Dinamika Magnetofluida Abelian dan non-Abelian dengan Lagrangian Gauge
Tugas Akhir Diajukan sebagai salah satu syarat untuk meraih gelar Sarjana Sains
Andrias Fajarudin 0304027021
Departemen Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Indonesia Depok 2008
Lembar Persetujuan
Judul Skripsi
:
Dinamika Magnetofluida dengan Lagrangian Gauge
Nama
:
Andrias Fajarudin
NPM
:
0304027021
Skripsi ini telah diperiksa dan disetujui Depok, Februari 2008 Mengesahkan
Pembimbing I
Pembimbing II
Dr. L. T. Handoko
Dr. Terry Mart
Penguji I
Penguji II
Dr. Imam Fachruddin
Dr. Agus Salam Mengetahui,
Ketua Program Peminatan Fisika Nuklir dan Partikel
Dr. Terry Mart
Untuk keluargaku : Abah, Mamah, Lia ’Semua akan menjadi lebih baik bila kita tetap bersama....’
i
Kata Pengantar Teori Gauge pada fisika partikel merupakan formalisme matematik yang digunakan untuk menjelaskan unifikasi antar medan. Teori yang telah ada adalah model standar yang mengunifikasi elektromagnetisme, gaya lemah, dan gaya kuat. Untuk menjelaskan unifikasi ketiga gaya fundamental ini digunakan simetri grup SU(3) ⊗ SU(2) ⊗ U(1). Ide unifikasi medan-medan melalui teori gauge ini memotivasi saya untuk menyusun model magnetofluida standar seperti pada magnetohidrodinamika. Hasil eksperimen pada BNL ( Brookhaven National Laboratory ) dengan menggunakan RHIC ( Relativistic Heavy Ion Collider ) menunjukkan bahwa gluon dan quark tidak membentuk materi hadron pada temperatur yang sangat tinggi, tetapi membentuk fase baru yaitu plasma quark-gluon[2, 5]. Hasil yang diamati menunjukkan bahwa plasma Quark-gluon memiliki kerapatan tinggi, tetapi mengalir dengan nilai viskositas yang sangat kecil seperti fluida ideal, sehingga memenuhi hukum dasar Hidrodinamika. Untuk itulah model magnetofluida yang saya susun akan diperluas untuk kasus medan fluida non-Abelian sehingga relevan untuk sistem quark-gluon plasma. Terdapat model lain yang menjelaskan sistem QGP, yaitu dengan model hybridmagnetofluid unification[2]. Model yang saya buat ini sekaligus mengkoreksi model yang telah ada ini dalam hal suku kinetik pada lagrangian. Penulis secara khusus mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu penyelesaian tugas akhir ini baik secara langsung maupun tidak langsung, antara lain: 1. Allah.SWT sang pemilik semesta atas segala rahmat, rejeki, dan karuniaNYA. 2. Abah, mamah, dan lia yang menjadi sumber semangat saya untuk terus ii
berjuang. Terimakasih untuk Abah dan mamah atas pelajaran hidupnya selama ini, saya yakin suatu saat nanti keadaan kita akan lebih baik seperti dulu lagi... 3. Special thanks, Terimakasih sebesar-besarnya kepada Dewi Kusumaningrum, saya tidak akan sampai di tahap ini tanpa semua bantuan, semangat, motivasi, dan perhatian dari kamu. 4. Herman Saheruddin selaku kakak, thanks telah menularkan kecanduan fisika pada saya. 5. Dr. L.T. Handoko selaku pembimbing I yang telah membimbing penulis mulai dari awal diskusi hingga penyelesaian tugas akhir ini serta atas ide-ide yang brilian dan motivasi hidup yang membuat saya menjadi lebih optimis dan yakin untuk tetap dalam bidang fisika partikel. 6. Dr. Terry Mart selaku pembimbing II dan ketua peminatan Fisika Nuklir dan Partikel atas bimbingan dan dukungan yang diberikan baik itu selama kuliah maupun pengerjaan tugas akhir ini. 7. Dr. Imam Fachrudin, Dr. Agus Salam dan Dr. Budhy Kurniawan selaku penguji I,II dan ketua sidang. 8. Rekan-rekan di Lab Teori : Sandi ( Mr. Jomblo ) thanks atas kebaikannya selama ini, Andhika Oxalion, Ryky, Beriya, Popo, Hans, Pak Ayung ( thanks atas cerita pengalaman hidupnya), Pak Sulaiman . 9. Teman-teman fisika angkatan 2004 dan teman-teman di salemba group. Saya menyadari bahwa karya tulis ini masih jauh dari sempurna karena keterbatasan pengetahuan saya, maka dari itu saya mengharapkan kritik dan saran dari para pembaca demi perkembangan riset di Fisika UI.
Depok, Februari 2008
Andrias Fajarudin iii
Abstrak Dibangun Sebuah lagrangian untuk menyatukan interaksi elektromagnetik dan dinamika fluida. Lagrangian ini memiliki simetri terhadap transformasi gauge lokal U(1)F D ⊗ U(1)G dan G(n)F D ⊗ G(n)G . Dari lagrangian ini kita akan menurunkan seluruh persamaan gerak untuk seluruh medan dan rapat energi sistem magnetofluida yang akan diaplikasikan untuk plasma quark-gluon. Kata kunci: Transformasi gauge lokal, Plasma quark-gluon viii+32 hlm.; lamp. Daftar Acuan: 10(1945-2008)
Abstract A lagrangian for unifies elektromagnetic interaction and fluid dynamics is developed. The lagrangian have a symmetry under local gauge transformation U(1)F D ⊗ U(1)EM and G(n)F D ⊗ G(n)G . From this lagrangian we will derive all the equation of motion of field and the energy density of magnetofluid system which will be applied for quark-gluon plasma. Keywords: Local gauge transformation, Quark-gluon plasma viii+32 pp.; appendices. References: 13(1945-2008)
Daftar Isi Kata Pengantar
ii
Abstrak
iv
Daftar Isi
v
Daftar Gambar
vii
1 Pendahuluan
1
1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2 Perumusan Masalah
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3 Metode Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.4 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2 Magnetohidrodinamika
4
2.1 Persamaan Gerak Plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2 Quark dan Plasma Quark-Gluon
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Unifikasi Magnetofluida dengan prinsip Gauge 3.1 Unifikasi Magnetofluida dengan TeoriGauge Abelian
9 . . . . . . .
9
3.2 Persamaan Maxwell Magnetofluida . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.3 Persamaan Gerak Magnetofluida untuk limit non-Relativistik . . .
16
3.4 Model Magnetofluida dengan medan gauge non-Abelian . . . . . .
17
3.5 Persamaan Gerak Magnetofluida non-Abelian untuk limit nonRelatisvistik
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.6 Aplikasi Unifikasi Magnetofluida non-Abelian pada Plasma QuarkGluon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
22
4 Perhitungan Energi Magnetofluida berbasis Teori Gauge
25
4.1 Energi Plasma non-Abelian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
4.2 Energi density QGP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
5 Hasil dan Pembahasan
30
6 Kesimpulan
34
A Mekanika Kuantum Relativistik
35
A.1 Aljabar Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
A.2 Natural Units . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
B Analisis Tensor
39
B.1 Transformasi Koordinat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
B.2 Vektor-Vektor Kontravarian dan Kovarian . . . . . . . . . . . . .
39
B.3 Tensor-Tensor Kontravarian, Kovarian dan Tensor campuran . . .
40
B.4 Tensor Simetrik dan Asimetrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
Daftar Acuan
42
vi
Daftar Gambar 2.1 Quark dan Gluon pada Hadron. Quark terikat bersama dengan quark lainnya (confined) dengan kondisi colour-netral membentuk hadron
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.2 Quark dan Gluon pada plasma Quark-Gluon. Quark tidak berikatan membentuk hadron tetapi bergerak bebas pada fireball (deconfined). Fireball terbentuk pada temperatur diatas 100 MeV, atau sekitar 1013 K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
5.1 H= rapat energi QGP, Hg= rapat energi gluon, ρq = 1, Jq = 1, αs = 1, φ = 0.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vii
33
Bab 1 Pendahuluan 1.1
Latar Belakang
Hasil eksperimen tumbukan relativistik antara ion-ion berat pada energi tinggi dengan RHIC pada BNL menunjukkan bahwa pada temperatur yang sangat tinggi quark tidak lagi berikatan membentuk materi hadron tetapi membentuk fase baru dari materi yaitu plasma. Plasma yang terbentuk berupa fireball yang terdiri dari gluon dan quark yang memiliki muatan non-Abelian yaitu warna (colour ). Hal ini lah yang memotivasi saya untuk menyusun teori magnetofluida non-Abelian (diawali dengan teori magnetofluida dengan muatan abelian) yang ekuivalen dengan model standar yaitu Magnetohydrodynamics . Terdapat model yang mendeskripsikan fluida relativistik bertemperatur tinggi dengan menghibridisasi medan elektromagnet dan medan fluida. Unifikasi kedua medan dinyatakan dengan effective field strength tensor, Mµν ≡ Fµν + m/qSµν dimana Fµν dan Sµν merupakan tensor kuat medan dari medan elektromagnetik dan medan fluida. Metode ini telah dikembangkan untuk kasus non-Abelian. Pada skripsi ini saya bertujuan membuat model yang sama tapi dengan metode yang berbeda yaitu dengan pendekatan Lagrangian yang memiliki simetri gauge. Metode ini mengkoreksi model unifikasi yang telah ada[2, 5] pada aspek: • Dari sudut pandang teori medan, fluida dan medan gauge lainnya merupakan medan yang berbeda, sehingga harus memiliki suku kinetik yang berbeda pada lagrangian. Sedangkan pada model hybridmagnetofluid unification, akan terdapat suku kinetik pada lagrangian yaitu Mµν M µν yang di dalamnya mengandung dua medan berbeda. 1
1.2
Perumusan Masalah
Terdapat suatu model yang menjelaskan sistem magnetofluida, model ini menggabungkan 2 medan yang berbeda melalui effective strength tensor. Kelemahan model ini adalah menggabungkan dua medan yang berbeda ( medan fluida dan medan gauge ) dalam suku kinetik yang sama pada lagrangian. Padahal pada segi pandang teori medan hal ini tidak boleh terjadi. Untuk itu dibuat model lain yang menggunakan pendekatan lagrangian dengan menyertakan simetri gauge. Simetri gauge dikerjakan pada setiap medan fluida dan medan gauge lain yang berinteraksi dengan medan fluida. Analog dengan teori unifikasi pada fisika partikel maka model unifikasi magnetofluida disusun berdasarkan : • Fluida Abelian berinteraksi dengan medan elektromagnetik dengan simetri U(1)F ⊗ U(1)G . • Fluida non-Abelian berinteraksi kuat dengan medan gauge non-Abelian dengan simetri G(n)F ⊗ G(n)G • Fluida non-Abelian berinteraksi dengan medan elektromagnetik dengan simetri G(n)F ⊗ U(1)G Dengan simetri gauge ini maka akan didapatkan lagrangian total yang sukusukunya menjelaskan interaksi antara materi, medan fluida dan medan gauge yang lain. Dari lagrangian ini akan diturunkan persamaan gerak untuk materi dan medan fluida yang berinteraksi dengan medan gauge. Pada limit nonrelativistik maka akan didapatkan persamaan gerak klasik untuk medan fluida. Selanjutnya akan dikaji konsekuensi-konsekuensi fisis dari model ini.
