a11 a12 a 21 a22
Lanjutan Mencari Matriks Balikan dengan OBE
a11 a12 a a 21 22
x1 b1 x b 2 2
x1 b1 x b 2 2
Untuk DIPERHATIKAN ! •
Untuk mencari Matriks INVERS ordo 2,
a b A , dapat c d
digunakan
rumus:
A •
d b a d b c c a 1
Untuk mencari Matriks INVERS ordo 3, dapat dilakukan dengan cara: – melalui pembentukan matrik ADJOIN, kemudian dibagi dengan nilai DETERMINAN-nya
A – – •
1
1
1 det A
adj A
1 A
adj A
menggunakan metode OBE (Operasi Baris Elmenter) EG atau EGJ atau cara lainnya...?
Untuk mencari Matriks INVERS ordo n (n > 3), disarankan menggunakan metode OBE
Matriks ADJOIN (Classical Adjoint) Definisi: – Jika A sebarang matriks (n x n) dan Cij adalah kofaktor aij,, maka matriks berikut C11 C12 ... C1n C C 22 ... C 2 n 21 ... ... ... ... C n1 C n 2 ... C nn
dinamakan matriks kofaktor A – Transpos dari matriks kofaktor adalah Adjoint (sering ditulis: adj(NAMA_MATRIKS)) – Transpos dari matriks kofaktor A adalah Adjoint A (adj(A)).
Matriks ADJOIN versus Matriks INVERS (#1)
Matriks ADJOIN berordo 2: Carilah matriks adjoin dari matriks di bawah ini:
2 1 A 4 3 Elemen matriks kofaktor A (= Cij ) adalah C11 3 C12 4 C21 1 C22 2
maka
3 4 Adj. A 1 2
T
4
Kof. A 1 2
3 -1 -4 2
3
Matriks ADJOIN versus Matriks INVERS (#2)
Determinan: Harga determinan dari matriks di bawah ini:
2 1 2 1 det A det 2 4 3 4 3 maka, cara menghitung A 1 adalah sbb:
A
1
1 3 -1 det (A) 2 -4 2 adj(A)
-1 3 2 2 -2 1
Matriks ADJOIN versus Matriks INVERS (#3)
Matriks ADJOIN berordo 3: Carilah matriks adjoin dari matrik-matriks berikut ini:
2 3 4 A 0 4 2 1 1 5 dan
3 2 1 B 1 6 3 2 4 0
Matriks ADJOIN vs Matriks INVERS (#4)
Penyelesaian: 2 3 4 (a). Untuk matriks A 0 4 2 , terlebih dahulu dicari matriks 1 1 5
kofaktor A dari kesembilan elemen (komponen) matriks tsb: 4 1 3 1 3 4
C11 C21 C31
2 5 4 5 4 2
0 1 2 1 2 0
C12 C22 C32
2 5 4 5 4 2
0 1 2 1 2 0
C13 C23 C33
4 1 3 1 3 4
didapatkan 18 2 4 18 11 10 Kof. A 11 14 5 maka Adj. A 2 14 4 5 8 10 4 8 4
Matriks ADJOIN vs Matriks INVERS (#5)
Penyelesaian: 3 2 1 (b). Untuk matriks B 1 6 3 , terlebih dahulu dicari matriks 2 4 0 kofaktor B dari kesembilan elemen (komponen) matriks tsb: 6 4 2 4 2 6
C11 C21 C31
3 0 1 0 1 3
1 2 3 2 3 1
C12 C22 C32
3 0 1 0 1 3
1 2 3 2 3 1
C13 C23 C33
6 4 2 4 2 6
didapatkan 12 6 8 12 4 12 Kof. B 4 2 8 maka Adj. B 6 2 10 12 10 16 8 8 16
Matriks ADJOIN vs Matriks INVERS (#6)
Determinan matriks ordo 3: Bagaimana dengan DETERMINAN matriks persegi berordo 3? Bagaimana cara menghitung DETERMINAN tersebut yang paling efektif dan efisien??
