HOMOMORFISMA GRUP PADA MATRIKS YANG MEMPUNYAI BALIKAN
SKRIPSI
OLEH IKA ROHMAWATI NIM. 09610105
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 2015
HOMOMORFISMA GRUP PADA MATRIKS YANG MEMPUNYAI BALIKAN
SKRIPSI
Diajukan Kepada Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan dalam Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si)
Oleh Ika Rohmawati NIM. 09610105
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 2015
HOMOMORFISMA GRUP PADA MATRIKS YANG MEMPUNYAI BALIKAN
SKRIPSI
Oleh Ika Rohmawati NIM. 09610105
Telah Diperiksa dan Disetujui untuk Diuji Tanggal 23 Desember 2014
Pembimbing I,
Pembimbing II,
Drs. H. Turmudi, M.Si NIP. 19571005 198203 1 006
Dr. Abdussakir, M.Pd NIP. 1975006 200312 1 001
Mengetahui, Ketua Jurusan Matematika
Dr. Abdussakir, M.Pd NIP. 19751006 200312 1 001
HOMOMORFISMA GRUP PADA MATRIKS YANG MEMPUNYAI BALIKAN
SKRIPSI
Oleh Ika Rohmawati NIM. 09610105
Telah Dipertahankan di Depan Dewan Penguji Skripsi dan Dinyatakan Diterima Sebagai Salah Satu Persyaratan untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si) Tanggal 07 Januari 2015
Penguji Utama
: H. Wahyu H. Irawan, M.Pd
......................................
Ketua Penguji
: Abdul Aziz, M.Si
......................................
Sekretaris Penguji
: Drs. H. Turmudi, M.Si
......................................
Anggota Penguji
: Dr. Abdussakir, M.Pd
......................................
Mengetahui, Ketua Jurusan Matematika
Dr. Abdussakir, M.Pd NIP. 19751006 200312 1 001
PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN
Saya yang bertanda tangan di bawah ini:
Nama
: Ika Rohmawati
NIM
: 09610105
Jurusan
: Matematika
Fakultas
: Sains dan Teknologi
Judul Skripsi
: Homomorfisma
Grup
pada
Matriks
yang
Mempunyai
Kebalikan
menyatakan dengan sebenarnya bahwa skripsi yang saya tulis ini benar-benar merupakan hasil karya saya sendiri, bukan merupakan pengambilan data, tulisan atau pikiran orang lain yang saya akui sebagai hasil tulisan atau pikiran saya sendiri, kecuali dengan mencantumkan sumber cuplikan pada daftar pustaka. Apabila di kemudian hari terbukti atau dapat dibuktikan skripsi ini hasil jiplakan, maka saya bersedia menerima sanksi atas perbuatan tersebut.
Malang, 12 Januari 2014 Yang membuat pernyataan,
Ika Rohmawati NIM. 09610105
MOTO
“Barangsiapa yang mengerjakan kebaikan seberat biji “dzarrah” niscaya Dia akan melihat (balasan)nya” (Q.S. Al-Zalzalah : 7)”
PERSEMBAHAN Dengan iringan do’a serta rasa syukur yang tidak terbatas, karya ini penulis persembahkan kepada:
Ibunda (Toyibatun) dan Ayahanda (Rolis Wijaya) yang senantiasa dengan ikhlas mendoakan, memberikan dukungan, motivasi, dan restunya kepada penulis dalam menuntut ilmu, serta selalu memberikan teladan yang baik bagi penulis.
KATA PENGANTAR
Assalamu’alaikum Wr. Wb Segala puji bagi Allah Swt. Atas rahmat, taufik serta hidayah-Nya, sehingga penulis mampu menyelesaikan penyusunan skripsi ini sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana dalam bidang matematika di Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang. Dalam proses penyusunan skripsi ini, penulis banyak mendapat bimbingan dan arahan dari berbagai pihak. Untuk itu ucapan terima kasih yang sebesarbesarnya dan penghargaan yang setinggi-setingginya penulis sampaikan terutama kepada: 1.
Prof. Dr. H. Mudjia Rahardjo, M.Si, selaku rektor Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang.
2.
Dr. drh. Bayyinatul Muchtaromah, M.Si, selaku dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang.
3.
Dr. Abdussakir, M.Pd, selaku ketua Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang dan dosen pembimbing agama.
4.
Drs. H. Turmudi, M.Si, selaku dosen pembimbing I yang telah banyak memberikan arahan, nasihat, motivasi, dan berbagai pengalaman yang berharga kepada penulis.
5.
Segenap sivitas akademika Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang terutama seluruh dosen, terima kasih atas segala ilmu dan bimbingannya.
viii
6.
Ayah dan ibu yang selalu memberikan doa, semangat, seta motivasi kepada penulis sampai saat ini.
7.
Seluruh teman-teman di Jurusan Matematika angkatan 2009, terutama Rohatul Wardah, Amanatul Husnia, Sukris Tri Handayani, Rita Anis Zulfia, Faza Trinawati, Luvi Dika Widyawati, dan Lina Putri yang berjuang bersama-sama untuk meraih mimpi, terimakasih atas kenangan-kenangan indah yang dirajut bersama dalam menggapai impian.
8.
Semua pihak yang ikut membantu dalam menyelesaikan skripsi ini baik moril maupun materil. Akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini bermanfaat bagi penulis dan
pembaca. Wassalamu’alaikum Wr. Wb
Malang, 12 Januari 2015
Penulis
ix
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL HALAMAN PENGAJUAN HALAMAN PERSETUJUAN HALAMAN PENGESAHAN HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN HALAMAN MOTTO HALAMAN PERSEMBAHAN KATA PENGANTAR .................................................................................. viii DAFTAR ISI ...............................................................................................
x
ABSTRAK ..... ............................................................................................... xii ABSTRACT ..... ............................................................................................. xiii ملخص............................................................................................................... xiv
BAB I
PENDAHULUAN 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
BAB II
Latar Belakang ........................................................................ Rumusan Masalah .................................................................. Tujuan Penelitian ..................................................................... Manfaat Penelitian ................................................................... Metode Penelitian ................................................................... Sistematika Penulisan .............................................................
1 4 4 4 5 6
KAJIAN PUSTAKA 2.1 Grup ....................................................................................... 2.1.1 Definisi Grup ................................................................. 2.1.2 Sifat – sifat Grup ........................................................... 2.2 Homomorfisma ....................................................................... 2.3.1 Definisi Homomorfisma ................................................ 2.3.2 Sifat-sifat Homomorfisama ........................................... 2.4 Matriks ..................................................................................... 2.4.1 Definisi Matriks ............................................................. 2.4.2 Macam-macam Matriks ................................................. 2.4.3 Operasi pada Matriks ..................................................... 2.4.4 Invers Matriks ................................................................ 2.5 Kajian Islam Mengenai Grup .................................................
x
7 8 9 14 14 15 17 17 18 20 22 27
BAB III PEMBAHASAN 3.1 Grup matriks GLn R ........................................................... 29 3.1.1 Definisi Grup Matriks GLn R .................................... 29 3.1.2 Matriks GLn R terhadap operasi + adalah grup ......... 30 3.1.3 Matriks GLn R terhadap operasi adalah grup ......... 34 3.1.4 Sifat-sifat Grup Matriks GLn R .................................. 40 3.2 Homomorfisma Grup GLn R ................................................ 51 3.2.1 Homomorfisma Grup GLn R yang didefinisikan
( An ) det An ................................................................ 51 3.2.2 Homomorfisma Grup GLn R yang didefinisikan
( An ) trAn ................................................................... 55 3.2.3 Sifat-sifat Homomorfisma Grup GLn R yang didefinisikan ( An ) det An ........................................... 59 3.3 Inspirasi Al-Qur’an dalam Kajian tentang Grup ..................... 62 BAB IV PENUTUP 4.1 Kesimpulan ............................................................................. 69 4.2 Saran ....................................................................................... 69 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................... 70 RIWAYAT HIDUP ...................................................................................... 71
xi
ABSTRAK Rohmawati, Ika. 2014. Homomorfisma Grup pada Matriks yang Mempunyai Balikan. Skripsi. Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang. Pembimbing:(I) Drs. H. Turmudi, M.Si (II) Dr. Abdussakir, M.Pd Kata kunci: grup, homomorfisma, matriks yang mempunyai balikan Matriks adalah susunan bilangan berbentuk segiempat. Bilangan-bilangan dalam susunan itu disebut anggota dalam matriks tersebut. Matriks invertibel GLn R adalah himpunan matriks bujur sangkar berukuran n n yang entrinya
merupakan bilangan real R dan mempunyai balikan. Grup adalah himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan operasi biner yang memenuhi beberapa aksioma diantaranya tertutup, asosiatif, memiliki elemen identitas, dan memiliki elemen invers. Homomorfisma grup adalah suatu fungsi yang mempunyai sifat mengawetkan operasi di dalam grupnya. Sifat x y x y , dinamakan mengawetkan operasi artinya peta hasil operasi x y G sama dengan hasil operasi peta-petanya di H yaitu x y . Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui keberlakuan sifat-sifat homomorfisma grup pada matriks yang mempunyai balikan. Berdasarkan hasil pembahasan, diperoleh bahwa suatu himpunan matriks invertibel yang entrinya adalah bilangan real yang didefinisikan GLn R dengan operasi pertambahan dan perkalian dengan skalar memenuhi 4 aksioma grup yaitu tertutup, asosiatif, mempunyai identitas, dan mempunyai invers. Grup GLn R dengan ∶ GLn R R yang didefinisikan An det An dan ∶ GLn R R yang didefinisikan An trAn adalah homomorfisma grup dan memenuhi sifat-sifat homomorfisma grup.
xii
ABSTRACT Rohmawati, Ika. 2015. The Group Homomorphism on Invertible Matrix. Thesis. Department of Mathematics Faculty of Science and Technology of the State Islamic University Maulana Malik Ibrahim of Malang. Advisor: (I) Drs. H. Turmudi, M.Si (II) Dr. Abdussakir, M.Pd Keywords: group, homomorphism, invertible matrix The matrix is a rectangular-shaped arrangement of numbers, the numbers in the array are called members in the matrix. Invertible matrix (𝐺𝐿𝑛 (ℝ))is the set of squares matrix whose entries are real (𝑅)numbers and has an inverse. A group is a non empty set equipped with a binary operation that satisfies some axioms there are closed, associative, has the identity element, and has a group invers. Group homomorphism is a function that preserves tho operation in the group. The property of 𝜙(𝑥 ∗ 𝑦) = 𝜙(𝑥)∎𝜙(𝑦) is called preserving operation, that is the resultions wap of 𝑥 ∗ 𝑦 ∈ 𝐺𝐿𝑛 (ℝ) is equal to its map operaton in it, that is 𝜙(𝑥)∎𝜙(𝑦). This study aims to determine the validity of the properties of the group homomorphism on invertible matrix. Based on the results of the discussion, we obtain that A set invertible matrix whose entries are real numbers defined 𝐺𝐿𝑛 (ℝ) with addition operation and scalar multiplication satisfy the four axioms of group that is closed, associative, has an identity, and has an inverse. Groups 𝐺𝐿𝑛 (ℝ) with 𝜙: 𝐺𝐿𝑛 (ℝ) → ℝ defined 𝐴𝑛 → 𝑑𝑒𝑡𝐴𝑛 and 𝜙: 𝐺𝐿𝑛 (ℝ) → ℝ defined by 𝐴𝑛 → 𝑡𝑟𝐴𝑛 is a group homomorphism and meet the properties of a group homomorphism.
