    a31

C13   1

13

a22   a32 

 det M13   M13

  a21  a32  a22  a31

 det M11    1   a21  a32  a22  a31 4



(e). Secara keseluruhan, DETERMINAN adalah det  A   a11  C11  a12  C12  a13  C13



Determinan Matriks Ordo 3 dengan Minor-Kofaktor (Ulangan #3)

Latihan: Tentukanlah DETERMINAN dari matriks 1 2 3    A   2 5 8   4 3 2  

Dengan ekspansi Ekspansi Kofaktor pada Baris! Penyelesaian: det  A   a11  C11  a12  C12  a13  C13  1   34    2    36    3   14   34  72  42  64

Determinan Matriks Ordo 3 dengan Minor-Kofaktor (Ulangan #4)

Latihan: Tentukanlah DETERMINAN dari matriks 1 2 3    A   2 5 8   4 3 2  

Dengan ekspansi Ekspansi Kofaktor pada Kolom! Penyelesaian: det  A   a11  C11  a21  C21  a31  C31  1   34    2   13   4   1  34  26  4  64

Determinan Matriks Ordo 3 dengan Metode Sarrus (Ulangan) Latihan: Menngunakan Metode Sarrus, tentukanlah DETERMINAN dari matriks berikut: 1 2 3    A   2 5 8   4 3 2 

Penyelesaian: det  A    a11  a22  a33    a12  a23  a31    a13  a21  a32  

 a31  a22  a13 

  a32  a23  a11    a33  a21  a12 

 1  5  2    2  (8)  4    3  2  3   4  5  3   3  (8)  1   2  2  (2)   64

Determinan Matriks Ordo 3 dengan Eliminasi Gauss (EG) (#1)

Untuk matriks berordo 3 berikut: 1 2 3    A   2 5 8  4 3 2 

Maka, langkah-langkah Metode EG (OBE) untuk mencari determinan matriks A: (a). Baris#1 (leading): OBE dengan B2 – B1 x 2 untuk mengubah a21 menjadi 0  didapatkan:

1 2 3    0 9 14 4 3 2  

,

(b). Baris#1 (leading): OBE dengan B2 – B1 x 4 untuk mengubah a31 menjadi 0  didapatkan:

1 2 3    0 9  14   0 11 10  

,

Determinan Matriks Ordo 3 dengan Eliminasi Gauss (EG) (#2)

(c). Baris#2 (leading): OBE dengan B3 - B1 x mengubah a31 menjadi 0  didapatkan

11 9

untuk

  1 2 3    0 9 14    64 0 0   9 

suatu MBS “segitiga ATAS”. (d). Maka, DETERMINAN dari matriks A di atas adalah:  64  det  A   1   9      64 .  9 

,

Determinan Matriks Ordo 3 dengan Metode Doolittle (#1)

Untuk matriks berordo 3 berikut: 1  A  2  4

2 5 3

3  8 2 

Maka, langkah-langkah Metode EG (OBE) untuk mencari determinan matriks A: (a). Baris#3 (leading): OBE dengan B2 – B3 x -4  untuk mengubah

a23 menjadi 0  didapatkan:

 1 -2  18 17 4 3 

3  0 2 

(b). Baris#3 (leading): OBE dengan B1 – B3 x

menjadi 0  diperoleh:

13   -5  2  18 17  3 4

 0  0  2

,

, 3 2

untuk mengubah a13

Determinan Matriks Ordo 3 dengan Eliminasi Gauss (EG) (#2)

(c). Baris#2 (leading): OBE dengan B1 – B2 x mengubah a31 menjadi 0  didapatkan MBS “segitiga BAWAH”.

 13     34 

64 0 0    18 17 0    4 3 2 

untuk , suatu

(d). Ternyata, DETERMINAN dari matriks A di atas adalah: det  A    64  17    2  2176  64 .

 Matriks SEGITIGA ATAS dapat digunakan untuk menghitung DETERMINAN, sedangkan Matriks SEGITIGA BAWAH tidak dapat.

