GRUP NON-ABELIAN YANG ABELIAN SECARA GRAFIS SKRIPSI

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

GRUP NON-ABELIAN YANG ABELIAN SECARA GRAFIS

SKRIPSI

MICHELLE PURWAGANI

PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS AIRLANGGA 2012 i Skripsi

Grup Non-Abelian Yang Abelian Secara Grafis

Purwagani, Michelle


GRUP NON-ABELIAN YANG ABELIAN SECARA GRAFIS

SKRIPSI

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains bidang Matematika pada Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga

Oleh: MICHELLE PURWAGANI NIM. 080810571

Tanggal Lulus : 18 Juni 2012

Disetujui oleh: Pembimbing I,

Pembimbing II,

Inna Kuswandari, Dra., M.Si.

Yayuk Wahyuni, Dra., M.Si.

NIP. 196609051991022001

NIP. 196412241991022001

ii Skripsi


Purwagani, Michelle


LEMBAR PENGESAHAN NASKAH SKRIPSI

Judul

:


Penyusun

:

Michelle Purwagani

NIM

:

080810571

Pembimbing I

:


Pembimbing II

:


Tanggal Ujian

:

18 Juni 2012

Disetujui oleh:

Pembimbing I,

Pembimbing II,



NIP. 196609051991022001

NIP. 196412241991022001

Mengetahui: Ketua Program Studi S-1 Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga

Dr. Miswanto,M.Si. NIP. 196802041993031002 iii Skripsi


Purwagani, Michelle


KATA PENGANTAR

Pertama-tama penyusun panjatkan puji syukur kepada Tuhan Yesus atas kasih dan karunia-Nya penyusun dapat menyelesaikan skripsi ini dengan sebaikbaiknya. Penyusun membuat skripsi dengan judul “Grup Non-Abelian Yang Abelian Secara Grafis” ini sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains bidang Matematika pada Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga. Dalam pembuatan skripsi ini, penyusun mengucapkan terima kasih kepada Inna Kuswandari, Dra., M.Si. dan Yayuk Wahyuni, Dra., M.Si. yang telah bersedia menjadi dosen pembimbing skripsi yang telah memberikan bimbingan, motivasi, dan arahan yang berkaitan dengan penyusunan skripsi ini. Dalam pembuatan skripsi ini, penyusun juga mendapatkan bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penyusun juga ingin mengucapkan terima kasih kepada: 1. Dr. Miswanto, M.Si. selaku ketua Departemen Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga yang telah memberikan motivasi kepada penyusun untuk dapat segera menyelesaikan skripsi ini. 2. Liliek Susilowati, S.Si., M.Si selaku dosen penguji dan Ketua KBK Aljabar Departemen Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga yang telah memberikan bekal ilmu, serta bersedia memberikan arahan kepada penyusun sehingga penyusun dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik. iv Skripsi


Purwagani, Michelle


3. Dr. Moh. Imam Utoyo selaku dosen penguji yang telah memberikan banyak masukan kepada penyusun untuk kesempurnaan skripsi ini. 4. Auli Damayanti, S.Si., M.Si selaku dosen wali dari penyusun yang telah memberikan perhatian kepada penyusun mulai dari penyusun menjadi mahasiswa baru hingga saat ini. 5. Semua dosen di Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga yang telah memberikan ilmu pengetahuan kepada penyusun selama masa perkuliahan sehingga penyusun mempunyai fondasi yang baik untuk menyelesaikan skripsi ini. 6. Professor Kathryn Weld yang sangat ramah dan bersedia meluangkan waktu untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan dari penyusun mengenai papernya yang berjudul “Graphically Abelian Groups”. 7. Papi, mami, dan adik penyusun (Michael) yang telah memberikan motivasi, dukungan, dan doa agar penyusun dapat menyelesaikan skripsi dengan baik dan tepat waktu. 8. Teman-teman Golden Princess (Dinda, Lina, Dyah, Rika, Ragil, Dilfi, Mita, Vita, Tika, dan Lia) yang setia menemani penyusun selama masa perkuliahan dan telah memberikan bantuan, dukungan, dan semangat kepada penyusun untuk dapat segera menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Terima kasih juga kepada Julianti atas motivasi dan dukungannya, Citra beserta semua teman UK3 UNAIR, dan teman-teman prodi Matematika angkatan 2008 yang lain atas kebersamaan dan kekompakkan selama kurang lebih empat tahun ini.

v Skripsi


Purwagani, Michelle


9. Yessy Yosephine, Dra. serta murid-murid penyusun di SMA Katolik Karitas III yang senantiasa memberikan doa dan dukungan agar penyusun segera menyelesaikan skripsi penyusun dan mendapatkan nilai yang terbaik. Tiada gading yang tak retak. Oleh karena itu, penyusun memohon saran dan kritik yang membangun dari semua pihak untuk perbaikan penyusun di masa mendatang. Penyusun juga memohon maaf apabila ada kata-kata yang kurang berkenan di hati para pembaca. Akhir kata, penyusun mengucapkan terima kasih atas perhatiannya.

Surabaya, Juli 2012

Penyusun

vi Skripsi


Purwagani, Michelle


Michelle Purwagani, 2012, Grup Non-Abelian Yang Abelian Secara Grafis, Skripsi ini di bawah bimbingan Inna Kuswandari, Dra., M.Si. dan Yayuk Wahyuni, Dra., M.Si., Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga

ABSTRAK

Suatu grup merupakan grup abelian secara grafis jika pemetaan yang mengawankan setiap elemen dari grup ke inversnya merupakan automorfisma dari setiap graf Cayley atas . Akibatnya, setiap grup abelian pasti merupakan grup abelian secara grafis. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menunjukkan karakterisasi grup non-abelian yang abelian secara grafis. Dengan mengkaji sifatsifat grup dan graf, khususnya graf Cayley, serta automorfisma pada grup dan graf, dapat ditunjukkan bahwa grup merupakan grup yang abelian secara grafis jika dan hanya jika semua himpunan bagian Cayley dari merupakan himpunan bagian normal, yang terseimbangkan, dan setiap elemen dari tetap atau terbalik oleh konjugasi. Lebih lanjut, jika merupakan abelian secara grafis, maka merupakan grup Hamiltonian, dan untuk yang merupakan 〈 〉 merupakan grup Quarternion. pasangan elemen tidak komutatif, Kata kunci: Grup, abelian secara grafis, graf, graf Cayley, grup Hamiltonian, grup Quarternion.

vii Skripsi


Purwagani, Michelle


Michelle Purwagani, 2012, Non-Abelian Group Which Is Graphically Abelian, This skripsi is under the guidance of Inna Kuswandari, Dra., M.Si. and Yayuk Wahyuni, Dra., M.Si., Mathematics Department of Science and Technology Faculty, Airlangga University

ABSTRACT

A group is graphically abelian if the map that pairs each element of the group to its inverse is an automorphism of every Cayley graph of . So, all abelian groups are graphically abelian. The purpose of this research is to show the characterization of non-abelian group which is graphically abelian group. By reviewing the properties of groups and graphs, especially Cayley graph, also automorphism of group and automorphism of graph, we can show that is graphically abelian if and only if all of its Cayley subsets are normal, is balanced group, and each element of is either fixed or inverted by conjugation. Furthermore, if is graphically abelian group, then is Hamiltonian, and let 〉 is Quarternion group. be a pair of non-commuting elements, then 〈 Keywords: Group, graphically abelian, graph, Cayley graph, Hamiltonian group, Quarternion group.

viii Skripsi


Purwagani, Michelle


DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL .. .....................................................................................

i

LEMBAR PERNYATAAN ............................................................................

ii

LEMBAR PENGESAHAN ............................................................................

iii

KATA PENGANTAR .....................................................................................

iv

ABSTRAK ......................................................................................................

vii

ABSTRACT .................................................................................................... viii DAFTAR ISI ...................................................................................................

ix

DAFTAR TABEL ...........................................................................................

xi

DAFTAR GAMBAR ......................................................................................

xii

BAB I

PENDAHULUAN ...........................................................................

1

1.1 Latar Belakang..................................................................................

1

1.2 Rumusan Masalah.............................................................................

3

1.3 Tujuan ...............................................................................................

3

1.4 Manfaat .............................................................................................

3

BAB II TINJAUAN PUSTAKA ...................................................................

4

2.1 Grup ..................................................................................................

4

2.2 Graf ...................................................................................................

17

2.3 Grup Abelian Secara Grafis ..............................................................

22

BAB III METODE PENULISAN ...................................................................

25

BAB IV PEMBAHASAN ...............................................................................

27

ix Skripsi


Purwagani, Michelle


BAB V PENUTUP ........................................................................................

54

5.1 Kesimpulan ......................................................................................

54

5.2 Saran ...............................................................................................

54

DAFTAR PUSTAKA .....................................................................................