xiii
امللخص رمهوت ،إيكا .لديها مهمرسم .اجملموعة ىف املصفوفة العكسية .حبث جا معى الشعبت .قسم الرياضيات كلية العلوم والتكنولوجيا جلامعة اإلسالمية ا لعكو ميت موالنا مالك إبراهيم ماالنج. مستشار)1( :الدكاترة هج ترمد ,مسئ ( )IIالدكتور ابدسسكر مفد كلمات البحث :جمموعة ممرفسم ،مصفوفة عكسيت املصفوفة هو ترتيب مستطيلة الشكل من األرقام ،وتسمى األرقام يف جمموعة أعضاء يف املصفوفة .انفرتبل املصفوفة هي جمموعة من املربعات املصفوفة اليت مداخل هي أرقام حقيقية وهلا العكس. الز حرهي جصمو عث غري فا رغ الىت جمهزة بعما ليت ثنا ئىت و فاء الربيهيم منها مغلقة ،النقايب ،لديه عنصر اهلوية ،وحيتوي على عنصر معكوس .تشاكل الزمر هي دالىت اليت حافظت على طبيعة العملية يف اجملموعة .طبيعة ،وامسه احلفاظ على العملية تعين النتائج خريطة جنبا إىل جنب مع نتائج عملية جراحة اخلرائط يف ه. هتدف هذه الدراسة إىل حتديد صالحية خصائص تشاكل الزمر لديها مصفوفة عكسية. وبناء على نتائج املناقشة ،وجدت أ جمموعة مصفوفة العكسيىت اليت إدخاالت هي األعداد احلقيقية اليت حددهتا عملية الزيادة العددية والضرب تلبية جمموعة أربعة البديهيات مغلقة ،النقايب ،له هوية ،وهلا ردود الفعل. الزحر مع تعريفها وحتديدها هو تشاكل الزمر والوفاء خصائص تشاكل الزمر.
xiv
15
BAB I PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang Dalam kehidupan sehari-hari sering diajarkan tentang betapa pentingnya
mencari ilmu, baik ilmu agama maupun ilmu umum, karena pada dasarnya semua ilmu di dunia ini adalah ilmu Allah Swt. Salah satu ayat yang menjelaskan tentang pentingnya mencari ilmu adalah Q.S. al-Mujadalah ayat 11: “Hai orang-orang beriman apabila kamu dikatakan kepadamu: ‘Berlapanglapanglah dalam majlis’, Maka lapangkanlah niscaya Allah akan memberi kelapangan untukmu dan apabila dikatakan: ‘Berdirilah kamu’, Maka berdirilah, niscaya Allah akan meninggikan orang-orang yang beriman di antaramu dan orang-orang yang diberi ilmu pengetahuan beberapa derajat. dan Allah Maha mengetahui apa yang kamu kerjakan” (QS. Al-Mujadalah/58:11) Dalam ayat tersebut dijelaskan bahwa ketika seseorang disuruh melapangkan majelis yang berarti melapangkan hati, bahkan jika disuruh berdiri sekalipun lalu memberikan tempatnya kepada orang yang patut didudukkan di muka janganlah dia berkecil hati. Melainkan hendaklah dia berlapang dada karena orang yang berlapang dada itulah kelak yang akan diangkat imannya dan ilmunya oleh Allah Swt. sehingga derajatnya bertambah naik. Orang yang patuh dan sudi memberikan tempat kepada orang lain itulah yang akan bertambah ilmunya. Salain itu ada orang yang diangkat Allah Swt. derajatnya lebih tinggi dari pada orang kebanyakan, pertama karena imannya, kedua karena ilmunya. Setiap hari kita dapat melihat pada raut rnuka, pada wajah, pada sinar mata orang yang 1
2 beriman dan berilmu. Dengan kata lain, betapa ilmu bisa mengangkat derajat manusia di hadapan Allah Swt dan di hadapan manusia lainya. Baik itu ilmu agama atau ilmu sains pada hakikatnya semua ilmu adalah ilmu Allah Swt. Aljabar adalah salah satu ilmu yang paling tua dari semua cabang matematika. Sejarahnya adalah sepanjang sejarah dari peradapan. Barang kali lebih panjang. Sejarawan yang terkenal tentang matematika B. L. Van der Waerden percaya ada suatu peradapan yang mendahului
peradapan dari
mesopotamia, mesir, china, dan india dan bahwa peradapan itu adalah sumber akar dari konsep matematika yang paling awal (Tabak, 2004:xi). Sebagai cabang matematika seperti halnya teori bilangan, geometri, maupun matematika terapan lainnya, aljabar merupakan salah satu bidang matematika yang mempunyai banyak sekali materi yang dapat dibahas, diantaranya adalah bilangan, himpunan, operasi himpunan, grup, latis, dan sebagainya. Salah satu sistem aljabar yang paling sederhana adalah grup. Grup didefinisikan sebagai himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan operasi biner yang memenuhi beberapa aksioma, diantaranya tertutup, asosiatif, memiliki elemen identitas, dan memiliki elemen invers. Apabila salah satu aksioma tidak terpenuhi maka bukan grup. Sistem aljabar (G, ) dengan himpunan tidak kosong di G dan operasi biner , didefinisikan di G adalah grupoid. Grupoid juga disebut semigrup jika operasi biner di G adalah asosiatif. Sedangkan semigrup yang mempunyai elemen identitas di G disebut monoid (Raisinghania dan Aggarwal, 1980:32). Suatu matriks adalah jajaran empat persegi panjang dari bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan dalam jajaran tersebut disebut entri dari matriks, ukuran (size)
3 suatu matriks dinyatakan dalam jumlah baris (arah horizontal) dan kolom (arah vertikal) yang biasanya digunakan dengan simbol M nm untuk matriks M dengan n baris dan m kolom (Anton dan Rorres, 2004:26 ). Jika diberikan matriks persegi
Ann maka matriks Bnn yang memenuhi kondisi AB I dan BA I disebut invers dari A dan dilambangkan dengan B A1 . Tidak semua matriks persegi mempunyai invers. Matriks nol adalah contoh sederhana tetapi banyak juga matriks tak nol yang tidak mempunyai invers. Matriks yang mempunyai invers dikatakan nonsingular, dan matriks yang tidak mempunyai invers disebut matriks singular (Meyer, 2000:115 ). Homomorfisma grup yaitu salah satu jenis fungsi yang mempunyai sifat mengawetkan operasi di dalam grupnya.
Sifat
x y x y ,
dinamakan mengawetkan operasi artinya peta hasil operasi x y G sama dengan hasil operasi peta-petanya di H yaitu x y (Cholily, 2013:3). Novi Rustiana Dewi (2011) telah membahas mengenai kajian struktur aljabar grup pada matriks yang invertibel. Pada penelitian tesebut telah dibuktikan bahwa matriks yang mempunyai invers memenuhi sifat-sifat grup di antaranya tertutup, asosiatif, mempunyai identitas dan ada invers terhadap operasi pertama. Pada jurnal tersebut hanya meneliti tentang keberlakuan grup terhadap matriks yang mempunyai balikan. Sehingga penulis tertarik untuk melanjutkan penelitian tersebut dengan perluasan dari sifat-sifat grup, yaitu homomorfisme grup yang akan dikenakan pada matriks yang mempunyai balikan.
4 Dari latar belakang di atas maka penulis akan mengkaji dan meneliti dengan judul “Homomorfisma Grup pada Himpunan Matriks yang Mempunyai Balikan”.
1.2. Rumusan Masalah Rumusan skripsi
ini
adalah
bagaimana
keberlakuan
sifat-sifat
homomorfisma grup pada himpunan matriks yang mempunyai balikan?
1.3. Tujuan Tujuan penulisan skripsi ini adalah untuk mengetahui keberlakuan sifatsifat homomorfisma grup pada himpunan matriks yang mempunyai balikan.
1.4. Manfaat Penelitian Dari penulisan skripsi ini diharapkan dapat bermanfaat bagi 1.
Penulis Penelitian ini digunakan untuk menambah pemahaman tentang konsepsi yang ada dalam matematika khususnya struktur aljabar dan sebagai sarana dan latihan untuk menambah pemahaman penguasaan penulis tentang grup, homomorfisma grup, matriks, dan matriks mempunyai balikan.
2.
Pembaca Sebagai tambahan literatur bagi mahasiswa khususnya yang sedang menempuh mata kuliah struktur aljabar.
5 1.5.Metode Penelitian 1.5.1
Pendekatan Penelitian Dalam penelitian ini menggunakan pendekatan library research, dimana
dalam pendekatan library research ini dikaji secara literatur yang diambil dari buku pustaka dan artikel ilmiah yang diunduh dari sumber internet. 1.5.2
Langkah-langkah Penelitian Untuk menyelesaikan penelitian dalam skripsi ini, penulis membuat
langkah-langkah dalam keberlakuan syarat-syarat homomorfisma grup
pada
matriks yang mempunyai balikan sebagai berikut: 1. Grup matriks GLn R -
Mendefinisikan GLn R
-
Menunjukkan GLn R adalah grup
-
Menjelaskan sifat-sifat grup pada GLn R
2. Homomorfisma dari GLn R R -
∶ GLn R R yang di definisikan An det An , An GLn R
-
∶ GLn R R yang di definisikan An trAn , An GLn R
3. Sifat-sifat Homomorfisma dari GLn R R -
∶ GLn R R yang di definisikan An det An , An GLn R
-
∶ GLn R R yang di definisikan An trAn ,, An GLn R
4. Membuat kesimpulan.
6 1.6.Sistematika Penulisan Untuk lebih mudah memahami penulisan ini secara keseluruhan isinya, maka penulis memberikan gambaran umum tentang sistematika penulisan sebagai berikut: Bab I
Pendahuluan Pada bab pertama ini dibahas tentang latar belakang penelitian, rumusan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, metode penelitian, dan sistematika penulisan.
Bab II
Kajian Pustaka Pada bab kedua ini akan dibahas beberapa teori yang ada kaitannya dengan hal-hal yang penulis bahas.
Bab III Pembahasan Pada bab ketiga ini dibahas tentang pembuktian dari beberapa teorema homomorfisma grup pada matriks yang mempunyai balikan. Bab IV Penutup Pada bab keempat ini berisi tentang kesimpulan dari pembahasan berdasarkan rumusan masalah dan saran yang berkaitan dengan penulisan. Saran ini diharapkan dapat memberikan masukan yang positif untuk dikembangkan.
7
BAB II KAJIAN PUSTAKA
2.1 Grup 2.1.1
Definisi Grup Grup merupakan salah satu pokok bahasan yang terdapat dalam
matematika aljabar. Grup membahas tentang himpunan tak kosong yang dikenai operasi biner dan memenuhi aksioma asosiatif, mempunyai identitas terhadap operasi biner, dan mempunyai invers. Jadi sebelum membahas lebih jauh tentang grup, maka perlu diketahui dahulu pembahasan mengenai operasi biner. Operasi biner didefinisikan sebagai berikut Definisi 1 (Dummit dan Foote, 1980:17) 1.
Operasi biner pada himpunan G merupakan sebuah fungsi : G G G dan untuk setiap a, b G berlaku (a, b) a b .
2.
Operasi biner pada G dikatakan assosiatif jika setiap a, b, c G maka
a b c a b c . 3.
Elemen a dan b dari G dikatakan komutatif jika a b b a .
Contoh 1.
Operasi penjumlahan dan perkalian merupakan operasi biner yang komutatif pada himpunan bilangan bulat
,
himpunan bilangan real
kompleks
,
.
