Lagrangian Untuk Teori Berbasis Simetri SU(6)
Skripsi Diajukan sebagai salah satu syarat untuk meraih gelar Sarjana Sains
Zuhrianda 0301020794
Departemen Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Indonesia Depok 2004
Lembar Persetujuan
Judul Skripsi
:
Lagrangian Untuk Teori Berbasis Simetri SU(6)
Nama
:
Zuhrianda
NPM
:
0301020794
Skripsi ini telah diperiksa dan disetujui Depok, 8 Juni 2005 Mengesahkan
Pembimbing I
Pembimbing II
Dr. L. T. Handoko
Dr. Terry Mart
Penguji I
Penguji II
Dr. Agus Salam
Dr. Imam Fachrudin
Abstrak Telah dibuat diagram dan aturan Feynman untuk teori unifikasi berbasis simetri SU(6) grup. Dalam kerangka teori ini diturunkan semua interaksi boson gauge dan fermion secara lengkap. Interaksi-interaksi baru yang diprediksi dalam teori ini akan memberikan kontribusi baru ke aneka fenomena di fisika energi tinggi yang sudah maupun belum diketahui. Diharapkan dengan ini keberadaan teori ini bisa diuji pada eksperimen-eksperimen fisika energi tinggi yang sudah maupun akan berjalan di masa depan.
Abstract Feynman rule and diagram has been made for Unification Theory based on SU (6) group simmetry. All interaction of boson and fermion gauge has been derived for this model. New interactions predicted from this theory will give new contribution to phenomenon in high energy physics which has known or still unknown. Hopefully, the existence of this theory can be tested on high energy physics experiment which has been done or will be done on the future.
iii
Daftar Isi Abstrak
iii
Daftar Isi
iv
1 Pendahuluan
1
1.1 Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2 Perumusan Masalah
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3 Metode Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.4 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2 Standard Model
4
2.1 Transformasi Gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.1.1
Simetri gauge Abelian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.1.2
Simetri gauge non-Abelian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.1.3
Simetri gauge SU (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2 Teori SU (2) × SU (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.2.1
2.2.2
Lagrangian SU (2)L × U (1)Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Spontaneous Symmetry Breaking . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Mekanisme Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3.1
Pembentukan Massa Fermion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.2
Quark Mixing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Grup SU (6)
15
iv
3.1 Grup SU (6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2 Particle Assignment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.3 Generator SU (6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 Lagrangian
20
4.1 Transformasi Fungsi Gelombang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.1.1
Transformasi Sextet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.1.2
Transformasi 15-antiplet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.2 Covariant Derivatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.2.1
Sextet Covariant Derivatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2.2
15-antiplet covariant derivatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.3 Suku Kinetik Fermion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4.3.1
15-antiplet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.3.2
6-plet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.3.3
Suku Kinetik Fermion Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.4 Suku Interaksi Yukawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.5 Suku Kinetik Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5 Hasil dan Pembahasan
28
A Perhitungan Suku Kinetik
39
A.1 Suku Kinetik Sextet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 A.2 Suku Kinetik 15-plet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 A.3 Suku Kinetik Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Daftar Acuan
44
v
Bab 1 Pendahuluan 1.1
Latar Belakang Masalah
Kebanyakan dari fenomena fisika partikel dapat dijelaskan dengan baik dengan menggunakan Standard Model fisika partikel dan interaksi-interaksi fundamentalnya. Keberhasilan dari spontaneus symmetry breaking (pemecahan simetri spontan) dalam menjelaskan fisika electroweak membuat para fisikawan berpikir, apakah Standard Model merupakan versi pecahan dari teori unifikasi lain dalam skala energi yang lebih besar, sebuah teori yang hanya memiliki satu grup gauge dan satu konstanta coupling. Sudah menjadi konsekuensi umum dari asumsi ini bahwa quark dan lepton akan membagi representasi dari grup gauge yang menyebabkan kuantisasi muatan dari quark dan lepton. Teori seperti ini dinamakan Grand Unified Theory (Teori Penyatuan Besar) atau disingkat GUT. Sebagai konsekuensi dari renormalisasi, konstanta kopling elektromagnetik semakin membesar pada energi tinggi, sedangkan konstanta kopling untuk interaksi nuklir lemah dan kuat menjadi semakin kecil pada energi tinggi. Pada skala massa M ≡ 105
GeV, ketiga kopling konstan terllihat memiliki besar yang sama. Oleh karena itu, skala massa ini merupakan skala massa dimana sebuah GUT akan terpecah secara spontan menjadi model tiga simetri gauge yang berbeda SU (3)C ×SU (2)L ×SU (1)Y .
Untuk melakukan penyatuan ini maka yang harus dilakukan: 1
1. Memilih grup gauge G yang secara matematis didalamnya terdapat grup SU (3)C ×
SU (2)L × SU (1)Y dari tiga grup gauge yang relevan terhadap fisika partikel pada energi rendah.
2. Memilih representasi fermion sedemikian sehingga pada keadaan energi yang rendah muncul struktur standar SU (3)C × SU (2)L × SU (1)Y .
3. Memilih representasi skalar dan kopling skalar yang memberikan pola sym-
metry breaking dari G sampai ke SU (3)C × SU (2)L × SU (1)Y dan terus sampai SU (3)c × U (1)e m.
4. Menentukan kopling Yukawa dalam teori untuk memastikan terdapat massa
fermion setelah symmetry breaking. Grup gauge SU (6) merupakan salah satu grup unitary yang dapat memenuhi semua interaksi grup gauge (selain SU (5)), yaitu grup colour SU (3)C , grup isospin dari partikel left-handed SU (2)L , dan grup gauge U (1)Y untuk muatan lemah. U (1) dan SU (2) masing-masing mempunyai rank 1, sedangkan SU (3) mempunyai rank 2, sehingga grup gauge yang telah disatukan harus memiliki setidaknya rank 4, dalam hal ini SU (6) memiliki rank 5. Dan juga U (1), SU (2) dan SU (3) masing-masing memiliki 1, 3, dan 8 generator dan totalnya 12 generator, sedangkan SU(6) memiliki 35 generator, sehingga sudah cukup besar untuk mencakup SU (3)C ×SU (2)L ×SU (1)Y .
