Aplikasi Prinsip Simetri pada Transformasi Invariansi Gauge Abelian dan Non-Abelian serta Implikasinya terhadap Hukum-hukum Fisika

See discussions, stats, and author profiles for this publication at: https://www.researchgate.net/publication/280708956

Aplikasi Prinsip Simetri pada Transformasi Invariansi Gauge Abelian dan Non-Abelian serta Implikasinya terhadap Hukum-hukum Fisika Research · August 2015 DOI: 10.13140/RG.2.1.3709.9360

READS

123

1 author: Asan Damanik Universitas Sanata Dharma 46 PUBLICATIONS 61 CITATIONS SEE PROFILE

Available from: Asan Damanik Retrieved on: 22 April 2016

Vol.13,No. 1, Januar,2010 ArliAditya parikesit PERAN BIOINFORMATIKADALAM KAJIAN INTERAKSIPROTEIN.PROTEIN Marina Silalahi PENGARUHPEMBERIANELISITOREKSTRAKRAGI (Sacc haromyces cerevisiae Hansen)TERHADAPKANDUNGANAJMALtstN PADA KULTURKALUS Catharantus roseus (L.) G. Don AsanDamanik AFLIKASI PRINSIPSIMETRIPADATRANSFORMAST INVARIANGAUGEABELIAN DAN NON.ABELIANSERTAIMPLIKASINYATERHADAPHUKUM.HUKUMFISIKA A. prasetyadi SIMULASIFASAII EVENPENERBANGAN ROKETAIRDENGAN PREDIKTORITERATIF BERBASISMATLAB SriAgustini Sulandari dan prayitno KAJIAI.ISISTEMELEKTROMAGNETPLATINGPADA RE6UKSI KONSENTRASI Fe DAN Mn DALAMAIR SUMUR Maftono VARIASIMUSIMANARUS PERMUKAANDI PERAIRANSAMUDERAHINDIA -

JamesJ. Spillane AN ECONOMICPERSPECTIVEON RECENTADVANCES IN PHARMACOGE.NOMICS A. Bayu primawan ALTIMETER DIGITALBERBASISMIKROKONTROLER AT89S53 BernardinusSriWidodo PENGOLAHANISYARATJANTUNG BERBASISWAVELETUNTUK DETEKSIKELAINANINFARKMENGGUNAKAN METODEHIGHSPEEDQRS DETECTION Dian Artanto DESIGNAND DEVELOPMENT OF JUMPINGMECHANISM

SIGMA JURNALSAINS DAN TEKNOLOGI ' 1 3N , o .1 ,J a n u a 2 r i0 1 0

1410-5888

DAFTAR ISI iii

EDITORIAL PenAH BIOINFORMATIKADALAM KAJIAN INTERAKSIPROTEIN-PROTEIN ArliAdiW Parikesit

EKSTRAKRAGI(Saccharomyces ELISITOR PEMBERIAN PENFARUH AJMALISINPADAKULTUR KANDUNGAN TERLIADAP Hansen) berevisiae (L.) Don G. roseus Catharantus KALiJS ....... htarihaSitatahi

1 -

7

15

APLIKASIPRINSIPSIMETRIPADA TRANSFORMASIINVARIANGAUGE ABEINN DAN NON.ABELIANSERTA IMPLIKASINYATERHADAPHUKUM.

Ltu{ulFlslKA ,AsahDananik..............

fl_ 28

ROKETAIR DENGAN FASAII EVENPENERBANGAN SIMIULASI BERBASISMATLAB PREDKTORITERATIF t,A. ................ Plasetyadi

29- 35

PLATINGPADAREDUKSIKONSENTRASI KAJIANSISTEMELEKTROMAGNET SUMUR Fe DANMNDALAMAIR 37- 44 Sri AgustiniSutandaridan Prayitno VARIASIMUSIMANARUS PERMUKAANDI PERAIRANSAMUDERAHINDIA Marbno

45- 52

AN TCONOMICPERSPECTIVEON RECENTADVANCESIN PHARMACOGE.

NOilrc$ J. Spillane Jambs

53- 65

AT89S53 DIGITALBERBASISMIKROKONTROLER ALTITMETER A. hyu Primawan...

67- 77

PENGOLAH, ISYARATJANTUNGBERBASISWAVELETUNTUK PE}.IGOLAHAN METODEHIGHSPEEDQRS INFARKMENGGUNAKAN DETIEK$lKE DEIEK$IKELAINAN DEIECTION DEIIECTION us Sri Widodo Berlpardin

79- 85

DE$|GNAND DEVELOPMENTOF JUMPINGMECHANISM Diah Artanto

B7- 98

EDITORIAL Tahun 2009 Indonesia telah berhasil melaksanakandua pesta demokrasi yakni ilihan Umum Anggota Legislatif(mulai dari tingkat Pusat hingga tingkat Daerah) dan ilihan Umum Presidendan Wakil PresidenRepublikIndonesiauntuk periode20O9-2014. i hasitdari kedua pestademokrasiitu, anggotalegislatifterpilihtelah dilantikdan sudah menurutundang-undang. bekerjasesuai dengan fungsi, tugas, dan tanggungjawabnya juga Presidendan Wakil Presidenterpilihtelah dilantikdan diambilsumpahnyadi Rakyat Republiklndonesia(MPR Rl). Sebagai Anggota Majelis Permusyawaratan nsi pelantikandan pengucapansumpah tersebut,langkah pertamayang dilakukan dan Wakil Presidenterpilihialah menyusunanggotakabinetyang akan membantu program-program kerja yang mensesejahterakan dan Wakil Presidenmerealisasikan Presidenperiode2009-2014 dan Wakil yang Presiden oleh dibentuk Kabinet lndonesia. 'i nama KabinetIndonesiaBersatu(KlB).

