KUANTOR (Minggu ke-7)
1
4
Pendahuluan
1. Kuantor Universal: ”Untuk semua x berlaku · · ·” atau ”Untuk setiap x berlaku · · ·”. SP : Himpunan semua bilangan asli. 1. ”x > 1” merupakan kalimat terbuka 2. ”Untuk semua x berlakulah x > 1” merupakan kalimat deklaratif bernilai 2. Kuantor Eksistensial: ”Terdapat x sedemikian hingga · · ·” atau ”Ada x sedemikian hingga · · ·” SP : Himpunan semua bilangan asli 1. ”x > 1” merupakan kalimat terbuka 2. ”Terdapat x sedemikian hingga x > 1” merupakan kalimat deklaratif bernilai benar, sebab untuk x = 2 berlakulah x > 1.
2
Simbol Kuantor
1. ”Untuk semua x berlakulah x > 1”: (∀x)P (x) - Semua x bersifat P - Setiap x mempunyai sifat P . - Untuk semua x berlaku sifat P . dengan sifat ”P ”: ”lebih besar daripada 1” 2. ”Terdapat suatu x yang memenuhi (sifat) x > 1” (∃x)P (x) - Terdapat x yang mempunyai sifat P - Beberapa x mempunyai sifat P . - Paling sedikit ada satu x yang mempunyai sifat P .
3
Perhatian: 1. Simbol kuantor mengikat lebih kuat dibandingkan kata penghubung lainnya. 2. Di bidang ilmu eksakta sifat-sifat (hukum-hukum) yang berlaku umum tidak jarang kuantor universal tidak ditulis Contoh: 1. (∀x)p(x) ∨ (α ⇐⇒ β) yang dimaksud: ((∀x)p(x)) ∨ (α ⇐⇒ β) 2. xn − 1 = (x − 1)(xn−1 + xn−2 + · · · + 1) seharusnya: (∀x).xn − 1 = (x − 1)(xn−1 + xn−2 + · · · + 1).
4
4.1
Kuantor Jamak
SP himpunan semua bilangan real 1. (∀x)(∀y)(−y < x < y =⇒ x2 < y 2 ). 2. (∀x)(∃y)(x − y = 0 = −y + x). 3. (∃x)(∀y)(x + y = y + x = y). 4. (∀x)((x ̸= 0) =⇒ (∃y)(xy = yx = 1)).
Apa yang dimaksud ? Bagaimana mengucapkannya?
5
4.2
Urutan, Sifat-sifat dan Hubungan Antar Kuantor
Misalkan ”p” adalah suatu predikat tertentu: 1. (∀x)(∀y).p(x, y), juga ditulis: (∀x, y).p(x, y). Dibaca : ”Untuk semua x dan y berlaku x dan y bersifat p”. 2. (∀x)(∃y).p(x, y). Dibaca : ”Untuk semua x terdapat y yang memenuhi x dan y bersifat p”. 3. (∃x)(∀y).p(x, y). Dibaca : ”Terdapat x yang memenuhi untuk semua y berlaku x dan y mempunyai sifat p”. 4. (∃x)(∃y).p(x, y), juga ditulis: (∃x, y).p(x, y). Dibaca : ”Terdapat x dan y yang memenuhi sifat p.
6
Pertukaran Letak Kuantor Teorema 4.1
(∀x)(∀y).q(x, y) ⇐⇒ (∀y)(∀x).q(x, y).
Teorema 4.2
(∃x)(∃y).q(x, y) ⇐⇒ (∃y)(∃x).q(x, y).
Teorema 4.3
(∃x)(∀y).q(x, y) =⇒ (∀y)(∃x).q(x, y).
Belum tentu berlaku sebaliknya
Contoh: 1. (∀x)(∃y)(x − y = 0 = −y + x),
T
2. (∃x)(∀y)(x − y = 0 = −y + x),
F
dengan SP himpunan semua bilangan nyata.
7
4.3
Ingkaran Kalimat Berkuantor Ingkaran ”Semua x mempunyai sifat p”:
1. Tidak benar semua x mempunyai sifat p, 2. Tidak semua x mempunyai sifat p Maknanya sama dengan kalimat ”Ada x yang tidak mempunyai sifat p”.
Teorema 4.4
(∀x).p(x) ⇐⇒ (∃x).p(x).
8
Contoh: SP : himpunan semua bilangan nyata, tentukan ingkaran dari kalimat-kalimat berikut ini: 1. (∀x)(x2 + 2x + 1 ≥ 1) 2. (∀x)(−a ≤ x ≤ a =⇒ x2 ≤ a2 ) Penyelesaian: 1. (∃x)x2 + 2x + 1 ≥ 1 Sama dengan: (∃x)(x2 + 2x + 1 ̸≥ 1) Atau: (∃x)(x2 + 2x + 1 < 1) 2. (∃x)−a ≤ x ≤ a =⇒ x2 ≤ a2 Sama dengan: (∃x)−a ≤ x ≤ a ∨ x2 ≤ a2 Dengan kata lain: (∃x)(−a ≤ x ≤ a ∧ x2 ≤ a2 ) Mempunyai makna sama dengan: (∃x)(−a ≤ x ≤ a ∧ x2 > a2 )
9
Teorema 4.5
(∃x).p(x) ⇐⇒ (∀x).p(x).