1.2
Perumusan Masalah
GUT SU (6) merupakan kandidat baru dari Grand Unified Theory. Seperti halnya dalam Standard Model dan GUT SU (5) diperlukan adanya suku kinetik fermion yang menggambarkan interaksi antar fermion dengan boson yang menjadi mediasinya. Dalam paper terakhir tentang GUT SU (6) suku kinetik fermion ini belum dikerjakan. Melanjutkan paper terakhir, disini dibuat suku kinetik fermion dari GUT SU (6). Dengan suku kinetik fermion ini bisa diperoleh Feynman Rule sehingga bisa diketahui interaksi-interaksi yang dimungkinkan pada GUT SU (6) ini.
2
1.3
Metode Penelitian
Penelitian ini bersifat teoritik. Teori yang digunakan merupakan teori SU (6) yang menjadi kandidat baru sebagai Grand Unified Theory. Dengan menghitung Lagrangian dari SU(6) ini bisa didapat hubungan antara fermion dan fermion dengan boson sebagai kouplingnya. Dari Lagrangian tersebut dapat dibuat aturan dan diagram Feynman.
1.4
Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan mencari lagrangian GUT SU (6). Dengan Lagrangian ini bisa dibentuk Feynman Rule untuk mengetahui interaksi-interaksi yang diperbolehkan pada GUT SU (6).
3
Bab 2 Standard Model Pada bab ini penulis akan mencoba menjelaskan secara singkat mengenai teori SU (3)C × SU (2)L × SU (1)Y .
2.1
Transformasi Gauge
Dalam teori medan kuantum dipelajari bahwa setiap teori yang dibangun berdasarkan suatu simetri tertentu maka teori tersebut haruslah invariant terhadap transformasi lokal atau transformasi gauge dari simetri yang dibangun. Jika teori tersebut invariant maka besaran-besaran fisis yang dihasilkan, nilainya tidak bergantung pada kerangka acuan inersia dimana besaran tersebut diukur.
2.1.1
Simetri gauge Abelian
Dari persamaan Dirac didapat bahwa Lagrangian untuk medan elektron-bebas ψ(x) adalah: L0 = ψ(x)(iγ µ ∂µ − m)ψ(x)
(2.1)
Lagrangian ini invariant terhadap simetri global U (1) yaitu: ψ(x) → ψ 0 (x) = e−iα ψ(x) 0
ψ(x) → ψ (x) = eiα ψ(x) 4
(2.2)
Simetri ini akan diubah menjadi simetri lokal dengan mengubah α menjadi α(x). Jadi akan dibuat teori yang invarian terhadap perubahan fase yang tergantung ruang– waktu. ψ(x) → ψ 0 (x) = e−iα(x) ψ(x) 0
ψ(x) → ψ (x) = eiα(x) ψ(x)
(2.3)
Suku derivatif dari Lagrangiannya akan menjadi: 0
ψ(x)∂µ ψ(x) → ψ (x)∂µ ψ 0 (x) = ψ(x)eiα(x) ∂µ (eiα(x) ψ(x)) = ψ(x)∂µ ψ(x) − iψ(x)∂µ α(x)ψ(x)
(2.4)
Adanya suku yang kedua merusak invariant. Oleh karena itu perlu dibentuk gaugecovariant derivative Dµ untuk menggantikan ∂µ , dimana Dµ ψ(x) akan memiliki transformasi Dµ ψ(x) → [Dµ ψ(x)]0 = eiα(x) Dµ ψ(x)
(2.5)
sehingga kombinasi ψ(x)Dµ ψ(x) merupakan gauge invariant. Dengan kata lain pemberian covariant derivative pada medan tidak akan mengubah sifat transformasi dari medan itu. Hal ini dapat dilakukan apabila dibuat medan vektor baru Aµ (x), atau medan gauge, yang membentuk covariant derivative Dm uψ = ∂µ + ieAµ )ψ
(2.6)
dimana e merupakan muatan elektron. Maka transformasi dari covariant derivative (2.5) akan terpenuhi apabila medan gauge Aµ (x) memiliki transformasi 1 Aµ (x) → A0m u(x) = Aµ (x) + ∂µ α(x) e
(2.7)
Sehingga Lagrangiannya akan menjadi L00 = ψiγ µ (∂µ + ieAµ )ψ − mψψ
(2.8)
Agar medan gauge tersebut memiliki arti fisis maka di dalam Lagrangian harus terdapat suku yang mengandung turunannya. Suku yang paling sederhananya adalah 1 LA = − Fµν F µν 4 5
(2.9)
dimana Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ
(2.10)
Dengan menggabungkan (2.8) dan (2.9) maka diperoleh Lagrangian QED (U (1)) 1 L00 = ψiγ µ (∂µ + ieAµ )ψ − mψψ − Fµν F µν 4
2.1.2
(2.11)
Simetri gauge non-Abelian
Sekarang prinsip dari teori gauge Abelian dikembangkan ke simetri gauge nonAbelian (simetri SU (2)). Anggap medan fermionnya merupakan isospin doublet !