Determinan Matriks Ordo 3 dengan Eliminasi Gauss (EG) (Latihan#1)

Tentukanlah DETERMINAN dari matriks 1 5 3   A  2 3 4    4  3 2  

Menggunakan metode Eliminasi Gauss! Penyelesaian: 1 5 3 det  A  

2

3

4

4 3

2

 12

Determinan Matriks Ordo 4 dengan Eliminasi Gauss (EG) (Latihan#2)

Tentukanlah DETERMINAN dari matriks-matriks 1 2 3 4    4 2 1 0   A    1  3 1  1     3 1 2 1  

;

5 1 1 5    3 2  1 0   B    1  3 1  1     8  2 0 1  

;

5 1 1 3    3 2  1 0   C    1  3 1  1     8  2 0 1  

Menggunakan metode Eliminasi Gauss! Penyelesaian: det  A   ? ;

det B  ? ;

det  C  ? ;

Determinan Matriks Ordo 4 dengan MS-Excel (#1)

Tentukanlah DETERMINAN dari matriks 1 2 3 4    4 2 1 0   A    1 3 1 1   3 1 2 1 

Menggunakan MS-Excel! Penyelesaian: 1

-2

3

-4

4

2

1

0

1

-3

1

-1

3

1

2

1

Det (A) =

-88

Determinan Matriks Ordo 5 dengan MS-Excel (#2) Tentukanlah DETERMINAN dari matriks  1  1  A  2  3 5 

2

3

0

3

2

2

1

1

0

2

1

3

6

7

9

2  5  1  3 2 

Menggunakan MS-Excel! Penyelesaian: -1

2

3

0

2

1

3

2

-2

5

2

1

-1

0

1

3

2

1

-3

3

5

6

7

9

2

Det (A) =

220

Untuk Solusi Persamaan Linier

Aturan CRAMER untuk Solusi SPL

Definisi: Jika diketahui suatu Sistem Persamaan Linier (SPL) dengan 2 persamaan, sebagai berikut:

 a11 a12   x1   b1         a21 a22   x2  b2  Maka, solusi SPL di atas dengan aturan Cramer adalah sbb:  b1 det   b2 x1 

a12   a22 

dan  a11 a12  det   a a 22   21

 a11 b1  det   a b  21 2  x1 

 a11 a12  det   a a 22   21

Aturan CRAMER untuk Solusi SPL

Definisi: Jika diketahui suatu Sistem Persamaan Linier (SPL) dengan 3 persamaan, sebagai berikut:

 a11 a12  a21 a22  a31 a31

a13   x1   b1       a23    x2   b2   b3  a33   x3 

Maka, solusi SPL di atas dengan aturan Cramer adalah sbb:

x1 

1 0

;

x2 

2 0

;

x3 

3 0

Aturan CRAMER untuk Solusi SPL Dari solusi SPL di atas melalui aturan Cramer berikut:

x1 

1 0

x2 

;

2 0

;

x3 

3 0

dengan  a11 a12   0  det  a21 a22 a  31 a31  a11   2  det  a21 a  31

x1 x2 x3

a13   x1   a23  ; 1  det  x2 x a33   3

a31

a13   a23  a33 

a13   a11 a12   a23  ;  3  det  a21 a22 a a33   31 a31

x1   x2  x3 

a12 a22

Latihan Solusi SPL dengan aturan CRAMER

Selesaikan SPL berikut dengan aturan Cramer:

1.

x1  2 x2  3 x3  3 2 x1  3 x2  2 x3  3 2 x1  1 x2  2 x3  5

2.

x1  2 x2  3 x3  8 2 x1  3 x2  2 x3  5 2 x1  1 x2  2 x3  - 1

3.

x1  2 x2  3 x3  22 2 x1  3 x2  2 x3  21 2 x1  1 x2  2 x3  15

 a11 a12  a   21 a22 

Intisari Penentuan Determinan Matriks Persegi

 a11 a12  a  a  21 22 

 x1   b1   x   b   2  2

 x1   b1   x   b   2  2

Determinan Matriks PERSEGI (MBS)

Definisi: Determinan adalah suatu fungsi tertentu sebagai penghubung dari suatu skalar (bilangan nyata) dengan suatu matriks persegi (MBS, matriks bujur-sangkar). Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (n x n) dapat dikaitkan dengan suatu skalar yang disebut determinan matriks tersebut dan ditulis dengan det(A) atau |A|.  Bagaimanakah mencari determinan untuk matriks dengan ordo 3, 4, dan 5, atau bahkan matriks yang berordo lebih tinggi?