7
,
himpunan bilangan rasional
maupun pada himpunan bilangan
8 2.
Operasi pengurangan
merupakan operasi biner yang tidak komutatif
pada himpunan bilangan bulat
karena untuk setiap a, b
pada saat
a b berlaku a b b a
3.
Operasi pengurangan merupakan operasi yang tidak biner di jika a b maka a b
untuk setiap a, b
fungsi yang tidak memetakan
ke
artinya
karena
merupakan
.
Adapun definisi dari grup adalah sebagai berikut: Definisi 2 (Dummit dan Foote, 1980:17) 1.
Grup adalah pasangan terurut
G,
dimana G adalah himpunan tidak
kosong dan adalah operasi biner di G yang memenuhi beberapa aksioma. i.
a b c a b c
untuk semua a, b, c G (operasi adalah
asosiatif). ii.
Ada elemen e di G sedemikian hingga a e e a a untuk semua a G .
iii.
Untuk setiap a G ada elemen a 1 dari G sedemikian sehingga
a a1 a 1 a e ( a 1 dinamakan invers dari a ) 2.
Grup G, disebut abelian atau komutatif jika a b b a untuk setiap
a, b G . Contoh Himpunan bilangan bulat
merupakan grup terhadap operasi + karena:
9 1.
Operasi + memenuhi syarat operasi biner di yang memetakan
karena + merupakan fungsi
artinya a, b maka a b
ke
atau bersifat
tertutup. 2.
Operasi + bersifat assosiatif di
, karena untuk setiap a, b, c
berlaku
a b c a b c . mempunyai elemen identitas pada operasi yaitu 0, karena untuk setiap
3.
a
4.
berlaku 0 a a 0 a .
Setiap elemen identitas di karena untuk setiap a
2.1.2
mempunyai invers yaitu a
dimana a
berlaku a a a a 0
Sifat – Sifat Grup
Teorema 1 (Raisinghania dan Aggarwal, 1980:75) Elemen identitas dalam suatu grup adalah tunggal. Bukti Misal G, adalah grup Andaikan e dan e ' adalah elemen identitas di G dan e e ' , maka berlaku: (i) e e ' e ' e e '
………….. e sebagai elemen identitas
(ii) e ' e e e ' e
………….. e ' sebagai elemen identitas
Dari (i) dan (ii) berakibat e e ' e ' e e ' e ' e e e' e
Jadi, elemen identitas di G adalah tunggal. Teorema 2 (Raisinghania dan Aggarwal, 1980:75) Invers dari invers suatu elemen di grup adalah elemen itu sendiri.
10 Bukti Akan dibuktikan a 1 a 1
a G maka a 1 G , sehingga
Ambil
a a 1 a 1 a I
( I = elemen
identitas) (i) a a 1 I
a a a
1 1
1
I a 1
1
……….. (Dioperasikan dengan
a
1 1
di
sebelah kanan)
a a 1 a 1
a I a 1 a a 1
1
a
1 1
……….. (Operasi bersifat Asosiatif)
1
……….. (Sifat ketiga dari grup)
1
……….. (Sifat keempat dari grup)
juga, (ii) a 1 a I
a a 1 1
1
a a 1 I 1
……….. (Dioperasikan dengan
a
1 1
sebelah kiri)
a
1 1
a 1 a a 1
I a a 1 a a 1
1
……….. (Operasi bersifat Asosiatif)
1
……….. (Sifat ketiga dari gup)
1
Dari (i) dan (ii), maka a a 1
……….. (Sifat keempat dari grup) 1
Teorema 3 (Raisinghania dan Aggarwal, 1980:76) Dalil kanselasi dipertahankan atau berlaku pada suatu grup.
di
11 Bukti Akan ditunjukkan bahwa pada grup berlaku dalil kanselasi kiri maupun kanan. Misal G, adalah grup, dan a, b, c G berlaku: (i) b a c a , maka b c
………. kanselasi kanan
(ii) a b a c , maka b c
……….. kanselasi kiri
Selanjutnya a G , maka a 1 G (i)
b a c a
b a a1 c a a1
………..
(Dioperasikan
dengan
a 1
di
sebelah kanan)
(ii)
b a a 1 c a a 1
……….. (Operasi bersifat Asosiatif)
b I c I
……….. (Sifat keempat dari grup)
bc
……….. (Sifat ketiga dari grup)
ab ac
a 1 a b a 1 a c
………..
(Dioperasikan
dengan
a 1
sebelah kiri)
a
1
a b a 1 a c
……….. (Operasi bersifat Asosiatif)
I b I c
……….. (Sifat keempat dari grup)
bc
……….. (Sifat ketiga dari grup)
Jadi dalil kanselasi berlaku pada sebarang grup
di
12 Teorema 4 (Raisinghania dan Aggarwal, 1980:76) Balikan dari hasil operasi dua elemen di grup adalah hasil operasi balikan elemen kedua dan pertama. Bukti
a b
1
b1 a 1
Untuk setiap a, b G , maka ada a 1 G dan b1 G (setiap elemen punya
a b
invers). a, b G maka a b G , begitu pula ada
a b a b
1
1
G . Sehingga,
I dan a b a b I 1
a b b1 a1 a b b1 a 1
a b
1
……….. (Operasi bersifat Asosiatif)
a I a 1
……….. (Sifat keempat dari grup)
a a 1
……….. (Sifat ketiga dari grup)
I
……….. (Sifat keempat dari grup)
a b b1 (a 1 a) b ……….. (Operasi bersifat Asosiatif)
b1 I b
……….. (Sifat keempat dari grup)
b1 b
……….. (Sifat ketiga dari grup)
I
……….. (Sifat keempat dari grup)
Diperoleh a b a b a b b1 a 1 dan 1
a b
1
a b (b1 a 1 ) (a b)
Kanselasi kiri dan kana berlaku pada grup maka a b b1 a 1 . 1
Teorema 5 (Raisinghania dan Aggarwal, 1980:78) G dengan operasi biner dengan susunan merupakan perkalian i.
Susunan itu adalah asosiatif
13 ii. Untuk setiap a, b G dengan persamaan a x b dan y a b mempunyai penyelesaian tunggal. Bukti Pertama kita akan menunjukkan bahwa a x b memiliki selesaian. a, b G
maka ada
a 1 G
dan a 1 b G (karena G bersifat tertutup
terhadap operasi ). Selanjutnya,
a x b
a 1 a x a 1 b
………..(Dioperasikan dengan a 1 di sebelah kanan)
a
1
a x a 1 b
……….. (Operasi bersifat Asosiatif)
I x a 1 b
………..(Sifat keempat dari grup)
x a 1 b
……….. (Sifat ketiga dari grup)
untuk mengecek a 1 b adalah selesaian dari a x b , maka kita substitusikan yaitu a x b
a (a 1 b) b
……….. (Subtitusi dari x a 1 b )
a a b b
……….. (Sifat Asosiatif dari grup )
I b b
……….. (Sifat keempat dari grup )
bb
……….. (Sifat ketiga dari grup )
1
Kedua, penulis akan menunjukkan bahwa selesaian tersebut adalah tunggal. Andaikan a x b memiliki selesaian tidak tunggal yaitu x1 dan x2 dengan
x1 x2 .
14 Selanjutnya a x1 b dan a x2 b Diperoleh a x1 a x2
x1 x2 Ini bertentangan dengan pengandaian. Jadi a x b memiliki selesaian tunggal. Selanjutnya untuk menujukkan bahwa y a b memiliki selesaian tunggal adalah analog dengan cara di atas.
2.2
Homomorfisma
2.2.1
Definisi Homomorfisma
Definisi 3 (Dummit dan Foote, 1980:35) Misal (G, ) dan ( H , ) merupakan dua buah grup. Sebuah fungsi
: G H disebut homomorfisma jika berlaku x y x y , untuk setiap x, y G . Contoh Misal
, adalah grup bilangan real dan x
serta grup bilangan bulat
,
Didefinisikan suatu fungsi
:
dengan x 2 x
Setiap fungsi x . Fungsi ini merupakan homomorfisma karena setiap x, y di
berlaku
x y 2x y 2x 2 y x y
15 2.2.2
Sifat-sifat Homomorfisma
Teorema 5 (Raisinghania dan Aggarwal, 1980:255) Misalkan (G, ) dan (G , ) dua buah grup dan : G G adalah homomorfisma. Hal berikut ini benar. a. Pemetaan elemen identitas pada G adalah elemen identitas pada G b. Pemetaan invers setiap elemen g dari G adalah invers bayangan dari g
c. Jika a merupakan sembarang elemen berhingga pada G maka hasil pemetaan a juga berhingga dan merupakan pembagi dari a Bukti a.
Ambil iG = identitas G
iG = identitas G Adib iG iG Jawab
:G H i.
gI g
(g I ) ( g )
( g ) ( IG ) ( g )
( IG ) IG
ii. I g g
(I g ) ( g )
( IG ) ( g ) ( g )
16
( IG ) IG
Dari (i) dan (ii) maka operasi identitas ( IG ) IG b.
Ambil g G Akan dibuktikan g 1 g
1
Jawab
:G H i.
g g 1 iG
g g 1 iG iH g g 1 iH
g 1 g ii.
1
g 1 g iG
g 1 g iG iH g 1 g iH
g 1 g
1
Dari (i) dan (ii) diperoleh g 1 g c.
Ambil g G, m 1, 2,3,..., n
I G elemen identitas di G Didefinisikan g m I G Akan dibuktikan g I G m
1
17 Jawab g m IG g m IG
g g ... g I G m
g g ... g I G m
g I G m
2.3. Matriks 2.3.1 Definisi Matriks Definisi 4 (Anton, 2000:45) Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segiempat. Bilanganbilangan dalam susunan itu disebut anggota dalam matriks tersebut. Contoh : a11 a21 a 31
a12 a22 , a11 a32
a12
a a13 , 11 a21
Definisi 5 (Baker, 2006:1) Diberikan M n,n R adalah himpunan matriks bujur sangkar
n n yang
entrinya merupakan bilangan real R . Selanjutnya dinotasikan matriks M n,n R a11 dengan A (aij ) a n1
a1n , dimana A adalah matriks bujur sangkar n n . ann
18
M n,n R dapat disimbulkan dengan M n R yaitu merupakan suatu ruang vektor- R dengan operasi matriks penjumlahan dan perkalian dengan skalar. 2.4.2
Macam-macam Matriks
Definisi 6 (Supranto, 2003:8). Matriks persegi adalah suatu matriks dimana banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom (m = n), maka matriks A disebut matriks segi empat. Contoh :
3 5 2 3 Definisi 7 (Supranto, 2003:8) Matriks identitas adalah suatu matriks dimana elemen–elemen mempunyai nilai 1 pada diagonal pokok dan 0 pada tempat–tempat lain di luar diagonal pokok. Jadi kalau matriks A (aij ), i j 1, 2,..., n dan
aij 1 untuk i j
aij 0 untuk i j maka matriks A disebut matriks identitas dan biasanya diberi simbol I n Contoh : n = 2,
1 0 In 0 1 Definisi 8 (Supranto, 2003:9)
19 Matriks diagonal adalah suatu matriks dimana semua elemen di luar diagonal pokok mempunyai nilai 0 dan paling tidak satu elemen pada diagonal pokok tidak 0, biasanya diberi simbol D. Contoh : 1 0 0 D 0 2 0 0 0 5
Definisi 9 (Supranto, 2003:10) Skalar adalah suatu bilangan konstan. Kalau k, suatu bilangan konstan, maka hasil kali kI dinamakan matriks skalar. Contoh : 1 0 0 k 0 0 k .I 3 k 0 1 0 0 k 0 0 0 1 0 0 k
Definisi 10 (Supranto, 2003:10) Apabila A (aij ); ij 1, 2,..., n dan aij a ji , maka A disebut matriks simetris (symmetric matrix). Contoh : 2 4 6 A 4 5 2 , a12 a21 , a13 a31 , a23 a32 6 2 3
Definisi 11 (Supranto, 2003:11) Matriks null adalah suatu matriks dimana semua elemennya mempunyai nilai 0 (null), biasanya diberi simbol 0 dibaca matriks nol.