55

x Skripsi


Purwagani, Michelle


DAFTAR TABEL

Nomor

Judul

2.1

Hasil operasi

4.1

Automorfisma *

4.2

+ atas

+ atas

(

+ atas

+

dengan

( )

untuk

dan

dengan

( )

untuk

dan

dengan

( )

untuk

dan

dengan

( )

untuk

dan

)

(

)

Automorfisma *

*

)

Automorfisma *

4.4

(

dan

Automorfisma *

4.3

+ atas

untuk

(

)

4.5

Hasil operasi

untuk

*

+ dan

4.6

Hasil operasi

untuk

*

+ dan

4.7

Hasil operasi

untuk

*

+ dan

4.8

Hasil operasi

untuk

*

4.9

Identifikasi kriteria tetap atau terbalik oleh konjugasi pada elemen grup

4.10

Identifikasi kriteria grup yang terseimbangkan pada elemen grup

+ dan

xi Skripsi


Purwagani, Michelle


DAFTAR GAMBAR

Nomor

Judul

2.1

Graf

2.2

Graf

tidak terhubung

2.3

Graf

terhubung

2.4

(

*

+)

2.5

(

*

+)

4.1

(

*

+)

4.2

(

*

4.3

(

*

4.4

(

*

4.5

(

*

4.6

(

*

4.7

(

*

+) +) +) +) +) +)

xii Skripsi


Purwagani, Michelle


BAB I PENDAHULUAN

1.1

Latar Belakang Dalam struktur aljabar, grup adalah suatu himpunan tak kosong dengan

satu operasi biner yang memenuhi beberapa aksioma grup, yaitu: ketertutupan, asosiatif, mempunyai elemen identitas, dan setiap elemennya memiliki invers. Contoh grup adalah himpunan bilangan bulat yang dinotasikan sebagai (

dengan operasi penjumlahan

,

). Lebih lanjut, jika suatu grup bersifat komutatif,

maka grup tersebut dinamakan grup abelian (grup komutatif). Sebagai contoh grup abelian adalah (

). Salah satu contoh grup non-abelian adalah himpunan

matriks persegi berukuran

atas bilangan real

, dinotasikan dengan

( ), tanpa matriks singular dengan operasi biner perkalian matriks. Dalam teori graf, graf

didefinisikan sebagai suatu himpunan berhingga

( ) yang tak kosong dengan elemen-elemennya disebut titik (vertice), serta himpunan

( ) yang elemen-elemennya merupakan pasangan tak terurut dua

titik yang berbeda dari ( ) dan disebut garis (edge). Salah satu jenis graf adalah graf Cayley. Graf Cayley yang dinotasikan dengan

(

) adalah graf dengan

himpunan titik-titiknya adalah elemen-elemen dari grup berhingga (

( .

)) terhubung dengan garis jika dan hanya jika

dan untuk suatu

merupakan himpunan bagian Cayley, yaitu himpunan bagian dari

dengan syarat elemen identitas di

tidak terdapat di , serta

membangkitkan grup , maka graf Cayley

(

. Jika

) yang dihasilkan adalah graf

1 Skripsi


Purwagani, Michelle


2

terhubung. Jika

tidak membangkitkan grup

, maka jumlah graf Cayley yang

terbentuk ada sebanyak himpunan bagian Cayleynya dan memungkinkan adanya graf Cayley yang tidak terhubung. Yang menarik untuk dibahas adalah jika tidak membangkitkan grup

. Karena kondisi ini mengakibatkan jenis graf

Cayleynya lebih bervariasi. Dari pengertian tentang grup dan graf Cayley di atas, Richard Goldstone dan Kathryn Weld dalam jurnalnya yang berjudul Graphically Abelian Groups (2010) mendefinisikan grup abelian secara grafis. Suatu grup abelian secara grafis jika pemetaan

dengan

automorfisma pada setiap graf Cayley atas

( )

adalah grup merupakan

. Karena suatu grup

adalah grup

dengan ( )

merupakan

abelian jika dan hanya jika pemetaan

suatu automorfisma grup, maka automorfisma grup tersebut akan menyebabkan automorfisma graf pada graf Cayley

(

). Akibatnya, semua grup abelian

adalah grup abelian secara grafis. Oleh sebab itu, yang menarik untuk dibahas adalah grup non-abelian, contohnya grup Quarternion. Grup Quarternion didefinisikan sebagai suatu grup yang isomorfis terhadap suatu grup elemen yang dibangun oleh dua elemen yaitu , dan

dengan 8

dan memenuhi

,

. Yang dikaji adalah karakteristik suatu grup non-

abelian yang abelian secara grafis, secara khusus akan dibahas grup Quarternion sebagai contoh. Topik yang akan dibahas pada skripsi ini bukanlah sesuatu yang baru. Penyusun mengambil topik ini dari jurnal yang berjudul Graphically Abelian Groups, ditulis oleh Richard Goldstone dan Kathryn Weld pada tahun 2010.

Skripsi


Purwagani, Michelle


3

Penyusun menuliskan kembali dengan bahasa sendiri dilengkapi dengan contoh, serta melengkapi pembuktian dari beberapa teorema yang ada. 1.2 Rumusan Masalah Bagaimana karakterisasi grup non-abelian yang abelian secara grafis? 1.3

Tujuan Menunjukkan karakterisasi grup non-abelian yang abelian secara grafis.

1.4

Manfaat Manfaat dalam keilmuan adalah mengetahui karakterisasi dari grup non-

abelian yang abelian secara grafis. Dalam hal ini, grup non-abelian yang dibahas adalah grup Quarternion. Grup Quaternion ditemukan oleh Sir William Rowan Hamilton pada tahun 1843. Pada tahun 1984, P.R. Girard dalam jurnalnya yang berjudul The Quarternion Group and Modern Physics menunjukkan hubungan antara grup-grup kovarian utama dalam Fisika, seperti grup Lorentz, dengan grup Quarternion. P.R. Girard juga menyajikan beberapan penerapan dari grup Quarternion dalam bidang Fisika, salah satunya adalah Teori Relativitas Khusus.

Skripsi


Purwagani, Michelle


BAB II TINJAUAN PUSTAKA

Pada bab ini akan disajikan beberapa definisi, sifat, dan teorema yang akan digunakan untuk pembahasan berikutnya. 2.1

Grup

Definisi 2.1 Misalkan himpunan (

himpunan yang tidak kosong. Operasi biner

adalah sebuah fungsi atau pemetaan dari

)

, elemen hasil pemetaan

((

))

pada

ke . Untuk setiap dinotasikan dengan

. (Fraleigh, 2003) Definisi 2.2 Suatu grup adalah himpunan tidak kosong satu operasi biner

, dinotasikan dengan (

yang tertutup terhadap

), serta memenuhi beberapa

aksioma sebagai berikut: (i)

Sifat asosiatif dari , yakni untuk setiap (

(ii)

)

)

Terdapat elemen identitas

(iii) Setiap elemen dari grup terdapat

, berlaku (

di

, sedemikian sehingga untuk setiap

mempunyai invers, yakni untuk setiap

,

, sedemikian sehingga (Fraleigh, 2003)

4 Skripsi


Purwagani, Michelle


5

Contoh: a.

Himpunan bilangan bulat positif

dengan operasi biner penjumlahan

bukanlah sebuah grup karena tidak terdapat elemen identitas di Misalkan diambil b.

, maka

, sehingga

, tetapi

. .

Himpunan bilangan bulat ( ), himpunan bilangan rasional ( ), himpunan bilangan real ( ), dan himpunan bilangan kompleks ( ), dengan operasi penjumlahan adalah grup. Untuk sebarang himpunan berhingga, berlakunya aksioma grup dapat dilihat

dengan mengoperasikan setiap elemennya dan mendaftarnya dalam suatu tabel, yang dinamakan tabel Cayley. Contoh: Himpunan

*

+ dengan operasi penjumlahan bilangan bulat modulo 3

dinyatakan sebagai berikut: +

0 1

2

0

0 1

2

1

1 2

0

2

2 0

1

Dari tabel di atas, terlihat bahwa (

) bersifat tertutup terhadap operasi

binernya, bersifat asosiatif (setiap baris dan setiap kolom memuat setiap elemen dari grup tepat satu), mempunyai elemen identitas: 0, dan setiap elemennya memiliki invers:

Jadi, (

Definisi 2.3 Suatu grup (

) merupakan grup.

) adalah grup abelian jika operasi binernya bersifat

komutatif, yakni untuk setiap

berlaku

. (Fraleigh, 2003)

Skripsi


Purwagani, Michelle


6

Selanjutnya, untuk mempermudah penulisan, maka untuk setiap dapat ditulis

, (

) dapat ditulis sebagai grup

elemen dari grup

, dan pengoperasian antar

ditulis sebagai perkalian. Karena grup abelian bersifat

komutatif, maka suatu grup berhingga

adalah grup abelian jika dan hanya jika

elemen yang muncul dalam tabel Cayley simetris sepanjang elemen diagonalnya. Contoh: 1. Himpunan bilangan real dengan operasi penjumlahan, dinotasikan (

),

merupakan grup abelian. 2. Grup

Quarternion

didefinisikan

sebagai

+ dengan operasi perkalian

*

himpunan

yang mengikuti

ketentuan berikut: (i)

, untuk setiap

(ii)

(

(iii) (

) ( )

) (

)

untuk setiap

(iv) (v) (vi) (vii) (viii) (ix) (x) adalah grup non-abelian. (Dummit and Foote, 2004)

Skripsi


Purwagani, Michelle


7

Hal ini diperlihatkan dalam tabel Cayley berikut:

Berdasarkan

tabel

Cayley

tersebut,

terlihat

bahwa

himpunan

+ dengan operasi memenuhi aksioma berikut:

* (i)

Bersifat tertutup terhadap operasi binernya

(ii)

Bersifat asosiatif (setiap baris dan setiap kolom memuat setiap elemen dari grup tepat satu)

(iii) Mempunyai elemen identitas, yaitu: 1 (iv) Setiap elemennya memiliki invers: (

) (

Sehingga,

(

(

)

)

dengan operasi perkalian

hasil operasi elemen

)

merupakan grup. Dapat dilihat bahwa

terhadap pada tabel Cayley tersebut tidak simetris, maka

bukan merupakan grup abelian.