ψ1 ψ2
ψ=
(2.12)
dalam transformasi SU (2) diperoleh (
−iτ · θ ψ(x) → ψ (x) = exp ψ(x) 2 0
)
(2.13)
dimana τ = (τ1 , τ2 , τ3 ) merupakan matriks Pauli dan θ = (θ1 , θ2 , θ3 ) adalah parameter transformasi SU (2) Lagrangian bebas L0 = ψ(x)(iγ µ − m)ψ(x)
(2.14)
invarian terhadap simetri SU(2) global dengan θi yang tidak tergantung ruangwaktu. Tetapi dalam transformasi simetri lokal ψ(x) → ψ 0 (x) = U (θ)ψ(x)
(2.15)
dimana
−iτ · θ(x) (2.16) 2 Lagrangian bebas L0 tidak lagi invarian karena suku turunannya akan bertransforU (θ) = exp
masi menjadi
0
ψ(x)∂µ ψ(x) → ψ (x)∂µ ψ 0 (x) = ψ(x)∂µ ψ(x)
+ψ(x)U −1 (θ)[∂µ U (θ)]ψ(x)
6
(2.17)
Untuk menghasilkan Lagrangian yang gauge-invarian pertama-tama didefinisikan medan vektor gauge Aiµ , i = 1, 2, 3 (masing-masing satu untuk tiap generator group) yang membentuk covariant-derivatif
τ · Aµ Dµ ψ = ∂µ − ig ψ 2
(2.18)
dimana g merupakan konstanta kopling. Dµ dibuat supaya memiliki sifat transformasi yang sama dengan ψ Dµ ψ → (Dµ ψ)0 = U (θ)Dµ ψ ini berarti
!
(2.19) !
τ · A0µ τ · Aµ (U (θ)ψ) = U (θ) ∂µ − ig ψ ∂µ − ig 2 2
(2.20)
atau "
#
τ · A0µ τ · Aµ ∂µ U (θ) − ig U (θ) ψ = −igU (θ) ψ 2 2 τ · A0µ τ · A0µ −1 i = U (θ) U (θ) − [∂µ U (θ)]U −1 (θ) 2 2 g
(2.21)
Yang mendefinisikan transformasi medan gauge untuk grup SU (2).
2.1.3
Simetri gauge SU (3)
Chromodynamics adalah teori gauge nonabelian SU (3) untuk muatan color. Fermion (α)
yang membawa muatan color adalah quark, masing-masing dengan medan ψj , dimana α = u, d, s, . . . adalah label flavor dan j = 1, 2, 3 merupakan index color. Boson gauge, yang juga membawa color, disebut gluon, masing-masing memiliki medan Aaµ , a = 1, . . . , 8. Lagrangian untuk chromodynamics adalah X (α) 1 (α) a Lcolor = − Faµν Fµν ψ j (iD / jk − m(α) δjk )ψk + 4 α
(2.22)
Dengan tensor medan gauge a Fµν = ∂µ Aaν − ∂ν Aaµ − g3 f abc Abµ Acν
7
(2.23)
dimana g3 adalah parameter kopling gauge SU (3) dan covariant derivatif quark adalah Dµ ψ = (∂µ + ig3 Aaµ
λa )ψ 2
(2.24)
dengan generator
0 1 0 λ1 = 1 0 0 0 0 0
0 0 1 λ4 = 0 0 0 1 0 0
0 0 0 λ7 = 0 0 −i 0 i 0
1
√ 0 0 −i 0 −i 0 3 λ2 = i 0 0 λ5 = 0 0 0 λ8 = 0 i 0 0 0 0 0 0
1 0 0 λ3 = 0 −1 0 0 0 0
0
√1 3
0
0 0 0 λ6 = 0 0 1 0 1 0
0 0
√1 3
(2.25)
persamaan paling umum untuk lagrangian chromodynamics adalah 1 α α α a + ψ L ZLαβ iD / ψLβ + ψ R ZRαβ iD / ψRβ − ψ L M αβ ψRβ Lgen = − ZFaµν Fµν 4 g2 α a a −ψ R M †αβ ψLβ + 3 2 θµνλσ Fµν Fλσ 64π
2.2 2.2.1
(2.26)
Teori SU (2) × SU (1) Lagrangian SU (2)L × U (1)Y
Sebelum memulai penjelasan mengenai teori SU (2)L × U (1)Y perlu dijelaskan dulu tentang particle assignment dari fermion. Dari eksperimen peluruhan inti beta didapat bahwa particle assignment untuk fermion left-handed adalah doublet sedangkan fermion right-handed adalah singlet. leptons : `L ≡
νe e
quarks : qL ≡
u d
8
!
!
eR
L
uR d R . L
(2.27)
Lagrangian SU (2) × U (1) terbagi menjadi tiga bagian, gauge (G), fermion (F ) dan
Higgs (H)
LW S = L G + L F + L H
(2.28)
medan gauge boson yang mengkopel isospin lemah dan hypercharge lemah masingmasing adalah W µ = (Wµ1 , Wµ2 , Wµ3 ) dan Bµ . Kedua medan ini memberikan densitas lagrangian untuk bagian gauge 1 1 i LG = − Fiµν Fµν − B µν Bµν 4 4
(2.29)
i dimana Fµν (i=1,2,3) merupakan suku kinetik untuk medan SU (2) i Fµν = ∂µ Wνi − ∂ν Wµi − g2 ijk W µj Wνk
(2.30)
dan Bµν adalah suku kinetik medan U (1) Bµν = ∂µ Bν − ∂ν Bµ
(2.31)
left-handed dan right-handed termasuk dalam densitas lagrangian pada bagian fermion. Dengan menjumlahkan doublet left-handed ψL dan singlet right-handed ψR didapat LF =
X
ψ L iD / ψL +
X
ψ R iD / ψR
(2.32)
ψR
ψL
Karena fermion right-handed tidak terkopel dengan isospin lemah, maka covariant derivatifnya maka berbentuk Dµ ψR = (∂µ + i
g1 YW Bµ )ψR 2
(2.33)
dimana g1 merupakan konstanta kopling SU (2) dan YW merupakan normalisasi untuk gauge U (1). Sedangkan covariant derivatif untuk SU (2)L doublet ψL adalah !