(anggota KIB) Presiden dan Wakil Presiden beserta pembantu-pembantunya lapangankerja,pemerataan hadapibgrbagaimasalahbesarbangsasepertipenyediaan

nan yang dikaitkandengan pemekaranwilayah Daerah Tingkat I dan ll, masalah , benang kusut dunia pendidikan,ketersediaanpangan dan energi, masalah an hidup dan bencana alam, kolusi, korupsi,dan nepotisme,ancaman terorisme, jsalah kedaulatannegaraserta berbagaimasalahsosialdan kemasyarakatan.Begiturumit kompleksnyapersoalanbangsa seolah tidak ada lagi cara pemecahanmasalah yang sudah munculmasalahlain. mpukdi depanmata.Satu masalahbelumselesaidipecahkan Kita seringkalimendengarungkapanyang mengatakanbahwa pembangunansebuah a memerlukanwaktu yang lama dan sumberdaya manusiayang memilikikarakterbaik

sebuahbudaya visi yangjauh ke depan.Waktuyang lama (relatif)untukmembangun pengetahuan ilmu kemajuan juga memanfaatkan Dengan dipertanyakan. rnarnyadapat yangrelatif waktu dalam dibangun budaya dapat yangada sekarangini,sebuah teknologi lronisnya,budaya yang terbangunakibat kemajuanilmu pengetahuandan teknologi ada sekarang ini lebih cenderung ke arah budaya negatif karena kemajuan ilmu tahuandan teknologiitu tidakdiimbangiolehpembangunankarakterbangsa. Pembangunankarakterbangsadapat dilakukansecara sistematisdan terstrukturlewat formal dan non-formal.Pemerintahharus menyadari bahwa pendidikanformal

terdidik karaktersehinggamanusia-manusia unsurpembentukan riknyamemperhatikan yang dan jauh baik yang Karakter ke depan. yang visi baik dan karakter memiliki terpelajar yang persoalan seharusnya mengurangi jauh dapat diharapkan yang ke depansetidaknya sejenisnyayang justru < terjadi sepertikorupsi,kolusi,nepotisme,dan praktek-praktek

n oleh manusiaterdidikdan terpelajardi negaraini. Anggaranpendidikanyang sudah besar sebaiknya dapat digunakan untuk meningkatkanperhatian dunia pendidikan lp pentingnyapembangunankarakter bangsa dalam dunia pendidikan. Pemerintah hal ini KementerianPendidikanNasionalharus meresponporsi anggaranpendidikan relatif besar sekarang ini dengan menyusunrencana strategispembangunankarakter lewat dunia pendidikanformal. Perlu diingat bahwa pembangunankarakterbangsa terkait erat dengan cita-citaluhur ProklamasiKemerdekaanIndonesia,etika, moral, , dan ilmu-ilmudasar. Pengetahuandan pemahamantentang cita-citaproklamasi kaan, etika, moral, dan psikologi bukanlah barang baru dalam pendidikanyang karakterbangsa (mengandungaspek afektifdan psikomotorik),tetapi ilmu-ilmu asar baiangkalimengundangpertanyaanbanyakpihak. llmu-ilmudasarsepertibiologi,kimia, sika dan matematikasarat dengan aspek kognitifdan ilmu-ilmudasar adalah fondasi dari kemajuanteknologisekarangini dan masa depan. Oleh karenaitu, dana publikseperti pantas untuk digunakandalam pendidikanyang membangunkarakterbangsa sebab bangsadan negaradi masadepan. Inyajuga untukkebaikandan kesejahteraan 2010. 1 Januari Baru SelamatTahun

4 Januari2010 Yogyakarta, AsanDamanik

ill

,

i

l

I

Vol.13,No.1,Januari2010:17-28 {rcrr,rn,

lfstl: 1+10-5888 I

APLIKASIPRINSIPSIMETRIPADA TRANSFORMASI INVARIANGAUGEABELIAN DAN NON.ABELIAN SERTAIMPLIKASINYA TERHADAPHUKUM-HUKUMFISIKA AsanDamanik Jurusan FisikaFakultas Sarns dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta Kampus lll USD Paingan, Maguwoharjo, Sleman, Yogyakarta E-mail: [email protected]

physics. The applicationof the symmetry principle into the field which undergoes a rotation in a phase space implies the exixtence of an Abelian gauge field Meanwhile, the application of symmetry principle to the Dirac fteld as a doublet of SU(2) group implies the existence of a non-Abelian gauge field with structure constant safisfies the Lie group algebra. {eywords

1 Prinsipsimetri,gauge Abetian,gauge non-Abelian,turunankovarian

i

1f Pendahuluan j Dalam fisika teoretis aplikasi prinsip simetri (gauge, warna (color), translasi,rotasi, n, paritas,waktu, dan sebagainya)pada berbagaitransformasimenghasilkanberbagai sekuensi. Konsekuensi-konsekuensi tersebutmempeduaspemahamanterhadapkonsepsep fisikayang sudah ada sebelumnyadan bahkansering mengharuskanadanya besaran s dan hukum-hukumfisika baru jika prinsip simetri itu diberlakunansecara konsisten. pemahamanyang lebih dalam dan fundamentaldengan bantuan matematikadan dapat memperluasdan bahkan merombak hukum-hukumfisika yang sudah ada ngga membukacakrawalabaru dalampenelitiandan penerapanfisika. ikasi prinsipsimetri terhadapinvariansigauge non-Abelianbanyak dijumpaidalam bukuteks dan monograftentangteori medan kuantumdan fisika partikelmisalnyabuku yang is olehBailinand Love(....),Huang(1988),MandlandShaw (1984),Peskinand Schroeder