20 Contoh : 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0
2.4.3
Operasi pada Matriks Untuk dapat melakukan penjumlahan dan pengurangan pada matriks A
dan B, kedua matriks tersebut harus mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama atau dimensinya sama. Definisi 12 (Anton, 2000:47) Jika A dan B adalah matriks-matriks dengn ukuran yang sama, maka jumlah (sum) A + B adalah matriks yang diperoleh dengan menjumlahkan entrientri pada A dengan entri-entri yang bersesuaian pada B dan selisih (difference) A B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan entri-entri pada A
dengan entri-entri yang bersesuaian ada B. Matriks dengan ukuran yang berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan. Dalam notasi matriks, jika A aij dan B bij memiliki ukuran yang sama, maka
A B mn Amn Bmn aij bij
dan
A B mn Amn Bmn
aij bij , untuk i 1, 2,3,..., m dan j 1, 2,3,..., n .
Contoh : a A 11 a21
a12 b11 b12 c11 , B ,c a22 b21 b22 c21
Maka (a b)11 (a b)12 (a b)11 (a b)12 A B dan A B (a b)21 (a b)22 (a b)21 (a b)22
21 a A C 11 a21
a12 c11 a11 c11 a22 a21 a21 c21
a12 ... a22 ...
Untuk A + C, B + C, A – C, dan B – C tidak terdefinisi. Definisi 13 (Anton, 2000:48) Jika A adalah matriks sembarang dan c adalah skalar sebarang, maka hasil kalinya (product) cA adalah matriks yang diperoleh dari perkalian setiap entri pada matriks A dengan blangan c. Matriks cA disebut sebagai kelipatan skalar (scalar mutiple) dari A. Dalam notasi matriks, jika A aij dan cA A A ... A , maka
cAmn cAmn caij
untuk i 1, 2,3,..., m dan j 1, 2,3,..., n .
i 1, 2,3,..., m dan j 1, 2,3,..., n . cA A A ... A
Contoh : a A 11 a21
a12 b11 b12 c11 c12 , B ,c a22 b21 b22 c21 c22
Didapatkan
2a 2 A 11 2a21
2a12 b11 , (1) B 2a22 b21
1 2 c11 b12 1 , c b22 2 1c 21 2
1 c12 2 1 c22 2
Definisi 14 (Anton, 2000:49) Jika A adalah sebuah matriks m r dan B adalah sebuah matriks r n , maka hasil kali AB adalah matriks m n yang anggota-anggotnya didefinisikan sebagai berikut. Untuk mencari anggota dalam baris I dan kolom j dari AB, pilih baris I dari matriks A dan kolom j dari matriks B, kalikan anggota-anggota yang
22 berpadanan dari baris dan kolom secara bersama-sama dan kemudian jumlahkan hasilnya. Contoh a A 11 a21
a12 b11 b12 , B a22 b21 b22
b13 b23
Karena A adalah matriks 2 3 dan B adalah matriks 3 4 , maka hasil kali AB adalah sebuah matriks 2 4 . Misalnya, untuk menentukan anggota pada baris ke 2 dan kolom 3 dari AB, dipilih baris 2 dari A kolom 3 baris B. Selanjutnya, sebagai mana yang diilustrasikan di bawah ini, kalikan anggota-anggota yang berpadanan secara bersama-sama dan menjumlahkan hasil kali-hasil kali ini. b13 a11b11 a12b21 b23 a21b11 a22b21
a11 a21
a12 b11 b12 a22 b21 b22
2.4.4
Invers Matriks
a11b12 a12b22 a21b12 a22b22
a11b13 a12b23 a21b13 a22b23
Matriks mempunyai kolom dan baris berbeda dan ada yang mempunyai baris dan kolom
yang sama, hanya matriks kuadrat (square matrix) saja yang
mempunyai invers. Banyak metode atau cara dalam mencari suatu invers matriks diantaranya dengan substitusi, menggunakan adjoint, metode counter, matrix partisi. Di bawah ini akan dijelaskan bagaimana mencari invers matriks dengan menggunakan adjoint. Definisi 15 (Supranto, 2003:130) Misalkan A merupakan suatu matriks kuadrat dengan n baris dan n kolom dan I n suatu identitas matriks. Apabila ada square matrix A1 sedemikian rupa sehingga berlaku hubungan sebagai berikut:
AA1 A1 A I n , maka A1 ini disebut invers matris A.
23
Definisi 16 (Supranto, 2003:50) Kalau dari matriks kuadrat A dengan n baris dan n kolom kita hilangkan baris ke-i dan kolom ke-j, maka determinan dari matriks kuadrat dengan (n 1) baris dan (n 1) kolom, yaitu sisa matriks yang tinggal (disebut minor matriks dari elemen aij ) diberi simbol Aij atau M ij . Apabila pada setiap minor kita tambahkan tanda + (plus) atau – (minus) sebagai tanda pada determinan dan kemudian kita beri simbol : (1)i j M ij maka diperoleh apa yang sering disebut kofaktor elemen aij dan biasanya diberi simbol K ij jadi Kij (1)i j M ij , ini berarti bahwa setiap elemen mempunyai kofaktor sendiri-sendiri. Nilai determinan dari matriks A sama dengan penjumlahan hasil kali semua elemen dari suatu baris (kolom) matriks A dengan kofaktor ( Kij ) masingmasing, yaitu : 1. Dengan menggunakan elemen-elemen baris ke-i
det( A) A ai1Ki1 ai 2 Ki 2 ... ain Kin n
det( A) ait Kit ; i 1, 2,..., n t 1
2. Dengan menggunakan elemen-elemen baris ke-j
det( A) A a1 j K1 j a2 j K2 j ... anj Knj n
det( A) atj Ktj ; j 1, 2,..., n t 1
24 Contoh :
a11 Misalkan matriks A a21
a12 , maka determinan A det( A) a11a22 a12 a21 . a22
Definisi 17 (Supranto, 2003:135) Adjoint matriks A adalah suatu matriks yang elemen-elemenya terdiri dari transpos semua kofaktor dari elemen-elemen matriks A, yaitu apabila K ( Kij ) dimana K ij adalah kofaktor dari elemen aij , maka adjoint matriks A yaitu:
adj ( A) K T ( K T ij Kij ) . Jadi, jelasnya adj ( A) adalah transpose dari matriks kofaktor K, yaitu : K11 K adj ( A) K T 21 K n1
K12 K 22 Kn2
K1n K2n K nn
Contoh : 2 1 2 A 1 2 3 4 2 1
2 3 11 M 11 dan K11 (1) det( M11 ) 1.(2 6) 4 2 1 1 3 1 2 M 12 dan K11 (1) det( M12 ) 1.(1 12) 11 4 1 1 2 13 M 13 dan K13 (1) det(M13 ) 1.(2 8) 6 4 2 1 2 21 M 21 dan K21 (1) det(M 21 ) 1.(1 4) 3 2 1
25
2 2 2 2 M 22 dan K22 (1) det( M 22 ) 1.(2 8) 6 4 1 2 1 2 3 M 23 dan K23 (1) det( M 23 ) 1.(4 4) 0 4 2 1 2 31 M 31 dan K31 (1) det(M 31 ) 1.(3 4) 1 2 3 2 2 3 2 M 32 dan K32 (1) det(M 32 ) 1.(6 2) 4 1 3 2 1 33 M 33 dan K33 (1) det(M 33 ) 1.(4 1) 3 1 2 K11 Jadi adj ( A) K K 21 K 31 T
K12 K 22 K32
K13 4 3 1 K 23 11 6 6 K33 6 0 3
Definisi 18 (Supranto, 2003:136) Apabila matriks A yang kuadrat dengan n baris dan n kolom dan merupakan matriks yang non-singular yaitu det( A) 0 dan K ij merupakan kofaktor dari elemen aij , maka matriks invers A yaitu A1 dirumuskan sebagai berikut: A1
1 KT adj ( A) , KT K det( A) det( A)
Jadi K11 1 K 21 A1 det( A) K n1
K12 K 22 Kn2
K1n K2n K nn
26
K11 det( A) K12 1 A det( A) K1n det( A)
K 21 det( A) K 22 det( A) K2n det( A)
K n1 det( A) Kn2 det( A) K nn det( A)
Contoh
4 1 A , det( A) 4.2 3.1 8 3 5 3 2 A1
1 K11 det( A) K 21
K12 K 22
K11 (1)2 (2) 2 K12 (1)3 (3) 3
K21 (1)3 (1) 1 K22 (1)4 (4) 4 2 1 2 1 5 A1 5 3 4 3 5
2.5
1 5 4 5
Kajian Islam Mengenai Grup Suatu himpunan dikatakan sebagai grup jika memiliki penyusun-penyusun
seperti himpunan tak kosong, operasi biner, dan aturan atau aksioma yang harus dipenuhi agar menjadi suatu grup. Sebagai contoh seperti yang telah disebutkan adalah grup ulul albab. Ulul albab awalnya merupakan himpunan manusia yang saling berinteraksi sebagaimana manusia lainnya. Namun selain berinteraksi, mereka juga senantiasa mengingat Allah, baik saat berdiri, duduk, dan berbaring,
27 serta memikirkan segala penciptaan Allah baik yang di langit maupun di bumi dengan keyakinan bahwa semua itu tidaklah sia-sia. Inilah yang membedakan mereka dengan manusia lain sehingga disebut sebagai manusia yang ulul albab. Dengan demikian dapat dilihat perbedaan sifat yang jelas antara ulul albab dengan manusia biasa umumnya. Seseorang yang senantiasa mengingat Allah belum tentu disebut ulul albab. Begitu juga seseorang yang memikirkan penciptaan-Nya belum tentu disebut ulul albab. Namun, seseorang sudah tentu disebut ulul albab jika senantiasa mengingat Allah dan memikirkan penciptaan-Nya (Khotimah, 2010:57).
Sesungguhnya dalam penciptaan langit dan bumi, dan silih bergantinya malam dan siang terdapat tanda-tanda bagi orang-orang yang berakal, (yaitu) orangorang yang mengingat Allah sambil berdiri atau duduk atau dalam keadan berbaring dan mereka memikirkan tentang penciptaan langit dan bumi (seraya berkata): "Ya Tuhan Kami, Tiadalah Engkau menciptakan ini dengan sia-sia, Maha suci Engkau, Maka peliharalah Kami dari siksa neraka (QS. Ali Imron, 3:190-191) Dalam QS Ali Imron ayat 190-191 tersebut dijelaskan bahwa sekelompok manusia yang disebut ulul albab adalah orang-orang yang senantiasa mengingat Allah, baik saat berdiri, duduk, dan berbaring, serta memikirkan segala penciptaan Allah baik yang di langit maupun di bumi dengan keyakinan bahwa semua itu tidaklah sia-sia. Dalam matematika sifat-sifat yang dimiliki kelompok manusia yang ulul albab tersebut dikenal dengan aturan atau aksioma. Aturan atau aksioma tersebut harus dipenuhi agar suatu kelompok dapat disebut kelompok tertentu atau kelompok
yang
lebih
khusus
lagi.