~ τ ~ g1 Dµ ψL = I(∂µ + i YW Bµ ) + ig2 W µ ψL 2 2
(2.34)
dimana g2 merupakan konstanta kopling dari gauge SU (2). Persamaan-persamaan secara matematis sudah mendefinisikan teori gauge untuk 9
isospin dan hypercharge lemah. Tetapi secara fisis teori ini masih belum bisa diterima karena gauge boson dan fermion belum memiliki massa (massless) Oleh karena perlu ditambahkan bagian Higgs kedalam Lagrangian diatas. Maka diperkenalkan teori doublet kompleks Φ=
ϕ+ ϕ0
!
(2.35)
dari spin-nol medan Higgs dengan muatan elektrik. Tiap kuanta dari medan ini mengandung satu hypercharge lemah. Densitas lagrangian Higgs LH merupakan
penjumlahan dari dua suku, LHG dan LHF , yang masing-masing mengandung kopling gauge Higgs dan gauge fermion
LHG = (D µ Φ)∗ Dµ Φ − V (Φ) dimana Dµ Φ = (I(∂µ + i
g1 ~ τ ~ Bµ ) + ig2 · W µ )Φ 2 2
(2.36)
(2.37)
dan V merupakan potensial Higgs V (Φ) = −µ2 Φ† Φ + λ(Φ† Φ)2
(2.38)
dimana parameter µ2 dan λ positif. Dengan memberikan simbol quark left-handed dan lepton doublet masing-masing sebagai qL dan `L , didapat e LHF = −fu q L Φu R − fd q L ΦdR − fe `L ΦeR + h.c
(2.39)
e = iτ Φ∗ Φ 2
(2.40)
dimana fu , fd dan fe merupakan konstanta kopling dan charge conjugate untuk Φ adalah
Tidak ada suku yang mengandung neutrino right-handed pada persamaan (2.39) karena diasumsikan partikel tersebut tidak ada.
2.2.2
Spontaneous Symmetry Breaking
Untuk menghasilkan massa dari gauge boson dan fermion maka dilakukan spontaneous symmetry breaking kepada teori SU (2) × U (1). Pertama-tama perlu dicari 10
dulu keadaan dasar dari konfigurasi Higgs dengan mencari minimum dari potensial V Φ(−µ2 + 2λΦ† Φ) = 0
(2.41)
keadaan dasar ini dinamakan vacum expectation value Φ0 . Persamaan (2.41) mempunyai dua solusi, solusi yang trivial hΦi0 = 0 dan solusi nontrivial υ2 hΦ Φi0 = 2 †
dengan
(2.42)
s
µ2 (2.43) λ Maka didapat konfigurasi Higgs vacum nontrivial untuk spontaneous symmetry breakυ≡
ing untuk simetri SU (2) × U (1) hΦi0 =
0√ υ/ 2
!
(2.44)
massa boson gauge dan fermion didapat dengan memasukkan persamaan (2.44) untuk medan Higgs ke densitas lagrangian LH . Pertama-tama didefinisikan medan bermuatan Wµ± ,
s
1 1 W ∓ iWµ2 (2.45) 2 µ Dengan substitusi, dapat diperoleh kontribusi massa dari densitas lagrangian Wµ±
=
υg2 υ Lmass = − (fu uu + fd dd + fe ee) + 2 2! 2 2 υ g2 −g1 g2 + (Wµ3 Bµ ) −g1 g2 g12 8
2
Wµ+ W−µ
W3µ Bµ
!
(2.46)
massa fermion diberikan oleh υ mα = √ f α 2
(α = u, d, e, . . .)
(2.47)
massa boson W yang bermuatan bisa terlihat langsung dari persamaan (2.47) MW = 11
υ g2 2
(2.48)
Tapi symmetry breaking mengakibatkan boson-boson gauge yang netral mengalami mixing. Karena matrix massa dari keadaan W 3 , B belum diagonal maka perlu dilakukan diagonalisasi. Dengan mendefinisikan boson Aµ , Zµ Zµ = cos θW Wµ3 − sin θW Bµ
Aµ = sin θW Wµ3 + cos θW Bµ
(2.49)
dimana sudut mixing lemah (atau Weinberg angle) θW didefinisikan sebagai tan θW =
g1 g2
(2.50)
massa dari boson gauge netral didapat υq 2 g1 + g22 MZ = 2
Mγ = 0,
2.3 2.3.1
(2.51)
Mekanisme Higgs Pembentukan Massa Fermion
Untuk memudahkan proses mixing fermion maka Lagrangian pada persamaan (??) perlu ditulis dalam bentuk umumnya 0
˜ 0 + f αβ q 0 Φd0 + f α,β l Φe0 + h.c. −LHF = fµαβ q 0L,α Φu R,β d L,α R,β e L,α R,β
(2.52)
dimana α, β = 1, . . . , n dan ~u0 = (u0 , c0 , t0 , . . .), d~0 = (d0 , s0 , b0 , . . .), ~e0 = (e0 , µ0 , τ 0 , . . .), ! ! c0 u0 0 , , q~ = s0 d0 ~l0 =
νe0 e0
!
,
νµ0 µ0
12
!
t0 b0 ,
!
ντ0 τ0
!
,... ,
!
!
,... .