Latihan #1 - Cari Matriks ADJOIN ordo 3 x 3
3 2 1 A 1 6 3 2 4 0 Cari nilai kofaktor • • • • • • • • •
C11 = (6*0 – 3*(-4)) = 12 C12 = (-1)1+2 (1*0 – 3*2) = 6 C13 = (-1)1+3 (1*(-4) – 6*2) = -16 C21 = (-1)2+1 (2*0 – (-1)*(-4)) = 4 C22 = (-1)2+2 (3*0 – (-1)*2) = 2 C23 = (-1)2+3 (3*(-4)– 2*2) = 16 C31 = (-1)3+1 (2*3 – (-1)*6) = 12 C32 = (-1)3+2 (3*3 – (-1)*1) = -10 C33 = (-1)3+3 (3*6 – 2*1) = 16 (-1)1+1
• Matriks Kofaktor A
12 6 16 4 2 16 12 10 16 • Transpos matriks Kof. A adalah Adjoint A (= adj(A))
12 4 12 Adj ( A) 6 2 10 16 16 16
Matriks Bujursangkar
Determinan Matriks PERSEGI
Definisi: Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks persegi (matriks bujur-sangkar). Determinan matriks hanya dimiliki oleh matriks persegi. Determinan matriks juga digunakan untuk mencari matriks INVERS (matriks balikan) atau dapat juga digunakan untuk penyelesaian SPL dengan aturan Cramer. Bagaimanakah mencari determinan untuk matriks berordo 2, matriks berordo 3, dan bahkan matriks yang berordo lebih tinggi?
Determinan Matriks Berordo 2
Jika diketahui matriks berordo 2 berikut: a11 a12 a b A a a c d 21 22
Maka determinan dari matriks di atas dapat dihitung menggunakan rumus berikut: a b det A det a d b c c d a11 a12 a11 a22 a12 a21 a21 a22
Determinan Matriks Berordo 3 Jika diketahui matriks berordo 3 berikut: a11 A a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
Maka determinan dari matriks di atas dapat dihitung dengan: (a). Ekspansi Kofaktor
(b). (c).
Minor dan Kofaktor: Ekspansi Kofaktor Pada Baris, dan Minor dan Kofaktor: Ekspansi Kofaktor Pada Kolom
Metode Sarrus Determinan Matriks Segitiga Atas/Bawah (Ordo sembarang)
Mencari Determinan Matriks Berordo 3 dengan Minor dan Kofaktor (#1)
Jika diketahui matriks berordo 3 berikut: a11 A a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
Maka langkah-langkah penentuan determinan dari matriks di atas dengan Minor dan Kofaktor adalah sbb: (a).
Pertama kali, buat minor dari a11 M11
(b).
a22 a32
a23 a33
det M11 M11 a22 a33 a23 a32
Kemudian, kofaktor dari a11 adalah C11 1 det M11 1 a22 a33 a23 a32 11
11
Mencari Determinan Matriks Berordo 3 dengan Minor dan Kofaktor (#2)
langkah-langkah penentuan determinan dari matriks di atas sbb:
(c).
Kemudian, minor dan kofaktor dari a12 adalah M12
a21 a31
C12 1
1 2
a23 a33
det M12 M12
a21 a33 a23 a31
det M12 1 a21 a33 a23 a31 3
(d). Kemudian, minor dan kofaktor dari a13 adalah M13
a21 a31
C13 1
13
a22 a32
det M13 M13
a21 a32 a22 a31
det M11 1 a21 a32 a22 a31 4
(e). Secara keseluruhan, DETERMINAN adalah det A a11 C11 a12 C12 a13 C13
Mencari Determinan Matriks Berordo 3 dengan Minor dan Kofaktor (#3)
Latihan: Tentukanlah DETERMINAN dari matriks 1 2 3 A 2 5 8 4 3 2
Dengan ekspansi Ekspansi Kofaktor pada Baris! Penyelesaian: det A a11 C11 a12 C12 a13 C13 1 34 2 36 3 14 34 72 42 64
Mencari Determinan Matriks Berordo 3 dengan Minor dan Kofaktor (#4)
Latihan: Tentukanlah DETERMINAN dari matriks 1 2 3 A 2 5 8 4 3 2
Dengan ekspansi Ekspansi Kofaktor pada Kolom! Penyelesaian: det A a11 C11 a21 C21 a31 C31 1 34 2 13 4 1 34 26 4 64
Mencari Determinan Matriks Berordo 3 dengan Metode Sarrus (#1)
Jika diketahui matriks berordo 3 berikut: a11 A a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
Dengan skema penentuan determinan menurut Metode Sarrus sbb:
a11 a21 a31
–
– a12
a13
a11
a22
a23
a21
a32
a33
a31
– a11 a22 a32
Mencari Determinan Matriks Berordo 3 dengan Metode Sarrus (#2)
Maka nilai determinan menurut Metode Sarrus adalah: det A
a11 a22 a33
a12 a23 a31 a13 a21 a32
a31 a22 a13
a32 a23 a11 a33 a21 a11
Latihan: Tentukan determinan dari matriks 1 A 2 4
2 5 3
3 8 2
menggunakan Metode Sarrus seperti di atas!