Skripsi


Purwagani, Michelle


8

Definisi 2.4 Jika

adalah grup, maka order dari grup

, yang dinotasikan

,

adalah banyaknya elemen dari grup . (Fraleigh, 2003) Definisi 2.5 Misalkan dinotasikan

. Order dari elemen

adalah grup dan

, adalah bilangan bulat positif terkecil

. Jika tidak ada

yang menyebabkan

yang

yang menyebabkan

, maka order dari

adalah

tidak berhingga. (Fraleigh, 2003) Teorema 2.6 Misalkan

adalah grup dan

kanan berlaku dalam

. Hukum kanselasi kiri dan

yaitu:

(i)

jika

, maka

, dan

(ii)

jika

, maka

. (Fraleigh, 2003)

Teorema 2.7 Jika (

) suatu grup, maka

(i)

Grup

(ii)

Setiap elemen di

memenuhi sifat berikut:

hanya memuat satu elemen identitas mempunyai invers yang tunggal

(iii) Untuk setiap

(

(iv) Untuk setiap

) berlaku (

(

)

) (

)

(Dummit and Foote, 2004) Teorema 2.8 Misalkan maka Bukti: Diketahui

suatu grup non-abelian dan

,

. . Andaikan

kanan dengan , diperoleh

Skripsi

. Jika

. Kedua ruas dikalikan dari sisi . Setelah itu,


dikalikan dari sisi

Purwagani, Michelle


9

kiri dengan

, sehingga diperoleh

. Hal ini kontradiksi dengan

. Definisi 2.9 Misalkan

suatu grup dan

disebut subgrup dari G jika merupakan grup. Jika

himpunan bagian tidak kosong dari .

dengan operasi biner yang sama pada

juga

adalah grup, maka subgrup * + adalah subgrup

trivial dari . Subgrup * + dan

itu sendiri adalah subgrup tidak sejati dari

. (Fraleigh, 2003) Contoh: (

) adalah grup bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan. Bila

diambil himpunan

+, jelas bahwa

*

suatu grup. Karena

dan (

) adalah

adalah himpunan bagian tidak kosong dari

, maka

adalah subgrup dari . Dari Definisi 2.9, untuk melihat apakah suatu himpunan bagian dari suatu grup merupakan subgrup, maka harus ditunjukkan bahwa semua aksioma grup berlaku pada himpunan bagian tersebut. Oleh sebab itu, diberikan Teorema 2.10 yang memberi kemudahan dalam menunjukkan suatu subgrup. Teorema 2.10 Misalkan jika dan hanya jika

himpunan bagian dari grup

.

adalah subgrup dari

tidak kosong dan

untuk setiap

dan

. (Dummit and Foote, 2004) Definisi 2.11 Misalkan membangun grup

adalah grup dan

jika setiap elemen dari

pergandaan dari elemen-elemen

Skripsi

adalah himpunan bagian dari

.

dapat dinyatakan sebagai

dan invers elemen-elemennya.


Purwagani, Michelle


10

Jika

membangun grup , dinotasikan

〈 〉. (Dummit and Foote, 2004)

Selanjutnya, misalkan

*

+merupakan himpunan bagian dari grup

membangun , notasi

〈 〉 dapat ditulis sebagai 〈

yang

〉.

Contoh: Grup Quarternion dibangun oleh dua elemen, yaitu

dan

sebab setiap

elemen dari grup Quarternion dapat dinyatakan sebagai pergandaan dari

dan

sebagai berikut:

.

( ) Definisi 2.12 Misalkan + dari

*

subgrup dari

dan

dinamakan koset kiri atas

. Himpunan bagian , sedangkan himpunan bagian

+ dinamakan koset kanan atas .

*

(Fraleigh, 2003) Teorema 2.13 (Teorema Lagrange) Misalkan berhingga , maka order dari

adalah subgrup dari grup

membagi order dari . (Fraleigh, 2003)

Definisi 2.14 Jika dari grup (i)

adalah subgrup dari grup , maka

adalah subgrup normal

jika memenuhi salah satu dari pernyataan berikut: untuk setiap

(ii)

untuk setiap

(iii)

untuk setiap

subgrup normal dari grup

dan dinotasikan dengan

. (Fraleigh, 2003)

Skripsi


Purwagani, Michelle


11

Akibatnya, jika

adalah grup abelian, maka semua subgrup dari

adalah

subgrup normal karena koset kanan sama dengan koset kiri. Definisi 2.15 Misalkan

adalah himpunan bagian dari grup

himpunan bagian normal dari atau

.

merupakan

jika untuk setiap

untuk setiap

memenuhi

. (Goldstone and Weld, 2010)

Contoh: Misalkan *

+ adalah himpunan bagian dari grup

+ dengan

*

operasi penjumlahan bilangan bulat modulo 4. Akan ditunjukkan bahwa * melalui Tabel 2.1 berikut.

merupakan himpunan bagian normal dari Tabel 2.1 Hasil operasi

0 1 2 3 0 1 2 3 Karena untuk setiap

untuk * 0 0 0 0 1 1 1 1 dan

dan

dan

dari grup , maka Bukti: Misalkan

+

0 3 2 1 0 3 2 1 *

+ berlaku

0 0 0 0 1 1 1 1 *

+ , maka *

+

.

masing-masing merupakan himpunan bagian normal merupakan himpunan bagian normal dari grup .

grup. Misalkan

dan

masing-masing merupakan himpunan

bagian normal dari grup . Karena

dan


bagian normal dari grup

Skripsi

*

+

merupakan himpunan bahian normal dari Teorema 2.16 Jika

+

, berdasarkan Definisi 2.15,


untuk setiap

Purwagani, Michelle


12

dan

, dan

untuk setiap

dan

. Diambil

sebarang

dan

(i)

merupakan dua buah himpunan yang saling asing dan misalkan

dan

, terdapat tiga kemungkinan, yaitu:

, maka (ii)

dan

.

merupakan dua buah himpunan yang saling asing dan misalkan , maka

(iii)

dan

.

merupakan dua buah himpunan yang tidak saling asing dan

misalkan Karena

, maka

, akibatnya

, untuk setiap

dan

. , berdasarkan

merupakan himpunan bagian normal dari grup .

Definisi 2.15,

Definisi 2.17 Suatu grup non-abelian yang setiap subgrupnya adalah subgrup normal disebut sebagai grup Hamiltonian. (Goldstone et al, 2010) Sebagai contoh, grup Quarternion adalah grup Hamiltonian. Sebelumnya telah dijelaskan bahwa grup Quarternion dibangun oleh 〈

dan , dinotasikan dengan

〉. Semua subgrup dari grup Quarternion adalah: * + yang merupakan subrup trivial dari grup Quarternion.

1.

〈 〉

2.

〈

3.

〈〉

〈

〉

*

+

4.

〈〉

〈

〉

*

+

5.

〈 〉

〈

6.

〈

〉

〉

*

+

〉 〈

* 〉

+ 〈

〉

yang merupakan subgrup tidak sejati dari

grup Quarternion.

Skripsi


Purwagani, Michelle


13

Selanjutnya ditunjukkan bahwa semua subgrup dari grup Quarternion merupakan subrup normal. 1. Karena

* + merupakan subgrup trivial dari

〈 〉

setiap

, berlaku

* + dan 〈 〉

〈 〉

, sehingga untuk

* +, sehingga

Akibatnya, berdasarkan Definisi 2.14 peryataan (i), 〈 〉 2. Karena 〈

〈

〉

*

〉

+ dan 〈

〉

+, maka

*

〈〉

* dan

〈

Akibatnya,

〉

.

〉

+, sehingga untuk setiap

, berlaku:

〈〉

+,

*

〈〉

〈 〉 . Akibatnya, berdasarkan Definisi 2.14 peryataan (i), 〈 〉 〈〉

*

+, sehingga untuk setiap

*

+ dan 〈 〉

〈〉

〈 〉 . Akibatnya, berdasarkan Definisi 2.14 peryataan (i), 〈 〉

*

+ , sehingga untuk setiap

*

, berlaku: +,

*

*

〈 〉

〈 〉 . Akibatnya, berdasarkan Definisi 2.14 peryataan (i), 〈 〉 merupakan subgrup tidak sejati dari dan

berlaku:

Quarternion

maka

.

maka untuk setiap

. Akibatnya, berdasarkan

menggunakan Definisi 2.14 peryataan (iii), maka 〈 Karena setiap subgrup dari

maka

.

〈 〉

6. Karena

+ dan

.

+,

*

〈 〉

maka

, berlaku:

〈〉

5. Karena

Skripsi

〉

, berlaku:

〈〉

4. Karena

+

〈

〈 〉 .