Contoh: Tentukan ingkaran dari kalimat-kalimat berikut ini: 1. Ada mahasiswa yang IPK-nya lebih besar daripada 3,85. 2. Dengan semesta himpunan bilangan nyata: (∃x)(x2 − 2x + 1 < −1) Penyelesaian: 1. Tidak ada mahasiswa yang IPK-nya lebih besar daripada 3,85. Sama dengan: Semua mahasiswa IPK-nya tidak lebih besar daripada 3,85 Atau: Semua mahasiswa IPK-nya kurang dari atau sama dengan 3,85. 2. (∀x)x2 − 2x + 1 < −1 Sama dengan: (∀x)(x2 − 2x + 1 ̸ < − 1) Atau: (∀x)(x2 − 2x + 1 ≥ −1)
10
4.4
Ingkaran Kuantor Jamak
Teorema 4.6 Ingkaran kuantor jamak: 1. (∃x)(∃y).p(x, y) ⇐⇒ (∀x)(∀y).p(x, y) 2. (∃x)(∀y).p(x, y) ⇐⇒ (∀x)(∃y).p(x, y) 3. (∀x)(∃y).p(x, y) ⇐⇒ (∃x)(∀y).p(x, y) 4. (∀x)(∀y).p(x, y) ⇐⇒ (∃x)(∃y).p(x, y)
Contoh: SP : Himpunan semua bilangan nyata. Tentukan ingkaran: 1. (∀x)(∃y)(x + y = 0). 2. (∃l)(∀ϵ)(ϵ > 0 =⇒ P (l, ϵ)) 3. (∀x)(∀y)(x > y ⇐⇒ (∃u)(u > 0 ∧ x = y + u)).
11
Penyelesaian: 1. Ingkaran dari: (∀x)(∃y)(x + y = 0) adalah : (∀x)(∃y)(x + y = 0) (∃x)(∃y)(x + y = 0) (∃x)(∀y)x + y = 0 (∃x)(∀y)(x + y ̸= 0) 2. Ingkaran dari: (∃l)(∀ϵ)(ϵ > 0 =⇒ P (l, ϵ)) adalah : (∃l)(∀ϵ)(ϵ > 0 =⇒ P (l, ϵ)) (∀l)(∀ϵ)(ϵ > 0 =⇒ P (l, ϵ)) (∀l)(∃ϵ)ϵ > 0 =⇒ P (l, ϵ) (∀l)(∃ϵ)(ϵ > 0 ∧ P (l, ϵ)) 3. Untuk Latihan
12
4.5
Nilai Kebenaran Kalimat Berkuantor
Contoh: 1. (∀x).x2 − x > 1
F
2. (∃x).x2 − x > 1 √ 3. (∀x). x2 = x √ 4. (∃x). x2 = −x
T
T
5. (∀x)(x > 0 =⇒ (∃y)( y1 < x))
T
6. (∀x)(∃y)( xy = 0)
F
7. (∀x)(∀y)(x ̸= y =⇒ (∃z)(x < z < y ∨ y < z < x))
T
F
13
Contoh: Semesta pembicaraan adalah himpunan bilangan 0, 1, 2, 3 dan 4. Tentukan nilai logika dari kalimat berikut ini. 1. (∀x).x ≥ −1
T
2. (∃x).x2 − x > x − 1
T
3. (∀x).x2 ≤ 16 √ 4. (∃x). x2 = −x
T F
14
Latihan 1. SP : himpunan semua manusia. Tulislah penyataan-pernyataan ini dengan menggunakan kauantor 1.1 Ada manusia yang suka berolah raga tetapi tidak pandai 1.2 Ada mahasiswa yang pandai dan suka berolah raga. 1.3 Semua manusia yang tidak pandai tetapi suka berolah raga pasti bukan mahasiswa. 1.4 Ada manusia yang suka berolah raga tetapi bukan mahasiswa 2. SP : himpunan semua bilangan nyata. Ucapkanlah dengan menggunakan bahasa sehari-hari (dengan makna yang sama dengan bentuk simbolnya). Selanjutnya tentukan nilai kebenaraannya. 2.1 2.2 2.3 2.4
(∀y)(∃x)(x ≤ y) (∃y)(∀x)(yx = xy = 0) (∀x)((∀ϵ)(ϵ > 0 =⇒ |x| < 0) =⇒ x = 0) (∃x)(∃y)(x > y > 0 ∧ x2 < y 2 )
3. Tentukanlah ingkaran bentuk simbolisma dari kalimat-kalimat Soal 1.1 - 1.6 dan 2.1 - 2.7, kemudian terjemahkan dalam bahasa sehari-hari, dan tentukan nilai kebenarannya.
15
