TRANSFORMASI BALIKAN
Disusun Oleh : Nama
:
Dodi Sunhaji (4007017) Esty Gustina (4007199) Indah Sri
(4007015)
Warnitik
(4007009)
Oryza Sativa Kelas
:
VIA
Prodi
:
Matematika
Mata Kuliah :
Geometri Transformasi
SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA
( STKIP PGRI ) 2009 / 2010
TRANSFORMASI BALIKAN
Dari contoh-contoh pada pasal-pasal yang terdahulu. Jika g sebuah garis dan Mg refleksi pada garis g. P direfleksikan pada garis g, menjadi : Mg(P) = P’ Mg(P’) = P 2
2
maka MgMg(P) = P. kita tulis M g (P) = P. M g adalah suatu transformasi yang memetakan setiap titik pada dirinya. Transformasi demikian dinamakan transformasi identitas yang dilambangkan dengan huruf I. jadi, I(P) = P Transformasi balikan T ditulis T-1. maka T T-1 = T-1 T = I. Teorema 1 Setiap transformasi T memiliki balikan. Bukti : Andaikan T suatu transformasi. X є V. karena T suatu transformasi maka bijektif. Jadi ada prapeta A є V sehingga T(A) = X. Lalu kita tentukan L(X) = A artinya L(X) adalah prapeta dari X sehingga dari T(A) = X → T [L(X)] = X Atau (TL)(X) = I (X), ν X є V berarti TL = I. Selanjutnya (LT)(X) = L[T(X)]. Andaikan T(X) = B maka L(B) = X jadi L[T(X)] = L(B) = X sehingga TL= LT= I. Sekarang akan dibuktikan bahwa L adalah suatu transformasi. Dari definisi L jelas L suatu padanan yang surjektif. Andaikan L(X1) = L(X2) dan andaikan T(A1) = X1, T(A2) = X2 dengan (I1) = A1 dan L(X2) = A2. karena T statu transformasi, A1 = A2 jadi dari L(X1) = L(X2) → X1 = X2. sehingga L injektif.
Dengan demikian terbukti bahwa L bijektif, jadi L suatu Transformasi. Transformasi L ini disebut balikan dari transformasi T dan dilambangkan dengan L = T-1.
Contoh : Pada suatu sistem sumbu ortogonal XOY didefinisikan transformasi F dan G sebagai berikut : Untuk ν P(x,y), F(P) = (x + 2, ½y) dan G(P) = (x - 2, 2y). Buktikan bahwa F balikan G dan sebaliknya ! Pembuktian : (FG)(P) = F[G(P)] = F[(x - 2, 2y)] = (x,y) = P (GF)(P) = G [F (P)] = G[(x + 2, ½y)] = (x,y) = P Jadi F dan G balikan satu sama lain, G = F-1
Teorema 2 Setiap transformasi memiliki hanya satu balikan Pembuktian Andai T suatu transformasi dengan dua balikan S1 dan S2 jadi : (TS1)(P) = (S1T)(P) = I(P), ν P dan (TS2)(P) = (S2T)(P) = I(P), ν P sehingga (TS1)(P) = (TS2)(P) → T[S1(P)] = T[S2(P)]. Karena T transformasi maka S1(P) = S2(P), ν P sehingga S1 = S2. Jadi balikan T adalah S1 = S2 = S.
Teorema 3 Balikan setiap pencerminan pada garis adalah pencerminan itu sendiri. Bukti : Andaikan pencerminan pada garis g adalah Mg. Andaikan Mg (X) = Y, X є g maka Mg [Mg (X)] = X atau (MgMg) (X) = I(X), ν X є g. Jadi Mg o Mg = I. Kalau X є g maka Mg (X) = X. sehingga Mg (X) = Mg [Mg (X)] atau juga Mg
o
Mg = I.
Sehingga diperoleh Mg o Mg = I. Dengan demikian maka Mg-1 = Mg .
Definisi: Suatu transformasi yang balikannya adalah transformasi itu sendiri dinamakan suatu involusi .
Andaikan T dan S transformasi maka masing-masing memiliki balikan yaitu T-1 dan S-1
Komposisi transformasi yaitu T o S adalah juga suatu
transformasi. Jadi ada balikan (T o S) -1
Teorema 4 Apabila T dan S transformasi- transformasi maka ( T o S )-1 = S-1 o T-1 Bukti : Kita tahu ( T o S )-1 o ( T o S ) = I Tetapi (S-1 o T-1 ) o ( T o S ) = S-1 o ( T-1 o T ) o S = S-1 o I o S = S-1 o S = I Karena suatu transformasi hanya satu balikan maka ( T o S )-1 = S-1 o T-1 Jadi balikan hasil kali transformasi adalah hasil kali balikan-balikan transformasi dengan urutan yang terbalik.
Contoh: Pada sebuah sistem sumbu ortogonal ada garis g = {(x,y) y = x} dan h = {(x,y) y = 0} tentukan P sehingga MhMg(P) = R dengan R = (2,7) Penyelesaian : Andaikan P = (x,y). -1
-1
-1
-1
Kita peroleh berturut-turut (M g M h ) (MhMg)(P) = (M g [M h (R)] -1
-1
-1
Jadi P = M g [M h (P)]. Oleh karena R = (2,7) dan M h = Mh -1
maka M h (P) = Mh (R) = (2,-7) sehingga -1
-1
-1
M g M h (R) = M g (2,-7) = Mg (2,7) = (7,2) sehingga P = (-7,2)
Soal 1. Diberikan relasi T : v → v yang ditetapkan sebagai berikut Apabila P = (x,y) є v, maka :
i) T(P) = (x + 1, y) untuk x ≥ 0 ii) T(P) = (x - 1, y) untuk x < 0
Apakah T suatu transformasi ?
2. Diberikan garis g adalah {(x,y) y = 0} dan h = {(x,y) y = x}. Tentukan persamaan garis Mh (g).
3. Apabila T1,T2 dan T3 masing-masing transformasi, buktikan bahwa (T1oT2oT3)-1 = T3-1 o T2-1 o T1-1
Pembahasan : 1. Ambil sebarang titik P = (x,y) є v Untuk x ≥ 0, x + 1 є R akibatnya (x + 1, y) є v Untuk x < 0, x – 1 є R akibatnya (x – 1, y) є v, Sehingga v selalu mempunyai peta di v. Jadi relasi T merupakan fungsi dari v ke v. Ambil (0,0) є v sehingga (0,0) = T(P) = (x + 1, y) jika x ≥ 0 didapat x = -1 dan y = 0. dalam hal ini terjadi kontradiksi dengan persyaratan x ≥ 0. akibatnya (-1, 0) bukan prapeta dari (0,0). Berdasarkan (i) apabila (0,0) = T(P) = (x - 1, y) jika x < 0 didapat x = 1 dan y = 0 dan inipun terjadi lagi kontradiksi dengan persyaratan x < 0. akibatnya (1,0) bukan prapeta dari (0,0). Berdasarkan (ii) akibat dari kedua hal ini (0,0) tidak mempunyai prapeta oleh T. Jadi relasi T bukan suatu transformasi.
2. Misal xo, yo є g maka yo = 0 Mg(xo, yo) = yo, xo = x,y Maka diperoleh x = yo dan y = xo Sehingga didapat hubungan x = 0 maka Mh(g) = {(x,y) x = 0).
3. (T1 o T2 o T3)-1 = [(T1 o T2) o T3]-1
asosiatif
= T3-1 o (T1 o T2)]-1
teorema 4
= T3-1 o T2-1 o T1-1
teorema 4