(2.53)
Tanda aksen pada persamaan ini menyatakan fungsi keadaan yang normal atau disebut juga pada basis gauge.Dalam persamaan ini, matriks kopling fu , fd , fe belum diagonal sehingga matriks ini secara fisis belum bisa dikatakan sebagai massa. Analog dengan proses spontaneus symmetry breaking, matrix massa nondiagonal m0u , m0d , m0e didefinisikan
υ m0α = √ fα (α = u, d, e) (2.54) 2 Karena matrix-matrix massa ini belum diagonal maka agar memiliki arti fisis, matrixmatrix ini perlu dibuat menjadi matrix diagonal (diagonalisasi). Proses diagonalisasinya 0
−LF,mass = u0L m0u u0R + dL m0d d0R + e0L m0e e0R + h.c., 0
0 u u† 0 u u† 0 u u† 0 = u0L SuL Su† L mu SR SR uR + dL SL SL md SR SR dR 0 u u† 0 +e0L SuL Su† L me SR SR eR + h.c.,
= uL mu uR + dL md dR + eL me eR + h.c. = umu u + dmd d + eme e
(2.55)
dimana uL merupakan fungsi keadaan pada basis massa dan hubungannya dengan u0L (basis gauge adalah u0L = SuL uL , d0L = SdL dL , e0L = SeL eL , u0R = SuR uR , d0R = SdR dR , e0R = SeR eR ,
(2.56)
dan menghasilkan diagonalisasi biunitary m0u = SuL mu Su† R,
m0d = SdL md Sd† R,
m0e = SeL me Se† R
(2.57)
sehingga menghasilkan matrix massa diagonal quark
mu =
mu 0 0 0 mc 0 0 0 mt .. .. .. . . .
... ... ... .. .
,
md =
13
md 0 0 0 ms 0 0 0 mt .. .. .. . . .
... ... ... .. .
,
(2.58)
dan massa diagonal lepton
md =
me 0 0 ... 0 mµ 0 . . . , 0 0 mτ . . . .. .. .. . . . . . .
(2.59)
Perubahan fungsi keadaan dari basis gauge ke basis massa ini tidak berpengaruh pada arus elektromagnetik dan arus lemah netral, tetapi perubahan ini akan berpengaruh pada arus quark lemah bermuatan.
2.3.2
Quark Mixing
Pada arus quark lemah bermuatan terjadi mixing antar generasi sehingga arus quark lemah bermuatannya menjadi d µ 00 J µ (qk) = 2u0L,α γ µ d0L,α = 2uL γ µ Su† L SL dL = 2uL,α γ dL,α
(2.60)
d00L,α ≡ Vαβ dL,β
(2.61)
d V ≡ Su† L SL
(2.62)
dimana
dan
Matriks V dinamakan matriks Cabibbo-Kobayashi-Maskawa atau matriks CKM yang nilainya
0.9738 − −0.9750 0.218 − −.0224 0.001 − −0.007 V = 0.218 − −0.224 0.9734 − −0.9752 0.030 − −0.058 0.003 − −0.019 0.029 − −0.058 0.9983 − −0.9996
14
(2.63)
Bab 3 Grup SU (6) Grup SU (6)
3.1
Pada bagian ini akan dibuat generator untuk grup SU (6). Secara umum generator untuk grup SU (N ) dapat dibuat dengan menggunakan generator dari grup yang sudah ada SU (N − 1) dengan cara mengekspansikan matriks generatornya (N −
1) × (N − 1) menjadi matriks N × N . Maka ada tiga tipe matriks yang dapat
membentuk grup SU (6),
λi =
0
0 ˜i λ
.. .
...
0 0 0
0 ... λN 2 −1
, untuk i = 1, 2, . . . , (N − 1)2 − 1
0 .. .
(0)(N −1)×(N −1)
aN j
ajN .. . 0 0
... 0
15
, , untuk (N − 1)2 − 1 < i < N 2 − 1
, untuki = N 2 − 1
(3.1)
˜ i merupakan generator ke-i dari grup SU (N − 1) dan ajN = a∗ = 1 atau dimana λ Nj
−i dengan j = 1, 2, . . . , N − 1. Hal ini menyatakan bahwa jumlah total generator
dalam grup SU (N ) sama dengan [(N − 1)2 − 1] + [2 × (N − 1)] + 1 = N 2 − 1.
3.2
Particle Assignment
Dalam Grup SU (6) fungsi gelombang untuk partikel diberikan
(ψ 6 )iR =
dir dib dig (`i )+ −(ν`i )C N`i
(3.2)
R
untuk sextet, sedangkan untuk {15}-plet terdiri dari
1 (ψ 15 )ij L = √ 2
i
i
0 (uig )C (uib )C uir dir djr (uig )C 0 (uir )C uib dib djb (uib )C (uir )C 0 uig dig djg i i i j + ur ub ug 0 (` ) (`i )+ dir dib dig (`j )+ 0 (N`i )C (`i )+ (N`i )C 0 djb djg djr i
dimana u : u, c, t; d : d, s, b; ` :
e, µ, τ ; N`i
(3.3)
L
: Ne , Nµ , Nτ dan r, g, b masing-masing
menunjukkan color. N` merupakan fermion baru yang memiliki muatan netral. Indeks i,j menyimbolkan generasi dan kombinasinya bersifat siklik, contoh (i, j) : (1, 2) → (2, 3) → (3, 1).
3.3
Generator SU (6)
Pada bagian ini diberikan matriks yang membentuk generator untuk grup SU (6).