1.3
Metode Penelitian
Penelitian ini bersifat teoritik. Teori yang digunakan ialah teori unifikasi dengan pendekatan lagrangian. Dengan mengerjakan simetri gauge pada masing-masing medan maka akan didapatkan lagrangian total dengan suku-suku interaksi antara medan fluida dan medan gauge. Dengan lagrangian ini akan disusun persamaan 2
gerak medan fluida relativistik dan untuk limit non-relativistik . Setelah itu dapat dihitung besaran-besaran fisis yang merupakan konsekuensi dari model ini.
1.4
Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk menyusun teori magnetofluida sekaligus mengkoreksi teori yang sudah ada. Dengan model ini maka akan diturunkan persamaan gerak medan fluida relativistik dan non-relativistik. Besaran fisis seperti energi, entropi, fungsi partisi, tekanan, dan besaran-besaran lainnya juga akan dikaji.
3
Bab 2 Magnetohidrodinamika Pada bab ini akan dibahas secara umum persamaan gerak dari plasma yang dinyatakan oleh persamaan momen dan secara singkat tentang quark dan plasma quark-gluon.
2.1
Persamaan Gerak Plasma
Plasma didefinisikan sebagai gas yang terdiri dari partikel-partikel bermuatan listrik yang bergerak bebas yaitu elektron dan ion. Plasma terbentuk pada temperatur tinggi ketika elektron-elektron terpisah dari atom netral. Plasma merupakan fase keempat dari materi karena memiliki sifat yang berbeda dengan zat padat, dan fluida ( zat cair dan gas ). Magnetohidrodinamika merupakan cabang ilmu fisika yang mempelajari interaksi antara plasma dengan medan elektromagnetik. Persamaan magnetohidrodinamika dinyatakan dengan persamaan momen yang diturunkan dari persamaan Boltzmann-Vlasov [10]. Untuk plasma yang terdiri dari satu spesies persamaan momennya didefinisikan : ∂n + ∇ · (~un) = 0 ∂t dan ρ
3 X ∂~u ∂pij ~ ~ ~ + (~u · ∇)~u = ρq E + j × B − ∂t ∂xj j=1
(2.1)
(2.2)
dimana n, ρ, dan ρq adalah rapat partikel, rapat massa, dan rapat muatan. ~u ~ dan B ~ adalah adalah kecepatan fluida rata-rata dan ~j adalah rapat arus. E medan elektromagnetik total yaitu dari sumber luar dan dari sumber ρq dan 4
~j. Suku terakhir pada persamaan kedua adalah tensor gradien tekanan, dimana untuk kasus fluida homogen dan isotropik [9] berbentuk : −
3 X ∂pij j=1
∂xj
=
−∂p η ∂∇ · ~u + + η∇2 ui ∂xi 3 ∂i
(2.3)
dimana p adalah tekanan skalar, ~u adalah kecepatan medan dan η adalah koefisien viskositas. Dengan menganggap fluida inkompresibel maka ∇ · ~u = 0 sehingga persamaan gerak fluidanya menjadi : ∂~u 1 ~ ~ ~ ρq E + j × B − ∇p − η∇2~u + (~u · ∇)~u = ∂t ρ
(2.4)
Untuk plasma yang terdiri dari dua spesies, misalkan ion dan elektron maka persamaan momen dinyatakan dengan : ∂ne + ∇ · (ne u~e ) = 0 ∂t
(2.5)
∂nI + ∇ · (nI u~I ) = 0 ∂t
(2.6)
yang merupakan persamaan kekekalan jumlah partikel, dimana elektron bermuatan -q bermassa m dan ion bermuatan q bermassa M. Dengan mengabaikan koefisien viskositas maka persamaan gerak masing-masing fluida dapat dituliskan :
∂ u~e 1 ~ − qne u~e × B ~ − ∇pe −qne E (2.7) + (u~e · ∇)u~e = ∂t mne 1 ∂ u~I ~ + qnI u~I × B ~ − ∇pI qnI E (2.8) + (u~I · ∇)u~I = ∂t MnI ~ dan B ~ ditentukan dari persamaan maxwell dengan medan elektromagnetik E rapat muatan ρq dan rapat arus ~j diyatakan dengan : ρq = q(nI − ne ) ~j = q(nI u~I − ne u~e )
2.2
(2.9) (2.10)
Quark dan Plasma Quark-Gluon
Quark Quark merupakan partikel fundamental penyusun materi. Di alam, quark tidak 5
pernah teramati sebagai partikel bebas tetapi selalu terikat bersama dengan quark yang lain atau dengan antiquark melalui suatu potensial pengikat membentuk suatu materi yang disebut Hadron. Terdapat dua kombinasi quark yaitu Baryon dengan kombinasi 3 quark QQQ yaitu proton, netron dan Meson dengan kombi¯ yaitu meson. Terdapat 6 jenis quark yaitu u (up), d (down), c (charm), nasi QQ s (strange), t (top), dan b (bottom). Untuk mematuhi larangan pauli [3], maka harus terdapat bilangan kuantum tambahan yaitu warna. Muatan warna pada quark dibedakan menjadi 3 yaitu, r (red ), g (green), dan b (blue), sedangkan anti-quark membawa anti-warna. Seperti halnya interaksi elektromagnetik, interaksi kuat antar quark juga dimediasi oleh suatu partikel boson, partikel ini disebut gluon yang masing-masing memiliki warna dan anti-warna. State yang mungkin dari gluon adalah : r − b¯b), √16 (r¯ r + b¯b − 2g¯ g ), √13 (r¯ r + g¯ g + b¯b) r¯b, r¯ g, b¯ g , b¯ r , g¯ r, g¯b, √12 (r¯ Berbeda dengan foton yang tidak memiliki muatan, gluon memiliki muatan warna sehingga dapat berinteraksi secara kuat dengan sesama gluon. Karena adanya interaksi kuat antar gluon ini maka seperti halnya kombinasi quark pada hadron, gluon dapat juga membentuk kombinasi colour singlet, GG dan GGG. Gluon dalam kondisi ini disebut Glueball . Plasma Quark-Gluon Plasma quark-gluon terbentuk pada tumbukan ultrarelativistik antar ion berat seperti ion Au atau ion Sn dalam relativistic heavy ion collider di Brokhave national laboratory. Plasma quark-gluon adalah fase dari Quantum Cromodynamics (QCD) yang muncul pada suhu dan kerapatan yang sangat tinggi (dalam orde Tc = 170 MeV, atau sekitar 1013 K). Plasma quark-gluon terdiri dari quark dan gluon seperti halnya pada hadron. Perbedaan kedua fase QCD ini adalah sebagai berikut : pada hadron setiap quark dalam keadaan terikat dengan quark lain atau dengan anti-quark (confined). Sedangkan pada plasma quark-gluon quark dan anti quark tidak terikat membentuk hadron (de-confined) dan bergerak bebas pada suatu volume bersuhu tinggi yang disebut fireball. Kenapa disebut plasma ? Telah dijelaskan sebelumnya bahwa plasma adalah fluida yang terdiri dari partikelpartikel bermuatan listrik yang saling berinteraksi satu sama lain dan bergerak 6
bebas di seluruh volume fluida. Pada plasma quark-gluon, quark dan gluon memiliki muatan yaitu warna, dan dapat bergerak bebas di seluruh volume fireball. Perbedaan keduanya adalah muatan quark merupakan muatan non-Abelian sedangkan muatan listrik merupakan muatan abelian.
7
Gambar 2.1: Quark dan Gluon pada Hadron. Quark terikat bersama dengan quark lainnya (confined) dengan kondisi colour-netral membentuk hadron
Gambar 2.2: Quark dan Gluon pada plasma Quark-Gluon. Quark tidak berikatan membentuk hadron tetapi bergerak bebas pada fireball (deconfined). Fireball terbentuk pada temperatur diatas 100 MeV, atau sekitar 1013 K . 8
Bab 3 Unifikasi Magnetofluida dengan prinsip Gauge Pada bab ini dijelaskan unifikasi antara medan fluida dan elektromagnetik untuk kasus Abelian dan non-Abelian dengan menggunakan teori gauge. Dari unifikasi ini kita akan menurunkan persamaan gerak medan fluida yang berinteraksi dengan materi dan medan elektromagnetik dalam limit non-relativistik seperti persamaan gerak pada plasma. Unifikasi dilakukan pada medan fluida Abelian dan diperluas untuk medan fluida non-Abelian. Prosedur yang dilakukan untuk menyatukan kedua interaksi adalah dengan mengerjakan simetri grup U(1)F D ⊗ U(1)G dan G(n)F D ⊗ G(n)G pada medan materi (boson dan fermion).