Mencari Determinan Matriks Berordo di atas 3 ???
Metode-metode penentuan DETERMINAN yang telah dipelajari selama ini, hanyalah dapat diterapkan untuk matriks-matriks bujursangkar (matriks persegi) berordo 2 atau (maksimum) berordo 3.
Bagaimana menentukan DETERMINAN untuk matriks berordo lebih besar dari 3???
IDE DASAR: Penentuan Determinan Matriks Berordo Sembarang
a11 a12 0 a22 A 0 0
a1m a2 m amm
dan 0 a11 a21 a22 B am1 am 2
0 0 amm
a11 a12 a 21 a22
Mencari Determinan MBS dan Aturan Cramer
a11 a12 a a 21 22
x1 b1 x b 2 2
x1 b1 x b 2 2
Ulangan - Cari Matriks ADJOIN ordo 3 x 3 3 2 1 A 1 6 3 2 4 0
• Matriks Kofaktor A
12 6 16 4 2 16 12 10 16
Cari elemen kofaktor • • • • • • • • •
C11 = (-1)1+1 (6*0 – 3*(-4)) = 12 C12 = (-1)1+2 (1*0 – 3*2) = 6 C13 = (-1)1+3 (1*(-4) – 6*2) = -16 C21 = (-1)2+1 (2*0 – (-1)*(-4)) = 4 C22 = (-1)2+2 (3*0 – (-1)*2) = 2 C23 = (-1)2+3 (3*(-4)– 2*2) = 16 C31 = (-1)3+1 (2*3 – (-1)*6) = 12 C32 = (-1)3+2 (3*3 – (-1)*1) = -10 C33 = (-1)3+3 (3*6 – 2*1) = 16
• Transpos matriks Kof. A adalah Adjoint A (= adj(A)):
12 4 12 Adj ( A) 6 2 10 16 16 16
Determinan Matriks PERSEGI (MBS)
Definisi: Determinan adalah suatu fungsi tertentu sebagai penghubung dari suatu skalar (bilangan real) dengan suatu matriks persegi (matriks bujur-sangkar). Determinan matriks hanya dimiliki oleh matriks persegi (MBS, Matriks Bujur Sangkar). Determinan matriks juga digunakan untuk mencari matriks INVERS (matriks balikan) atau dapat juga digunakan untuk penyelesaian SPL dengan aturan Cramer. Bagaimanakah mencari determinan untuk matriks berordo 3, matriks berordo 4, dan bahkan matriks yang berordo lebih tinggi?
Ulangan Matriks Kofaktor dari suatu MBS ordo 3 2 3 4 Jika diberikan matriks berordo 3, sebut A 0 4 2 , maka langkah 1 1 5
langkah mencari “Matriks Kofaktor” dari MBS di atas adalah:
Pertama, carilah kesembilan elemen (komponen) dari matriks minor-kofaktor A dari matriks tsb: 4 1 3 1 3 4
C11 C21 C31
2 5 4 5 4 2
0 1 2 1 2 0
C12 C22 C32
2 5 4 5 4 2
0 1 2 1 2 0
C13 C23 C33
4 1 3 1 3 4
Kemudian, susunlah matriks kofaktor dari matriks A di atas sbb: 18 2 4 Matriks Kofaktor (dari Matriks) A 11 14 5 10 4 8
Determinan Matriks Ordo 3 dengan Minor-Kofaktor (Ulangan #2)
langkah-langkah penentuan determinan dari matriks di atas sbb:
(c).