28
BAB III PEMBAHASAN
Pada penelitian ini akan dibuktikan bahwa matriks yang mempunyai invers memenuhi sifat-sifat grup diantaranya tertutup, asosiatif, mempunyai identitas, ada invers terhadap operasi pertama dan memenuhi sifat–sifat homomorfisme grup.
3.1. Grup Matriks GLn R 3.1.1. Definisi Matriks GLn R Diberikan M n,n R adalah himpunan matriks bujur sangkar n n yang entrinya merupakan bilangan real R . Selanjutnya dinotasikan matriks M n,n R a11 dengan A aij a n1
a1n , dimana A adalah matriks bujur sangkar n n . ann
M n,n R dapat disimbulkan dengan M n R yaitu merupakan suatu ruang vektor- R dengan operasi matriks penjumlahan dan perkalian dengan skalar (Baker, 2006:1). Untuk himpunan M n R yang invertibel penulis menggunakan notasi
GLn R = A|A M n R ,det( A) 0
28
29 3.1.2 Matriks GLn R terhadap Operasi adalah Grup Akan dibuktikan bahwa GLn R
merupakan grup terhadap operasi
penjumlahan matriks. Berdasarkan definisi 2, akan dibuktikan bahwa GLn R terhadap operasi penjumlahan matriks memenuhi 4 aksioma grup, yaitu : i.
Bersifat Tertutup Jika untuk setiap An , Bn , Cn GLn R , maka An Bn GLn R dikatakan bersifat tertutup. Bukti : Ambil An , Bn , Cn GLn R a11 An Bn a n1
a1n b11 ann b1
(a b)11 ( a b) n1
(a b)1n (a b) nn
n aij bij i , j 1 n a b nj nj i , j 1 c11 c n1
b1n bn
bin i , j 1 n ann bnn i , j 1 n
a
in
c1n GLn R cnn
30 ii. Bersifat Asosiatif Jika
untuk
An Bn Cn GLn R ,
setiap
An Bn Cn An Bn Cn
maka
dikatakan bersifat asosiatif.
Bukti : Jika An Bn Cn GLn R maka
a11 An Bn Cn an1 n aij bij i , j 1 n anj bnj i , j 1
i , j 1 n cnn i , j 1
n bin cij i , j 1 i , j 1 n n ann bnn cnj i , j 1 i , j 1 n
n
a
c
in
n aij bij cij i , j 1 n a b c nj nj nj i , j 1 n aij i , j 1 n anj i , j 1
c1n cnn
b1n c11 bnn cn1
a1n b11 ann bn1
in
bin cin i , j 1 n ann bnn cnn i , j 1 n
a
in
n a bij cij in i i , j 1 , j 1 n n ann bnj cnj i , j 1 i , j 1 n
cin i , j 1 n bnn cnn i , j 1 n
b
in
An Bn Cn
iii. Untuk setiap An GLn R , terdapat matriks identitas penjumlahan atau null matriks 0 sehingga 0 An An 0 An .
31 Bukti : Berdasarkan definisi 11 matriks identitas penjumlahan atau null matriks adalah matriks bujur sangkar yang semua unsurnya adalah 0. Secara umum matriks idetitas penjumlahan atau null matriks dapat ditulis sebagai berikut : Ambil An GLn R
An 0 0 An a11 a n1
a1n 0 ann 0
n aij 0 i , j 1 n a 0 nj i , j 1 n aij i , j 1 n a nj i , j 1
0 0 0 0
0 a11 0 an1
n 0 0 aij i , j 1 i , j 1 n n ann 0 0 anj i , j 1 i , j 1
i , j 1 n 0 ann i , j 1
n
n
a
0a
in
n a aij in i i , j 1 , j 1 n n ann anj i , j 1 i , j 1 n
a1n ann
in
i , j 1 n ann i , j 1 n
a
in
An An iv. Untuk setiap An GLn R terdapat matriks invers tunggal yang dinotasikan
An 1 GLn R , sedemikian rupa sehingga An 1 An An An 1 . Bukti : Ambil An GLn R Maka An 1 An An An 1 Berdasarkan definisi 18 maka
32
An 1
1 adj ( An ) det( An )
det( A) a1 j K1 j a2 j K2 j ... anj Knj n
atj Ktj ; j 1, 2,..., n t 1
K11 1 1 K 21 An a1 j K1 j a2 j K 2 j ... anj K nj K n1 K11 1 1 K 21 An n atj Ktj t 1 K n1
K11 n atj K tj t 1 K n 21 An 1 atj K tj t 1 K n n1 a K tj tj t 1 x11 x 1 A 21 xn1
x12 x22 xn 2
A A1 A1 A
K 22 Kn2
tj
tj
K 22 t 1
tj
tj
Kn2 n
a K t 1
tj
x1n x2 n xnn
a K tj tj t 1 K2n n atj K tj t 1 K nn n atj K tj t 1 n
n
a K
Kn2
K1n
K12 n
t 1
K 22
K1n K2n K nn
K12
a K
K12
tj
K1n K2n K nn
33 a11 a12 a21 a22 an1 an 2
a1n x11 x12 a2 n x21 x22 ann xn1 xn 2
n aij xij i , j 1 n anj xij i , j 1 c11 c n1
n a x xij aij in ij i i , j 1 , j 1 n n ann xij xij anj i , j 1 i , j 1 n
c1n c11 cnn cn1
1.1.3
x1n x11 x12 x2n x21 x22 xnn xn1 xn 2
x1n a11 a12 x2n a21 a22 xnn an1 an 2
a1n a2 n ann
ain i , j 1 n xij ann i , j 1 n
x
ij
c1n cnn
Matriks GLn R terhadap Operasi adalah Grup Akan dibuktikan bahwa GLn R merupakan grup terhadap operasi
perkalian matriks. Berdasarkan definisi 2, akan dibuktikan bahwa GLn R terhadap operasi perkalian matriks memenuhi 4 aksioma grup, yaitu: i.
Bersifat Tertutup Jika untuk setiap An , Bn GLn R , maka An Bn GLn R dikatakan bersifat tertutup. Bukti : Ambil An , Bn , Cn GLn R a11 An Bn a n1
a1n b11 ann bn1
(ab)11 a12b21 ... a1nbn1 a b a b ... a b nn n1 n1 11 n 2 21
b1n bnn a11b1n a12b2 n ... a1nbnn an1b1n an 2b2 n ... annbnn
34
n aij bij i , j 1 n a b nj i1 i , j 1 c11 c n1
b i , j 1 n anj bin i , j 1 n
a
1 j in
c1n GLn R cnn
ii. Bersifat Asosiatif Jika untuk setiap An BnCn GLn R , maka An Bn Cn An BnCn dikatakan bersifat asosiatif. Bukti : Jika An BnCn , maka n
AB C ij AB ij Cij i 1
n n aij bij cij i 1 j 1
n
n
aij bij cij i 1 j 1
n
n
aij bij cij j 1 i 1
n n aij bij cij j 1 j 1
n
aij bc ij j 1
A BC ij
35 iii. Untuk setiap An GLn R terdapat matriks identitas I n GLn R sehingga
I n An An I n An . Bukti : Berdasarkan definisi 7 matriks identitas adalah matriks bujur sangkar yang semua unsur diagonal utamanya sama dengan 1, dan semua unsur lainya sama dengan nol. Secara umum matriks identitas dapat ditulis sebagai berikut :
1 0 In 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0 1 0 0 1
An I n I n An a11 a12 a21 a22 an1 an 2
a1n i11 i12 a2 n i21 i22 ann in1 in 2
i1n i11 i12 i2 n i21 i22 inn in1 in 2
i1n a11 a12 i2 n a21 a22 inn an1 an 2
a1n a2 n ann
a11i11 a12i21 ... a1nin1 a11i12 a12i22 ... a1nin 2 a21i11 a22i21 ... a2 nin1 a21i12 a22i22 ... a2nin 2 an1i12 an 2i22 ... anninn an1i12 an 2i22 ... annin 2
a11i1n a12i2n ... a1ninn a21i1n a22b2n ... a2ninn an1i1n an 2i2 n ... anninn
i11a11 i12 a21 ... i1n an1 i11a12 i12 a22 ... i1n an 2 i21a11 i22 a21 ... i2 n an1 i21a12 i22 a22 ... i2 n an 2 i31a12 i32 a22 ... i3n an 2 i31a12 i32 a22 ... i3n an 2
i11a1n i12a2 n ... i1n ann i21a1n i22 a2 n ... i2 n ann in1a1n in 2 a2 n ... inn ann
36 n a1 j ii1 i , j 1 n a2 j ii1 i , j 1 n anj ii 2 i , j 1
n
a1 jii 2
i , j 1 n
a
i , j 1
i
2 j i2
n
a
i , j 1
a11 a12 a21 a22 an1 an 2
i
nj i 2
i i , j 1 n a2 j iin i , j 1 n anj iin i , j 1 n
a
1 j in
a1n a11 a12 a2 n a21 a22 ann an1 an 2
a1n a2 n ann
An An iv. Untuk setiap An GLn R terdapat matriks invers tunggal yang dinotasikan
A1 GLn R , sedemikian rupa sehingga A1 An An A1 I n . Bukti : Misal
An GLn R
Berdasarkan definisi 18
An 1
1 adj ( An ) det( An )
det( A) a1 j K1 j a2 j K2 j ... anj Knj n
atj Ktj ; j 1, 2,..., n t 1
K11 1 1 K 21 An a1 j K1 j a2 j K 2 j ... anj K nj K n1
K12 K 22 Kn2
K1n K2n K nn
37
K11 1 1 K 21 An n atj Ktj t 1 K n1
K11 n atj K tj t 1 K n 21 An 1 atj K tj t 1 K n n1 a K tj tj t 1 x11 x 1 A 21 xn1
K1n K2n K nn
K12 K 22 Kn2
atj K tj t 1 K2n n atj K tj t 1 K nn n atj K tj t 1 K1n
K12 n
a K t 1
tj
n
tj
K 22 n
a K t 1
tj
tj
Kn2 n
a K t 1
tj
tj
x1n x2 n xnn
x12 x22 xn 2
Andaikan An A1 I n Maka An A1 I n
A1 An 1I n x11 x21 xn1 x11 x21 xn1
x12 x22 xn 2 x12 x22 xn 2
1
x1n a11 a12 x2 n a21 a22 xnn an1 an 2
a1n a2 n ann
x1n x11 x2 n x21 xnn xn1
x1n i11 i12 x2 n i21 i22 xnn in1 in 2
x12 x22 xn 2
i11 i12 i21 i22 in1 in 2
i1n i2 n inn i1n i2 n inn
38
x11 x21 xn1
x12 x22 xn 2
x1n x11 x2 n x21 xnn xn1
x12 x22 xn 2
x1n x2 n xnn
Andaikan A1 A I n Maka A1 A I n
A1 I A1 x11 x21 xn1 x11 x21 xn1 x11 x21 xn1
x12 x22 xn 2 x12 x22 xn 2 x12 x22 xn 2
x1n i11 i12 x2 n i21 i22 xnn in1 in 2
i1n a11 a12 i2 n a21 a22 inn an1 an 2
a1n a2 n ann
x1n i11 i12 x2 n i21 i22 xnn in1 in 2
i1n x11 i2 n x21 inn xn1
x1n x2 n xnn
x1n x11 x2 n x21 xnn xn1
x12 x22 xn 2
x12 x22 xn 2
1
x1n x2 n xnn
Terbukti bahwa A1 An An A1 I n 1.1.4
Sifat – Sifat Grup pada Matriks GLn R Berdasarkan teorema 1, maka akan dibuktikan bahwa elemen identitas
dari matriks GLn R adalah tunggal.