3.1
Unifikasi Magnetofluida dengan TeoriGauge Abelian
Pada fisika partikel teori unifikasi dilakukan dengan menggunakan prinsip pertama ( first principle) yaitu dengan menggunakan pendekatan Lagrangian. Prosedurnya adalah melakukan transformasi oleh grup tertentu pada medan materi. Lagrangian dari materi harus invarian terhadap transformasi ini, sebagai konsekuensinya maka pada lagrangian akan muncul suku-suku baru yang menunjukkan interaksi antara materi dengan medan gauge atau interaksi antara sesama medan gauge.
9
Lagrangian density Medan boson Lagrangian density untuk medan boson dinyatakan dengan : L = ∂µ Φ∂ µ Φ∗ − m2 Φ∗ Φ
(3.1)
Untuk mengunifikasi medan materi dan medan gauge maka dikerjakan transformasi gauge lokal : U(1)F D ⊗ U(1)G : pada medan materi. Lagrangian materi harus invarian terhadap transformasi ini : Φ (x) → U (x)F Φ (x) Φ′ (x) → U (x)EM Φ′ (x) dimana : U (x)F = e−iα(x) U (x)EM = e−iβ(x) dengan α (x) dan β (x) merupakan sembarang fungsi real . Untuk kasus infinitesimal transformation e−iα(x) ≈ (1−iα (x)). Pada kasus transformasi gauge global ∂ µ Φ (x) ditransformasikan seperti Φ (x) , tetapi bila dikerjakan transformasi gauge lokal maka akan terdapat suku-suku tambahan : δΦ = −i (α + β) Φ
(3.2)
δΦ∗ = i (α + β) Φ∗
(3.3)
δ∂ µ Φ = −i∂ µ αΦ − i∂ µ βΦ − i (α + β) ∂ µ Φ
(3.4)
δ∂ µ Φ∗ = i∂ µ αΦ∗ + i∂ µ βΦ∗ + i (α + β) ∂ µ Φ∗
(3.5)
Karena terdapat suku tambahan pada bentuk derivatif maka lagrangian L (Φ, ∂µ Φ) menjadi tidak invarian terhadap transformasi gauge lokal. Untuk mengatasi hal ini kita harus menyusun bentuk derivatif yang memiliki sifat transformasi seperti Φ(x). δL =
∂L ∗ ∂L ∂L ∂L δΦ + δΦ + δ (∂ Φ) + δ (∂ µ Φ∗ ) µ ∂Φ ∂Φ∗ ∂ (∂µ Φ) ∂ (∂ µ Φ∗ )
(3.6)
δL = (∂µ α + ∂µ β) i (Φ∗ ∂ µ Φ − Φ∂ µ Φ∗ )
(3.7)
δL = (∂µ α + ∂µ β) J µ
(3.8)
10
dimana J µ adalah vektor arus empat materi. Untuk membuat lagrangian invarian terhadap transformasi gauge, maka kita harus menambah beberapa suku pada lagrangian density. • L1 = − (eAµ + gBµ ) J µ dimana Aµ dan Bµ merupakan medan gauge ( medan elektromagnetik dan medan fluida ) yang ditransformasikan oleh transformasi gauge sebagai : 1 Aµ (x) −→ Aµ (x) + ∂µ α e 1 Bµ (x) −→ Bµ (x) + ∂µ β g dengan e dan g merupakan konstanta kopling yang menentukan kekuatan interaksi antara medan materi dengan medan gauge. Dengan tambahan suku ini maka akan didapatkan : δL1 = − (∂µ α + ∂µ β) J µ − (eAµ + gBµ ) δJ µ δL + δL1 = − (eAµ + gBµ ) δJ µ
(3.9)
δJµ = 2Φ∗ Φ (∂ µ α + ∂ µ β) δL + δL1 = −2Φ∗ Φ (eAµ ∂ µ α + eAµ ∂ µ β + gBµ ∂ µ α + gBµ ∂ µ β) Suku kedua yang harus ditambahkan adalah : • L2 = (e2 Aµ Aµ + g 2 Bµ B µ + 2egAµ B µ ) Φ∗ Φ δL2 = (2eAµ ∂ µ + 2gBµ ∂ µ + 2gBµ ∂ µ + 2eAµ ∂ µ ) Φ∗ Φ
(3.10)
Jadi kita dapatkan : δL + δL1 + δL2 = 0 L = ∂µ Φ∂ µ Φ∗ − m2 Φ∗ Φ − (eAµ + gBµ ) J µ + e2 Aµ Aµ + g 2 Bµ B µ + 2egAµ B µ Φ∗ Φ agar memiliki arti fisis maka harus ditambahkan bentuk yang mengandung kuadratik dari ∂ ν Aµ dan ∂ ν B µ sebagai suku kinetik dari medan gauge. Bentuk skalar
11
yang memenuhi dan invarian terhadap transformasi gauge ataupun Lorentz adalah sebanding dengan F µν Fµν dan S µν Sµν . Dengan : F µν (x) = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ
(3.11)
S µν (x) = ∂ µ B ν − ∂ ν B µ
(3.12)
merupakan tensor kuat medan (field strength tensor ). Kita telah mendapatkan Lagrangian density total yang invarian terhadap transformasi gauge lokal : Ltotal = ∂µ Φ∂ µ Φ∗ − m2 Φ∗ Φ − (eAµ + gBµ ) J µ + e2 Aµ Aµ + g 2 Bµ B µ + 2egAµ B µ Φ∗ Φ 1 1 − F µν Fµν − S µν Sµν 4 4
(3.13)
Suku-suku pada lagrangian ini menyatakan interaksi dari masing-masing medan. Untuk mendapatkan bentuk derivatif yang kovarian terhadap transformasi maka kita definisikan derivatif kovarian : Dµ Φ = ∂µ Φ + ieAµ Φ + igBµ Φ
(3.14)
sehingga : Dµ Φ (x) −→ U (x) Dµ Φ (x) dengan derivatif kovarian maka Lagrangian density total dapat dituliskan : 1 1 Ltotal = Dµ ΦD µ Φ∗ − m2 Φ∗ Φ − F µν Fµν − S µν Sµν 4 4
(3.15)
Persamaan Gerak Berdasarkan prinsip aksi minimum δS = 0, dengan S = roleh persamaan Euler - Lagrange : ∂µ
R
d4 xL dapat dipe-
∂L ∂L − =0 ∂ (∂µ Φ) ∂Φ
(3.16)
dengan Φ adalah sembarang medan. • Persamaan Gerak Medan Boson dengan subtitusi Lagrangian density total ke persamaan ( 3.16 ) dan Φ = Φ∗ maka akan didapat persamaan gerak : ∂µ ∂ µ + 2ieAµ ∂µ + 2igB µ ∂µ + ie∂µ Aµ + ig∂µ B µ + m2 Φ − e2 Aµ Aµ + g 2 Bµ B µ + 2egAµ B µ Φ = 0 12
(3.17)
• Persamaan Gerak Medan Elektromagnetik Persamaan gerak Medan elektromagnetik didapatkan dengan mensubtitusi persamaan ( 3.13 ) ke dalam persamaan ( 3.16 ) dengan Φ = Aν , maka akan didapatkan : ∂µ F µν = ie (Φ∗ ∂ ν − Φ∂ ν Φ∗ ) − 2e2 Aν + 2egB ν Φ∗ Φ
Dengan menggunakan derivatif kovarian maka bentuk di atas dapat dituliskan : ∂µ F µν = eJ ν
(3.18)
dengan : J = i (Φ∗ D ν Φ − ΦD ν Φ∗ ) Persamaan di atas analog dengan persamaan Maxwell inhomogen pada elektrodinamika klasik. Persamaan diatas juga menjelaskan bahwa medan elektromagnetik digenerasi oleh interaksi kedua partikel yang memiliki muatan e, tanpa kehadiran partikel maka medan elektromagnetik tidak akan muncul. Karena sifat F µν yang antisimetrik maka akan diperoleh : ∂µ J µ = 0
(3.19)
yang berarti J merupakan besaran yang kekal bila terdapat medan elektromagnetik. • Persamaan Gerak Medan Fluida Dengan cara yang sama kita dapat menurunkan persamaan gerak fluida yang analog dengan persamaan skalar Maxwell. ∂µ S µν = gJ ν
(3.20)
dan J = (ρ, J) Vektor-vektor yang ekuivalen dengan medan listrik dan medan magnetik adalah vektor R dan vektor Q. S io = Qi
(3.21)
S ij = −εijk Rk
(3.22)
dan : Q = −
~ B + ∇B o ∂t
~ R = ∇×B 13
!
(3.23) (3.24)
Lagrangian density Medan Fermion Lagrangian untuk medan fermion adalah : ¯ µ ψ − mψψ ¯ L = −i∂µ ψγ
(3.25)
dimana ψ adalah vektor 4 × 1 γ µ adalah matrix 4 × 4 , γ µ = (β, β~ α), matrix α ~ dan β~ didefinisikan : α ~=
0 ~σ ~σ 0
, β~ =
I 0 0 −I
I adalah matrix satuan 2 × 2 dan σ adalah matriks Pauli : 1 0 0 −i 0 1 , σ~3 = , σ~2 = σ~1 = 0 −1 i 0 1 0
(3.26)
(3.27)
Prosedur yang sama kita lakukan seperti pada materi boson yaitu mengerjakan transformasi gauge lokal pada lagrangian density, maka kita akan memperoleh: δψ = −i (α + β) δ ψ¯ = i (α + β) δ∂µ ψ¯ = i (α + β) ∂µ ψ¯ + i (∂µ α + ∂µ β)
δL =
∂L ∂L ∂L δψ + δ ψ¯ ¯ + δ ∂µ ψ¯ ∂ψ ∂ψ ∂ ∂µ ψ¯
(3.28)
Lagrangian ini tidak invarian terhadap transformasi gauge lokal karena ada tam¯ µ ψ merupakan vektor arus bahan suku δL = (∂µ α + ∂µ β) J µ dimana J µ = ψγ empat untuk medan fermion. Untuk itu harus ditambahkan suku : • L1 = − (eAµ + gBµ ) J µ δL1 = − (∂µ α + ∂µ β) J µ − (eAµ + gBµ ) δJ µ δL + δL1 = − (eAµ + gBµ ) δJ µ
(3.29)
Karena pada vektor arus empatnya tidak mengandung bentuk derifatif maka vektor arus empat ini invarian terhadap transformasi gauge lokal, atau δJ µ = 0.