.

+ , sehingga untuk setiap

*

berdasarkan Definisi 2.14 peryataan (i), 〈 3. Karena

〈 〉

〉

merupakan subgrup normal, maka grup

merupakan grup Hamiltonian.


Purwagani, Michelle


14

Selanjutnya, penemuan Richard Dedekind pada tahun 1887 menjelaskan bahwa setiap grup Hamiltonian pasti memuat suatu subgrup yang isomorfis dengan grup Quarternion. Kemudian, pada tahun 1933, Reinhold Baer melengkapi klasifikasi dari grup Hamiltonian tersebut yang disajikan dalam Teorema 2.18 berikut sebagai definisi alternatif. Teorema 2.18 (Teorema Baer) Suatu grup non-abelian Hamiltonian jika dan hanya jika

, dengan

adalah grup adalah grup

abelian yang setiap elemennya (selain elemen identitas) beroder dua dan adalah grup abelian yang setiap elemennya berorder gasal. (Goldstone et al, 2010) Contoh: Salah satu contoh grup Hamiltonian adalah grup *(

+ dengan operasi biner

)

sebagai ( Karena

) (

)

) dengan elemen identitas (

(

adalah grup abelian yang setiap elemennya berorder gasal,

maka berdasarkan Teorema 2.18, Definisi 2.19 Misalkan

(ii)

).

adalah grup abelian yang setiap elemennya (selain elemen identitas)

beroder dua dan

(i)

yang didefinisikan

Elemen


grup, dan

.

dikatakan tetap oleh konjugasi (fixed by conjugation)

terhadap

jika

, untuk setiap

Elemen

dikatakan terbalik oleh konjugasi (inverted by conjugation)

terhadap

jika

, untuk setiap (Goldstone and Weld, 2010)

Skripsi


Purwagani, Michelle


15

Definisi 2.20 Suatu grup

merupakan grup yang terseimbangkan (balanced

group) jika untuk setiap elemen komutatif atau

memenuhi kondisi:

dan

. (McCabe and Weld, 2009)

Contoh: a. Semua grup abelian setiap elemen b.

merupakan grup yang terseimbangkan karena untuk

memenuhi

dan

komutatif.

Grup Quarternion merupakan grup yang terseimbangkan. (Bukti grup

Quarternion sebagai grup yang terseimbangkan akan dibahas pada Bab IV.) Definisi 2.21 Suatu homomorfisma dari grup dari

ke

, yang memenuhi: (

)

ke grup

adalah pemetaan

( ) ( ) untuk setiap

. Suatu

isomorfisma grup adalah homomorfisma yang bijektif. Jika merupakan isomorfisma, maka

dikatakan isomorfis dengan

. Suatu automorfisma pada grup

dengan

, dinotasikan

adalah suatu isomorfisma

pada grup . (Dummit and Foote, 2004) Contoh:

merupakan grup dari semua bilangan real positif terhadap operasi

perkalian dan

merupakan grup dari semua bilangan real terhadap operasi

penjumlahan. Didefinisikan pemeraan

, dengan

( )

setiap

berlaku

(

. Karena untuk setiap ( )

Skripsi

( ), maka

( ) untuk )

(

)

merupakan homomorfisma.


Purwagani, Michelle


16

Definisi 2.22 Grup Quarternion merupakan grup yang isomorfis terhadap suatu grup

dengan 8 elemen yang dibangun oleh dua elemen yaitu

memenuhi

,

, dan

dan

. (Goldstone and Weld, 2010)

Teorema 2.23 Suatu grup pemetaan

adalah grup abelian jika dan hanya jika

dengan ( )

adalah suatu automorfisma grup. (Goldstone and Weld, 2010)

Bukti: Diketahui dengan

grup abelian, akan ditunjukkan bahwa pemetaan adalah suatu automorfisma grup. Karena

( )

berlaku

maka untuk setiap Misalkan (i)

.

dengan ( )

Untuk setiap

(

maka

, untuk setiap )

grup abelian,

(

. Karena

)

. Sehingga,

.

(

grup abelian,

( ) ( ). Akibatnya,

)

merupakan homomorfisma pada . (ii)

Selanjutnya, diambil sebarang sehingga (

)

(

)

, karena . Jadi,

grup, maka terdapat

merupakan homomorfisma yang

surjektif. (iii) Diambil sebarang . Karena dikalikan dengan

dengan ( ) ( )

Skripsi

( ), maka

dari sisi kiri sehingga

ruas dikalikan dengan sebab itu,

( ). Akan ditunjukkan bahwa . Kemudian kedua ruas . Selanjutnya, kedua

dari sisi kanan, sehingga diperoleh

. Oleh

adalah homomorfisma yang injektif.


Purwagani, Michelle


17

Dari (iii) dan (iv) diperoleh bahwa Karena

merupakan homomorfisma yang bijektif.

merupakan homomorfisma yang bijektif pada grup

, maka

merupakan automorfisma grup. Sebaliknya,

jika

pemetaan

dengan

automorfisma grup, maka akan ditunjukkan bahwa Untuk setiap

suatu

adalah grup abelian.

( (

(berdasarkan Teorema 2.7 bagian iv)

) (

) ) ( ) (

Karena untuk setiap

) karena

homomorfisma

) , maka

Jadi, terbukti bahwa suatu grup

2.2

adalah

berlaku: (

pemetaan

( )

dengan ( )

adalah grup abelian.

adalah grup abelian jika dan hanya jika adalah suatu automorfisma grup.

Graf

Definisi 2.24 Graf H didefinisikan sebagai himpunan berhingga V(H) yang tak kosong dengan elemen-elemennya disebut titik / vertice, serta himpunan E(H) yang elemen-elemennya merupakan pasangan tak terurut 2 elemen yang berbeda dari V(H) dan disebut garis / edge. Elemen dari V(H) dinotasikan dengan v dan elemen dari E(H) dinotasikan dengan (u,v), dan untuk mempersingkat penulisan, (u,v) E(H) dapat ditulis sebagai uv. Jika e=uv adalah garis pada graf H , maka u dikatakan terhubung (adjacent) dengan v,

Skripsi


Purwagani, Michelle


18

dan e dikatakan insiden terhadap u maupun v, sedangkan e1 dikatakan terhubung dengan e2 jika e1 dan e2 insiden pada satu titik. (Godsil and Royle, 2001) Contoh:

Gambar 2.1 Graf Pada Gambar 2.1: Graf *

+. Garis

terdiri dari

( )

insiden terhadap titik

*

+ dan

dan titik . Titik

( )

dan titik

terhubung (adjacent). Pada pembahasan selanjutnya, penulisan garis pada suatu graf H akan digunakan notasi (u,v) E(H). Definisi 2.25 Perjalanan (walk) adalah barisan bergantian titik dan garis, yang diawali dan diakhiri dengan titik, sehingga setiap garis insiden dengan dua titik terdekat sebelum dan sesudahnya pada barisan itu. Lintasan (path) adalah suatu perjalanan (walk) yang semua titiknya berbeda. (Godsil and Royle, 2001)

Skripsi


Purwagani, Michelle


19

Definisi 2.26 Graf

dikatakan terhubung jika setiap dua titik

di

dihubungkan oleh sekurang-kurangnya satu lintasan (path). (Godsil and Royle, 2001) Contoh:

Gambar 2.2 Graf

tidak terhubung

Pada Gambar 2.2, graf 2.3, graf

Gambar 2.3 Graf

terhubung

adalah graf tidak terhubung, sedangkan pada Gambar

adalah graf terhubung.

Definisi 2.27 Himpunan bagian Cayley

dari grup

yang tidak kosong dari suatu grup

adalah himpunan bagian

dengan ketentuan

dan

. (Goldstone dan Weld, 2010) Contoh:

+ merupakan grup dengan operasi penjumlahan bilangan

*

modulo 5. Elemen identitas pada adalah

,

,

himpunan bagian dari karena

Skripsi

,

,

adalah , dan invers dari setiap elemennya ,

.

* ,

, dan

. Dibentuk

*

+

+ merupakan himpunan bagian Cayley dari .


Purwagani, Michelle


20

Definisi 2.28 Misalkan

suatu grup berhingga dengan elemen identitas

.

adalah suatu himpunan bagian Cayley dari. Graf Cayley atas ,

Misalkan

dinotasikan dengan

(

), mempunyai syarat sebagai berikut:

(i)

(

) adalah elemen-elemen dari .

titik-titik dari

(ii)

(

(

terhubung dengan garis jika dan hanya jika

))

untuk suatu

. (Alspach, 2004)

Teorema 2.29 Misalkan

suatu grup berhingga dengan elemen identitas

adalah himpunan bagian Cayley dari . Misalkan Cayley atas

, maka untuk setiap

(

dengan garis jika dan hanya jika

) adalah suatu graf

( (

dan

dan

)),

terhubung

. (Goldstone dan Weld, 2010)

Bukti: Akan dibuktikan bahwa Teorema 2.29 ekuivalen dengan Definisi 2.28, yaitu:

(

(

)) dengan

. Untuk sebarang , maka

(

atau maka

(

(

jika dan hanya jika untuk suatu

)), misalkan

. Sebaliknya, misalkan

) . Untuk

, akibatnya jika dikalikan dengan , untuk setiap

untuk suatu

jika dikalikan dengan

, berarti dari kiri,

, untuk setiap

. Sedangkan, untuk

dari kiri, maka

, akibatnya

.