Determinan MBS ordo 3 dengan Ekspansi Kofaktor secara Baris Jika diberikan matriks persegi ordo 3, sebut

 a11 A  a21  a31

a12 a22 a32

a13  a23  ,  a33 

maka

Ekspansi Kofaktor secara Baris untuk penentuan “Determinan” adalah: 

Ekspansi Baris Pertama:

det  A  

11 1 2 1 3 a11   1  M11   a12   1  M12   a13   1  M13       

 a11  C11  a12  C12  a13  C13 

Ekspansi Baris Kedua: det  A   a21  C21  a22  C22  a23  C23



Ekspansi Baris Ketiga: det  A   a31  C31  a32  C32  a33  C33

Determinan MBS ordo 3 dengan Ekspansi Kofaktor secara Kolom Jika diberikan matriks persegi ordo 3, sebut

 a11 A  a21  a31

a12 a22 a32

a13  a23  ,  a33 

maka

Ekspansi Kofaktor secara Kolom untuk penentuan “Determinan” adalah: 

Ekspansi Kolom Pertama: det  A  

11 2 1 3 1 a11   1  M11   a21   1  M12   a31   1  M31       

 a11  C11  a21  C21  a31  C31



Ekspansi Kolom Kedua: det  A   a12  C12  a22  C22  a32  C32



Ekspansi Kolom Ketiga: det  A   a13  C13  a23  C23  a33  C33

Contoh Penentuan Determinan Matriks Ordo 3 dengan Ekspansi Kofaktor pada Baris

Soal: Tentukanlah DETERMINAN dari matriks 1 2 3    A   2 5 8   4 3 2 

Dengan ekspansi Ekspansi Kofaktor pada Baris! Penyelesaian: det  A   a11  C11  a12  C12  a13  C13  1   34    2    36    3   14   34  72  42  64

Contoh Penentuan Determinan Matriks Ordo 3 dengan Ekspansi Kofaktor pada Kolom

Soal: Tentukanlah DETERMINAN dari matriks 1 2 3    A   2 5 8   4 3 2  

Dengan ekspansi Ekspansi Kofaktor pada Kolom! Penyelesaian: det  A   a11  C11  a21  C21  a31  C31  1   34    2   13   4   1  34  26  4  64

Penentuan Determinan MBS Ordo 3 dengan Metode Sarrus Soal: Menggunakan Metode Sarrus, tentukanlah DETERMINAN dari matriks berikut: 1 2 3    A   2 5 8   4 3 2 

  alat bantu

 a11  a21  a31

a12 a22 a32

a13   a11   a23    a21   a33   a31

a12

a13

a11

a22

a23

a21

a32

a33

a31

a12   a22   a32 

Penyelesaian: det  A    a11  a22  a33    a12  a23  a31    a13  a21  a32  

 a31  a22  a13 

  a32  a23  a11    a33  a21  a12 

 1  5  2    2  (8)  4    3  2  3   4  5  3   3  (8)  1   2  2  (2)   64

Penentuan Determinan MBS Ordo 3 dengan Eliminasi Gauss (EG) (#1)

Untuk matriks berordo 3 berikut: 1 2 3    A   2 5 8  4 3 2 

Maka, langkah-langkah Metode EG (OBE) untuk mencari determinan matriks A: (a). Baris#1 (leading): OBE dengan B2 – B1 x 2 untuk mengubah a21 menjadi 0  didapatkan:

1 2 3    0 9 14 4 3 2  

,

(b). Baris#1 (leading): OBE dengan B2 – B1 x 4 untuk mengubah a31 menjadi 0  didapatkan:

1 2 3    0 9  14   0 11 10  

,

Penentuan Determinan MBS Ordo 3 dengan Eliminasi Gauss (EG) (#2)

(c). Baris#2 (leading): OBE dengan B3 - B1 x mengubah a31 menjadi 0  didapatkan

11 9

untuk

  1 2 3    0 9 14    64 0 0   9 

suatu MBS “segitiga ATAS”. (d). Maka, DETERMINAN dari matriks A di atas adalah:  64  det  A   1   9      64 .  9 

,

Penentuan Determinan MBS Ordo 3 dengan Metode Doolittle (#1)

Untuk matriks berordo 3 berikut: 1 2 3    A   2 5 8  4 3 2 

Maka, langkah-langkah Metode Doolittle untuk mencari determinan matriks A: (a). Baris#3 (leading): OBE dengan B2 – B3 x -4  untuk mengubah

a23 menjadi 0  didapatkan:

 1 -2 3   18 17 0   4 3 2  

(b). Baris#3 (leading): OBE dengan B1 – B3 x menjadi 0  diperoleh:

 -5 13 0 2   18 17 0   3 2   4

,

, 3 2

untuk mengubah a13

Penentuan Determinan MBS Ordo 3 dengan Metode Doolittle (#2)

(c). Baris#2 (leading): OBE dengan B1 – B2 x mengubah a31 menjadi 0  didapatkan

 13     34 

untuk

64 0 0 34    18 17 0    3 2   4

,

suatu MBS “segitiga BAWAH”. (d). Maka, DETERMINAN dari matriks A di atas adalah:  64  det  A      17    2   64  34 

.