14
Dengan penambahan suku kinetik dari kedua medan gauge maka akan didapatkan lagrangian density total untuk medan fermion : ¯ µ ψ − mψψ ¯ − (eAµ + gBµ ) ψγ ¯ µ ψ − 1 F µν Fµν − 1 S µν Sµν L = −i∂µ ψγ 4 4
(3.30)
Derifatif kovariannya dituliskan : Dµ ψ = (∂µ + ieAµ + igBµ ) ψ
(3.31)
dalam bentuk derifatif kovarian lagrangian totalnya dapat dituliskan : ¯ µ ψ − mψψ ¯ − 1 Fµν F µν − 1 S µν Sµν L = −iDµ ψγ 4 4
(3.32)
perbedaan utama dengan lagrangian density medan boson adalah tidak adanya suku interaksi antara medan elektromagnetik dengan medan fluida. Persamaan Gerak Dengan mensubtitusi Lagrangian ke persamaan Euler-Lagrange maka kita akan memperoleh persamaan gerak untuk masing-masing medan adalah: [i∂ / − (eA / + gB /) − m]ψ = 0
3.2
(3.33)
∂µ F µν = eJ ν
(3.34)
∂µ S µν = gJ ν
(3.35)
Persamaan Maxwell Magnetofluida
Dari persamaan ( 3.23 ) dan ( 3.24 ) didapatkan : ∇.R = 0 ∂R ∇×Q = − ∂t
(3.36) (3.37)
dari persamaan arus kovarian, j ν = gJ ν dan persamaan gerak magnetofluidanya ambil ν = 0 akan didapatkan : ∂1 S 10 + ∂2 S 20 + ∂3 S 30 = ρ sehingga : ∇.Q = ρ 15
(3.38)
bila kita ambil ν = 1 : ∂0 S 01 + ∂2 S 21 + ∂3 S 31 = j 1 ∂Q1 ∂R3 ∂R2 − = j1 + − ∂t ∂x2 x3 Persamaan Maxwell yang keempat adalah : ∂Q =j ∇×R− ∂t
3.3
(3.39)
Persamaan Gerak Magnetofluida untuk limit non-Relativistik
Dari persamaan gerak untuk magnetofluida ∂µ S µν = gJ ν dengan arus kovarian ¯ µ ψ untuk fermion, : J ν = i (Φ∗ D ν Φ − ΦD ν Φ∗ ) untuk materi boson dan J ν = ψγ akan didapatkan : ∂o S oν + ∂i S iν = gJ ν untuk ν = j akan diperoleh : ∂o S oj + ∂i S ij = gJ j ∂o S oj + ∂i ∂ i B j − ∂ j B i = gJ j
medan fluida yang digunakan berbentuk :
B i = φU i
(3.40)
φ adalah besaran pelengkap dimensi yang merepresentasikan distribusi fluida pa ~ da sistem dan hanya bergantung oleh temperature , S oj = −Qj = ∂φ∂tU + ∇φγ
dan U i = γv i . Dimana untuk plasma relativistik : φ ≃ 1 + γ ≃1+
v2 2
5T 2m
[5]. Nilai γ :
. Dalam bentuk vektor persamaan diatas dapat dituliskan : ~ − ∇2 B ~ + ∇ ∇.B ~ = g J~ −∂o Q
Dengan menggunakan identitas vektor : ∇ × ~ +∇× ∇×B ~ −∂o Q ! ~ ∂ ∂δ U ~ + ∇φγ + ∇ × R ∂t ∂t ! ~ ∂U ∂ φ + ∇φγ ∂t ∂t 16
~ = ∇ ∇.B ~ − ∇2 B ~ ∇×B = g J~
= g J~ ~ = g J~ − ∇ × R
Untuk kasus non-relativistik nilai γ → 1 dan φ → 1, kecuali pada suku ∇φγ., kita akan dapatkan : v2 5 T + ∇φγ = ∇ 2 2m 2 ∂ ∂~v 5T v = g J~ − ∇ × ~ω +∇ + ∂t ∂t 2 2m
dengan ~ω = ∇ × ~v adalah vortisitas. v2 5T ∂ ∂~v = g J~ − ∇ × ~ω +∇ +∇ ∂t ∂t 2 2m Z v2 5T ∂~v ~ +∇ +∇ = g J − ∇ × ~ω dt ∂t 2 2m
dengan menggunakan identitas vektor :
1 ∇v 2 2
= (~v .∇) + ~v × (∇ × ~v ) kita akan
mendapatkan : ∂~v 5T + (~v .∇) ~v + ~v × ~ω + ∇ = ∂t 2m
Z
g J~ − ∇ × ~ω dt
(3.41)
untuk kasus fluida irotasional ∇ × ~v = 0 maka akan diperoleh : 5T ∂~v + (~v .∇) ~v + ∇ = g J~˜ ∂t 2m
(3.42)
R dengan : J~˜ = J~dt
Bila dianggap T tetap, maka kita akan mendapatkan 2 persamaan gerak magnetofluida yang ekuivalen dengan persamaan gerak plasma pada persamaan (2.1) dan (2.2) :
3.4
∂J o + ∇J~ = 0 ∂t ∂~v + (~v .∇) ~v = g J~˜ ∂t
(3.43) (3.44)
Model Magnetofluida dengan medan gauge non-Abelian
Secara umum lagrangian density dari materi dapat dinyatakan dengan : 1 L = (∂µ Φ)† ∂ µ Φ + mΦ Φ† Φ + iψ¯ (γµ ∂ µ − mψ ) ψ + V (Φ) 2
(3.45)
2 dengan V (Φ) adalah potensial, misalkan pada teori Φ4 , V (Φ) = 41 λ Φ† Φ dan
γµ adalah matriks Dirac.
17
Interaksi antara fluida non-Abelian dengan medan gauge non-Abelian dinyatakan dengan transformasi gauge lokal : G (n)F ⊗ G (n)G . Maka medan materi akan ditransformasikan sebagai : Φ → Φ′ = exp [−i (α + β)] Φ
(3.46)
ψ → ψ ′ = exp [−i (α + β)] ψ
(3.47)
dengan : α = αa Ta dan β = βa Ta . Medan materi merupakan multiplet n × 1 dengan jumlah elemen n untuk grup Lie dengan dimensi n seperti SU(n), O(n+1) dll. Ta adalah generator dari grup Lie yang merupakan matriks Hermitian dan traceless Ta† = Ta dan T rTa = 0. Generator-generator ini memenuhi relasi komutasi tertutup : [Ta , Tb ] = iCabc Tc
(3.48)
dengan Cabc adalah konstanta struktur antisimetrik dengan Cabc = −Cbac . Jumlah generator dan medan gauge ditentukan oleh dimensi dari grup. Untuk grup SU(n) atau O(n + 1) memiliki generator sebanyak n2 − 1 dan index a = 1, 2, ....n2 − 1. Lagrangian yang invarian terhadap transformasi gauge lokal diatas dapat diperoleh dengan memasukkan suku yang mengandung medan gauge Aµa dan medan fluida non-Abelian Bµa dengan sifat transformasi : 1 ∂µ αa + Cabc αb Aµc gG 1 ≡ Bµa + ∂µ βa + Cabc βb Bµc gF
Aµa → A′µa ≡ Aµa +
(3.49)
′ Bµa → Bµa
(3.50)
dengan gF adalah muatan untuk fluida dan gG adalah muatan gauge. Secara umum lagrangian density materi yang invarian terhadap simetri gauge adalah : L = Lmateri + Lkinetik + Linteraksi dengan : 1 1 Lkinetik = − Sµνa Saµν − Fµνa Faµν 4 4 µν µ ν ν µ Sa = ∂ Ba − ∂ Ba + gF Cabc Bbµ Bcν Faµν = ∂ µ Aνa − ∂ ν Aµa + gG Cabc Aµb Aνc Sedangkan suku-suku interaksi pada Lagrangian density nya adalah : 18
(3.51)
• untuk Boson : µ µ 2 µ Lint = −gF Bµa JaF − gG Aµa JaG + gG Aa Aµb Φ† TaG TbG Φ +
gF2 Baµ Bµb Φ† TaF TbF Φ + gF gG Aµa Bµb Φ† (TaG TbF + TbF TaG ) Φ • untuk fermion : µ µ Lint = −gF Bµa JaF − gG Aµa JaG
(3.52)
dengan Jaµ adalah arus materi untuk materi boson dan fermion. dimana untuk boson dan fermion : µ Jaboson = −i ∂µ Φ† TaX Φ − Φ† TaX ∂µ Φ
µ ¯ Jaf ermion = ψγµ TaX ψ
dengan : X = F, G dan ψ¯ = ψ † γo. Untuk kasus simetri SUF (n) ⊗ SUG (n) atau OF (n + 1) ⊗ OG (n + 1), maka TF a = TGa contohnya untuk kasus SU(2) ⊗ SU(2) maka : TF a = TGa =
τa 2
dimana τa adalah matriks pauli, untuk kasus SU(n)F ⊗
U(1)G generator kedua grup adalah : TaG = 1, TaF =
τa 2
dengan τa adalah matriks
pauli dan a = 1, 2, 3 untuk n = 2 atau untuk n = 3, TaF =
λa 2
dengan λa adalah
matriks Gellman dan a = 1, 2....8. Lagrangian density untuk materi dapat juga ditulis dalam bentuk derifatif kovarian sebagai : 1 1 L = (D µ Φ)† Dµ Φ + ψ¯ (iγ µ Dµ − m) ψ − Sµνa Saµν − Fµνa Faµν + V (Φ) (3.53) 4 4 derifatif kovariannya adalah : Dµ Φ = ∂µ Φ + igG Aµb TbG Φ + igF Bµb TbF Φ
(3.54)
Dengan Lagrangian density total ini maka kita akan dapat mempelajari dinamika fluida non-Abelian beserta interaksinya dengan medan gauge non-Abelian. Persamaan Gerak Magnetofluida Persamaan gerak medan magnetofluida dapat diperoleh dari persamaan EulerLagrange dalam bentuk medan Bνa : ∂µ
∂L ∂L − =0 ∂ (∂µ Bνa ) ∂Bνa 19
Dengan mensubtitusi Lagrangian density total ke persamaan Euler-Lagrange di atas maka akan didapatkan persamaan gerak : Dµ S µν = gF JFν
(3.55)
dengan : S µν = Saµν Ta dan JFν = JFν Ta Dµ adalah derifatif kovarian non-Abelian diperumum yang dapat dinyatakan dengan representasi adjoint : Dµ = ∂µ + igG [Aµ , ..] + igF [Bµ , ..]