Kemudian, tentukan minor-kofaktor dari a12 : M12
a21 a31
C12 1
1 2
a23 a33
det M12 M12
a21 a33 a23 a31
det M12 1 a21 a33 a23 a31 3
(d). Terakhir, harga minor-kofaktor dari a13 : M13
a21 a31
C13 1
13
a22 a32
det M13 M13
a21 a32 a22 a31
det M11 1 a21 a32 a22 a31 4
(e). Secara keseluruhan, DETERMINAN adalah det A a11 C11 a12 C12 a13 C13
Determinan Matriks Ordo 3 dengan Minor-Kofaktor (Ulangan #3)
Latihan: Tentukanlah DETERMINAN dari matriks 1 2 3 A 2 5 8 4 3 2
Dengan ekspansi Ekspansi Kofaktor pada Baris! Penyelesaian: det A a11 C11 a12 C12 a13 C13 1 34 2 36 3 14 34 72 42 64
Determinan Matriks Ordo 3 dengan Minor-Kofaktor (Ulangan #4)
Latihan: Tentukanlah DETERMINAN dari matriks 1 2 3 A 2 5 8 4 3 2
Dengan ekspansi Ekspansi Kofaktor pada Kolom! Penyelesaian: det A a11 C11 a21 C21 a31 C31 1 34 2 13 4 1 34 26 4 64
Determinan Matriks Ordo 3 dengan Metode Sarrus (Ulangan) Latihan: Menngunakan Metode Sarrus, tentukanlah DETERMINAN dari matriks berikut: 1 2 3 A 2 5 8 4 3 2
Penyelesaian: det A a11 a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21 a32
a31 a22 a13
a32 a23 a11 a33 a21 a12
1 5 2 2 (8) 4 3 2 3 4 5 3 3 (8) 1 2 2 (2) 64
Determinan Matriks Ordo 3 dengan Eliminasi Gauss (EG) (#1)
Untuk matriks berordo 3 berikut: 1 2 3 A 2 5 8 4 3 2
Maka, langkah-langkah Metode EG (OBE) untuk mencari determinan matriks A: (a). Baris#1 (leading): OBE dengan B2 – B1 x 2 untuk mengubah a21 menjadi 0 didapatkan:
1 2 3 0 9 14 4 3 2
,
(b). Baris#1 (leading): OBE dengan B2 – B1 x 4 untuk mengubah a31 menjadi 0 didapatkan:
1 2 3 0 9 14 0 11 10
,
Determinan Matriks Ordo 3 dengan Eliminasi Gauss (EG) (#2)
(c). Baris#2 (leading): OBE dengan B3 - B1 x mengubah a31 menjadi 0 didapatkan
11 9
untuk
1 2 3 0 9 14 64 0 0 9
suatu MBS “segitiga ATAS”. (d). Maka, DETERMINAN dari matriks A di atas adalah: 64 det A 1 9 64 . 9
,
Determinan Matriks Ordo 3 dengan Metode Doolittle (#1)
Untuk matriks berordo 3 berikut: 1 A 2 4
2 5 3
3 8 2
Maka, langkah-langkah Metode EG (OBE) untuk mencari determinan matriks A: (a). Baris#3 (leading): OBE dengan B2 – B3 x -4 untuk mengubah
a23 menjadi 0 didapatkan:
1 -2 18 17 4 3
3 0 2
(b). Baris#3 (leading): OBE dengan B1 – B3 x
menjadi 0 diperoleh:
13 -5 2 18 17 3 4
0 0 2
,
, 3 2
untuk mengubah a13
Determinan Matriks Ordo 3 dengan Eliminasi Gauss (EG) (#2)
(c). Baris#2 (leading): OBE dengan B1 – B2 x mengubah a31 menjadi 0 didapatkan MBS “segitiga BAWAH”.
13 34
64 0 0 18 17 0 4 3 2
untuk , suatu
(d). Ternyata, DETERMINAN dari matriks A di atas adalah: det A 64 17 2 2176 64 .
Matriks SEGITIGA ATAS dapat digunakan untuk menghitung DETERMINAN, sedangkan Matriks SEGITIGA BAWAH tidak dapat.