(1995),Ryder(1988),dan Yang and Mills (1954). Dalambuku-buku teks dan monograf tidak memberikanelaborasiterhadaprumus-rumusmatematisnyayang sangat rumit panjang sehinggasering menjadi hambatandalam mempelajaridan memahamifisika yang banyakmengaplikasikan prinsipsimetritersebut. Dalammakalahini akan ditinjauaplikasiprinsipsimetriterhadapinvariansimedangauge -Abelian (gauge lokal) dengan menggunakan konsep geometri berikut bukti-bukti ya. Pembahasankemudiandilanjutkandengan meninjaukasus invariansimedan non-Abelianuntuk simetriyang lebih tinggi (simetriinternal)yaitu simetriisospinyang oleh dublet dari grup SU(2). Pada bagian terakhirdirumuskansuatu ringkasandari terhadapkasus-kasusyang ditinjau.

GeometriInvariansiGauge DitinjaumedanDiracbernilaikompleksry(x) yang invariantehadaptransformasi: I (1) vU) -->e'"('t,/t(x) i dfngan a(x) suatusudutfase rotasibergantungx. Salah satu cara untukmengetahuiapakah

persamaan(1) invarianatau tidak adalahdenganmelihatefek transformasi trpnsformasi tlrsebutpadaLagrangian: _t. .,^ t = V V y ' 1 , - m ) V - , / t i f " 0 , , V- m r l V e) .

l

17

Asan Damanik

Supstitusipersamaan(1) ke persamaan(2) menghasilkan: L = e i a { x t T p r r o -um p i " t , t , i = e-i"(x)t//Uyu 6 upi"(xl, _ *"-ia(x)*ia(x), = e i"r'ty(- f ,'(O t iy,eio(x)6 or)- rW raqxy)eia(x)yr

(3)

= wVr,(a v o * ia oo6l)1,- mrrr Terfihatbahwa persamaan(3) tidak sama dengan persamaan(2) dengan adanya faktor: i0,1,a(x) pada persamaan (3). Oleh sebab itu diperlukan suatu faktor yang dapat mengkompensasi suku i6ua(x) sehinggaL invarian. Denganmendefinisikan suatuturunankovarian: D, = 6, + ieAu dertgane konstanta, dan Au medan gauge (medanvektor),persamaan(2) menjadi:

t =,ttQy'D,- ^)v : ,ttQr'(a " + ieA,)- ,), = ryiyPA,V - etyytArr/r- mrtrv Jik4persamaan (1)disubstitusikan ke persamaan (5)makadiperoleh: i"{,tyQ, o o(a, * ieA,)- ^1,a,>, t "n@,t,Qr Du .p'"t,t, = e p t = ry i y ts0 uV + ry i y Aoa(x)ry e tyy A pt// m V/t//

@)

(5)

(6)

- ^ww = v\r"fa, +i@,o1x)+ eAul}v Terlihatdari persamaan(6) bahwa:

A, + e, - La r o1x1

(7)

Jadl pada transformasi gauge lokal v$) -+ eid(x)vr\), invariansi Lagrangian dapat dip{rtahankan dengan menggunakan turunan kovarian: Du =0u+ieAu dengan I

Ar, , - +r A , g,- - 0' , , a ( x ) . Secarageometri,turunan ty(x) ke arah vektor satuan np(p:0,1,2,3) dinyatakanoleh relaSi

nt'o ,v(x)= '.,$: ftyg+e n)- vU))

(B)

Terllhat bahwa y(x+en)-vr(x) mempunyai transformasisimetri yang berbeda dengan perqamaan(1) sehingga harus diperkenalkansuatu faktor yang dapat mengkompensasi per$edaansudutfase dari suatu titik ke titik di dekatnya. Oleh karenaitu diperkenalkansuatu bes{ranskalar U(y,x) yang memenuhitransformasi U(y,x) -+ eia(Y)lJ(y,x)e-i"(').

(e)

J i k a ji a r a k p i s a ha n t a r ad u a t i t i k s a m a d e n g a nn o t , m a k a U ( y , x ) = U ( y , y ) = U ( x , x ) = 1 . Trarfsformasi gaugelokalpada pers.(1) hanyamerupakan gaugelokalakibat transformasi suafusudutfaseyangbergantung padakoordinat, sehinggaU(y,x) dapatdituliskan menjadi U ( Y ' x ) - e i c ( Y ' x' )

(10) DenpandemikianwU) dan u(y,x)ry(x)mengikuti hukumtransformasi yang sama sehingga pers[maan(8)dapatdituliskan menjadi n o D o v ( x ) = r . , $l:y ( x +e n ) - u ( x + e n , x ) y g ) \ .

( 11 )

Ekspansi U(y,x)=siQU'x') diantaratitiky dan x menghasilkan

u(y,x)-u(y,"ll. (y-,)*++l (y-r)'*. , ' ^ -#l dy 2 tA y ' l,

18

1,.'