39 Bukti : Andaikan
a11 a12 a a22 An 21 an1 an 2
a1n a2 n ann
b11 b12 b b Bn 21 22 bn1 bn 2
b1n b2 n bnn
Keduanya adalah matriks identitas An Bn , maka berlaku: i.
An Bn Bn An An
… Bn sebagai matriks identitas
An Bn Bn An a11 a12 a21 a22 an1 an 2 n a1 j bi1 i , j 1 n a2 j bi1 i , j 1 n anj bi 2 i , j 1
a1n b11 b12 a2 n b21 b22 ann bn1 bn 2 n
a1 jbi 2
i , j 1 n
a2 jbi 2
i , j 1
n
a
i , j 1
b
nj i 2
b1n b11 b12 b2 n b21 b22 bnn bn1 bn 2 n n a b b1 j ai1 1 j in i i , j 1 , j 1 n n a b b2 j ai1 2 j in i i , j 1 , j 1 n n anj bin bnj ai 2 i , j 1 i , j 1
b1n a11 a12 b2 n a21 a22 bnn an1 an 2 n
b
i , j 1
a
1 j i2
n
b
i , j 1
a
2 j i2
n
b
i , j 1
a
nj i 2
a1n a2 n ann n b1 j ain i , j 1 n b2 j ain i , j 1 n bnj ain i , j 1
40 n a1 j ii1 i , j 1 n a2 j ii1 i , j 1 n anj ii 2 i , j 1 a11 a12 a21 a22 an1 an 2
n a i i1 j ai1 1 j in i i , j 1 i , j 1 , j 1 n n n a i a i i2 j ai1 2 j i2 2 j in i i , j 1 i , j 1 , j 1 n n n anj ii 2 anj iin inj ai 2 i , j 1 i , j 1 i , j 1 a1n a11 a12 a1n a2 n a21 a22 a2 n ann an1 an 2 ann n
a1 jii 2
n
n
i1 j ai 2
i , j 1 n
i
a
2 j i2
i , j 1
n
i
a
nj i 2
i , j 1
a i , j 1 n i2 j ain i , j 1 n inj ain i , j 1 n
i
1 j in
An An ii.
An Bn Bn An Bn
… An sebagai matriks identitas
An Bn Bn An a11 a12 a21 a22 an1 an 2 n a1 j bi1 i , j 1 n a2 j bi1 i , j 1 n anj bi 2 i , j 1
a1n b11 b12 a2 n b21 b22 ann bn1 bn 2 n
a
i , j 1
b
n
i , j 1
n
b
2 j i2
anjbi 2
i , j 1
n b1 j ai1 a1 jbin i i , j 1 , j 1 n n a2 j bin b2 j ai1 i , j 1 i , j 1 n n anj bin bnj ai 2 i , j 1 i , j 1 n
1 j i2
a
b1n b11 b12 b2 n b21 b22 bnn bn1 bn 2
b1n a11 a12 b2 n a21 a22 bnn an1 an 2 n
b
i , j 1
a
1 j i2
n
b
i , j 1
a
2 j i2
n
b
i , j 1
a
nj i 2
a1n a2 n ann n b1 j ain i , j 1 n b2 j ain i , j 1 n bnj ain i , j 1
41 n i1 j bi1 i , j 1 n i2 j bi1 i , j 1 n inj bi 2 i , j 1 b11 b12 b21 b22 bn1 bn 2
n i b b1 j ii1 1 j in i i , j 1 i , j 1 , j 1 n n n i b i b b2 j ii1 2 j i2 2 j in i i , j 1 i , j 1 , j 1 n n n inj bi 2 inj bin bnj ii 2 i , j 1 i , j 1 i , j 1 b1n b11 b12 b1n b2 n b21 b22 b2 n bnn bn1 bn 2 bnn n
n
i1 jbi 2
n
b1 jii 2
i , j 1 n
b
i , j 1
i
2 j i2
n
b i
i , j 1
nj i 2
i i , j 1 n b2 j iin i , j 1 n bnj iin i , j 1 n
b
1 j in
Bn Bn Karena An Bn dan Bn An adalah elemen tunggal pada matriks GLn R maka (i) dan (ii) berakibat An Bn (kontradiksi dengan pengandaian) ini berarti bahwa matriks identitas di GLn R adalah tunggal. Berdasarkan teorema 2, maka akan dibuktikan invers dari invers suatu elemen di grup GLn ( ) adalah elemen itu sendiri. Misal: An GLn R adalah grup untuk setiap An GLn R berlaku An An 1
1
Bukti : a.
An GLn R maka An 1 GLn R sehingga An An 1 An 1 An I n , a11 a12 a a22 A 21 an1 an 2
a1n a2 n ann
42
x11 x 1 A X 21 xn1
xn 2
a11 a12 a21 a22 an1 an 2
a1n x11 a2 n x21 ann xn1
a11 a12 a21 a22 an1 an 2
x12 x22
x1n x2 n xnn x12 x22 xn 2
a1n x11 x12 a2n x21 x22 ann xn1 xn 2
x1n x11 x2n x21 xnn xn1
a11 a12 a21 a22 an1 an 2
a1n i11 i12 a2 n i21 i22 ann in1 in 2
a11 a12 a21 a22 an1 an 2
a1n x11 a2 n x21 ann xn1
a11 a21 an1
a1n a11 a2 n a21 ann an1
a12 a22 an 2
x1n i11 i12 i1n x2 n i21 i22 i2 n xnn in1 in 2 inn 1 x12 x1n i11 i12 i1n x11 x12 x22 x2n i21 i22 i2n x21 x22 xn 2 xnn in1 in 2 inn xn1 xn 2
i1n i11 i12 i2 n i21 i22 inn in1 in 2 x12 x22 xn 2 a12 a22 an 2
x1n x2 n xnn
i1n x11 i2 n x21 inn xn1
1
a1n a2 n ann
1
1
Juga
b.
x11 x21 xn1
x12 x22 xn 2
x1n a11 a12 x2 n a21 a22 xnn an1 an 2
a1n i11 i12 a2 n i21 i22 ann in1 in 2
i1n i2 n inn
x12 x22 xn 2
x1n x2n xnn
1
x1n x2 n xnn
1
43 x11 x21 xn1
x1n x2 n xnn
x12 x22 xn 2
i11 i 21 in1
1
x11 x21 xn1
i1n x11 i2 n x21 inn xn1
i12 i22 in 2
i11 i12 i21 i22 in1 in 2
i1n a11 a12 i2 n a21 a22 inn an1 an 2
a11 a12 a21 a22 an1 an 2
a1n x11 a2 n x21 ann xn1
a11 a21 an1
a1n a11 a2 n a21 ann an1
a12 a22 an 2
Dari a dan b maka An An 1
xn 2
x1n x2 n xnn
x12 x22 xn 2
a1n x11 a2 n x21 ann xn1
x12 x22 xn 2
An An 1
x1n a11 x2 n a21 xnn an1
x12 x22
a12 a22 an 2
x1n x2 n xnn
1
i11 i21 in1
x12 x22 xn 2
a1n a2 n ann
a12 a22 an 2 i1n i2 n inn
i12 i22 in 2
x1n x2 n xnn
1
i11 i12 i21 i22 in1 in 2
1
a1n a2 n ann
1
1
1
1
Berdasarkan teorema 3, maka akan dibuktikan bahwa dalil kanselasi dipertahankan atau berlaku pada GLn ( ) . Bukti : Akan ditunjukkan bahwa pada grup berlaku dalil kanselasi kiri maupun kanan, misal An , Bn , Cn GLn R adalah grup dan An , Bn , Cn GLn ( ) berlaku: a.
Bn An Cn An , maka
i1n i2 n inn
44
Bn Cn b.
… kanselasi kanan
An Bn AnCn , maka Bn Cn
… kanselasi kiri
Selanjutnya
a.
a11 a12 a21 a22 an1 an 2 b11 b12 b21 b22 bn1 bn 2 n b1 j ai1 i , j 1 n b2 j ai1 i , j 1 n bnj ai 2 i , j 1 n b1 j ai1 i , j 1 n b2 j ai1 i , j 1 n bnj ai 2 i , j 1 n c1 j ai1 i , j 1 n c2 j ai1 i , j 1 n cnj ai 2 i , j 1
a1n x11 a2 n x GLn ( ) maka 21 ann xn1 b1n a11 a12 b2 n a21 a22 bnn an1 an 2 n
b1 j ai 2
i , j 1 n
b
i , j 1
a
2 j i2
n
bnj ai 2
i , j 1
n
b
i , j 1
a
1 j i2
n
b
i , j 1
a
2 j i2
n
b
a
nj i 2
i , j 1 n
c
i , j 1
a
1 j i2
n
c
i , j 1
a
2 j i2
n
c
i , j 1
a
nj i 2
x1n x2 n GLn ( ) xnn
x12 x22 xn 2
a1n c11 c12 a2 n c21 c22 ann cn1 cn 2 n n b a c1 j ai1 1 j in i i , j 1 , j 1 n n c2 j ai1 b2 j ain i i , j 1 , j 1 n n bnj ain cnj ai 2 i , j 1 i , j 1 n b1 j ain i , j 1 x x12 n 11 b2 j ain x21 x22 i , j 1 xn1 xn 2 n bnj ain i , j 1 n c1 j ain i , j 1 x x12 n 11 c2 j ain x21 x22 i , j 1 xn1 xn 2 n cnj ain i , j 1
c1n a11 a12 c2 n a21 a22 cnn an1 an 2 n
c
i , j 1
a
1 j i2
n
c
i , j 1
a
2 j i2
n
c
i , j 1
a
nj i 2
x1n x2 n xnn
x1n x2 n xnn
a1n a2 n ann n c1 j ain i , j 1 n c2 j ain i , j 1 n cnj ain i , j 1
45 n n n b a x b a x b1 j ain xin 1 j i1 11 1 j i 2 i 2 i , j 1 i , j 1 i , j 1 n n n b2 j ain xin b2 j ai1 xi1 b2 j ai 2 xi 2 i , j 1 i , j 1 i , j 1 n n n bnj ain xin bnj ai 2 xi 2 bnj ai 2 xi 2 i , j 1 i , j 1 i , j 1 n n n c1 j ain xin c1 j ai1 x11 c1 j ai 2 xi 2 i , j 1 i , j 1 i , j 1 n n n c2 j ain xin c2 j ai1 xi1 c2 j ai 2 xi 2 i , j 1 i , j 1 i , j 1 n n n cnj ain xin cnj ai 2 xi 2 cnj ai 2 xi 2 i , j 1 i , j 1 i , j 1 n n n n n n b b b a i a x a1 j xin 1 j 1 j i1 1 j i2 1j 1j i , j 1 i , j 1 i , j 1 i , j 1 i , j 1 i , j 1 n n n n n n b2 j a2 j ii1 a2 j xi 2 a2 j xin b2 j b2 j i , j 1 i , j 1 i , j 1 i , j 1 i , j 1 i , j 1 n n n n n n bnj anj ii 2 anj xi 2 anj xin bnj bnj i , j 1 i , j 1 i , j 1 i , j 1 i , j 1 i , j 1 n n n n n c1 j a1 j xi1 a1 j xi 2 c1 j c1 j i , j 1 i , j 1 i , j 1 i , j 1 i , j 1 n n n n n c a x c2 j c2 j 2 j i a2 j xi 2 2 j i1 i , j 1 i , j 1 i , j 1 i , j 1 , j 1 n n n n n c c c a x anj xi 2 nj nj i 2 nj nj i , j 1 i , j 1 i , j 1 i , j 1 i , j 1
xin i , j 1 n a x 2 j in i , j 1 n anj xin i , j 1 n
a
1j
46 n b1 j i , j 1 n b2 j i , j 1 n bnj i , j 1
n
b1 j
i , j 1 n
b
i , j 1
2j
n
b
i , j 1
nj
i , j 1 i i n 11 12 b2 j i21 i22 i , j 1 in1 in 2 n bnj i , j 1 n
b
1j
i1n i2 n inn
n n n c c c1 j 1j 1j i , j 1 i , j 1 i , j 1 i i i1n n n n 11 12 c2 j i21 i22 i2 n c2 j c2 j i , j 1 i , j 1 i , j 1 n i i i n 1 n 2 nn n n cnj cnj cnj i , j 1 i , j 1 i , j 1 n n n n n b b b c 1 j i c1 j 1j 1j 1j i , j 1 i , j 1 i , j 1 , j 1 i , j 1 n n n n n b c b2 j b2 j 2 j i c2 j 2j i , j 1 i , j 1 i , j 1 i , j 1 , j 1 n n n n n b b b c cnj nj nj nj nj i , j 1 i , j 1 i , j 1 i , j 1 i , j 1 b1n c11 c12 c1n b11 b12 b2 n c21 c22 c2 n b21 b22 bnn cn1 cn 2 cnn bn1 bn 2
i , j 1 n c2 j i , j 1 n cnj i , j 1 n
c
1j
Bn Cn
b.