Berdasarkan Definisi 2.28 dan uraian di atas diperoleh: (i)

(

(

)) terhubung dengan garis jika dan hanya jika

untuk suatu

Skripsi


Purwagani, Michelle


21

(ii)

untuk suatu

Sehingga

(

jika dan hanya jika

(

terhubung dengan garis jika dan hanya jika

))

. Contoh: Misalkan diambil grup berhingga

+ dengan operasi

*

penjumlahan modulo empat dan dipilih

*

+, maka

Gambar 2.4

(

*

Teorema 2.30 Graf Cayley

(

*

+) adalah:

+)

) terhubung jika dan hanya jika

(

membangun grup . (Alspach, 2004) Contoh: Graf karena

*

(

(

) )

+) pada Gambar 2.4 adalah graf Cayley terhubung

+ membangun grup

Definisi 2.31 Graf (

*

(

dan

.

dikatakan isomorfis jika terdapat fungsi bijektif

) sehingga untuk setiap

( ( ) ( ))

(

).

), maka: (

(

isomorfis dengan

)

dinotasikan dengan

. Automorfisma adalah isomorfisma pada graf

itu sendiri.

(Godsil and Royle, 2001) Contoh: Misalkan diambil grup abelian berhingga operasi penjumlahan modulo enam dan dipilih

Skripsi

*


*

+ dengan

+. Berdasarkan Teorema

Purwagani, Michelle


22

2.29, maka terdapat suatu automorfisma dengan ( )

untuk setiap

menghasilkan:

( )

yang didefinisikan sebagai . Sehingga,

( )

dengan ( )

( )

. Berikut adalah gambar graf Cayley Cay(

Gambar 2.5

( )

*

(

(titik

( )

+)

*

+)

Gambar 2.5 menunjukkan automorfisma pada graf Cay( dan titik 1 terhubung, maka titik

( )

*

+). Karena titik 0

( ))dan titik 5 (titik

( )) juga

terhubung. Karena titik 1 dan titik 2 terhubung, maka titik 5 (titik ( )) dan titik 4 (titik ( )) juga terhubung. Karena titik 2 dan titik 3 terhubung, maka titik 4 (titik ( )) dan titik 3 (titik ( )) juga terhubung.

2.3

Grup Abelian Secara Grafis

Definisi 2.32 Suatu grup dengan

( )

adalah grup abelian secara grafis jika pemetaan merupakan suatu automorfisma pada semua

graf Cayley atas . (Goldstone dan Weld, 2010)

Skripsi


Purwagani, Michelle


23

Teorema 2.33 Jika

adalah grup abelian, maka

merupakan grup abelian secara

grafis. (Goldstone dan Weld, 2010) Bukti: Misalkan grup pemetaan Misalkan

adalah grup abelian, maka berdasarkan Teorema 2.23,

dengan ( )

adalah suatu automorfisma grup.

adalah himpunan bagian Cayley dari grup . Diambil sebarang

maka ( )

. Sehingga ( )

untuk setiap

Akan ditunjukkan bahwa automorfisma pada grup

Misalkan diambil sebarang graf Cayley (

dengan

), dengan

(

,

( )

( )

(

dan (

untuk suatu

, maka untuk setiap

(

(

Karena

( ) ( )

Karena

(

(

( ( ) ( ))

(

Berdasarkan Teorema 2.29, maka ( maka

atau

dikalikan dengan

, maka

) dengan

)), akan ditunjukkan bahwa ( (

maka

)),

(

)

. Misalkan

. Misalkan

)

(

(

)).

)

(

(

)). ,

, kemudian kedua ruas

dari sisi kiri, sehingga diperoleh


.

. Karena

dari sisi kanan, maka akan diperoleh

kedua ruas dikalikan dengan

. Sehingga

)). (

( ( ) ( ))

. Karena

( )

Sebaliknya, misalkan diambil sebarang graf Cayley suatu automorfisma pada grup

)

berlaku ( )

( ) ( ), untuk suatu

)

berdasarkan Definisi 2.28, ( ( ) ( ))

Skripsi

, yaitu

)), maka berdasarkan Definisi 2.28,

suatu automorfisma pada grup dan

.

merupakan automorfisma pada setiap graf Cayley atas .

( )

(

,

. Selanjutnya, . Karena

Purwagani, Michelle


24

adalah grup abelian, maka berdasarkan Definisi 2.28, (

. Karena )

(

(

untuk suatu

, maka

)).

Karena grup abelian pasti merupakan grup abelian secara grafis, maka yang akan dibahas pada skripsi ini adalah grup non-abelian.

Skripsi


Purwagani, Michelle


BAB III METODE PENULISAN

Skripsi ini merupakan hasil studi literatur dari jurnal yang berjudul Graphically Abelian Groups, ditulis oleh Richard Goldstone dan Kathryn Weld pada tahun 2010. Penyusun menuliskan kembali dengan bahasa sendiri dilengkapi dengan contoh, serta melengkapi pembuktian dari beberapa teorema yang ada. Adapun metode penulisan yang digunakan adalah sebagai berikut : 1.

Mengkaji literatur tentang grup dan graf, beserta sifat-sifatnya.

2.

Mempelajari karakterisasi beberapa grup non-abelian, misalnya grup Quarternion.

3.

Mempelajari tentang jenis-jenis graf, khususnya graf Cayley.

4.

Mempelajari tentang automorfisma grup dan automorfisma graf.

5.

Mempelajari definisi dan sifat grup abelian secara grafis.

6.

Membuktikan teorema mengenai kriteria yang harus dipenuhi suatu grup agar merupakan grup abelian secara grafis, yaitu: 6.1

Grup

abelian secara grafis jika dan hanya jika semua himpunan

bagian Cayleynya adalah himpunan bagian normal. 6.2

Grup grup

6.3

Grup

abelian secara grafis jika dan hanya jika setiap elemen dari tetap atau terbalik oleh konjugasi. abelian secara grafis jika dan hanya jika

grup yang

terseimbangkan.

25 Skripsi


Purwagani, Michelle


26

7.

Membuktikan teorema mengenai sifat lebih lanjut dari suatu grup abelian secara grafis, yaitu: 7.1

Jika

7.2

Misalkan

grup abelian secara grafis, maka

grup Hamiltonian.

grup non-abelian yang abelian secara grafis dan misalkan merupakan pasangan elemen yang tidak komutatif, maka

subgrup 〈 8.

〉 adalah grup Quarternion.

Membuktikan bahwa grup Quarternion memenuhi kriteria sebagai grup non-abelian yang abelian secara grafis.

Skripsi


Purwagani, Michelle


BAB IV PEMBAHASAN

Suatu grup

adalah grup abelian secara grafis jika pemetaan

dengan ( )

merupakan suatu automorfisma pada semua graf Cayley atas

. Karena pada Teorema 2.33 telah dibuktikan bahwa semua grup abelian merupakan grup abelian secara grafis, maka grup yang dibahas pada pembahasan ini adalah grup non abelian. Salah satu contoh grup non-abelian yang abelian secara grafis adalah grup

. Berikut akan ditunjukkan bahwa

merupakan grup

non-abelian yang abelian secara grafis berdasarkan Definisi 2.32, yaitu jika pemetaan

dengan

untuk

( )

automorfisma pada semua graf Cayley atas grup

merupakan

. Jumlah graf Cayley atas grup

ada sebanyak himpunan bagian Cayleynya. Semua himpunan bagian Cayley dari

adalah *

*

+*

+*

+*

+*

+*

+*

+*

+*

*

Tabel 4.1 Automorfisma

dengan ( )

+ atas

(

+*

+.

 Untuk himpunan bagian Cayley

*

+

+*

+ dan *

+*

+*

+ untuk

dan

) Garis ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(

Garis ( ( ( ( (

)

) ) ) ) )

27 Skripsi


Purwagani, Michelle


28

Tabel 4.1 (lanjutan) Garis ( ) ( ,− ) (−1,1) (1,−1)

(

*

+))

dengan

2.31, atas

(

Gambar

(

*

+).

(

*

)

*

+)).

untuk

( )

(

*

Berdasarkan

)

Definisi

+)

*


dengan ( )

(

+ untuk

dan

) Garis ( ) (

( )

( ( ( ( (

Skripsi

+)), (

merupakan automorfisma


+ atas

*

+):

Gambar 4.1

*

(

(

(

(

)

(− , ) (−1,1) (1,−1)

Dari Tabel 4.1 terlihat bahwa untuk setiap (

Garis

(

) ) ) ) )


Garis ( ( ( ( ( (

)

) ) ) ) ) )

Purwagani, Michelle


29

Tabel 4.2 (lanjutan) Garis ( ) (−1, ) (1,− ) (− ,1) ( ,−1) (− , ) ( ,− ) (− ,− ) ( ,) (−1,− ) (1, )

(

(

+))

*

2.31, atas Gambar

(

dengan (

*

+).