SIGMA Vol. 13, No. 1, Januari2010

Aplikasi Prinsip Simetripada Transformasilnvarian Gauge Abelian dan Non-Abelian

dengan

aul: "'^r'',( ,a|\l - U ( x , x r i 4 ail, ( ayl|, dx sehingga

, ^ul - U(y,*\,* U(y,x) Cl,

(v-*)*;#1, (v- r)' *...

=!+t+ iu(:,iff u - x)*) iu(x", x)l# ., #1, - x)'+ = 1+ t. ad, - , ) * t .la'6* igilftr_ x),+... *\Y

A,lar.

O x)..

Jikadigunakany = x+ e n, maka:

=t+i ffk,. +,1#., n),*... u(x+ en,x) #)n

(12)

= 1- iee n, Ar(x)* O(e') dengane suatukonstanta, ' dan0 n$ x Oigantioleh:-enpAr(x). merupakansuatu medan vektor baru Ar(x).

Koefisienpergeserane nr

Medan vektor yang muncul sebagai limit

infinitesimal dari suatu komparatortransformasisimetrilokal tersebutdikenalsebagaikoneksi (qonnectionl. Substitusipersamaan(12)ke dalam persamaan(11) menghasilkan:

n 'D ,vU ): l i n tl fty( x+ e n) - lJ( x+e n,x) y$) j e+0 €

=

1 t

/ . n)- (1- ie e neAu(xl)rtrll lylx+ liq;

(13)

=

n) - v$) + ie e ntA,( x) v@l !!l : V( r *. : tim1 fty(x+e n)- y(x)\+ ien!A"(x)y(x) .-g € n p Al v V l

Mengingatpersamaan(B),dari persamaan(13) akhirnyadiperolehrelasi D,v8)=\ao+ieA,(x)lv$) Dari persamaan(14) terlihat jelas bahwa turunan kovarian: Dp =0p+ieA,

(14) yang identik

denganpersamaan(4). Substitusipersamaan(1) ke persamaan(13) menghasilkan:

{p, + i(a r',1x7 DovT) = b u * iee rl)\r$) = sia(x1 + eAog))ly g)

Jika invariangauge, maka suku yang mengandung: Aoa$)+eAu$)

(15)

pada persamaan( 1 5 )

haruslahsamadengan eAu$) sehinggatransformasimedangaugeAu$) haruslah:

AoU) > AttU)- lu ,o(*)

(16)

yang identikdenganpersamaan(7). Definisiturunankovariandan hukumtransformasiuntuk koneksi Ar(x) didasarkanpada postulatsimetrirotasifase lokal. Eksistensimedan vektorAr(x)adalah sebagaikonsekuensi dari simetrifaselokal. Tanpa postulatsimetrifaselokaldan hukumtransformasiA,,(x), maka Lagrangianyang memuatturunan terhadap ty(x) tidak invariangauge.

SIGMAVol. 13. No. 1. Januari2010

19

Asan Damanik

SelanjutnyaditinjauLagrangiandengan tenaga kinetik memuat medan vektor Ap(x). Untukmerealisasikannya, persamaan(12) diekspansikan ke dalam e . Denganmenggunakan asumsibahwaU(y,x) suatufasemurnidankondisi:(UU,y))* =U(y,x), maka: IJ(x+e n,x) = 1- ie e nPA,,(x)* OG' ) = f - i e e n t 'A r ( x + ;n) + O(e3)

(17)

= ""p(- ie e nt Ar(x + =rn)* OG, ) Agar lebihjelas, ekspansiU(y,x) dikaitkandenganarah fase sepanjangsuatu daerahpersegi yang kecildalam ruang-waktu, misalnyadenganmeninjausuatu bidang/daerahdi bidang('1,2) sebagaimana dinyatakanolehvektorsatuan i aan2 (Gambar1).

Gambar1. Konstruksikuat medandibidang(1,2) DidefinisikanU(x) sebagaihasilkaliempat buah komparator(pembanding)di setiaptitik empat persegi(loop) pada Gambar 1 sebagaiberikut:

tJ(x)u = ( x , x + . 2 1 u 1 x + . 2 , x * . i + . 2 y u 1i + x+ . 2. , x * . i 1 u 1 x + .xi ,y

(18)

Denganmenggunakanpersamaan \'lT):

IJ(x,x+. 2y= ""pf ie. I A,(x+*l]* oG.) Lt(x+ e ),x* .i* .2y= ""p(-r . {-A,(x+ 5t*.211*oG. ) u(x+ei* . 2,x*. i; - u*pfie. {nr6+.i * i2y}*oG.) IJ(x+ e i,x1=expfie.le,$*;iy)* oG.)

sehinggapersamaan(18) menjadi:

u(x)= expf ie . (-,ar1"* ii)- A,,(x+ 7i+e 2y + Ar(x+ . i * ; 2 y + A . , ( x * ; i y )o* G . ) )

(1e)

Jika persamaan(18),diekspansikan ke dalam e , makadiperoleh:

=r2) IJ(x)= 1- ie e F nr\ IJ(x) nr7 + =r2) A.,(x l -- AA.,(x . , ( x++ii+ ii.i 1 + e 2 ) A r ( x +. t * ; ) y + A , , ( x+ i i ) + o G ' ) * . . . . .