(3.56)
Arus kovarian dari materi boson dan fermion didefinisikan sebagai :
3.5
Jaν = −i[(D ν Φ)† TaF Φ − Φ† TaF D ν Φ]
(3.57)
¯ ν TaF ψ Jaν = ψγ
(3.58)
Persamaan Gerak Magnetofluida non-Abelian untuk limit non-Relatisvistik
Dari persamaan (3.55) dan dengan menggunakan kovarian derifatif (3.56), dan untuk ν = j maka akan didapatkan : ∂µ Saµν − gG Cabc Aµb Scµν − gF Cabc Bµb Scµν = gF Jaν (3.59) gG gG j oj ij ij oj oj ij ∂o Sa +∂i Sa = gF Ja + Cabc Bob Sc + Cabc Bib Sa + Cabc Aob Sc + Cabc Aib Sc gF gF ~ a dan R ~a : didefinisikan medan Q
Qk = S ko 1 Rk = − εkij S ij 2 S ij = εijk Rk
(3.60) (3.61) (3.62)
~ : dalam bentuk B µ = B o , B
~ ~ bBo ~ a = −∇B o − ∂ Ba − gF Cabc B Q c a ∂t ~b × B ~c ~a = ∇ × B ~ a + 1 gF Cabc B R 2 20
(3.63) (3.64)
medan fluida didefinisikan sebagai : ~a Baµ = φγa , φU
(3.65)
Uai adalah kecepatan relativistik dari medan fluida (Uai = γa vai ) dan γa ≡ (1 − 1
va2 )− 2 adalah faktor relativistik, sedangkan ~va adalah kecepatan spasial. Besaran φ adalah medan tambahan berdimensi 1 yang ditambahkan untuk melengkapi dimensi dan merepresentasikan distribusi dari fluida pada sistem, dan hanya bergantung pada temperatur [5]. Indeks a,b,c menunjukkan aliran fluida pada ruang internal. Model fluida yang dibuat dinyatakan oleh suku kinematik dan fungsi distribusi yang terpisah. dalam bentuk vektor persamaan geraknya dapat dituliskan : −
~a ∂Q ~ c + gG Cabc A ~ b ×R ~ c) ~ a = gF (J~a −Cabc Bob Q ~ c +Cabc B ~ b ×R ~ c − gG Cabc Aob Q +∇×R ∂t gF gF
~ dan R ~ : dengan mensubtitusi medan Q ~a ∂ ∂B ~ b B o ) + ∇ × (∇ × B ~ a + 1 gF Cabc B ~b × B ~ c ) = (3.66) ( + ∇Bao + gF Cabc B c ∂t ∂t 2 ~c ∂B ~ lBo ) + + gF Cclm B gF (J~a + Cabc Bob (∇Bco + m ∂t ~ b × (∇ × B ~ c + 1 gF Cclm B ~l × B ~ m ) + gG Cabc Aob (∇B o + Cabc B c 2 gF ~c ∂B ~ l B o ) + gG Cabc A ~ b × (∇ × B ~ c + 1 gF Cclm B ~l × B ~ m )) + gF Cclm B m ∂t gF 2 Dengan mensubtitusi medan fluida pada ( 3.65 ) dan pada limit non-relativistik i h 2 va nilai γ → 1, φ → 1, kecuali pada suku :∇φγa = ∇ 2 + φ maka kita akan dapatkan bentuk vektor dari persamaan gerak non-relativistik Magnetofluida nonAbelian : ∂ ∂~va ∇va2 1 + + ∇φ + gF Cabc~vb + ∇ × (∇ × ~va + gF Cabc~vb × ~vc ) = ∂t ∂t 2 2 2 ∂~vc ∇v + gF Cclm~vl ) + gF (J~a + Cabc ( c + ∇φ + 2 ∂t 1 ∇v 2 gG Cabc~vb × (∇ × ~vc + gF Cclm~vl × ~vm ) + Cabc Aob ( c + ∇φ + 2 gF 2 gG ∂~vc ~ b × (∇ × ~vc + 1 gF Cclm~vl × ~vm )) + gF Cclm~vl ) + Cabc A ∂t gF 2 21
dengan identitas vector : 12 ∇va2 = (~va .∇) ~va +~va ×(∇ × ~va ) kita akan dapatkan : ∂ ∂t
∂~va + (~va · ∇)~va + ~va × ~ωa + ∇φ + gF Cabc~vb + ∂t h i ∇ × ~ωa = gF J~a + F~a
(3.67)
dengan vektor F~a adalah :
∂~vc gF Cclm~vl ) + ~vb × (~ωc + F~a = Cabc [((~vc · ∇)~vc + ~vc × ωc + ∇φ + ∂t 1 ∂~vc gG gF Cclm~vl × ~vm ) + Aob ((~vc · ∇)~vc + ~vc × ωc + ∇φ + + 2 gF ∂t 1 1 gG ~ ωc + gF Cclm~vl × ~vm − ∇ × (~vb × ~v c))] gF Cclm~vl ) + A b × (~ gF 2 2 dimana : ~ωa = ∇ × ~va adalah vortisitas. Untuk fluida irotasional ~ωa = 0, ~ωc = 0 , sehingga persamaan gerak magnetofluida non-Abelian menjadi : Z h i ∂~va ~ ~ + (~va · ∇)~va + ∇φ + gF Cabc~vb = gF dt J + Fa |irotasional (3.68) ∂t Persamaan (3.68) yang telah kita dapatkan adalah persamaan umum untuk fluida relativistik tak berotasi. Arus J~a muncul akibat adanya materi yang dikelilingi dan berinteraksi dengan fluida, sedangkan F~a merupakan kontribusi dari interaksi antar medan fluida atau interaksi medan fluida dengan medan gauge (Aµa ). Jadi lagrangian pada persamaan (3.53) dengan medan fluida yang memiliki bentuk seperti persamaan (3.65) dapat mendeskripsikan sistem umum yang terdiri dari fluida relativistik yang berinteraksi dengan medan gauge dan materi. Untuk kasus non-Abelian maka semua konstanta struktur bernilai nol, dan indeks internal a,b,c dapat dihilangkan. Sehingga untuk kasus non-Abelian nilai F~a = 0 dan persamaan geraknya menjadi : Z ∂~v + (~v .∇) ~v + ∇φ = gF dtJ~ (3.69) ∂t seperti pada persamaan (3.42) yang telah kita dapatkan.
3.6
Aplikasi Unifikasi Magnetofluida non-Abelian pada Plasma Quark-Gluon
Plasma quark-gluon terdiri dari quark-dan anti quark yang berinteraksi dengan gluon-gluon dan medan elektromagnetik. Lagrangian sistem ini dinyatakan de22
ngan simetri gauge SU(3)F ⊗ U(1)G : ¯ f /∂Qf − mf Q ¯ f Qf − 1 S µν Sµνa − 1 F µν Fµν − gF JµaQ B µ − qjµ Aµ (3.70) L = iQ a 4 a 4 dimana gG diganti dengan q yang merupakan muatan quark. indeks f menunjukkan index flavor dari quark yaitu u,d,c,s,t,b. Generator TF a merupakan matriks Gell-Mann yang dinyatakan dengan representasi fundamental
λa 2
(a = 1, 2, 3.....8)
dengan normalisasi : T r(λa λb ) = 2δab
(3.71)
Persamaan gerak yang diperoleh dari lagrangian QCD di atas adalah : Dµ F µν = gF JQµ
(3.72)
µ µ ∂µFaµν = gF JaQ + gF JaG
(3.73)
atau dapat dituliskan : µ ¯ µ λa Q merupakan matrix arus dari materi quark, sedangkan J µ dengan JaQ = Qγ aG 2
adalah arus dari gluon. µ JaG = Cabc Bµb Scµν
(3.74)
¯ µ λa Q dan J µ = Qγ ¯ µ Q. dengan JFµ a = Qγ G 2 Bentuk non-linier pada (3.74) dalam persamaan (3.73) menunjukkan bahwa medan gluon bertindak sebagai sumber, atau dengan kata lain quanta dari medan gluon membawa muatan warna tersendiri sehingga tanpa adanya materi dapat menjadi sumber bagi medannya sendiri. Secara makroskopik model ini menggambarkan sistem yang terdiri dari fluida non-Abelian yang disusun oleh sekumpulan gluon ( gluon cloud ) dengan kerapatan yang besar dan mengelilingi materi ( quark dan anti-quark ) dalam medan elektromagnetik. Model ini menjelaskan hasil eksperimen dari PHENIX collaboration pada BNL menggunakan RHIC yang menyatakan quark-gluon pada fireball bersifat seperti fluida. Model ini sangat berbeda dengan model hybridmagnetofluid [2, 5] yang memodelkan QGP sebagai aliran fluida yang disusun oleh quark dan anti-quark yang berinteraksi dengan medan gluon. ¯ γ λa Q. Dengan persamaan ( 3.73 Komponen spasial arus fermion adalah : J~a = Q~ 2
) persamaan gerak relativistik QGP adalah : ∂(φγa~va ) + ∇(φγa ) + gF Cabc φ2 γb γc~vb = gF ∂t 23
Z
dt[J~ + F~a ]
(3.75)
Nilai gF ditentukan oleh nilai fine structure dari interaksi kuat gF2 = 4παs , dimana nilai αs bergantung dengan skala energi yang dipakai, contohnya pada T= 200 MeV maka nilai αs diantara 0,2 dan 0,5 dengan gF = 1, 5 − 2, 5. Berdasarkan hasil eksperimen QGP memiliki kerapatan besar dan viskositas kecil seperti fluida ideal ( ωa = 0 ). Jika kita lihat pada lagrangian QGP, fluida yang disusun oleh gluon tidak berinteraksi dengan medan elektromagnetik, tetapi quark dan antiquark berinteraksi dengan medan elektromagnetik dinyatakan oleh suku terakhir pada lagrangian. Pada persamaan gerak ( 3.75 ), kontribusi medan elektromagnetik terdapat pada pα F~a yang dinyatakan dengan faktor gqF ≈ ≈ O(10−1), dimana nilai muatαs pα an quark ekuivalen dengan muatan listrik e = . Jadi dapat disimpulkan 4π kontribusi gaya elektromagnetik sangat kecil sehingga dapat diabaikan.