λ1 =
0 1 0
1 0 0 (0)3×3
0 0 0
(0)3×3
(0)3×3
16
λ2 =
0 −i 0
−i 0 0 (0)3×3
0 0 0
(0)3×3
(0)3×3
λ3 =
λ5 =
λ7 =
0 0 i
λ9 =
0 0 0
λ11 =
λ13 =
(0)3×3 0 0 0
−i 0
0 0 i
1 0 0
0 0 0
1 0 0
1 0 0
0 0 0
0 0 0
(0)3×3
0 0 0
0 0 0
0 0 0
(0)3×3 0 0 1
1 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
(0)3×3
17
λ6 =
λ8 =
√1 3
λ10 =
λ12 =
i 0 0
λ14 =
0 0 0
1 0 0
0 0 0
0 0 0
(0)3×3
0 0 1
0 1 0
(0)3×3
(0)3×3 1 0 0
(0)3×3
0 1 0
0 0 −2
(0)3×3
0 0 0
i 0 0
0 0 0
0 0 0
(0)3×3
0 0 0
0 0 0
(0)3×3 0 −i 0
0 0 0
i 0 0
(0)3×3 −i 0 0
(0)3×3 0 0 0
(0)3×3
(0)3×3
(0)3×3
0 0 1
(0)3×3
(0)3×3 0 1 0
(0)3×3 0 0 0
(0)3×3
0 0 0
λ4 =
(0)3×3
(0)3×3 0 0 0
(0)3×3
(0)3×3 0 −i 0
(0)3×3
(0)3×3
0 0 0
(0)3×3
0 −1 0
(0)3×3
1 0 0
0 0 0
0 0 0
(0)3×3 0 0 −i
0 0 0 (0)3×3
0 0 0
λ15 =
(0)3×3 0 1 0
λ17 =
λ19 =
0 0 0
λ21 =
0 0 0
λ23 =
0 0 1
λ25 =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 1
0 1 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 1
0 0 0
0 0 0
1 0 0
(0)3×3 0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 1 0
(0)3×3 0 0 0
0 0 1
0 1 0
(0)3×3 0 0 0
(0)3×3
0 0 0
(0)3×3 0 0 0
(0)3×3
0 1 0
1 0 0 (0)3×3
0 0 0
(0)3×3
0 0 0
(0)3×3
0 0 0 (0)3×3
0 0 0
0 0 0
0 0 1
(0)3×3
18
λ16 =
λ18 =
λ20 =
λ22 =
λ24 =
0 0 0
λ26 =
0 0 0
0 i 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 i
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 i
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
−i 0 0
0 0 0
0 −i 0
(0)3×3 0 0 0
0 0 i
0 0 0
(0)3×3 0 0 0
(0)3×3
0 −i 0
(0)3×3 0 0 0
(0)3×3
0 0 0
(0)3×3 0 0 0
(0)3×3
−i 0 0 (0)3×3
0 0 0
(0)3×3
0 0 0 (0)3×3
0 i 0
(0)3×3
0 0 0
0 0 0 (0)3×3
0 0 −i
λ27 =
λ29 =
λ31 =
1 λ35 = √ 3
0 1 0
(0)3×3
(0)3×3
1 0 0
0 0 i
0 −1 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 −1
0 −i 0
0 1 0
0 0 1
19
(0)3×3
(0)3×3
λ30 =
λ32 =
(0)3×3 1 0 0
λ28 =
−i 0 0
0 0 i
(0)3×3
(0)3×3
(0)3×3
0 0 0
(0)3×3
(0)3×3
0 −1 0
1 0 0 (0)3×3
(0)3×3
(0)3×3
−1 0 0
(0)3×3
(0)3×3
λ33 =
(0)3×3
λ34 =
√1 3
(0)3×3
(0)3×3
(0)3×3 0 i 0
0 0 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 1
1 0 0
(0)3×3
(0)3×3
(0)3×3
−i 0 0 (0)3×3
(0)3×3
(0)3×3
0 1 0
(0)3×3 1 0 0
0 1 0
0 0 −2
Bab 4 Lagrangian 4.1 4.1.1
Transformasi Fungsi Gelombang Transformasi Sextet
Transformasi fungsi gelombang SU (6), mengikuti persamaan umum transformasi ψ [6]0 = U (x)ψ [6]
(4.1)
dengan transformasi-unitary U (x) = e−igθa (x) U T (x) = e−igθa (x)
λa 2 λT a 2
λa ] 2 λT ∂µ U (x) = U T (x)[ig∂µ θa a ] 2 ˜ a merupakan generator grup dimana θa (x) merupakan parameter grup dan λ ∂µ U (x) = −U (x)[ig∂µ θa
4.1.2
(4.2)
Transformasi 15-antiplet
Transformasi ini didasarkan pada sifat bahwa fungsi gelombang 15-plet adalah hasil direct product fungsi gelombang dalam representasi 6-plet. [6] × [6] = [21] × [15]
ψ [15] = [ψ [6] ⊗ ψ [6] ]anti 20
(4.3)
setelah transformasi, ψ [15] → ψ [15] ψ [15]
0
0
0
0
= (ψ [6] ⊗ ψ [6] )anti [6]0
[6]0
[6]0
[6]0
= ψ l ψk − ψ k ψl
(4.4)
mengingat rumus transformasi [6]0
= U (x)ij ψj
[6]0
= U (x)kl ψl
[6]
ψi
[6]
ψk
(4.5)
maka diperoleh fungsi gelombang dalam representasi [15] sebagai berikut ψ [15]
0
[6]
[6]
[6]
[6]
= U (x)ij ψj U (x)kl ψl − U (x)kl ψl U (x)ij ψj [6]
[6]
[6]
[6]
= U (x)ij ψj {ψl U (x)kl } − U (x)ij {ψl U (x)kl }ψj [6]
[6]
[6]
[6]
= U (x)ij ψj ψl U (x)kl − U (x)ij ψi ψj U (x)kl } [6]
[6]
[6]
[6]
= U (x)ij (ψj ψl − ψl ψj )U (x)kl [6]
[6]
= U (x)ij (ψj ⊗ ψl )U (x)kl [15]
= U (x)ij ψjl U T (x)lk
(4.6)
Atau 0
ψ [15] = U (x)ψ [15] U T (x)
4.2 4.2.1
(4.7)