a11 a12 a21 a22 an1 an 2
a1n x11 a2 n x GLn ( ) maka 21 ann xn1
x12 x22 xn 2
x1n x2 n GLn ( ) xnn
47
a11 a12 a21 a22 an1 an 2 n a1 j bi1 i , j 1 n a2 j bi1 i , j 1 n anj bi 2 i , j 1 n x1 j ai1b11 i , j 1 n x2 j ai1bi1 i , j 1 n xnj ai 2bi 2 i , j 1 n a1 j ii1 i , j 1 n a2 j ii1 i , j 1 n anj ii 2 i , j 1 n a1 j xi1 i , j 1 n a2 j xi1 i , j 1 n anj xi 2 i , j 1
a1n b11 b12 a2 n b21 b22 ann bn1 bn 2
b1n a11 a12 b2 n a21 a22 bnn an1 an 2 n a1 j ci1 a1 jbin i i , j 1 , j 1 n n a2 j bin a2 j ci1 i , j 1 i , j 1 n n anj bin anj ci 2 i , j 1 i , j 1
n
b a
n
b
1 j i2
i , j 1
n
a
b
2 j i2
i , j 1
n
anjbi 2
i , j 1
n
x1 j ai 2bi 2
i , j 1 n
x2 j ai 2bi 2
i , j 1
n
x a b
nj i 2 i 2
i , j 1
n
a
i , j 1
1 j xi 2
n
a
i , j 1
2 j xi 2
n
anj xi 2
i , j 1 n
a
i , j 1
1 j xi 2
n
a
i , j 1
n
2 j xi 2
anj xi 2
i , j 1
n x a b x1 j ai1c11 1 j in in i i , j 1 , j 1 n n x a b x2 j ai1ci1 2 j in in i i , j 1 , j 1 n n xnj ainbin xnj ai 2ci 2 i , j 1 i , j 1 n n a1 j xin b1 j i , j 1 i , j 1 n n a2 j xin b2 j i , j 1 i , j 1 n n anj xin bnj i , j 1 i , j 1 n n a1 j xin c1 j i , j 1 i , j 1 n n a2 j xin c2 j i , j 1 i , j 1 n n anj xin cnj i , j 1 i , j 1 n
a1n c11 c12 a2 n c21 c22 ann cn1 cn 2 n
c
1 j i2
n
a
c
2 j i2
i , j 1
n
a
c
nj i 2
i , j 1
n
x1 j ai 2ci 2
i , j 1 n
x
a c
2 j i2 i2
i , j 1
n
x a c
i , j 1
c i , j 1 n a2 j cin i , j 1 n anj cin i , j 1 n
a
i , j 1
c1n c2 n cnn
nj i 2 i 2
n
b
i , j 1
1j
n
b
i , j 1
2j
n
b
i , j 1
nj
n
c
i , j 1
1j
n
c
i , j 1
2j
n
c
i , j 1
nj
a
1 j in
ac i , j 1 n x2 j ain cin i , j 1 n xnj ain cin i , j 1 n b1 j i , j 1 n b2 j i , j 1 n bnj i , j 1 n c1 j i , j 1 n c2 j i , j 1 n cnj i , j 1 n
x
1 j in in
48
i11 i12 i21 i22 in1 in 2
i11 i12 i21 i22 in1 in 2
b11 b12 b21 b22 bn1 bn 2
n n b 1 j b1 j i , j 1 i , j 1 i1n n n i2 n b2 j b2 j i , j 1 i , j 1 inn n n b bnj nj i , j 1 i , j 1 n n c 1 j c1 j i , j 1 i , j 1 i1n n n i2 n c2 j c2 j i , j 1 i , j 1 inn n n c cnj nj i , j 1 i , j 1 b1n c11 c12 b2 n c21 c22 bnn cn1 cn 2
i , j 1 n b2 j i , j 1 n bnj i , j 1 n c1 j i , j 1 n c2 j i , j 1 n cnj i , j 1 c1n c2 n cnn n
b
1j
Bn Cn Jadi dalil kanselasi berlaku pada GLn R . Berdasarkan teorema 4, maka akan dibuktikan: Misal: An , Bn GLn R adalah grup untuk setiap An , Bn GLn R berlaku An An 1
1
Bukti :
An GLn R maka An 1 GLn R sehingga An An 1 An 1 An I n , a11 a12 a a22 A 21 an1 an 2
a1n a2 n ann
49
x11 x 1 A X 21 xn1
xn 2
a11 a12 a21 a22 an1 an 2
a1n x11 a2 n x21 ann xn1
a11 a12 a21 a22 an1 an 2
x12 x22
x1n x2 n xnn x12 x22 xn 2
a1n x11 x12 a2n x21 x22 ann xn1 xn 2
x1n x11 x2n x21 xnn xn1
a11 a12 a21 a22 an1 an 2
a1n i11 i12 a2 n i21 i22 ann in1 in 2
a11 a12 a21 a22 an1 an 2
a1n x11 a2 n x21 ann xn1
a11 a21 an1
a1n a11 a2 n a21 ann an1
a12 a22 an 2
x1n i11 i12 i1n x2 n i21 i22 i2 n xnn in1 in 2 inn 1 x12 x1n i11 i12 i1n x11 x12 x22 x2n i21 i22 i2n x21 x22 xn 2 xnn in1 in 2 inn xn1 xn 2
i1n i11 i12 i2 n i21 i22 inn in1 in 2 x12 x22 xn 2 a12 a22 an 2
x1n x2 n xnn
i1n x11 i2 n x21 inn xn1
1
a1n a2 n ann
1
1
Juga
x11 x21 xn1
x12 x22 xn 2
x1n a11 a12 x2 n a21 a22 xnn an1 an 2
a1n i11 i12 a2 n i21 i22 ann in1 in 2
i1n i2 n inn
x12 x22 xn 2
x1n x2n xnn
1
x1n x2 n xnn
1
50 x11 x21 xn1
x12 x22 xn 2
i11 i 21 in1
i12 i22 in 2
x1n x2 n xnn
1
x11 x21 xn1
i1n x11 i2 n x21 inn xn1
i11 i12 i21 i22 in1 in 2
i1n a11 a12 i2 n a21 a22 inn an1 an 2
a11 a12 a21 a22 an1 an 2
a1n x11 a2 n x21 ann xn1
a11 a21 an1
a1n a11 a2 n a21 ann an1
a12 a22 an 2
An An 1
x1n a11 x2 n a21 xnn an1
x12 x22 xn 2
x1n x2 n xnn
x12 x22 xn 2
a1n x11 a2 n x21 ann xn1
x12 x22 xn 2 a12 a22 an 2
x1n x2 n xnn
1
i11 i21 in1
x12 x22 xn 2
a1n a2 n ann
a12 a22 an 2 i1n i2 n inn
i12 i22 in 2
x1n x2 n xnn
1
i11 i12 i21 i22 in1 in 2
i1n i2 n inn
1
a1n a2 n ann
1
1
1
Dari a dan b maka An An 1
1
1.2.
Homomorfisma Grup pada GLn R
3.2.1
Homomorfisma Grup GLn R yang Didefinisikan ( An ) det An Misal diambil I n , An GLn R dan GLn R , dan R , merupakan
dua buah grup, didefinisikan An det An maka :
51
i11 i12 i i I n 21 22 in1 in 2
i11 i12 i i 21 22 in1 in 2
i1n i2 n adalah elemen identita matriks inn
i1n i11 i12 i2 n i i det 21 22 inn in1 in 2
i1n i2 n inn
det( I n ) i1 j K1 j i2 j K2 j ... inj Knj n
itj Ktj ; j 1, 2,..., n t 1
1
a11 a12 a a22 An 21 an1 an 2
a1n a2 n ann
det( An ) a1 j K1 j a2 j K2 j ... anj Knj n
atj Ktj ; j 1, 2,..., n t 1
Akan dibuktikan I n An I n An Bukti
a11 a12 a a 21 22 an1 an 2
a1n i11 i12 a2 n i21 i22 ann in1 in 2
i1n a11 a12 i2 n a21 a22 inn an1 an 2
a1n i11 i12 a2n i21 i22 ann in1 in 2
i1n i2n inn
52 n a1 j ii1 i , j 1 n a2 j ii1 i , j 1 n anj ii 2 i , j 1 b11 b12 b b 21 22 bn1 bn 2
i i , j 1 i , j 1 a n n 11 a i a i 2 j i2 2 j in a21 i , j 1 i , j 1 an1 n n anj ii 2 anj iin i , j 1 i , j 1 b1n a11 a12 b2 n a a22 21 bnn an1 an 2 n
n
a1 jii 2
a
1 j in
a12 a22 an 2
a1n i11 i12 a2 n i21 i22 ann in1 in 2
a1n i11 i12 a2 n i21 i22 ann in1 in 2
i1n i2 n inn
i1n i2 n inn
b1 j K1 j b2 j K 2 j ... bnj K nj (a1 j K1 j a2 j K 2 j ... anj K nj )(i1 j K1 j i2 j K 2 j ... inj K nj ) n
n
n
t 1
t 1
t 1
n
n
t 1
t 1
n
n
t 1
t 1
btj Ktj atj Ktj itj Ktj ; j 1, 2,..., n
btj Ktj atj itj Ktj btj Ktj btj Ktj Jadi untuk GLn R , dan R , merupakan dua grup, sebuah fungsi
∶ GLn R R
yang
didefinisikan
An det An
berlaku
I n An I n An . Misal GLn R , dan R , merupakan sebuah dua grup . Sebuah fungsi
∶ GLn R R disebut homomorfisma jika berlaku An Bn An Bn , dengan An det An untuk setiap An , Bn GLn R . Bukti Ambil An , Bn GLn R ,det An R
53 Didefinisikan ∶ An det An , An det An Adib : det An Bn det An det Bn
An Bn An Bn a11 a12 a a 21 22 an1 an 2
b1n a11 a12 b2 n a a 21 22 bnn an1 an 2
a1n b11 b12 a2 n b21 b22 ann bn1 bn 2
n a1 j bi1 i , j 1 n a2 j bi1 i , j 1 n anj bi 2 i , j 1 c11 c12 c c 21 22 cn1 cn 2
b i , j 1 i , j 1 a a n n 11 12 a b a b 2 j i2 2 j in a21 a22 i , j 1 i , j 1 an1 an 2 n n anj bi 2 anj bin i , j 1 i , j 1 c1n a1n b11 a11 a12 c2 n a21 a22 a2 n i21 cnn ann in1 an1 an 2 n
a1n b11 b12 a2 n b21 b22 ann bn1 bn 2
n
a1 jbi 2
a
1 j in
a1n b11 b12 a2 n b21 b22 ann bn1 bn 2
b12 i22 in 2
b1n i2 n inn
c1 j K1 j c2 j K 2 j ... cnj K nj (a1 j K1 j a2 j K 2 j ... anj K nj )(b1 j K1 j b2 j K 2 j ... bnj K nj ) n
n
n
c K a K b K t 1
tj
tj
n
tj
t 1
t 1
tj
tj
; j 1, 2,..., n
n
b K b K t 1
tj
tj
tj
t 1
tj
tj
Terbukti bahwa GLn R adalah homomorfisma.