(

*

) ( )

(

( (

(

*

+)), (

)

+)). Berdasarkan Definisi

*

untuk


+):

Gambar 4.2  Untuk himpunan bagian Cayley

Skripsi

)

(−1,− ) (1, ) ( ,1) (− ,−1) ( ,− ) (− , ) ( ,) (− ,− ) (−1, ) (1,− )


Garis

( *

*

+)

+


Purwagani, Michelle


30

Tabel 4.3 Automorfisma + atas

*

(

dengan ( )

untuk

) Garis ( ) ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (

(

+))

*

2.31, atas

(

)

( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (

dengan (

*

+).

(

*

untuk

( )

(

( (

(

*

)

) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

+)), (

)

+)). Berdasarkan Definisi merupakan automorfisma

+) isomorfis dengan

*

Garis

(

) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )


dan

*

+) pada

untuk

dan

(

Gambar 4.2.  Untuk himpunan bagian Cayley

*


dengan ( )

*

+ atas

(

+

) Garis ( ) (

Skripsi

)


(

Garis (

)

)

Purwagani, Michelle


31

Tabel 4.4 (lanjutan) Garis ( ) (,) (− , ) ( ,− ) (− ,−1) ( ,1) (−1, ) (1,− ) (− , ) ( ,− ) (− ,− ) (,) (− ,1) ( ,−1) (−1,− ) (1, )

(

(

+))

*

2.31, atas

(

dengan (

*

+).

)

( (

*

untuk

( ) (

(

*

)

(− ,− ) ( ,− ) (− , ) ( ,−1) (− ,1) (−1,− ) (1, ) ( ,− ) (− , ) (,) (− ,− ) ( ,1) (− ,−1) (−1, ) (1,− )


Garis

(

+)), (

*

)

+). Berdasarkan Definisi merupakan automorfisma

+) isomorfis dengan

(

+) pada

*

Gambar 4.2.  Untuk himpunan bagian Cayley Keterhubungan garis ( * Gambar

Skripsi

+

* (

+ *

*

*

+

) dan keterhubungan garis (

) untuk

+ dapat dilihat pada Tabel 4.1 dan Tabel 4.2. +):


Purwagani, Michelle


32

Gambar 4.3  Untuk himpunan bagian Cayley Keterhubungan garis ( *

*

+

+

( *

automorfisma (

dengan atas

Keterhubungan garis ( *

+

+

(

(

2.31,

Gambar

Skripsi

+)

+ ) untuk

dengan (

untuk

( )

*

+).

(

*

+)

*

+

) dan keterhubungan garis untuk

*

+

+ dapat dilihat pada Tabel 4.2 dan Tabel 4.3. Berdasarkan Definisi

*

dengan (

*

+) pada Gambar 4.3.

*

Keterhubungan garis (

atas

(

+ dapat dilihat pada Tabel 4.1 dan Tabel 4.4.

*


+

+).


merupakan automorfisma atas

*

untuk

( )

*

*

Berdasarkan Definisi 2.31,

isomorfis dengan

) untuk

+) pada Gambar 4.3.

*


*

+


*

isomorfis dengan

+)


Berdasarkan Definisi 2.31, merupakan

*

* (

( )

untuk


+). *

+):


Purwagani, Michelle


33

Gambar 4.4

(


*

Keterhubungan garis ( *

+

*

+

dengan


(

Keterhubungan garis ( +

*

+

*

(

Skripsi

*

+)

) untuk

untuk

( )

*

+).

(

*

+)

+) pada Gambar 4.4.

*

garis +

*

+

dengan


*

(



Keterhubungan

+).

) dan keterhubungan garis ( *

(

untuk

( )

*


isomorfis dengan

) untuk

+) pada Gambar 4.4.

*


*

+


*

(

+)



isomorfis dengan

*

( +

* dan

) *

+

*

+ keterhubungan

garis

untuk

+ dapat dilihat pada Tabel 4.1,


Purwagani, Michelle


34

Tabel 4.2, dan Tabel 4.3. Berdasarkan Definisi 2.31, untuk Gambar

merupakan automorfisma atas (

*

(


*

(

*

+).

+):

Gambar 4.5

Keterhubungan

dengan ( )

garis +

( *

+

+)

*

+

dan

) *

*

+

keterhubungan

garis


*

Tabel 4.2, dan Tabel 4.4. Berdasarkan Definisi 2.31, untuk (

dengan ( )

merupakan automorfisma atas +) isomorfis dengan

*

untuk

( (

*

+). +) pada

*

Gambar 4.5.  Untuk himpunan bagian Cayley Keterhubungan *

garis +

( *

+

* dan

) *

+

+

keterhubungan

*

garis


Tabel 4.3, dan Tabel 4.4. Berdasarkan Definisi 2.31, untuk (

*

dengan ( )

merupakan automorfisma atas +) isomorfis dengan

untuk

( (

*

*

+). +) pada

Gambar 4.5.

Skripsi


Purwagani, Michelle


35

 Untuk himpunan bagian Cayley Keterhubungan

garis

*

+

(

* dan

)

*

+

+

*

keterhubungan

+

garis


*

Tabel 4.3, dan Tabel 4.4. Berdasarkan Definisi 2.31, untuk Gambar

dengan ( )

merupakan automorfisma atas (

*

(

*

+).

+):

Gambar 4.6

(

*

 Untuk himpunan bagian Cayley garis

Keterhubungan

untuk

*

( +

*

+

dan

) *

+)

+

*

keterhubungan +

*

+

*

+

garis

untuk

dapat

dilihat

pada Tabel 4.1, Tabel 4.2, Tabel 4.3, dan Tabel 4.4. Berdasarkan Definisi 2.31, dengan ( Gambar

Skripsi

*

untuk

( )


+). (

*

+):


Purwagani, Michelle


36

Gambar 4.7 Karena

(

pemetaan

*

+)

dengan

untuk setiap

( )

merupakan automorfisma pada semua graf Cayley atas

, maka

merupakan

grup abelian secara grafis. Berikut akan diuraikan beberapa kriteria dan sifat suatu grup non-abelian yang merupakan grup abelian secara grafis. Teorema 4.1 Grup

abelian secara grafis jika dan hanya jika semua himpunan

bagian Cayleynya adalah himpunan bagian normal. Bukti: Misalkan

adalah grup abelian secara grafis. Diambil sebarang himpunan

bagian Cayley

dari grup

dan diambil sebarang

Definisi 2.28 bagian (i), maka (

(

(

. Karena

))

secara grafis, berdasarkan Definisi 2.32, pemetaan

adalah grup abelian dengan ( )

merupakan automorfisma pada semua graf Cayley atas grup (

(

)) dengan (

maka ( ( ) ( )) (ii), maka (

Skripsi

(

) )

(

(

, untuk (

(

)

(

(

). Berdasarkan

. Misalkan diambil

)) Berdasarkan Definisi 2.32,

). Selanjutnya, berdasarkan Definisi 2.28 bagian . Sehingga, ( ( ) ( ))

( ( ) (

))

)).


Purwagani, Michelle


37

Berdasarkan Teorema 2.29, karena ( (

) (

.

)

untuk setiap

Selanjutnya, (

(

) (

) )

)

(

)), maka

(

(

,

)

. Akibatnya, berdasarkan Definisi 2.15,

merupakan

himpunan bagian normal. Sebaliknya, misalkan diambil sebarang grup . Misalkan semua himpunan bagian Cayley

dari

dan

adalah himpunan bagian normal, maka . Diambil sebarang

(i), maka

(

(

Karena (

(

menyebabkan

)),

(

( ((

Selanjutnya,

) ) ( ((

pemetaan ((

) )

) ))

(

) dan

)

(

) ) (

untuk setiap (

))dan ((

(

)

pemetaan

dengan

(

( )

)), berdasarkan Definisi 2.31, (

(

)

(

( )

,

)

.

) ( )

Berdasarkan Teorema 2.29, maka ( ((

Cayley

)

). Untuk

(

dengan (

)).

dengan

merupakan automorfisma pada semua

(

)

)) Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa pemetaan

)

(

(

(

)

, berdasarkan Teorema 2.29, diperoleh ((

( ) (

). Berdasarkan Definisi 2.28 bagian

(

. Misalkan diambil (

))

untuk setiap

)) )

menyebabkan ( ((

)). Karena

(

( )

( ) ) (

(

)), ))

merupakan automorfisma pada graf

). Akibatnya, berdasarkan Definisi 2.32, grup

merupakan grup

abelian secara grafis. Pada pembahasan sebelumnya telah dijelaskan salah satu contoh grup nonabelian yang abelian secara grafis adalah grup Quarternion karena memenuhi

Skripsi


Purwagani, Michelle


38

Definisi 2.32. Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa grup Quarternion memenuhi kriteria lain sebagai suatu grup abelian secara grafis melalui Teorema 4.1, yaitu semua himpunan bagian Cayley dari geup Quarternion merupakan himpunan bagian normal. Perhatikan grup Quarternion Semua himpunan bagian Cayley dari +*

+*

+*

+*

*

adalah *

+*

+*

+*

+. +*

+*

+*

+* +*

+ dan *

+*

+. Berikut akan ditunjukkan bahwa semua himpunan bagian Cayley dari adalah himpunan bagian normal. Berdasarkan Definisi 2.15, himpunan bagian Cayley

dari

merupakan himpunan bagian normal dari

memenuhi

untuk setiap

 Untuk himpunan bagian Cayley Tabel 4.5 Hasil operasi

untuk

*

jika untuk setiap

. + *

+ dan

Dari kolom terakhir pada Tabel 4.5 dapat dilihat bahwa untuk setiap , maka

. Sehingga berdasarkan Definisi 2.15,

merupakan himpunan bagian Cayley normal dari

Skripsi

dan

.