Covariant Derivatif Sextet Covariant Derivatif
Covariant derivatif, sebagaimana didefinisikan dalam medan gauge pada grup simetri yang lebih kecil, berbentuk iD6µ = i∂µ + gAµ = i∂µ + gAaµ
21
λa 2
(4.8)
4.2.2
15-antiplet covariant derivatif
Seperti biasa, ∂µ bersifat non-gauge-invariant ∂µ ψ [15]
0
= ∂µ {U (x)ψ [15] U T (x)}
= (∂µ U (x))ψ [15] U T (x) + U (x)(∂µ ψ [15] )U T (x) + U (x)ψ [15] ∂µ U T (x) λa λT = U (x)(∂µ ψ [15] )U T (x) − U (x){ig∂µ θa ψ [15] − ψ [15] ig∂µ θa a }U T (x), 2 2 (4.9)
Untuk menghilangkan suku keduanya maka dibuat covariant derivatif D15µ ψ [15] = ∂µ ψ [15] + ig{Aaµ
4.3
λa [15] λaT ψ + ψ [15] Aµ } 2 2
(4.10)
Suku Kinetik Fermion
4.3.1
15-antiplet
Lagrangian medan bebas dalam fungsi gelombang 15-antiplet dapat ditulis sebagai berikut L0 = ψ
[15]
iγ µ ∂µ ψ [15]
(4.11)
Sedangkan untuk medan-interaktif antara fermion dan boson gauge diperoleh Lagrangian LI = ψ
[15] µ
γ gAµ · Tψ [15] = ψ
[15] µ
γ gAµ ψ [15] λa [15] = ψ γ µ gAaµ ψ [15] 2
dengan
(4.12)
˜a λ (4.13) 2 sehingga didapat suku kinetik fermion untuk fungsi gelombang 15-antiplet sebagai Ta =
berikut L = L 0 + LI 22
= ψ = ψ = ψ
4.3.2
[15]
iγ µ ∂µ ψ [15] + ψ
[15] µ
γ gAµ ψ [15]
[15] µ
γ (i∂µ + gAµ )ψ [15]
[15] µ
γ iDµ ψ [15]
(4.14)
6-plet
Analog dengan suku kinetik fermion untuk ψ [15] maka suku kinetik fermion untuk ψ [6] dapat ditulis [6]
L = (ψ iγ µ Dµ ψ [6] )
4.3.3
(4.15)
Suku Kinetik Fermion Total
Dengan menjumlahkan suku kinetik fermion untuk ψ
[15]
dan ψ [6] maka diperoleh
suku kinetik fermion total L = Tr{ψ
[15]
iD / µ ψ [15] } − m00 ψ
[15]
[6]
ψ [15] + ψ iD / µ ψ [6]
(4.16)
Dengan Lagrangian medan bebas dan Lagrangian medan interaktifnya masing-masing
LI
[15]
[15]
[6]
i∂ / µ ψ [15] } − m00 ψ ψ [15] + ψ i∂ / ψ [6] (4.17) aT λ λa λa [15] [15] [6] = iTr{ψ i(gA/aµ ψ [15] ) + gψ ψ [15] A/µa } + {ψ (gA/aµ ψ [6] )}(4.18) 2 2 2
L0 = Tr{ψ
Perhitungan dari suku kinetik fermion dapat dilihat di bagian Lampiran. Dari suku kinetik fermion ini maka dapat dibentuk Feynman Rule.
4.4
Suku Interaksi Yukawa
Untuk mendapatkan massa fermion maka perlu dilakukan mekanisme Higgs untuk mem-break SU (6) sampai ke Standard Model. Untuk itu dibutuhkan tiga kali breaking untuk bisa mencapai Standard Model. SU (6) → SU (3)C ⊗ SU (3)H ⊗ U (1)C → SU (3)C ⊗ SU (2)L ⊗ SU (2)B ⊗ U (1)C → SU (3)C ⊗ U (1)EM 23
(4.19)
Untuk membuat interaksi Yukawa maka perlu dibuat skalar Higgs. Teori grup mengharuskan skalar yang dapat membentuk kopling Yukawa harus berasal dari perkalian tensor dari [6] dan [15] (Fungsi keadaan untuk fermion pada teori SU (6)). [6] ⊗ [6] = [21] ⊕ [15], [6] ⊗ [15] = [70] ⊕ [20],
(4.20)
[15] ⊗ [15] = [105] ⊗ [105] ⊗ [15] Untuk menyederhanakan persoalan, dipilih representasi dimensional skalar Higgs yang paling sedikit, yaitu [21], [20] dan dua [15].Untuk menghasilkan suku massa maka pada Lagrangian perlu ditambahkan suku Lmass = mψψ
(4.21)
Jika ditulis komponen left-handed dan right-handed dari ψ maka persamaannya menjadi Lmass = m(ψ L ψR + ψ R ψL )
(4.22)
Karena pada teori SU (6) di-assign psiL 15 dimensi dan ψR 6 dimensi, maka persamaan tersebut tidak dapat dikalikan. Disini diperkenalkan mekanisme Higgs, yaitu dengan cara dengan menyisipkan suku Higgs pada persamaan diatas sehingga didapat suku Lagrangian interaksi Yukawa. Untuk teori SU (6) diperoleh suku Lagrangian untuk interaksi Yukawa
[15]
[15]
LY = T r fu ψ R Φ[15] ψL
[6]
0
[6]
[6]
[15]
+ 4fν ψ R Φ[15] ψL + 2fd ψ R ψL Φ[20] + h.c.