Determinan Matriks Ordo 3 dengan Eliminasi Gauss (EG) (Latihan#1)
Tentukanlah DETERMINAN dari matriks 1 5 3 A 2 3 4 4 3 2
Menggunakan metode Eliminasi Gauss! Penyelesaian: 1 5 3 det A
2
3
4
4 3
2
12
Determinan Matriks Ordo 4 dengan Eliminasi Gauss (EG) (Latihan#2)
Tentukanlah DETERMINAN dari matriks-matriks 1 2 3 4 4 2 1 0 A 1 3 1 1 3 1 2 1
;
5 1 1 5 3 2 1 0 B 1 3 1 1 8 2 0 1
;
5 1 1 3 3 2 1 0 C 1 3 1 1 8 2 0 1
Menggunakan metode Eliminasi Gauss! Penyelesaian: det A ? ;
det B ? ;
det C ? ;
Determinan Matriks Ordo 4 dengan MS-Excel (#1)
Tentukanlah DETERMINAN dari matriks 1 2 3 4 4 2 1 0 A 1 3 1 1 3 1 2 1
Menggunakan MS-Excel! Penyelesaian: 1
-2
3
-4
4
2
1
0
1
-3
1
-1
3
1
2
1
Det (A) =
-88
Determinan Matriks Ordo 5 dengan MS-Excel (#2) Tentukanlah DETERMINAN dari matriks 1 1 A 2 3 5
2
3
0
3
2
2
1
1
0
2
1
3
6
7
9
2 5 1 3 2
Menggunakan MS-Excel! Penyelesaian: -1
2
3
0
2
1
3
2
-2
5
2
1
-1
0
1
3
2
1
-3
3
5
6
7
9
2
Det (A) =
220
Untuk Solusi Persamaan Linier
Aturan CRAMER untuk Solusi SPL
Definisi: Jika diketahui suatu Sistem Persamaan Linier (SPL) dengan 2 persamaan, sebagai berikut:
a11 a12 x1 b1 a21 a22 x2 b2 Maka, solusi SPL di atas dengan aturan Cramer adalah sbb: b1 det b2 x1
a12 a22
dan a11 a12 det a a 22 21
a11 b1 det a b 21 2 x1
a11 a12 det a a 22 21
Aturan CRAMER untuk Solusi SPL
Definisi: Jika diketahui suatu Sistem Persamaan Linier (SPL) dengan 3 persamaan, sebagai berikut:
a11 a12 a21 a22 a31 a31
a13 x1 b1 a23 x2 b2 b3 a33 x3
Maka, solusi SPL di atas dengan aturan Cramer adalah sbb:
x1
1 0
;
x2
2 0
;
x3
3 0
Aturan CRAMER untuk Solusi SPL Dari solusi SPL di atas melalui aturan Cramer berikut:
x1
1 0
x2
;
2 0
;
x3
3 0
dengan a11 a12 0 det a21 a22 a 31 a31 a11 2 det a21 a 31
x1 x2 x3
a13 x1 a23 ; 1 det x2 x a33 3
a31
a13 a23 a33
a13 a11 a12 a23 ; 3 det a21 a22 a a33 31 a31
x1 x2 x3
a12 a22
Latihan Solusi SPL dengan aturan CRAMER
Selesaikan SPL berikut dengan aturan Cramer:
1.
x1 2 x2 3 x3 3 2 x1 3 x2 2 x3 3 2 x1 1 x2 2 x3 5
2.
x1 2 x2 3 x3 8 2 x1 3 x2 2 x3 5 2 x1 1 x2 2 x3 - 1
3.
x1 2 x2 3 x3 22 2 x1 3 x2 2 x3 21 2 x1 1 x2 2 x3 15
a11 a12 a 21 a22
Intisari Penentuan Determinan Matriks Persegi
a11 a12 a a 21 22
x1 b1 x b 2 2
x1 b1 x b 2 2
Determinan Matriks PERSEGI (MBS)
Definisi: Determinan adalah suatu fungsi tertentu sebagai penghubung dari suatu skalar (bilangan nyata) dengan suatu matriks persegi (MBS, matriks bujur-sangkar). Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (n x n) dapat dikaitkan dengan suatu skalar yang disebut determinan matriks tersebut dan ditulis dengan det(A) atau |A|. Bagaimanakah mencari determinan untuk matriks dengan ordo 3, 4, dan 5, atau bahkan matriks yang berordo lebih tinggi?