 Matriks Bujursangkar SEGITIGA ATAS dan SEGITIGA BAWAH keduanya dapat digunakan untuk menentukan DETERMINAN.

Contoh#1:

Tahap-demi-tahap Penentuan Determinan MBS Ordo 3 dengan EG Tentukanlah DETERMINAN dari matriks ordo 3 di bawah ini, Menggunakan metode Eliminasi Gauss! 1 2 8    A  2 1 4    1 5  2  

Penyelesaian: 8  8  1 2 8  1 2 1 2       B 2  2B1 B 3  ( 1)B1 2 1 4   0  3  12  0  3  12       B 3  1B1       1 5  2 0 3  1 0 0 0  22      

Maka, det  A  1   3   22  66

Contoh#2:

Tahap-demi-tahap Penentuan Determinan MBS Ordo 4 dengan EG Tentukanlah DETERMINAN dari MBS ordo 4 di bawah ini, Menggunakan metode Eliminasi Gauss! 1 2 A   4  2

0 2 4 1

3 1 1 2

1 1  2 1 

Penyelesaian: 1  2  4   2

0 3 1 1   2 1 1  B 2  2 B1 0     3  4 B1 4 1 2 B 0 B 4  2 B1   1 2 1  0

1  2 5 1 B3  2 B 2     B 4  0,5 B 2 4 11 2  1 4 1 0

3

Maka, det  A  1   2   1   0,5  1

1  0  0  0

1  1   2 5 1  B 4  1,5 B3 0    0 1 0  0   0 1,5 0, 5 0 0

3

1   2 5 1   0 1 0   0 0 0,5

0

3

Contoh#3:

Tahap-demi-tahap Penentuan Determinan MBS Ordo 5 dengan EG Tentukanlah DETERMINAN dari MBS ordo 5 di bawah ini, Menggunakan metode Eliminasi Gauss! 1 2  A  4 2 3 

0 2 4 1 3

3 1 1 2 4

1 1 2 1 3

2 3  3 3 1 

Penyelesaian: 1 2  4 2 3 

2 0  1   B 2  2B1 3 0 2  B3  4B1  3   4 B 4  2B1  0  0 3  B5  3B1 1   1 3  0 0 3 1  1  0 2 5 1 B 4  1,5B3   0 1 0 B5  2,5B3  0  0 0 0 0,5  0 0 0 1,5  0 2 4 1 3

3 1 1 2 4

Maka,

1 1 2 1 3

2   1   0 B3  2B 2 1  B 4  0,5B 2  5    0 B5  1,5B 2  0 1    0 5   2  0 3  1   1 0 2 5  B5  (3)B 4   0 3   0 1   4 0 0 0   11  0 0  0 3 5 11 4 5

1 1 2 1 0

det  A  1  2   1  0,5 1  1

3 1 2  5 1 1   1 0 3  1,5 0,5 0,5 2,5 1,5 3,5 1 2  1 1   0 3  0,5 4  0 1  0 2 0 0 0

Aturan CRAMER untuk Solusi SPL

Definisi: Jika diketahui suatu Sistem Persamaan Linier (SPL) dengan 3 persamaan, sebagai berikut:

 a11 a12  a21 a22  a31 a31

a13   x1   b1       a23    x2   b2   b3  a33   x3 

Maka, solusi SPL di atas dengan aturan Cramer adalah sbb:

x1 

1 0

;

x2 

2 0

;

x3 

3 0

Aturan CRAMER untuk Solusi SPL Dari solusi SPL di atas melalui aturan Cramer, dapat dihitung:

x1 

1 0

;

x2 

2 0

;

x3 

3 0

dengan  a11 a12   0  det  a21 a22 a  31 a31  a11 b1   2  det  a21 b2 a  31 b3

a13   b1   a23  ; 1  det  b2 b a33   3

a12 a22 a31

a13   a11 a12   a23  ;  3  det  a21 a22 a a33   31 a31

a13   a23  a33  b1   b2  b3 