24
Bab 4 Perhitungan Energi Magnetofluida berbasis Teori Gauge Pada bab ini kita akan menurunkan tensor energi-momentum untuk kasus umum yaitu dari lagrangian dengan medan non-Abelian. Dengan tensor energi-momentum tersebut kita dapat memperoleh energi total dan momentum dari sistem magnetofluida. Tensor energi-momentum dapat diperoleh dari prinsip variasi, yaitu dari variasi aksi : δS =
Z R
Z ∂L ∂L ∂L ∂L 4 v µ ν δΦd x + − ∂µ [δΦ + [∂ν ] δx ] − ∂ν − δν Lδx ∂Φ ∂(∂µ Φ) ∂(∂µ Φ) ∂R ∂(∂µ Φ)
Suku pertama pada suku integral permukaan merupakan variasi total dari Φ (δΦ), sedangkan suku kedua didefinisikan sebagai tensor energi-momentum θνµ : θνµ =
∂L ∂ν Φ − δνµ L ∂ (∂µ Φ)
(4.1)
θµν =
∂L ∂ ν Φ − g µν L ∂ (∂µ Φ)
(4.2)
atau :
4.1
Energi Plasma non-Abelian
Materi boson Lagrangian umum dari materi boson dengan interaksi medan gauge dan medan
25
fluida non-Abelian adalah : 1 1 L = (D µ Φ)† Dµ Φ − Sαβa Saαβ − Fαβa Faαβ − V (Φ) 4 4
(4.3)
dengan mensubtitusi lagrangian ini ke (4.3) akan didapatkan : µ µ ν k ν o o k θµν = (∂ µ Φ)† ∂ ν Φ+(∂ ν Φ)† ∂ µ Φ−gF Baµ JaF −gG Aµa JaG −Sak ∂ Ba −Fak ∂ Aa −g µν L
(4.4) Energi dari sistem adalah komponen ke-00 : o o o o k o o k − gG Aoa JaG − Sak ∂ Ba − Fak ∂ Aa − L θoo = (∂ o Φ)† ∂ o Φ + (∂ o Φ)† ∂ o Φ − gF Bao JaF
sehingga : θoo = (∂ o Φ)† ∂ o Φ + igF Bao ∂ o Φ† Ta Φ − Φ† Ta ∂ o Φ + igG Aoa ∂ o Φ† Ta Φ − Φ† Ta ∂ o Φ + gG Aoa Jao +
2 o gF Boa Jao − gG Aa Aob Φ† Ta Tb Φ − gF2 Bao Bob Φ† Ta Tb Φ − gF gG Aao Bob Φ† (Ta Tb + Tb Ta ) Φ + 1 1 (Di Φ)† (Di Φ) + V (Φ) − Fio∂ o Aia − Sio ∂ o Bai + Fαβa Faαβ + Sαβa Saαβ 4 4
dengan : Di = ∂i − igG Aia TaG − igF Bai TaF
(4.5)
bila suku-sukunya dipisahkan : oo θmateri+interaksi = (∂ o Φ)† ∂ o Φ + igG Aoa ∂o Φ† Ta Φ − igG Aoa Φ† Ta ∂o Φ − igG Aoa ∂o Φ† Ta Φ +
igG Aoa Φ† Ta ∂o Φ + igF Bao ∂o Φ† Ta Φ − igF Bao Φ† Ta ∂o Φ − igF Boa ∂o Φ† Ta Φ + 2 o igF Boa Φ† Ta ∂o Φ − gG Aa Aob Φ† Ta Tb Φ − gF2 Bao Bob Φ† Ta Tb Φ −
gF gG Aoa Bob Φ† (Ta Tb + Tb Ta ) Φ + (Di Φ)† (Di Φ) + V (Φ) dengan menambahkan suku-suku berikut pada persamaan diatas maka bentuk diatas dapat dituliskan dalam bentuk kovarian derifatif : 2 o 2 o gG Aa Aob Φ† Ta Tb Φ − gG Aa Aob Φ† Ta Tb Φ
+gF2 Bao Bob Φ† Ta Tb Φ − gF2 Bao Bob Φ† Ta Tb Φ +gF gG Aoa Bob Φ† (Ta Tb + Tb Ta ) Φ − gF gG Aoa Bob Φ† (Ta Tb + Tb Ta ) Φ oo maka suku θmateri+interaksi dapat dituliskan sebagai :
oo θmateri+interaksi = D o Φ† D oΦ + igG Aoa Φ† Ta D o Φ − D o Φ† Ta Φ + igF Boa Φ† Ta D o Φ − D o Φ† Ta Φ + (Di Φ)† (Di Φ) 26
atau : oo θmateri+interaksi = D o Φ† D o Φ + gG Aoa Jao + gF Boa Jao + (Di Φ)† (Di Φ)
(4.6)
suku untuk medan gauge dan fluidanya adalah : 1 1 θgauge+f luida = −Fio ∂ o Aia + Fαβa Faαβ − Sio ∂ o Bai + Sαβa Saαβ 4 4 ~ ~ ∂ Aa 1 ~a · ∂ Ba + 1 Ra · Ra − Q ~a · Q ~a Ba · Ba − E~a · E~a − Q = −E~a · + ∂t 2 ∂t 2 dengan Ba adalah medan magnet non-Abelian. dari persamaan (3.60) : ~ ~ a · Qa + ∇Bao + gF Cabc B ~ b Bco ~ a · ∂ Ba = Q −Q ∂t o ~a · Q ~a + ∇ · Q ~ aB − ∇ · Q ~ a B o + gF Cabc Q ~a · B ~ b Bo =Q a a c komponen-00 dari tensor energi-momentum dapat dinyatakan : † 1 ~ ~ ~a · E ~a + θoo = (D o Φ)† D o Φ + DΦ · DΦ + Ba · Ba + E 2 1 ~a · Q ~ a + V (Φ) + X Ra · Ra + Q 2
(4.7)
dengan : ~ a Ao − ∇ · E ~ a Ao + gG Cabc E ~a · A ~ b Ao + ∇ · Q ~ aBo − ∇ · Q ~ a Bo X =∇· E a a c a a ~a · B ~ b B o + gG Aoa J o + gF Boa J o +gF Cabc Q c a a dari persamaan gerak : ~ a + gG Cabc A ~b · E ~ c = gG J o ∇·E a
(4.8)
~ a + gF Cabc B ~b · Q ~ c = gF J o ∇·Q a
(4.9)
bila kita subtitusi ke dalam X maka suku-sukunya saling meniadakan kecuali suku berikut : ~ a Ao + ∇ · Q ~ aBo X =∇· E a a
Dengan memilih gauge yang menyatakan Aoa = 0 dan Bao = 0 ketika tidak ada medan materi, maka integral X terhadap seluruh ruang dapat diabaikan, sehingga 27
kita akan mendapatkan hamiltonian density yang invarian terhadap transformasi gauge lokal : H= dimana :
Z
dV H
1 ~ † · (DΦ) ~ ~a · E ~ a) + H = (D o Φ)† D o Φ + (DΦ) + (Ba · Ba + E 2 1 ~ ~ ~a · Q ~ a ) + V (Φ) (Ra · Ra + Q 2
(4.10)
~ = ∇ − igG A ~ a TaG − igF B ~ a TaF Dengan : D Materi Fermion Lagrangian density untuk fermion yang berinteraksi dengan medan fluida dan medan gauge non-Abelian secara umum dapat dinyatakan sebagai : ¯ µ Dµ ψ − mψψ ¯ − 1 F αβ Faαβ − 1 Sαβa S αβ L = iψγ a 4 a 4
(4.11)
Energi-momentum tensornya berbentuk : ¯ µ ∂ ν ψ − F µ ∂ ν Ak − S µ ∂ ν B k − g µν L θµν = iψγ a a ak ak
(4.12)
komponen ke-00 merupakan Hamiltonian dari sistem dapat dihitung dengan cara yang sama seperti kasus pada boson, kita akan dapatkan : ¯ α · Dψ ¯ + 1 (Ba · Ba + E ~a · E ~ a ) + 1 (R ~a · R ~a + Q ~a · Q ~ a ) (4.13) ~ + mψψ H = −iψβ~ 2 2
4.2
Energi density QGP
Sistem magnetofluida quark-gluon terdiri dari quark dan anti-quark yang berinteraksi dengan gluon. Secara umum rapat energinya dinyatakan dengan : H = Hquark + Hinteraksi + Hgluon
(4.14)
dimana energi quark dinyatakan dengan : ~ + mQ QQ ¯ α · ∂Q ¯ Hquark = −iQβ~ Suku energi interaksi dan energi gluon tergantung oleh kecepatan gluon. Pada kecepatan gluon yang tinggi suku energi quark memiliki kontribusi yang kecil 28
pada energi sistem sehingga dapat diabaikan. Pada kecepatan gluon yang tinggi akan terbentuk QGP, sehingga rapat energi sistem QGP adalah : 1 ~ ~ ~ ~ H = gF Jaµ Bµa + (R (4.15) a · Ra + Qa · Qa ) 2 R Energi total QGP adalah H = dV H , dimana V adalah volume dari fireball. ~ a dan Q ~ a didefinisikan : dengan kondisi ~ωa = 0 , maka R ~ a = 1 gF Cabc φ2 γb γc~vb × ~vc R 2 ~ a = −∇(φγa ) − φγa ∂~va − gF Cabc φ2 γb γc~vb Q ∂t suku pertama merupakan energi interaksi antara quark dan gluon sedangkan suku kedua merupakan energi dari gluon. Jaµ adalah arus empat non-Abelian materi yang dapat dinyatakan dengan : ¯ µ Jaµ = Qγ sehingga :
λa Q 2
1 ~ ~ ~ ~ H = gF φ(ρq − ~va · J~a ) + (R a · Ra + Qa · Qa ) 2
(4.16)
(4.17)
dengan a = 1, ....8. Kita asumsikan quark dan gluon mengalir hanya pada sumbu z dengan kecepatan konstan pada fireball, ~va = (0, 0, va ) dan J~a = (0, 0, Ja). ~ a , suku pertama, dan suku kedua dari Q ~ a pada suku Dengan asumsi ini, nilai R energi gluon dapat diabaikan.