Determinan MBS ordo 3 dengan Ekspansi Kofaktor secara Baris Jika diberikan matriks persegi ordo 3, sebut
a11 A a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 , a33
maka
Ekspansi Kofaktor secara Baris untuk penentuan “Determinan” adalah:
Ekspansi Baris Pertama:
det A
11 1 2 1 3 a11 1 M11 a12 1 M12 a13 1 M13
a11 C11 a12 C12 a13 C13
Ekspansi Baris Kedua: det A a21 C21 a22 C22 a23 C23
Ekspansi Baris Ketiga: det A a31 C31 a32 C32 a33 C33
Determinan MBS ordo 3 dengan Ekspansi Kofaktor secara Kolom Jika diberikan matriks persegi ordo 3, sebut
a11 A a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 , a33
maka
Ekspansi Kofaktor secara Kolom untuk penentuan “Determinan” adalah:
Ekspansi Kolom Pertama: det A
11 2 1 3 1 a11 1 M11 a21 1 M12 a31 1 M31
a11 C11 a21 C21 a31 C31
Ekspansi Kolom Kedua: det A a12 C12 a22 C22 a32 C32
Ekspansi Kolom Ketiga: det A a13 C13 a23 C23 a33 C33
Contoh Penentuan Determinan Matriks Ordo 3 dengan Ekspansi Kofaktor pada Baris
Soal: Tentukanlah DETERMINAN dari matriks 1 2 3 A 2 5 8 4 3 2
Dengan ekspansi Ekspansi Kofaktor pada Baris! Penyelesaian: det A a11 C11 a12 C12 a13 C13 1 34 2 36 3 14 34 72 42 64
Contoh Penentuan Determinan Matriks Ordo 3 dengan Ekspansi Kofaktor pada Kolom
Soal: Tentukanlah DETERMINAN dari matriks 1 2 3 A 2 5 8 4 3 2
Dengan ekspansi Ekspansi Kofaktor pada Kolom! Penyelesaian: det A a11 C11 a21 C21 a31 C31 1 34 2 13 4 1 34 26 4 64
Penentuan Determinan MBS Ordo 3 dengan Metode Sarrus Soal: Menggunakan Metode Sarrus, tentukanlah DETERMINAN dari matriks berikut: 1 2 3 A 2 5 8 4 3 2
alat bantu
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a11 a23 a21 a33 a31
a12
a13
a11
a22
a23
a21
a32
a33
a31
a12 a22 a32
Penyelesaian: det A a11 a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21 a32
a31 a22 a13
a32 a23 a11 a33 a21 a12
1 5 2 2 (8) 4 3 2 3 4 5 3 3 (8) 1 2 2 (2) 64
Penentuan Determinan MBS Ordo 3 dengan Eliminasi Gauss (EG) (#1)
Untuk matriks berordo 3 berikut: 1 2 3 A 2 5 8 4 3 2
Maka, langkah-langkah Metode EG (OBE) untuk mencari determinan matriks A: (a). Baris#1 (leading): OBE dengan B2 – B1 x 2 untuk mengubah a21 menjadi 0 didapatkan:
1 2 3 0 9 14 4 3 2
,
(b). Baris#1 (leading): OBE dengan B2 – B1 x 4 untuk mengubah a31 menjadi 0 didapatkan:
1 2 3 0 9 14 0 11 10
,
Penentuan Determinan MBS Ordo 3 dengan Eliminasi Gauss (EG) (#2)
(c). Baris#2 (leading): OBE dengan B3 - B1 x mengubah a31 menjadi 0 didapatkan
11 9
untuk
1 2 3 0 9 14 64 0 0 9
suatu MBS “segitiga ATAS”. (d). Maka, DETERMINAN dari matriks A di atas adalah: 64 det A 1 9 64 . 9
,
Penentuan Determinan MBS Ordo 3 dengan Metode Doolittle (#1)
Untuk matriks berordo 3 berikut: 1 2 3 A 2 5 8 4 3 2
Maka, langkah-langkah Metode Doolittle untuk mencari determinan matriks A: (a). Baris#3 (leading): OBE dengan B2 – B3 x -4 untuk mengubah
a23 menjadi 0 didapatkan:
1 -2 3 18 17 0 4 3 2
(b). Baris#3 (leading): OBE dengan B1 – B3 x menjadi 0 diperoleh:
-5 13 0 2 18 17 0 3 2 4
,
, 3 2
untuk mengubah a13
Penentuan Determinan MBS Ordo 3 dengan Metode Doolittle (#2)
(c). Baris#2 (leading): OBE dengan B1 – B2 x mengubah a31 menjadi 0 didapatkan
13 34
untuk
64 0 0 34 18 17 0 3 2 4
,
suatu MBS “segitiga BAWAH”. (d). Maka, DETERMINAN dari matriks A di atas adalah: 64 det A 17 2 64 34
.