= 1- ie e' \a,Ar1x'1_ o rAr(x)\+o(et) Jadi:

U (x)=1 -i e e2 la.,nr gy-ar A,e) |*oG.)

tzol

Dari persamaan(19)dapatdidefinisansuatubesaranfisis baru denganstruktur: F r , = 0 o A , * A , A t , ; p , v = O , ' i2' ,, 3 ,4 (21) yang bersifat invarian terhadap transformasifase lokal. Besaran Fru dikenal sebagai tensor medan elektromagnetik. Jadi dengan meninjau geometri ruang-waktudapat diperoleh tensor medan elektromagnetik Frr. Besaran Frrtentu saja invarian terhadap transformasi

20

SIGMA Vol. 13, No. 1, Januari2010

AplikasiPrinsipSimetripada TransformasiInvarianGaugeAbeliandan Non-Abelian

Ap - A, -!0ra

(persamaan(15)). Sebagaibukti invariansi Fprwalaupunmedan gauge

perubahanmenjadiAp(x) A/.t$) mengalami

[a r"g1 adalahsebagaiberikut:

-+a,")_ a,(1,_ ta,o) F,,,= 0,,(e, ' l - a,lara)l - 0,,A,- o,Ao- t ]a,,(a,o1 t--_____tr-*J :6r,4,_0,A,

Sembarang fungsi yang bergantungpada Ar(dalam fisika dinyatakanoleh fungsi Lagrangianyang merupakanrepresentasisuatu sistem fisis yang ditinjau),hanyalahmelalui tensor medan tensor elektromagnelikFu, dan turunannyayang memenuhiinvariansigauge yang lebih umum seperti ArA, lokal. Fungsi-fungsi

(yang dikenalsebagaisuku massa)jika

medan gauge bertransformasiseperti pada persamaan(16), maka dihasilkansebuah suku yang tidak dapat dikompensasi.Dengandemikianbentuk AoAo tidak dibolehkanada dalam Lagrangiankarenamelanggarprinsipinvariansigaugelokal. Bukti: Jika Ao digantimenjadiA,, -->A, -

f,Oua, maka:

I

V

A o A u- \ a u - * u o o l r n u* I a o r ) /.

= A p A P- $ a

\

o"1et

/-

\

,

/

r/

\

- A r $ a Pa \ \ a , , a l , a pa ) )+

. 0 , | \'l , v .. r = ApAp_ o) If,a,"bo + eo\at'a)l+ !\a ,"\a,

JaditerbuktiAuAt' tidakinvarianterhadaptransformasi gaugelokalpada persamaan(16). Argumentasilain yang terkaitdenganinvariansiFrrdapat dibuatdenganmenggunakan turunan kovarian. Telah diketahui,jika suatu medan mempunyaihukum transformasilokal sepertipada persamaan(1), maka turunankovariannyajuga mempunyaihukum transformasi yang sama. Jadi turunan kovarian kedua V juga bertransformasiseperti persamaan (1). Berdasarkan argumentersebutdapatdibentukkomutatoruntukturunankovarian:

"(x)fD oufv . 8) lo* on]v{x)-r ri *

(22)

Komutator: sebagaiberikut: l, ,,r" J dapatditentukan L D , , D , ] w $ )= ( D , D , - D , Du ) v 6 ) = ( a , + i e Ar \ a , * i e A , ) - ( a , + i e A , \ 0 , * i e A , ) \ y e ) = (a r o , o , o o b t r l + i e ( ao A u* A , 0 , 0 , A o A o o , , ) y ( x ) -"'@oA, - A,Ao)vUl

= l u ,a, , b$ ) +r e( a ,A , , l -f o ,o, , h t" I - " ' l l , ,a , l wU)

= , " ( a n A u- a , A r ) v U \ sehingga komutator menjadi: lO*O,l dapatdituliskan

loo,D,f:ieFu,

e3)

Sebagaikesimpulan dapatdinyatakan bahwadenganmempostulatkan medanelektron mengikutihukum transformasisimetri lokal persamaan(1), eksistensipotensialvektor elektromagnetik A menjadi suatu keharusan.Potensialvektor elektromagnetik yang

SIGMAVol. 13, No. 1, Januari2010

21

Asan Damanik

merupakankomponenruang dari medan At, = (A0,-A) = @,- Ar,-Ay,-Ar) , dan konstantae pada persamaan(4) dikenalsebagaimuatanelementer(muatanelektron). 3. LagrangianYang-Mills Ditinjaumedan fermion,yang sering disebutjuga medan Dirac yang merupakandublet darigrupSU(2),yaitu: (ut.(x\\

(24)

'=lr,td

yang bertransformasimelalui rotasi dalam ruang tiga dimensi abstrak sebagai spinor berkomponen dua:

,y -->explo"o" lzly

(25)

dengan o" (a=1,23) adalah matriks sigma Pauli dan o" (u=1,23) suatu parameter. Persamaan (24) dibuat menjadi simetri lokal yang Lagrangiannya invarian terhadap persamaan(1), tetapidenganmembuatqu =a"(x). transformasi Kita tuliskantransformasi tersebutsebagai:

g)o" f Z) ry -+ V(x)ry, denganV(x) : expQa"

(26)

Dari persamaan(25) terlihatada 3 gerak simetriortogonalyang satu dengan yang lain tidak yakni cukup ditinjausifat matrikssigma Pauli: safingberkomutasi, [ou,ob)=zi""b"o" yang tidak komutatif. Teori medan yang terkaitdengan simetri lokal yang tidak komutatifdisebut feori gauge non-Abelian. UntukmembentukLagrangianyang invarianterhadaptransformasigrup gauge non-Abelian, kita harus mendefinisikan kembaliturunankovarian. Digunakandefinisipada persamaan(B), tetapi karena r/ mempunyaidua komponen (seperti pada persamaan (24)), maka komparator U(y,x) haruslahmatriks2x2.