29
Bab 5 Hasil dan Pembahasan Telah dibuat model yang menerangkan sistem fluida dengan materi di dalamnya dan berinteraksi dengan medan gauge Abelian dan non-Abelian berdasarkan prisnsip gauge. Prinsip yang digunakan adalah mengerjakan simetri gauge pada materi ( boson dan fermion ). Untuk simetri gauge Abelian telah didapatkan lagrangian density yang invarian terhadap transformasi gauge lokal yaitu : 1 1 L = Lboson −(eAµ +gBµ )J µ +(e2 Aµ Aµ +g 2 Bµ B µ +2egAµ B µ )Φ∗ Φ− Fµν F µν − Sµν S µν 4 4 dan ¯ µ ψ − 1 Fµν F µν − 1 Sµν S µν L = Lf ermion − (eAµ + gBµ )ψγ 4 4 Suku-suku pada lagrangian di atas merepresentasikan interaksi-interaksi yang terjadi antar medan. Pada suku ketiga terlihat bahwa terjadi interaksi antara materi dengan medan fluida dan medan gauge. Pada suku keempat untuk lagrangian boson terdapat suku interaksi antara medan fluida 3, medan gauge dan materi yang dinyatakan dengan 2egAµ B µ Φ∗ Φ. Suku ini tidak muncul pada lagrangian fermion yang menunjukkan bahwa untuk sistem fluida dengan materi fermion yang berada dalam medan gauge, interaksi antara medan fluida dan medan gauge tidak terjadi. Untuk simetri gauge non-Abelian telah diperoleh : µ µ 2 µ L = Lboson − gF Bµa JaF − gG Aµa JaG + gG Aa Aµb Φ† TaG TbG Φ + gF2 Baµ Bµb Φ† TaF TbF Φ + 1 1 gF gG Aµa Bµb Φ† (TaG TbF + TbF TaG ) Φ − Sµνa Saµν − Fµνa Faµν + V (Φ) 4 4 dan 1 1 µ µ L = Lf ermion − gF Bµa JaF − gG Aµa JaG − Sµνa Saµν − Fµνa Faµν + V (Φ) 4 4
30
dengan mensubtitusi lagrangian di atas pada persamaan Euler-Lagrange maka akan diperoleh persamaan gerak untuk masing-masing medan. Dengan persamaan medan fluidanya adalah : ∂µ S µν = gJ ν
Abelian
atau : Dµ S µν = gF JFν
non-Abelian
bila Bµa dipandang sebagai medan fluida yang mewakili sekumpulan fluida untuk setiap a, maka kita memiliki sistem multifluida dengan persamaan gerak seperti di atas. Analog dengan kasus Abelian, interaksi antara medan fluida, materi dan medan gauge hanya terdapat pada lagrangian medan boson yaitu pada suku gF gG Aµa Bµb Φ† (TaG TbF + TbF TaG ) Φ. interaksi antara medan fluida ditunjukkan pada suku pure gauge yaitu : 1 L = − Sµνa Saµν 4 sebab di dalam Saµ terdapat suku −gF Cabc B µb Bµc . Dari persamaan gerak fluida Abelian dapat diperoleh persamaan Maxwell untuk medan fluida yaitu : ~ = 0 ∇·R
~ ~ = − ∂R ∇×Q ∂t ~ = ρ ∇·Q ~ ~ − ∂ Q = ~j ∇×R ∂t pada persamaan gerak fluida, bila J ν = 0 maka ∂µ S µν = 0, dengan kata lain ∇ · Q = 0 dan ∇ × R −
∂Q ∂t
= 0 yang berarti tidak terdapat sumber untuk
fluida bila tidak terdapat materi. Sedangkan pada kasus non-Abelian , untuk J ν = 0 ( tanpa adanya materi ) akan didapatkan ∂µ Saµν = gG Cabc Aµb Scµν + gF Cabc Bµb Scµν yang merepresentasikan Saµν berperan sebagai sumber untuk medan fluida itu sendiri. Hal ini disebabkan karena pada kasus Abelian medan S µν tidak membawa ”muatan” sehingga tidak bisa menjadi sumber bagi medannya sendiri, sedangkan pada kasus non-Abelian medan Saµν memiliki muatan nonAbelian yang dapat berperan sebagai sumber untuk medan fluida itu sendiri 31
sehingga dimungkinkan adanya self interaction antar medan gauge. Hal ini mirip dengan kasus pada relativitas umum dimana medan gravitasi membawa energi yang sebanding dengan massa sehingga dapat berperan sebagai sumber gravitasi. Dari persamaan gerak fluida non-Abelian dapat diturunkan persamaan gerak umum sistem magnetofluida yaitu : ∂(γa~va ) + ∇(φγa ) + gF Cabc φ2 γbγc~vb = gF ∂t
Z
dt[J~ + F~a ] (relativistik)
atau ∂~va + (~va · ∇)~va + gF Cabc~vb = gF ∂t
Z
dt[J~ + F~a ] (non-relativistik)
Bentuk persamaan di atas mirip dengan persamaan gerak plasma, sehingga dapat disimpulkan bahwa persamaan di atas relevan terhadap plasma yang dibentuk oleh quark dan gluon. Pada QGP medan fluida disusun oleh medan gluon dengan materi di dalamnya adalah quark dan anti-quark yang berinteraksi dengan medan elektromagnetik. Untuk sistem plasma dengan medan fluida Abelian, semua konstanta struktur bernilai nol dan nilai F~a = 0. Dari lagrangian ini kita juga dapat menghitung energi total dari sistem QGP yang dinyatakan dalam persamaan (4.17). Asumsi yang dibuat adalah kecepatan gluon dan arus quark dianggap hanya pada sumbu z. Grafik dibawah ini menunjukkan variasi nilai perbandingan energy density total QGP (4.17) dengan energy density gluon terhadap kecepatan gluon v2 . Nilai kecepatan gluon ( kecuali untuk v2 ) dan arus quark untuk semua indeks diasumsikan konstan yaitu : v1 = v3 ... = v8 = 0.8c dan Jq = 1. Dari grafik dapat dilihat bahwa pada nilai kecepatan gluon rendah energi sistem magnetofluida didominasi oleh suku interaksi quark dan gluon, hal ini dapat diinterpretasikan karena pada nilai-nilai kecepatan ini quark dan gluon masih terikat sebagai hadron. Pada kecepatan gluon tinggi energi sistem magnetofluida didominasi oleh energi gluon. Ketika kecepatan gluon menjadi sangat tinggi quark dan gluon menjadi deconfined dan akan membentuk QGP yang disusun oleh awan gluon dengan materi quark dan anti quark.
32
Gambar 5.1: H= rapat energi QGP, Hg= rapat energi gluon, ρq = 1, Jq = 1, αs = 1, φ = 0.8
33
Bab 6 Kesimpulan Telah ditunjukkan bahwa dengan prinsip gauge dapat disusun sebuah lagrangian yang invariant terhadap transformasi gauge lokal. Sebagai konsekuensinya, pada lagrangian ini muncul suku-suku baru yang menyatakan interaksi atara medan fluida, materi, dan medan elektromagnetik. Dari lagrangian ini dapat diperoleh persamaan gerak plasma untuk medan fluida Abelian dan non-Abelian. Persamaan ini digunakan untuk menjelaskan dinamika plasma quark-gluon ( QGP ) yang dihasilkan pada eksperimen tumbukan ion berat. Dari nilai energi sistem magnetofluida quark-gluon yang telah dihitung dapat ditunjukkan bahwa pada nilai kecepatan gluon yang rendah, energi sistem didominasi oleh energi interaksi antara quark dan gluon. Hal ini disebabkan karena pada nilai kecepatan gluon yang rendah sistem quark-gluon masih membentuk hadron. Sedangkan pada nilai kecepatan gluon yang tinggi energi sistem didominasi oleh energi gluon yang menunjukkan terbentuknya fase baru yaitu plasma quark-gluon. Model yang dibuat mendeskripsikan QGP sebagai aliran fluida gluon dengan materi quark dan anti-quark yang berinteraksi dengan medan elektromagnetik. Model ini mengkoreksi model QGP yang sudah ada yang menyebutkan bahwa aliran fluida dibentuk oleh quark dan anti quark yang berinteraksi dengan medan gluon.
34
Lampiran A Mekanika Kuantum Relativistik A.1
Aljabar Dirac
Dalam mekanika kuantum relativistik, ruang dan waktu dinyatakan dalam vektor empat sebagai berikut xµ ≡ (x0 , x1 , x2 , x3 ) ≡ (t, x) ≡ (t, x, y, z),
(A.1)
disebut vektor empat kontravarian, dan vektor empat kovariannya berbentuk xµ ≡ (x0 , x1 , x2 , x3 ) ≡ (t, −x) ≡ (t, −x, −y, −z). = gµν xν ,
(A.2)
dimana gµν adalah matriks transformasi 1 0 0 0 0 −1 0 0 gµν = 0 0 −1 0 0 0 0 −1 Operator differensial ∂µ ∂µ
∂ = (∂0 , ∂1 , ∂2 , ∂3 ) = = ∂xµ ∂ µν = g ∂ν = , −∇ ∂t
∂ ∂ ∂ ∂ , , , ∂t ∂x ∂y ∂z
(A.3)
=
∂ ,∇ ∂t
(A.4) (A.5)
Vektor-4 energi-momentum pµ ≡ (p0 , p1 , p2 , p3 ) ≡ (E, p), 35
pµ ≡ (p0 , p1 , p2 , p3 ) ≡ (E, p)
(A.6)
di mana berlaku relasi pµ pµ ≡ p2 = pµ gµν pν = E 2 − p · p = m2 .