Purwagani, Michelle


39

 Untuk himpunan bagian Cayley Tabel 4.6 Hasil operasi

*

untuk

+ + dan

*

Dari kolom terakhir pada Tabel 4.6 dapat dilihat bahwa untuk setiap . Sehingga berdasarkan Definisi 2.15,

, maka

himpunan bagian Cayley normal dari  Untuk himpunan bagian Cayley Tabel 4.7 Hasil operasi

Skripsi

untuk

dan merupakan

. *

+ *

+ dan


Purwagani, Michelle


40

Tabel 4.7 (lanjutan)


. Sehingga berdasarkan Definisi 2.15,

himpunan bagian Cayley normal dari  Untuk himpunan bagian Cayley Tabel 4.8 Hasil operasi

untuk

Skripsi

merupakan

. *

+ *

+ dan


dan

dan

.


Purwagani, Michelle


41

Sehingga berdasarkan Definisi 2.15, normal dari

merupakan himpunan bagian Cayley

.

 Untuk

*

, berdasarkan Teorema 2.16,

+

himpunan bagian normal karena

dan

merupakan


bagian normal.  Untuk

*


+


dan

merupakan



*


+


dan

merupakan



*

,

+

berdasarkan

merupakan himpunan bagian normal karena

dan

Teorema

2.16,

masing-masing

merupakan himpunan bagian normal.  Untuk

*

,

+

berdasarkan Teorema


dan

2.16,

masing-masing


*


+


dan

masing-masing


*

+

,

berdasarkan


dan

Teorema

2.16,

masing-masing

merupakan himpunan bagian normal.

Skripsi


Purwagani, Michelle


42

 Untuk

*


+


dan

masing-masing merupakan

himpunan bagian normal.  Untuk

*

,

+

berdasarkan


Teorema

dan

2.16,

masing-masing


*


+


dan

masing-masing


*


+


dan

masing-masing

merupakan himpunan bagian normal. Terlihat bahwa semua himpunan bagian Cayley dari bagian normal, sehingga Dari Teorema 4.1, jika

merupakan himpunan

memenuhi Teorema 4.1. merupakan grup non-abelian yang abelian secara

grafis, maka semua himpunan bagian Cayley dari

merupakan himpunan bagian

normal. Selanjutnya, berdasarkan Definisi 2.17,

merupakan grup Hamiltonian

jika setiap subgrup dari adalah subgrup normal. Sehingga, akibat dari Teorema 4.1 akan dijelaskan pada teorema berikut. Akibat 4.2 Jika Bukti: Misalkan grup . Karena

Skripsi

grup abelian secara grafis, maka

grup Hamiltonian.

grup abelian secara grafis. Diambil sebarang subgrup subgrup, berdasarkan Definisi 2.27, maka terdapat


dari

himpunan

Purwagani, Michelle


43

bagian Cayley dari

sehingga

* + dengan

elemen identitas pada

Berdasarkan Teorema 4.1, maka semua himpunan bagian Cayley himpunan bagian normal dari , maka untuk setiap

. Karena

dan

, berlaku

dan

Definisi 2.14 bagian (iii),

. Demikian

, berlaku

* +

. Karena untuk setiap

merupakan

himpunan bagian Cayley normal dari

dan

juga, untuk setiap

* +

, berlaku

, berdasarkan

merupakan subgrup normal dari

berdasarkan Definisi 2.17,

.

. Akibatnya,


Contoh grup non-abelian yang abelian secara grafis adalah grup Quarternion. Pada Bab II telah dijelaskan bahwa grup Quarternion merupakan grup Hamiltonian. Sehingga, kebalikan Akibat 4.2 ini berlaku pada grup Quarternion. Namun, kebalikan Akibat 4.2 tidak selalu berlaku untuk semua grup Hamiltonian. Contoh grup Hamiltonian yang tidak abelian secara grafis adalah .

Berdasarkan

*(

Teorema *

)

sebagai (

) (

(

)

*

Skripsi

) +

(

(Teorema

Baer),

+ dengan operasi biner

+

*

+

+

yang didefinisikan

) merupakan grup Hamiltonian,

(

dengan elemen identitas ( *

2.18

*

). Misalkan diambil himpunan bagian Cayley )

(

)

)+ dan

(

(

)

, maka:

(

) (

) (

)

(

) (

)

(

)

(

) (

) (

)

(

) (

)

(

)

(

) (

(

) (

)

(

) (

)


)

Purwagani, Michelle


44

(

) (

) (

Karena untuk setiap berdasarkan

)

(

dan

Definisi

) ( *

2.15,

*(

)

+

berlaku

)(

)(


*

)+ dan (

Sehingga,

( ) ( *(

normal dari

)

*

*

) (

, )+

. (

*

)

, maka :

+ )

)

)(

+

Akan tetapi, jika diambil himpunan bagian Cayley (

(

(

) (

)

(

)

)+ bukan merupakan himpunan bagian Cayley

)(

. Berdasarkan Teorema 4.1, grup

+

*

+

tidak abelian secara grafis. Selanjutnya, berdasarkan Definisi 2.19, misalkan tetap oleh konjugasi terhadap oleh konjugasi terhadap

jika

jika

grup dan

untuk setiap untuk setiap

, maka dan

terbalik

. Melalui Teorema

4.1 dan Definisi 2.19 tersebut dapat ditemukan Teorema 4.3 sebagai berikut. Teorema 4.3 Grup grup

abelian secara grafis jika dan hanya jika setiap elemen dari

tetap atau terbalik oleh konjugasi.

Bukti: Misalkan diambil sebarang grup himpunan bagian Cayley dari

abelian secara grafis. Misalkan

. Berdasarkan Teorema 4.1, maka

himpunan bagian normal. Sehingga, untuk setiap . Karena

dan

merupakan

, maka

, berdasarkan Definisi 2.27, maka kondisi berikut terpenuhi,

yaitu: (i)

Skripsi

atau


Purwagani, Michelle


45

(ii) Jika memenuhi kondisi (i), yaitu: kanan oleh elemen

, akan diperoleh

, maka dengan perkalian dari sisi . Berdasarkan Definisi 2.19 bagian (i),

tetap oleh konjugasi terhadap

. Jika memenuhi kondisi (ii), yaitu:

, maka dengan perkalian dari sisi kanan oleh

, akan diperoleh

. Berdasarkan Definisi 2.19 bagian (ii), elemen konjugasi terhadap

. Akibatnya, setiap elemen dari grup

terbalik oleh

tetap atau terbalik

oleh konjugasi. Sebaliknya, misalkan setiap elemen dari grup Misalkan diambil sebarang dan

. Jika

tetap atau terbalik dari konjugasi.

himpunan bagian Cayley dari

tetap oleh konjugasi terhadap , maka berdasarkan

Definisi 2.19 bagian (i), diperoleh , diperoleh

. Jika

. Dengan perkalian dari sisi kanan oleh terbalik oleh konjugasi terhadap , maka

berdasarkan Definisi 2.19 bagian (ii), diperoleh dari sisi kanan oleh maka

. Misalkan diambil

, diperoleh

. Dengan perkalian . Berdasarkan Definisi 2.15,


berdasarkan Teorema 4.1,

. Akibatnya,

merupakan grup abelian secara grafis.

Pada pembahasan sebelumnya telah dijelaskan bahwa salah satu contoh grup non-abelian yang abelian secara grafis adalah grup Quarternion. Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa grup Quarternion memenuhi kriteria pada Teorema 4.3, yaitu setiap elemen dari grup Quarternion tetap atau terbalik oleh konjugasi, seperti ditunjukkan pada tabel berikut.

Skripsi


Purwagani, Michelle


46

Tabel 4.9 Identifikasi kriteria tetap atau terbalik oleh konjugasi pada elemen grup Keterangan dan dan

Skripsi


Purwagani, Michelle


47

Dari kolom terakhir pada Tabel 4.9 terlihat bahwa untuk setiap

,

dan

tetap atau terbalik oleh konjugasi. Dari Teorema 4.3 tersebut, dapat dikembangkan kriteria lain dari grup abelian secara grafis seperti yang disajikan dalam Teorema 4.4 berikut. Teorema 4.4 Grup

abelian secara grafis jika dan hanya jika

grup yang

terseimbangkan. Bukti: Misalkan grup . Karena

abelian secara grafis. Misalkan diambil sebarang

grup, berdasarkan Definisi 2.2,

operasi binernya, sehingga terdapat . Karena

bersifat tertutup terhadap

sedemikian sehingga

, untuk

grup abelian secara grafis, berdasarkan Teorema 4.3, setiap

elemen dari grup

tetap atau terbalik oleh konjugasi, sehingga

atau

. Untuk

, jika dikalikan dari sisi kiri dengan

Karena

, maka

untuk

. Akibatnya,

dan

, jika dikalikan dari kiri dengan

Karena

, maka

. Akibatnya,

, diperoleh

.

komutatif. Selanjutnya, , diperoleh

.