Hukumtransformasi untuk U(y,x) menjadi: U(y,x) -->V(y)U(y,x)V.(x)

(27) dengan V(x) seperti pada persamaan(26). Pada titik x + y kita dapat membuat IJ(y,x) menjadi matfiks uniter. Di sekitar U = | , matriks tersebut dapat diekspansikandalam bentuk generator HermitianSU(2). Jadi, jarak pisah infinitesimal(seperti yang dilakukan pada perumusansebelumnya,persamaan(12))dapatdituliskan:

tJ(x+e n ,x)= 1+ig e ,' O", O( e2 ) ++

(28)

dengang adalahsuatukonstanta.Denganmemasukkan persamaan (28)ke dalampersamaan (11)diperoleh: n u D , , V ( x )l=i n ! 1f t y ( x +e n ) - l J ( x +e n , x ) y ( x ) \ €+U e

=,*i{r,'+ e n)-(,. r e neAi | 1 .

.

+ oG",)r,',}

n 2

= fim- ly(x+ e n) - vr\)l- ignqAi,:-vU) . 'o€ Z

nlalV _a

- nPd,y(xo - ignqAi ?v8) z

= n,(u,,- isAi,U)ru, Dengandemikiandihasilkanturunankovarian: D , = d uc -" i gt A, i ,2*

22

(2e)

SIGMA Vol. 13, No. 1, Januari2010

Aplikasi Prinsip simetri pada Transformasilnvarian Gauge Abelian dan Non-Abetian

Untuk memperolehhukum transformasikoneksi A!, persamaan(29) dimasukkanke persamaan (28),yakni: U ( x + e n , x ) - + V ( x + e n ) U ( x +e n , x ) V .( x )

(30)

=v(x+. n,ry(t+ is e n,'Ai*lu.,r, z )

\

Untuk menyederhanakan persamaan (30), ekspansi V(x+ e n) dilakukan dengan menggunakanidentitasberikut: V(x+ e n)V. (x): [h* . npOo + O1.'1]t1x1]t.1xy = 1+e n, \a,vg)v - (x) + o(e2) denganmenggunakan: / \

urly$)v.1x1l=@ +v(x)a rv1x)lz.(*) ttv+(x) I

-

l

\

1

1

o = (arv1x1)y*(x) +vg)a/y+ (x) = -vg)atv+ (x) =(a ovgy)v*(x)

maka:

= (r+e npo,+o(e2l!tr)|, trl vg+ e n)v*1xy = 1+e n,v[x{- a,v: 1x1)+ o1.'1

(31)

Jadi dengansubstitusipersamaan(31)ke persamaan(30)diperoleh: U(x+ e n,x) *>V(x+ e n)U(x+e n,x)V*(x)

g)v(x)1,.,n | +isenuA7,+ - vg+en,x)Y+ enpAfl*lu',", -l-\ z )

=v(x+. n,x)v* g{vg)+ is ev(x)np Ai *lu. t', ' ) |

t

t

'

'

l

-

a

)

=t* . npvg)l-arv. @)) Afl*u.trl ' | +igev(x)np \ z )I l ^ a ; l = r+isenev(x)lAi, - a, $) ?. lv+

Jadi diperolehhukumtransformasi:

oi+ - vu{eit.;u,)u,,",

(32)

Untuktransformasi infinitesimal, bentukV(x)="*p(,'o"1r1o"fZ)aapatdiekspansikan, yaitu: |

, \

-a

v ( x ) = e x p ( i a ' ( x ) o " 1 2 ) = l + i a u i + . . . , d a nj i k a d i a m b isl a m p aoi r d ep e r t a m a s a j a ,m a k a persamaan (32)dapatdituliskan menjadi:

SIGMAVol. 13, No. 1, Januari2010

23

Asan Damanik

o",+ - ['.,".u)l^,+.;',)(,-,""u)

-, * u, *(,". ""+) i i)(^,+J][, ; I^, _oi,+*;u, *i(*"u)(^ru) -,(o, +)("" +)uu,("" +),,(," +)(^, +)(". +)

=ai, *11a,o" )+ .,(("" z,{ +)(^x +)-(^, t)(""+)l*; u,

.(""+)(^,+)(""+)

=Ai+*! 1a,, o")+ .il*"f, ,nx+1.t u,*(""+)(^, +)(""+) sehingga hukumtransfoimasi untukO?,+ z

dapatditutiskan:

--> Ai+ A",91n!p,o")**il*" " 2 u 2 g \ F ' 2 {,n2+]. 2 ' ' 2 1

(33)

L Suku ke tiga ruas kanan persamaan(33) merupakansuku yang baru berkaitandengan sifat transformasilokal yang tidak komutatif. Kombinasi relasi pada persamaan (33) dengan transformasi medanfermion:,/ -\t+ iou o" fz)y menghasilkan: (

a

|

"

