Minggu ke 3 : Lanjutan Matriks Pokok Bahasan
: Matriks
Sub Pokok Bahasan
: A. Transformasi Elementer 1. Transformasi Elementer pada baris dan kolom 2. Matriks Ekivalen 3. Rank Matriks B. Determinan 1. Pengertian Determinan 2. Sifat-sifat Determinan 3. Minor dan kofaktor 4. Ekspansi Laplace 5. Matriks Kofaktor dan Adjoint 6. Matriks Balikan (Invers) 7. Mencari Invers dengan transformasi elementer
Tujuan Instruksional Umum
: Agar mahasiswa dapat memahami apa yang dimaksud dengan inverse matriks.
Tujuan Instruksional Khusus
: Agar mahasiswa mampu menjelaskan dan dapat menyelesaikan masalah yang terkait dengan : A. Transformasi Elementer 1. Transformasi Elementer pada baris dan kolom 2. Matriks Ekivalen 3. Rank Matriks B. Determinan 1. Pengertian Determinan 2. Sifat-sifat Determinan 3. Minor dan kofaktor 4. Ekspansi Laplace 5. Matriks Kofaktor dan Adjoint 6. Matriks Balikan (Invers) 7. Mencari Invers dengan transformasi elementer
Jumlah Pertemuan
: 2 (dua)
Minggu ke 4 : Lanjutan Matriks
B. Determinan 1. Pengertian determinan : Determinan merupakan sebuah bilangan tunggal atau scalar, dan hanya dijumpai dalam matriks bujur sangkar. Jika determinan suatu matriks bujur sangkar adalah nol, maka matriks tersebut dikatakan sebagai matriks singular. Dan jika determinan matriks tersebut bukan nol, maka matriks tersebut dikatakan sebagai matriks non singular. Matriks nonsingular, secara linear tidak tergantung (saling independent) Misalnya, A matriks berukuran 2 x2,
A=
A
a11
a12
a 21
a 22
a11a22
, maka determinan matriks A,
a12 a21
Untuk matriks yang berordo lebih tinggi (matriks 3x3), cara untuk mendapatkan determinannya adalah dengan cara : a. Metode Sarrus.
A
a11
a12
a13 a11
a12
a 21
a 22
a 23 a 21
a 22
a31
a32
a33 a31
a 23
-
=
-
-+
+
+
(a11 a22 a33 ) (a12 a23 a31 ) (a13 a21 a23 ) (a12 a21 a33 ) (a11 a23 a32 ) (a13 a22 a31 )
2
Contoh :
2 A
3
4
5
0
2
72 64
3 5
00
2
= 2.5.0 + (-3).6.0 + 7.4.(-2) – 7.5.0 – 2.6.(-2) – (-3).4.0 = 0 + 0 -56 – 0 + 24 +0 = - 32
b. Minor dan Kofaktor Dapat dibentuk suatu sub determinan dari matriks yang disebut sebagai minor. Sehingga Minor
M ij
adalah determinan dari
submatriks yang dibentuk dengan menghapus baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks tersebut. Dimana M11 adalah minor dari a11 ; M12 adalah minor dari a12 dan M13 adalah minor dari a13 , dan seterusnya.
M 11
a22
a23
a32
a33
M 12
a21
a23
a31
a33
M 13
a21
a22
a31
a32
Apabila suatu minor diberi tambahan tanda (-1)i+j, maka disebut kofaktor Cij . Maka
Cij
( 1) i
j
M ij ; jika jumlah i+j genap maka Cij
M ij ,
karena (-1) dipangkatkan dengan bilangan genap akan sama dengan 1. Sedangkan jika jumlah i+j adalah ganjil maka Cij
M ij , karena
jika (-1) dipangkatkan dengan bilangan negatif maka hasilnya akan sama dengan (-1). 2. Sifat-sifat Determinan
3
Sifat-sifat determinan ada enam, yaitu : a.