. Berdasarkan Definisi 2.20,

merupakan grup yang terseimbangkan. Sebaliknya, misalkan grup

yang terseimbangkan. Akan ditunjukkan bahwa

grup abelian secara grafis dengan menggunakan Teorema 4.3. Misalkan diambil . Karena

grup, berdasarkan Definisi 2.2,

operasi binernya. Misalkan maka untuk setiap Untuk kondisi

Skripsi

untuk suatu , kondisi

dan

dan

komutatif, maka

bersifat tertutup terhadap . Berdasarkan Definisi 2.20,

komutatif atau

terpenuhi.

. Berdasarkan Definisi 2.19


Purwagani, Michelle


48

bagian (i), maka karena

tetap oleh konjugasi terhadap

, maka

(

) . Karena

. Untuk kondisi dan (

, maka

)

. Dengan menggunakan Teorema 2.6 bagian (i), diperoleh Jika

dikalikan dari kanan dengan

Berdasarkan Definisi 2.19 bagian (ii), elemen . Karena setiap elemen dari grup berdasarkan Teorema 4.3,

,

, maka diperoleh

. .

terbalik oleh konjugasi terhadap

tetap atau terbalik oleh konjugasi,

merupakan grup abelian secara grafis.

Karena grup Quarternion merupakan grup non-abelian yang abelian secara grafis, berdasarkan Teorema 4.4, grup Quarternion merupakan grup yang terseimbangkan. Tabel 4.10 Identifikasi kriteria grup yang terseimbangkan pada elemen grup

Keterangan dan dan

Skripsi


Purwagani, Michelle


49

Tabel 4.10 (lanjutan) Keterangan

Dari kolom terakhir pada Tabel 4.10 tersebut terlihat bahwa untuk setiap , memenuhi

atau

, sehingga

merupakan grup yang

terseimbangkan. Dari pembahasan sebelumnya, telah diketahui bahwa grup Quarternion merupakan grup non-abelian yang abelian secara grafis, semua himpunan bagian Cayley dari grup Quarternion merupakan himpunan bagian normal, setiap elemen dari grup Quarternion tetap atau terbalik oleh konjugasi, dan grup Quarternion merupakan grup yang terseimbangkan. Selanjutnya, untuk mengetahui struktur dari grup non-abelian yang abelian secara grafis dapat digunakan sifat isomorfis antara subgrup yang dibangun oleh dua elemen tidak komutatif dari grup non-

Skripsi


Purwagani, Michelle


50

abelian tersebut dengan grup Quarternion, seperti yang disajikan dalam Teorema 4.5 berikut. Teorema 4.5 Misalkan misalkan

grup non-abelian yang abelian secara grafis dan

merupakan pasangan elemen yang tidak komutatif, maka

subgrup 〈

〉 adalah grup Quarternion.

Bukti: Misalkan

grup non-abelian yang abelian secara grafis. Misalkan

dengan

. Berdasarkan Teorema 2.8, karena

. Karena



terbalik oleh konjugasi terhadap

Berdasarkan Definisi 2.19 bagian (ii) , diperoleh Dengan perkalian dari sisi kanan oleh Selanjutnya, karena Teorema 4.4,

((

, diperoleh

.

) )

.

merupakan grup yang terseimbangkan. Karena

maka 2.20, maka

) . Karena

( )

,

, berdasarkan Definisi

dan

) , maka

(

dikalikan dari sisi kiri dengan

atau

,

. Berdasarkan Teorema 2.8, karena

. Sehingga, untuk setiap

(

.

grup non-abelian yang abelian secara grafis, berdasarkan

berdasarkan Definisi 2.20,

Jika

, maka

(

) .

, akan diperoleh

. Kemudian kedua ruas dikalikan dari sisi kanan dengan

, sehingga diperoleh

Karena

, akibatnya

. Selanjutnya, ditunjukkan bahwa berorder dua, maka

Skripsi

dan

tidak mungkin berorder dua. Andaikan

. Pada penjelasan sebelumnya telah diketahui bahwa


Purwagani, Michelle


51

. Kemudian kedua ruas dikalikan dari sisi kanan dengan

,

sehingga diperoleh:

Akibatnya, kontradiksi dengan demikian juga dengan

. Sehingga,

. Karena

, serta dan

berorder dua, sehingga berdasarkan Definisi 2.5, berorder 4, serta 2.22, maka 〈

dan

tidak mungkin berorder dua, dan

berorder 4. Karena

memenuhi kriteria grup Quarternion pada Definisi

, maka 〈 〉

+, sehingga 〈 〉

*

berorder 4. Karena 〈 〉 adalah subgrup sejati dari 〈 2.13, order dari 〈 〉 membagi order dari 〈

〉, berdasarkan Teorema

〉. Sehingga, setidaknya 〈

berorder 8. Akan ditunjukkan bahwa 〈

〉 tepat berorder 8.

Diketahui:

dan

〈 〉

*

+

penjelasan sebelumnya telah diketahui 〉

dan

〉 merupakan subgrup dari grup Quarternion.

Selanjutnya, karena

maka 〈

tidak mungkin

〈 〉

*

,

+. , dan

〉

Pada ,

+, dengan:

*

1. 2. Karena Sehingga,

, maka

dan

.

.

3.

Skripsi


Purwagani, Michelle


52

Karena

dan

, maka

dan

. Sehingga,

. 4. Karena

, maka

dan

. Sehingga,

. 5. Karena

, maka . Sehingga,

dan .

6. Karena

, maka

dan

. Sehingga,

. 7. Karena


berdasarkan Teorema 4.3, elemen

terbalik oleh konjugasi terhadap , sehingga

berdasarkan Definisi 2.19 bagian (ii), dikalikan dengan

,

. Kemudian


.

Selanjutnya, dengan menggunakan Teorema 2.6, diperoleh , maka

. Karena

. Akibatnya,

.

8. Karena


berdasarkan Teorema 4.3, elemen

terbalik oleh konjugasi terhadap , sehingga

berdasarkan Definisi 2.19 bagian (ii),

Skripsi

,


. Kemudian

Purwagani, Michelle


53

dikalikan dengan


.

Selanjutnya, dengan menggunakan Teorema 2.6, diperoleh , maka

.

maka

. Karena .

Akibatnya

. Selanjutnya, karena berbeda pada 〈

, maka

dan

merupakan dua elemen yang

〉

Dari uraian di atas, jelas bahwa 〈

〉 berorder 8. Karena 〈

〉 merupakan

〉 berorder 8, maka 〈

〉 merupakan

subrup tidak sejati dari grup Quarternion. Dengan kata lain, 〈

〉 merupakan

subgrup dari grup Quarternion dan 〈

grup Quarternion. Dari Teorema 4.5, jika

sebarang grup non-abelian, misalkan

merupakan pasangan elemen yang tidak komutatif, dan subgrup 〈 isomorfis dengan grup Quarternion, maka

Skripsi

〉 tidak

bukan grup abelian secara grafis.


Purwagani, Michelle


BAB V PENUTUP

5.1

Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan sebelumnya, diperoleh kesimpulan sebagai berikut: 1. Karakteristik dari grup

yang merupakan grup abelian secara grafis adalah

memenuhi salah satu dari kriteria berikut: a. Semua himpunan bagian Cayley dari grup

merupakan himpunan bagian

normal. b. Setiap elemen dari grup c. Grup

tetap atau terbalik oleh konjugasi.

merupakan grup yang terseimbangkan.

2. Jika diketahui bahwa

adalah grup non-abelian yang abelian secara grafis,

maka: a.


b. Untuk

yang merupakan pasangan elemen yang tidak komutatif,

berlaku bahwa subgrup 〈 5.2

〉 merupakan grup Quarternion.

Saran Pada skripsi ini dibahas grup Quarternion sebagai contoh dari grup non-abelian

yang abelian secara grafis. Pada penelitian selanjutnya, dapat dibahas karakter dari grup non-abelian lainnya, misalnya grup simetrik

, untuk diselidiki apakah

grup tersebut merupakan grup abelian secara grafis.

54 Skripsi


Purwagani, Michelle


DAFTAR PUSTAKA Alspach, B., 2004, Cayley Graphs in Handbook of Graph Theory edited by Jonathan L. Gross and Jay Yellen, CRC Press LLC, Florida, pages 505515 Dummit, David S., and Foote, Richard M., 2004, Abstract Algebra Third Edition, John Wiley and Sons, Inc., New Jersey Fraleigh, John B., 2003, A First Course in Abstract Algebra 7th Edition, AddisonWesley Publishing Company, New York Godsil, C., and Gordon, R., 2001, Algebraic Graph Theory, Springer-Verlag New York Inc., New York Goldstone, R., McCabe, J., and Weld, K., 2010, Ambiguous Groups and Cayley Graphs – A Problem in Distinguishing Opposites, Mathematics Magazine Vol.83, No.5, December 2010 Goldstone, R., and Weld, K., 2010, Graphically abelian groups, Discrete Mathematics. 310 (2010) 2806-2810 McCabe, J., and Weld, K., 2009, On an inverse Cayley problem, Australassian Journal of Combinatorics Volume 45 (2009), pages 263-276

55 Skripsi


Purwagani, Michelle

GRUP NON-ABELIAN YANG ABELIAN SECARA GRAFIS SKRIPSI

Recommend Documents