D,y-+| a,,- isai - i{a,o" )T. ol""i,ni, ' 2T))1, ) ) \ * i," l)v | z z 2I r, I ^a

bl\/

_c\

(34) / -\ = [ 1 * i o "l l o , , , 2 ) " ' \ Jadi, dengan menggunakanturunan kovarian,kita dapat membentukLagrangianinvarian gaugeyang lebih umum untukmedanfermion y . UntukmenuliskanLagrangianyang lengkap harusjuga ditemukansuku invariangauge yang bergantungpada ,afl. Untuk maksuditu, kita bentuktensoryang analogdengantensormedanelektromagnetik. Analogdenganpersamaan(21),kitadapat menuliskanhukumtransformasiturunan kovarian sebagaiberikut:

qltylx'1 . lo,,qlv{4 -v 1x\o,,

(35) BentukLoo,o,l padapersamaan (35)bukanlahoperatordiferensial tetapimerupakan suatu faktorperkalian (bentukmatriks)yangbekerjapaday. Bentukdari lDu,o,Jsecaraeksplisit dapatditurunkan sebagaiberikut:

24

SIGMA Vol. 13, No. 1, Januari2010

AplikasiPrinsip Simetripada Transformasilnvarian Gauge Abelian dan Non-Abelian

Du,D,lru)=l, oo,- D,Dt V$)

gA!+) oas+)p,sAn+)(d,sA?,i)1,u, lu.{[,"={lu,,- isAfl -(u,- En1 *)r, *),sng *" -) ") t\ \

-(u.-,not +),,.[r" n^e *)noz,],t,t -isA?,f ={uru, u, -igarA! *-n'oi,*"1* a,o,+ion!! a,+iso,Afl n'o, ^n *. * t\rU,

=-'{(,,^t t -u.ofl +l'(oi t ^t* -^,* ^n*)1,u, - u,of, -,nl =,g{u,n3 oi*,' ol*l}',,., * ! " ' 'J) L t 'Ea p,

= _igFi,

o-

z

"_ a

v(x\ 2 "

yang mengimplikasikan:

-isF;, lo,,o,l+

dengan: F;,

(36)

,^t+)

n" '1-,olo: g1 *=a,n:?-u,o',t, _1 , 2

ol

(37)

Jika dituliskan: t r

^

e l

lo" oo | l_._l=tt"

, "0"6"

1 2 ' 2 )

-

(38)

z '

makadiperoleh: F;, = at A3 - a,Ai, + ge"o"AorAi Hukumtransformasiuntukkuat medansesuaidenganpersamaan(26) dan (35) adalah:

-+vg)lDu,D,lvU) lo,,o,ly 1x]11r [ ^') - igFi,.iw(x) -+v(x{igri,?

(3e)

(40)

)v(*)

denganmenyisipkanV+(x\V(x) (sebabv*1x1v1x;-l)diantara "ur,u i- igri,{)

2 )

dan y(x)

pada persamaan(40) diperoleh: (

^a -a\ - isFi,ivUl-+ v(xl- isFi, (x)Yg)vg) . , lr' t//(x)

SIGMAVol. 13. No. 1. Januari2010

25

Asan Damanik

Jadi:

,;,+-+vu{r;.t)wut

(41)

Bentukinflnitesimalpersamaan(41) dapat diperolehdengan mengekspansikan V(x) dan dalam ou, denganmengambilsampaiordepertamasajadiperoleh:

vu)

,=i.+ - [,.,".*)(rn.+)(,-,."+) '

z

, 1 ,

\

z ) \

2 )

-(ri,t2 1io"*ri,+l[' -,."+) -/\ -) l'" r

d

^ _

*i*"I rf,+ -iFi,+ aa* *o"* ri,+ ""+

u

,1,."*,ri,+l

6 "o

Ed

ltv

t

-

L

' )

Jadi diperolehtransformasi:

F;,+ F / 2 . F,i,+*1,*"{,r:,+l t ' v2 2' ,' 2)

gz)

L Dari persamaan(42) terlihatbahwa kuat medan tidak lagi merupakansuatu besaranyang . invariangauge,karenasetiapmedanmempunyaitigajenis kuat medanyang berkaitandengan suatu arah rotasi dalam ruang abstrak,yaitu kombinasiyang dihasilkaniuku terakhir ruas kanan persamaah1+2;. Tetapi, kombinaii kuat medan ying'invarian gauge dapat dibentuk, misalnyadenganmenuliskan: .

f,

^r2 l

r =- l t J Ir " t ] - l =- l ( r , f 2 l \ " 2 ) )

(43)

sebagaisuku tenaga kinetikyang invariangauge untuk Ai.

Sebagaibuktidijabarkan berikut

4 \ p v '

ini: F"

u

=

+F|,o' + Fj,o')

)t;,o'

-J).';[l =*(,;.(i l).,;.(?

0)) t l -1)l

(43a)

F:, r), - irj"\ = 1( 2l F,r,,+ iF,?, - F,1, )

+)'-(',.T).(',:,t)

(,t"

= 1(F;" 7lrl, +irj, =

F,)" - iF,l,

)(r:"

- F:,, )\r,i,

* F:, )' 1((r,:.)'* F,?)"

4[

r). * ri.)