(A.7)
Matriks Dirac yang digunakan adalah: γ µ ≡ (γ 0 , γ i ),
γ 0† = γ 0
memiliki representasi matriks 1 0 0 0 0 1 0 0 γ0 = γ 0 = 0 0 −1 0 0 0 0 −1
,
γ µ = γ 0 γ µ† γ 0 .
i
γ =
0 σi −σ i 0
(A.8)
.
di mana ketiga matriks Pauli, σ i dinyatakan oleh 1 0 0 −i 0 1 3 2 1 , , σ = , σ = σ = 0 −1 i 0 1 0
(A.9)
(A.10)
yang memenuhi hubungan antikomutatif i j σ ,σ ≡ σ i σ j + σ j σ i = 2δij ,
(A.11)
σi, σj
(A.12)
dan hubungan komutatif
≡ σ i σ j − σ j σ i = 2iǫijk σ k ,
di mana ǫijk merupakan bentuk nonkovarian tensor antisimetrik Levi-Civita yang didefinisikan kemudian pada Pers. (A.18). Matriks Dirac γ memenuhi hubungan antikomutatif berikut {γ µ , γ ν } ≡ γ µ γ ν + γ ν γ µ = 2g µν ,
(A.13)
dan hubungan komutatif [γ µ , γ ν ] ≡ γ µ γ ν − γ ν γ µ ≡ −2iσ µν ,
(A.14)
Pada hubungan ini σ
ij
=
σk 0 0 σk
dan σ
36
0i
= i
0 σi σi 0
.
(A.15)
Kombinasi lainnya yang berguna adalah γ
5
0 1 2 3
≡ iγ γ γ γ = γ5 =
1 iǫ γ µγ ν γ ργ σ 24 µνρσ
=
γ5 γσ = −γσ γ5 = 16 iǫµνρσ γ µ γ ν γ ρ ,
0 1 1 0
,
tensor antisimetrik Levi-Civita didefinisikan sebagai +1 untuk permutasi siklik ǫµνρσ = −1 untuk permutasi anti − siklik 0 jika ada dua atau lebih indeks yang sama
(A.16) (A.17)
. (A.18)
Persamaan Klein-Gordon:
( + m2 )Φ = 0,
≡ ∂ µ ∂ν .
(A.19)
Persamaan Dirac: (i∂ / − m)Ψ = 0 dimana a/ = aµ γ µ .
(A.20)
Di dalam ruang momentum (p/ − m)u(p, s) = 0 ,
(A.21)
(p+ m)v(p, s) = 0 ,
(A.22)
dimana u(p, s) dan v(p, s) adalah spinor-spinor Dirac. Hubungan kelengkapan spinor Dirac X
= u(s) (p, s)¯ u(s) (p, s) = (p/ + m)
(A.23)
= v (s) (p, s)¯ v (s) (p, s) = (p/ − m)
(A.24)
s=1,2
X
s=1,2
A.2
Natural Units
Pada fisika partikel, untuk menyederhanakan perhitungan biasanya digunakan sistem satuan yang disebut Natural Units. Dimana pada sistem ini nilai konstanta c dan ~ diambil sama dengan satu : ~=c=1
(A.25)
Hal ini memudahkan kita dalam perhitungan, sebab faktor ~ dan c sangat sering muncul pada perhitungan. Tetapi pada hasil akhir kita harus merubah 37
besaran yang kita dapat dalam sistem satuan yang sebenarnya. Sekarang kita akan melihat implikasi dari pemilihan nilai ~ dan c ini : • c=1 Pada sistem satuan MKS, c memiliki nilai : c ≃ 3 · 108 m/s
(A.26)
dengan memilih nilai c = 1 sedangkan kecepatan memiliki dimensi : [c] = [L][T ]−1
(A.27)
kita akan mendapatkan satuan panjang akan sama dengan satuan waktu. Jadi, panjang dan waktu akan memiliki dimensi yang sama : [L] = [T ] dengan cara yang sama, dari hubungan energi- momentum pada relativitas khusus : E 2 = p2 c2 + m2 c4
(A.28)
kita dapat melihat bahwa pemilihan nilai c = 1 akan menyebabkan energi, massa, dan momentum memiliki dimensi yang sama. Satuan momentum yang biasa kita gunakan adalah Mev/c atau Gev/c dan massa yaitu Mev/c2 atau Gev/c2 akan menjadi Mev atau Gev ketika c = 1. • ~=1 nilai dari konstanta Planck adalah : ~ = 6, 6 · 10−22 Mevs
(A.29)
dimensi dari ~ adalah energi-waktu, sehingga : [~] = [M][L]2 [T ]−1
(A.30)
dengan mengambil nilai ~ = 1 maka kita akan mendapatkan hubungan antara [M], [L], dan [T]. Karena dimensi [L] dan [T] sama, maka : [M] = [L]−1 = [T ]−1
38
(A.31)
Lampiran B Analisis Tensor Hukum-hukum fisika haruslah tidak bergantung pada sistem koordinat yang dipergunakan untuk menyatakan dalam bentuk matematik, apabila hukum-hukum ini berlaku. Studi terhadap konsekuensi-konsekuensi dari persyaratan ini menjurus pada analisis tensor yang memainkan peranan penting dalam teori relativitas umum, mekanika, teori elektromagnetik, dan teori medan kuantum.
B.1
Transformasi Koordinat
Misalkan (x1 , x2 , .........xN ) dan (x′1 , x′2 , .........x′N ) adalah koordinat-koordinat sebuah titik dalam dua buah kerangka acuan yang berbeda. Maka, transformasi koordinat dari kerangka acuan yang satu ke yang lainnya dinyatakan dengan :
B.2
x′k = x′k (x1 , x2 , .......xN )
(B.1)
xk = xk (x′1 , x′2 , .......x′N )
(B.2)
Vektor-Vektor Kontravarian dan Kovarian
Jika N buah besaran A1 , A2 , ......AN dalam sebuah sistem koordinat (x1 , x2 , .........xN ) berhubungan dengan N buah besaran-besaran lainnya A′1 , A′2 , ......A′N pada sistem koordinat yang lain (x′1 , x′2 , .........x′N ) melalui persamaan transformasi : ∂xp q A ∂x′q p = 1, 2, ........N A′p =
39
(B.3)
dengan indeks berulang adalah penjumlahan indeks tersebut dari 1, 2, ........N, maka besaran-besaran ini disebut komponen dari vektor kontravarian atau tensor kontravarian rank satu. jika N buah besaran A1 , A2 , ....., AN dalam sebuah sistem koordinat (x1 , x2 , .........xN ) berhubungan dengan N buah besaran lainnya A′1 , A′2 , ....., A′N dalam sistem koordinat (x′1 , x′2 , .........x′N ) melalui persamaan transformasi : A′p =
∂xq Aq ∂x′p
(B.4)
maka besaran-besaran ini disebut komponen-komponen dari vektor kovarian atau tensor kovarian rank dua.
B.3
Tensor-Tensor Kontravarian, Kovarian dan Tensor campuran
Jika N 2 buah besaran-besaran Aqs dalam sebuah sistem koordinat (x1 , x2 , .........xN ) berhubungan dengan N 2 buah besaran-besaran yang lainnya A′pr dalam sistem koordinat (x′1 , x′2 , .........x′N ) melalui persamaan transformasi : A′pr =
∂x′p ∂x′r qs A ∂xq ∂xs
(B.5)
maka besaran-besaran ini disebut komponen-komponen kontravarian dari sebuah tensor rank dua. N 2 buah besaran Aqs disebut komponen-komponen kovarian dari sebuah tensor rank dua jika :
∂xq ∂xs Aqs (B.6) ∂x′p ∂x′r begitu pula N 2 buah besaran Aqs disebut komponen-komponen dari sebuah tensor A′pr =
campuran rank dua jika :
∂x′p ∂xs q A ∂xq ∂x′r s contoh yang biasa kita temui adalah delta kronecker δkj . A′p r =
B.4
(B.7)
Tensor Simetrik dan Asimetrik
Sebuah tensor dikatakan simetrik terhadap kedua indeks kontravarian atau kovariannya jika komponen-komponennya tetap tidak berubah dalam mempertu40
karkan kedua indeks tersebut. Jadi jika Ampr = Apmr maka tensornya simetrik qs qs dalam m dan p. Sebuah tensor disebut antisimetrik terhadap kedua indeks kontravarian atau kovariannya jika komponen-komponennya berubah tanda dalam pmr mempertukarkan kedua indeks tersebut. Jadi jika Ampr qs = −Aqs maka tensornya
anti simetrik dalam m dan p.
41
Daftar Acuan [1] A.
Fajarudin,
Magnetofluid
A.
Sulaiman,
Unification
T.P. in
the
Djun,
and
L.T.
Yang-Mills
Handoko.
Lagrangian.
arXiv:physics.0508219v3.(2008). [2] B.A. Bambah, S.M. Mahajan and C. Mukku. Yang-Mills magnetofluid unification. Phys.Rev. Lett. 97, 072301 (2006). [3] Donald. H.Perkins. Introduction to High Energy physics. World Scientific. 1992. [4] Ryder, L.H. Quantum Field Theory. Cambridge University Press. (1996). [5] S.M. Mahajan. Temperature-Transformed
“Minimal coupling“:
Magnetofluid unification.90,0335001 (2003) [6] T.Muta. Foundation of Quantum Chromodynamics. World scientific, singapore.1987 [7] Markus. H.Thoma.The Quark-Gluon Plasma Liquid. arXiv:Physics,hepph/040921v2.2004 [8] Halzen and Martin.Quarks and Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics.1984 [9] Horace, Lamb. Hydrodynamics. Dover Publication,Inc.1945 [10] Solomon Gartenhaus. Element of Plasma Physics. Holt,Rinehart and Wiston.1964 [11] Letessier, J and Rafel,J. Hadron and Quark Gluon Plasma. Cambridge University Press. 2002. 42