Determinan suatu matriks sama dengan determinan dari transposenya, det (A) = det (At).
b.
Penambahan atau pengurangan suatu kelipatan bukan nol dari suatu
baris/kolom
dari
baris/kolom
lainnya
tidak
akan
mempunyai pengaruh pada determinan. c.
Penukaran tempat antara dua baris atau kolom sembarang dari suatu matriks akan merubah tanda, tetapi tidak merubah harga absolut dari determinan.
d.
Determinan dari suatu matriks segitiga (triangular matriks), yaitu matriks dengan elemen-elemen nol diatas atau di
bawah
diagonal utama, adalah sama dengan hasil kali dari elemenelemen dari diagonal utama. e.
Jika semua elemen dari suatu baris atau kolom adalah nol, determinan adalah nol.
f.
Jika dua baris atau kolom identik, atau proporsional, yaitu secara linear tergantung, maka determinan adalah nol.
3. Ekspansi Laplace Metode atau ekspansi Laplace adalah suatu cara untuk menghitung determinan dengan menggunakan kofaktor. Determinan dari suatu matriks =
jumlah perkalian elemen-elemen dari sembarang
baris/kolom
dengan
kofaktor-kofaktornya. Ekspansi Laplace dapat ditulis dengan cara :
4
A
a11 C11
a12 C12
menggunakan baris 1
a13 C13
Dengan pola yang sama dapat juga dihitung dengan menggunakan baris ke dua dan ketiga, dengan memberikan hasil determinan yang sama. Tanda-tanda kofaktor secara berurutan adalah :
contoh :
4.
1
4
1
A= 1 5
2
3
1
C 21
( 1) 2
1
C 22
( 1) 2
2
C 23
( 1) 2
3
1
M 21
( 1)
M 22
(1)
M 23
( 1)
4
1
1
1
1 1
5
(1)( 6)
1 1 5
( 1)(3)
4 1
A
a 21 C 21
a 22 C 22
a 23 C 23
A
(1)( 3)
( 2)( 6)
(3)( 21)
( 1)(21)
3
6
21
54
Matriks Kofaktor dan Matriks Adjoint
5
Matriks kofaktor adalah suatu matriks dimana setiap elemen aij diganti dengan kofaktornya Cij , sehingga disebut matriks kofaktor. Matriks adjoint adalah transpose dari suatu matriks kofaktor. Misalnya sebuah matriks kofaktor dari matriks A;
C11
C12
C13
C11
C 21
C31
C= C 21 C31
C 22
C 23 , adjoint A = C’ = C12 C33 C13
C 22
C32
C 23
C33
C32
Contoh :
2 3 1
A = 4 1 2 , untuk menentukan Adj (A) maka dibentuk matriks 5 3 4 kofaktornya terlebih dahulu.
1 3 3 3 3 1
C=
2
C=
9 5
2 4 1 4 1 2 6
4 5 2 5 2 4
1 3 3 3 3 1
7
3
9
0
10 2
Adj A = C’ =
4 2 5 4 2 1 5 4 2 1 4 2
6 7
9 3 9
5 0 10
C. Matriks Balikan (invers)
6
Inverse Matriks (matriks balikan) A-1 hanya dapat ditemukan pada suatu matriks bujur sangkar, dan non singular. Dimana harus memenuhi suatu hubungan sebagai berikut : AA-1 = I = A-1A Dimana rumus untuk memperolah balikan dari matriks adalah :
A
1 AdjA A
1
Contoh :
3 1. A =
2
2.A= 0 1
2 1 4 3
, det (A) =
3
4
2 , A-1=
4 3
2 2
3 2 2
1 2 1
4 2 , 5
4 1
det(A) = 0 4
2 1
1
2 1
A-1 =
4 5 18 2 4
2
2 1 19 14 5 54
3 1 10 4 8
0 56 2
=
1 3 1 27 2 27
54 19 54 7 27 5 54
10 54 2 27 4 27
.
7