+ iFj,

o

- F;, )

(43b)

l

F;.)'* (r:.)'* (r,?. )')

o

26

SIGMA Vol. 13, No. 1, Januari2010

--

Aplikasi Prinsip Simetripada Transformasilnvarian Gauge Abelian dan Non-Abelian

(

a\'

=l(ti"f sehinggasuku tenaga kinetik adalah: trace lri,*l 2 2 )

. l"Oi persamaan(43)

terbukti. Kuadratdari kuat medan non-Abeliantersebut(misalnyadigunakanpersamaan(39)) akandihasilkan: F u* F;, = (a, n^ * a' At' + ge"0"AthA* h r,q: - a, Ai + g""0" n'ra"u)

=(a,a*\a,ei)-(a'n*y,,Ai)*sr"o"na e* lauei) - (s,uo" - (a,n^\a,nX) A*h, oi,) A@ * @'a*\a, AX)

(a3c)

ein;) An\g""'" *(aue*\g""" a1ni)-(a"A*\gu"'"nie)+(g""o"A@ Jadi Lagrangianpada persamaan(42) mengqndungsuku-sukuAfl berpangkattiga dan empat. Lagrangiantersebutsebagaisuatu teori medan interaksidikenalsebagaiteoriYang-Mills. Teori Yang-Millstersebutmerupakancontohsederhanateorigaugenon-Abelian. Untuk membentuk teori medan vektor Yang-Millsyang berinteraksidengan medan fermion,kita hanyamenambahkansuku LagrangianDirac,sehinggamenjadi:

-mvv t =-|(r;,Y*wQr"D,V

- '^r+})v- m' ,'v =-)lr;.f. r(,r'{u,

(44)

yang dikenal sebagai Lagrangian Yang-Mills,dengan m adalah massa fermion. Persamaan gera1 teori gauge tersebut dapat diperoleh dengan memvariasi Lagrangian tersebut '(persamaan (44))sebagaiberikut: ^ A L A L (45)

o'

Nilaidari a,, " ,

dL

, d^n

a\a oafl)

0L

aF;")=1

adalahsebagaiberikut:

aa|,

( - u]\l | o* o - m'r ioefl *'/'lir v u i'' "lY i' ;6n ;il^1..7J1la aL

[ '

a

','o* =-! ?'i' ,Ft',a-!rg,., , 4 '" a\a 4 a\a pA?') uafl)

__Fpn +

:h=

u,;ch=_apFpn

-gwr, g'"b" nflel ' +'-

sehingga:

aL aL "^u ;il*)= ,^fl' yangakhirnyamenghasilkan:

Ab'Ff,,= -gryy' oPFi, + ge"b"

+r,

(46)

serta kuatinteraksi) koplingyangmenunjukkan (konstanta dengang suatukonstanta ,t,y' *v

='/'YPtuv- 1ua,

(47)

L

dengan t" = ou l2 dan ipa didefisikansebagaiarus simetriglobalmedanfermion.

S|GMAVol. 13. No. 1, Januari2010

27

AsanDamanik

4. Penutup Telahdilakukanelaborasiterhadap medanfermion(medanDirac)bernilaikompteksyang harus memenuhiinvariansigauge pada transformasigauge lokal. Sebagai konsekuensinya turunand, harusdigantidenganturunankovarianDr,+ar+ieA1,. Keharusan adanyamedan gauge A, sebagai konsekuensilogis dari postulatberlakunya simetri rotasi fase. Juga

telah

dijabarkantensor kuat medan elektromagnetikFu, dengan menggunakan konsep geometri dan invariansi Lagrangian. Denganmemberla.kukan invariansiLagrangianuntuk medan Dirac yang merupakandublet dari grup SU(2) dihasilkan suatu tensor- medan yang mirip o'"ng""n tensor medan elektromagnetik,yaitu Ff, berstfattidakkomutatif(non-Abelian)yang ditandaioleh keberadaan faktor f aDcyang merupakantetapan struktur aliabarLie untuk komutasigenerator (basis) grup Lie' Bentukinteraksidalamteori non-Abelianditentukanoleh adanya keharusanbahwasebuah teori harus didasarkan pada prinsip simetri dan gauge lokal harus invarian terhadap transformasi-transformasi yang dilakukan.

Kepustakaan Bailin,D.,andLove,A., .....,tntroduction to GaugeFietdrheory,Graduate student Seriesin Physics Huang,K., 1988,Quarks,Leptons & GaugeFietds,Singapore: publishing WorldScientific Co PteLtd. Mandl,F.,andshaw,G., 1984,euantumFietdrheory,Newyork:Johnwirey & sons.. Peskin,M.E.,and schroeder,D.v., 1995,tntroduction to euantumField rheory, New york: publishing Addison-Wesley Company, Newyork. Ryder,L.H.,'1988,QuantumFierdrheory,cambridge:cambridgeUniversitypress. Yang, c.N., and Mills, R.t-., 1954,"conservation of lsotopicspin and lsotopicGauge phys.Rev.96. fnvariance",

ASAN DAMANIK Lahirdi simalungunpada tanggal11 Nopember1963. Lulus sarjana llmu Kedokteran 'trl1agisteisains H.ewanlPB Bogor tahun 1987,SarjanaFisikaFMIPA UGM tahun 1992, datam bidangFisikaTeoretisdari PascasarjanaUGM tahun 19g2, dan Doktor FisikaTeoretisdalam bidangFisikaParrtikelFundamentaldari FMIPA UGM tahun 2009. Tahun 1gg2-19g3menjadi dosen di FPMIPA lKlP Sanata Dharma, tahun 1993-2007 dosen Jurusan Fisika FMIpA universitassanata Dharma,dan tahun 2007 sampai sekarangmenjadi dosen pada Jurusan FisikaFakultassains dan Te_knologi (FST) Universitassanata bhurr". Bidangpenlitianyang diminati adalah Fisika Partikel Fundamentalkhusunya Perluasan Model Standar Interaksi Elektro-lemah, Massadan MatriksmassaNeutrino.

2B

SIGMAVol. 13, No. 1, Januari2010