Contoh : 1 2 5 1 3 4 2 3
A2 B2
b1n b2 n bnn
b1n b2 n bnn
54 9 7 23 15
(9)(15) (23)(7) 26
1 2 5 1 3 4 2 3
A2 B2
4 6 15 2 26
3.2.2
Homomorfisma Grup GLn R yang Didefinisikan ( An ) trAn Missal diambil I n , An GLn R dan GLn R , dan R , merupakan
dua buah grup, didefinisikan An trAn maka :
i11 i12 i i I n 21 22 in1 in 2
i1n i2 n adalah elemen identita matriks inn
i11 i12 i i 21 22 in1 in 2
i1n i11 i12 i2 n i i tr 21 22 inn in1 in 2
tr ( I n ) i11 i22 ... inn
n
i
i , j 1
n
ij
i1n i2 n inn
55
a11 a12 a a22 An 21 an1 an 2
a1n a2 n ann
tr ( An ) a11 a22 ... ann
n
a
i , j 1
ij
d
Akan dibuktikan I n An I n An a11 a12 a a 21 22 an1 an 2
a1n i11 i12 a2 n i21 i22 ann in1 in 2
i1n a11 a12 i2 n a a 21 22 inn an1 an 2
a1n i11 i12 a2 n i21 i22 ann in1 in 2
a1n i1n a11 a12 a1n i11 i12 i1n a11 i11 a12 i12 a21 i21 a22 i22 a2 n i2 n a21 a22 a2 n i21 i22 i2 n ann inn an1 an 2 ann in1 in 2 inn an1 in1 an 2 in 2 b1n a1n i11 i12 i1n b11 b12 a11 a12 b21 b22 b2 n a21 a22 a2 n i21 i22 i2 n bnn ann in1 in 2 inn bn1 bn 2 an1 an 2
b11 b22 ... bnn (a11 a22 ... ann ) (i11 i22 ... inn ) b11 b22 ... bnn ((a i)11 (a i)22 ... (a i)nn ) b11 b22 ... bnn b11 b22 ... bnn n
n
b b
i , j 1
ij
i , j 1
ij
i1n i2 n inn
56 contoh 1 0 a11 a 0 1 21
I 2 A2
1 a11
I 2 A2
a21
a12 a22
a12 1 a22
I 2 A2 2 a11 a22 a11 1 0 a 0 1 21
I 2 A2
a12 a22
I 2 A2 I 2 A2 Jadi untuk
GL R , n
dan
R,
merupakan
dua grup, sebuah fungsi
∶ GLn R R yang didefinisikan An trAn berlaku I n An I n An . Misal GLn R , dan R , merupakan sebuah dua buah grup . Sebuah fungsi
∶ GLn R R
disebut
homomorfisma
jika
An Bn An Bn , An trAn untuk setiap An , Bn GLn R . Bukti Ambil An , Bn GLn R , trAn R Didefinisikan ∶ An trAn , An trAn Adib : tr An Bn tr An tr Bn
berlaku
57 a11 a12 a a 21 22 an1 an 2
a1n b11 b12 a2 n b21 b22 ann bn1 bn 2
b1n a11 a12 b2 n a21 a22 bnn an1 an 2
a1n b1n a11 a11 b11 a12 b12 a21 b21 a22 b22 a2 n b2 n a21 ann bnn an1 an1 bn1 an 2 bn 2 c1n c11 c12 a11 a12 c21 c22 c2 n a a22 21 cnn cn1 cn 2 an1 an 2
a1n b11 b12 a2 n b21 b22 ann bn1 bn 2
a1n b11 b12 a22 a2 n b21 b22 an 2 ann bn1 bn 2 a1n b11 b12 b1n a2 n b21 b22 b2 n ann bn1 bn 2 bnn a12
c11 c22 ... cnn (a11 a22 ... ann ) (b11 b22 ... bnn ) c11 c22 ... cnn ((a b)11 (a b)22 ... (a b)nn )
c11 c22 ... cnn c11 c22 ... cnn n
n
i , j 1
i , j 1
cij cij
Terbukti bahwa GLn R adalah homomorfisma. Contoh 1 2 2 1 1 3 1 3
A2 B2
3 3 2 6 9
1 2 2 1 1 3 1 3
A2 B2
1 3 2 3 9
b1n b2 n bnn
b1n b2 n bnn
58 3.2.3
Sifat-sifat
Homomorfisma
Grup
GLn R
yang
Didefinisikan
( An ) det An Teorema 5 Misalkan GLn R ,
dua buah grup dan ∶ GLn R R dengan
An det An sebuah homomorfisme. Hal berikut ini benar. Maka : 1.
Jika
I n ,1
masing-masing
identitas
di
GLn R dan
( I n ) 111 ... 1 1 n
Bukti Ambil I n GLn ( ) dan 1
1 0 (In ) 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0 1 0 0 1
n
1tj1tj t 1
1
2.
Untuk sebarang An GLn ( ) maka ( An )1 ( ( Aa ))1 Ambil An GLn ( ) Didefinisikan ( An ) det An Akan dibuktikan ( An 1 ) ( ( An ))1
R maka
59 Bukti
a11 a12 a a22 An 21 an1 an 2
x11 x 1 An 21 xn1
a1n a2 n ann
x1n x2 n xnn
x12 x22 xn 2
( An 1 ) ( ( An ))1 x11 x 21 xn1
x1n a11 a12 x2 n a21 a22 xnn an1 an 2
x12 x22 xn 2
a1n a2 n ann
1
x1 j K1 j x2 j K2 j ... nj Knj (a1 j K1 j a2 j K2 j ... anj Knj )1 1
n xtj Ktj atj Ktj ; j 1, 2,..., n t 1 t 1 n
n
n
t 1
t 1
xtj Ktj xtj Ktj 3.
M n ( ) GLn ( ) M n ( )
: GLn ( ) i.
Adit M n ( )
M n ( ) : a H H An
60 M n ( ) M n ( ) M n ( ) GLn ( ) M n ( ) GLn ( )
M n ( ) GLn ( ) M n ( ) ii.
Adit M n ( ) M n ( ) GLn ( ) An M n ( )
An M n ( ) M n ( )
M n ( ) iii.
Adit An , Bn M n ( ) maka g1 g2 A 1
An M n ( ) An M n ( ) Bn M n ( ) Bn M n ( ) M n ( ) GLn ( ) An , Bn M n ( ) An Bn1 M n ( )
An Bn1 M n ( )
An Bn1 M n ( ) Bn1 An M n ( )
Bn1 An M n ( ) An Bn1 M n ( ) maka An Bn1 M n ( ) Dari (i), (ii), dan (iii) diperoleh M n ( ) GLn ( ) M n ( )
3.3
Inspirasi Al-Qur’an dalam Kajian tentang Grup Adapun salah satu ayat Al-Qur’an yang menginspirasi tentang wajibnya
mencari ilmu dalam QS. Al-Mujadalah : 11 yang berbunyi:
61
“Hai orang-orang beriman apabila kamu dikatakan kepadamu: ‘Berlapanglapanglah dalam majlis’, Maka lapangkanlah niscaya Allah akan memberi kelapangan untukmu. dan apabila dikatakan: ‘Berdirilah kamu’, Maka berdirilah, niscaya Allah akan meninggikan orang-orang yang beriman di antaramu dan orang-orang yang diberi ilmu pengetahuan beberapa derajat. dan Allah Maha mengetahui apa yang kamu kerjakan”(QS. Al-Mujadalah/58:11) Dalam ayat tersebut dijelaskan bahwa ketika seseorang disuruh melapangkan majelis, yang berarti melapangkan hati, bahkan jika dia disuruh berdiri sekali pun lalu memberikan tempatnya kepada orang yang patut didudukkan di muka, janganlah dia berkecil hati. Melainkan hendaklah dia berlapang dada karena orang yang berlapang dada itulah kelak yang akan diangkat imannya dan ilmunya oleh Allah Swt. Sehingga derajatnya bertambah naik. Orang yang patuh dan sudi memberikan tempat kepada orang lain itulah yang akan bertambah ilmunya. Salain itu ada orang yang diangkat Allah SWT derajatnya lebih tinggi dari pada orang kebanyakan, pertama karena imannya, kedua karena ilmunya. Setiap hari kita dapat melihat pada raut rnuka, pada wajah, pada sinar mata orang yang beriman dan berilmu. Dengan kata lain, betapa ilmu bisa mengangkat derajat manusia di hadapan Allah SWT dan di hadapan manusia lainya. Baik itu ilmu agama atau ilmu sains pada hakikatnya semua ilmu adalah ilmu
Allah
Swt.
62
BAB IV PENUTUP 4.1 Kesimpulan Berdasarkan hasil pembahasan bab III, maka dapat diambil kesimpulan, antara lain : 1.
Suatu himpunan matriks invertibel yang entrinya adalah bilangan real yang didefinisikan GLn R dengan operasi pertambahan dan perkalian dengan skalar memenuhi 4 aksioma grup yaitu tertutup, asosiatif, mempunyai identitas, dan mempunyai invers.
2.
Grup GLn R dengan ∶ GLn R R yang didefinisikan An det An dan ∶ GLn R R yang didefinisikan An trAn adalah homomorfisma grup.
3.
Grup GLn R telah memenuhi sifat-sifat homomorfisma grup.
4.2 Saran Pada skripsi ini, penulis hanya memfokuskan pada fungsi ∶ GLn R R yang didefinisikan An det An dan An trAn . Maka disarankan kepada peneliti yang lain untuk menggunakan penelitian secara lebih mendalam mengenai fungsi dan pendefinisian fungsi yang digunakan.
62
DAFTAR PUSTAKA
Anton, H. 2000. Aljabar Linier Elementer. Jakarta: Erlangga Arifin, A. 2000. Ajabar. Bandung: ITB Bandung Baker, A. 2006. Matrix Group an Introduction to Lie Group Theory. London: Springer Verlag Cholily, Y.M. 2013. Homomorfisma. Malang: Malang. Universitas Muhammadiyah Malang Dummit, D.S dan Foote, R.M. 1991. Abstract Algebra. New York: Prentice-Hall International Raisinghania, M.D. and Anggarwai, R.S. 1980. Modern Algebra. New Delhi: Ram Nagar Supranto, J. 2003. Pengantar Matriks. Jakarta: PT Rineka Cipta
70