Matriks Bujursangkar SEGITIGA ATAS dan SEGITIGA BAWAH keduanya dapat digunakan untuk menentukan DETERMINAN.
Contoh#1:
Tahap-demi-tahap Penentuan Determinan MBS Ordo 3 dengan EG Tentukanlah DETERMINAN dari matriks ordo 3 di bawah ini, Menggunakan metode Eliminasi Gauss! 1 2 8 A 2 1 4 1 5 2
Penyelesaian: 8 8 1 2 8 1 2 1 2 B 2 2B1 B 3 ( 1)B1 2 1 4 0 3 12 0 3 12 B 3 1B1 1 5 2 0 3 1 0 0 0 22
Maka, det A 1 3 22 66
Contoh#2:
Tahap-demi-tahap Penentuan Determinan MBS Ordo 4 dengan EG Tentukanlah DETERMINAN dari MBS ordo 4 di bawah ini, Menggunakan metode Eliminasi Gauss! 1 2 A 4 2
0 2 4 1
3 1 1 2
1 1 2 1
Penyelesaian: 1 2 4 2
0 3 1 1 2 1 1 B 2 2 B1 0 3 4 B1 4 1 2 B 0 B 4 2 B1 1 2 1 0
1 2 5 1 B3 2 B 2 B 4 0,5 B 2 4 11 2 1 4 1 0
3
Maka, det A 1 2 1 0,5 1
1 0 0 0
1 1 2 5 1 B 4 1,5 B3 0 0 1 0 0 0 1,5 0, 5 0 0
3
1 2 5 1 0 1 0 0 0 0,5
0
3
Contoh#3:
Tahap-demi-tahap Penentuan Determinan MBS Ordo 5 dengan EG Tentukanlah DETERMINAN dari MBS ordo 5 di bawah ini, Menggunakan metode Eliminasi Gauss! 1 2 A 4 2 3
0 2 4 1 3
3 1 1 2 4
1 1 2 1 3
2 3 3 3 1
Penyelesaian: 1 2 4 2 3
2 0 1 B 2 2B1 3 0 2 B3 4B1 3 4 B 4 2B1 0 0 3 B5 3B1 1 1 3 0 0 3 1 1 0 2 5 1 B 4 1,5B3 0 1 0 B5 2,5B3 0 0 0 0 0,5 0 0 0 1,5 0 2 4 1 3
3 1 1 2 4
Maka,
1 1 2 1 3
2 1 0 B3 2B 2 1 B 4 0,5B 2 5 0 B5 1,5B 2 0 1 0 5 2 0 3 1 1 0 2 5 B5 (3)B 4 0 3 0 1 4 0 0 0 11 0 0 0 3 5 11 4 5
1 1 2 1 0
det A 1 2 1 0,5 1 1
3 1 2 5 1 1 1 0 3 1,5 0,5 0,5 2,5 1,5 3,5 1 2 1 1 0 3 0,5 4 0 1 0 2 0 0 0
Aturan CRAMER untuk Solusi SPL
Definisi: Jika diketahui suatu Sistem Persamaan Linier (SPL) dengan 3 persamaan, sebagai berikut:
a11 a12 a21 a22 a31 a31
a13 x1 b1 a23 x2 b2 b3 a33 x3
Maka, solusi SPL di atas dengan aturan Cramer adalah sbb:
x1
1 0
;
x2
2 0
;
x3
3 0
Aturan CRAMER untuk Solusi SPL Dari solusi SPL di atas melalui aturan Cramer, dapat dihitung:
x1
1 0
;
x2
2 0
;
x3
3 0
dengan a11 a12 0 det a21 a22 a 31 a31 a11 b1 2 det a21 b2 a 31 b3
a13 b1 a23 ; 1 det b2 b a33 3
a12 a22 a31
a13 a11 a12 a23 ; 3 det a21 a22 a a33 31 a31
a13 a23 a33 b1 b2 b3