(4.23)
Pada bagian pertama dari symmetry breaking, SU (6) → SU (3)C ⊗ SU (3)H ⊗ U (1)C ,
Φ[21] mem-breaks simetri tanpa menghasilkan massa fermion. Secara umum Φ[21]
memiliki 42 medan skalar real, sedangkan simetri SU (6) memiliki 35 boson gauge yang tak bermassa maka Φ[21] haruslah memiliki 7 boson Higgs fisis. Φ[21] memiliki
24
bentuk
Φ[21] =
[21] φ7 I +
[21]
φ1
[21]
φ2
[21]
φ3
φ[21] φ[21] φ[21]
T35
(4.24)
yang akan menghasilkan massa dari quark up, quark down, neutrino dan lepton. Φ[21] hanya digunakan untuk mem-break simetri SU (6) di bagian pertama dan tidak menghasilkan massa fermion. Untuk simmetry breaking bagian kedua digunakan 0
dua skalar Higgs 15-dimensi. Higgs 15-dimensi yang pertama Φ[15] memiliki 6 boson Higgs dari 30 skalar Higgs real, karena dibutuhkan 17 boson gauge tak bermassa untuk mempertahankan simetri SU (3)C ⊗ SU (2)L ⊗ U (1)B ⊗ U (1)C dan sebelumnya 0
sudah didapat 7 boson Higgs. Φ[15] ini berbentuk 0
Φ[15] =
0
0 0 0
0 0 0
[15]0
φ4 0 0
0 0 0
[15]0
φ5 0 0
[15]0
φ6 0 0
[15]0
φ1 [15]0 φ2 [15]0 φ3 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
(4.25)
Higgs Φ[15] ini akan membentuk massa quark up. Akan tetapi masih diperlukan Higgs lain untuk membentuk massa quark down, neutrino dan lepton. untuk itu digunakan skalar Higgs 15 dimensi yang kedua. Seperti sebelumnya, 30 medan skalar real dikurang 17 massless boson gauge sehingga didapat 13 boson Higgs. Bentuk Φ[15]
Φ[15] =
[15](−2/3)
φ1 [15](−2/3) φ1 [15](−2/3) φ1 [15](+2/3) φ5 [15](−1/3) φ9 [15](−1/3) φ12
[15](−2/3)
φ1 [15](−2/3) φ1 [15](−2/3) φ1 [15](+2/3) φ5 [15](−1/3) φ9 [15](−1/3) φ12
[15](−2/3)
[15](−1/3)
[15](2/3)
[15](−1/3)
φ4 φ1 φ2 φ3 [15](−1/3) [15](2/3) [15](−1/3) [15](−2/3) φ4 φ3 φ2 φ1 [15](−1/3) [15](2/3) [15](−1/3) [15](−2/3) φ4 φ3 φ1 φ2 [15](+1) [15](+2) [15](+1) [15](+2/3) φ8 φ7 φ6 φ5 [15](−1/3) [15](0) [15](+1) [15](0) φ9 φ10 φ6 φ11 [15](0) [15](+1) [15](0) [15](−1/3) φ13 φ8 φ11 φ12 25
. (4.26)
Skalar Higgs terakhir diambil skalar Higgs 20 dimensi, yang memiliki 40 medan skalar real dikurang total boson Higgs: 7 + 13 + 6 = 26 dan 12 boson gauge tak bermassa untuk menjaga simetri SU (3)C ⊗SU (2)L ⊗U (1)B sehingga didapat 2 skalar
Higgs real. Bentuk Φ[20] :
Φ[20] =
4.5
[20](1/3)
φ1 [20](1/3) φ1 [20](1/3) φ1 [20](−1) φ2 [20](0) φ3 [20](0) φ4
,
(4.27)
Suku Kinetik Higgs
Pada skala electroweak suku kinetik Higgs yang diperlukan hanyalah suku kinetik untuk Higgs 20 dimensi saja: LHiggs−kin =
=
1 µ 20 † D6 µ Φ20 D6 Φ 2
[20](1/3)
φ1 [20](1/3) φ1 [20](1/3) φ1 [20](−1) φ2 [20](0) φ3 [20](0) φ4
G3 + G 8 − H C G+ 1
G− 1 −G3 + G8 − HC
G− 2 G− 4
X1− X2−
Y1− Y2−
− Z1 − Z2
Y3− H1−
− Z3 H2−
G+ 2 X1+
G+ 4 X2+
−2G8 − HC X3+
X3− H3 + H B + H C
+ Z1
+ Z2
+ Z3
H2+
H4+
−2HB + HC
X1+
Y1+
+ Z1
Y1+
G3 + G 8 − H C G− 1 G− 2 X1− Y1− − Z1
Y2+ G+ 1
−G3 + G8 − HC G− 4 X2− Y2− − Z2
Y3+ G+ 2
G+ 4 −2G8 − HC X3− Y3− − Z3
26
H1+
X2+ X3+
−H3 + HB + HC
H3 + H B + H C
Y2+ Y3+ H1+
H1− H2−
−H3 + HB + HC H4−
H4−
+ Z2 + Z3 H2+ H4+ −2HB + HC
=
h
[20](1/3)
φ1 [20](1/3) φ1 [20](1/3) φ1 [20](−1) φ2 [20](0) φ3 [20](0) φ4
(v1 Y1+ + v2 Z1+ ) (v1 Y2+ + v2 Z2+ )
(v1 Y3+ + v2 Z3+ ) (v1 H1+ + v2 H2+ ) (v1 (−H3 + HB + HC ) + v2 H4+ ) (v1 H4− + v2 (−2HB + HC ))
Y1+ v1 + Z1+ v2 Y2+ v1 + Z2+ v2 Y3+ v1 + Z3+ v2 H1+ v1 + H2+ v2 (−H3 + HB + HC )v1 + H4+ v2 H4− v1 + (−2HB + HC )v2
i
= (v1 Y1+ + v2 Z1+ )(Y1+ v1 + Z1+ v2 ) + (v1 Y2+ + v2 Z2+ )(Y2+ v1 + Z2+ v2 ) +(v1 Y3+ + v2 Z3+ )(Y3+ v1 + Z3+ v2 ) + (v1 H1+ + v2 H2+ )(H1+ v1 + H2+ v2 ) +(v1 (−H3 + HB + HC ) + v2 H4+ )((−H3 + HB + HC )v1 + H4+ v2 ) +(v1 H4− + v2 (−2HB + HC ))(H4− v1 + (−2HB + HC )v2 )
27
(4.28)
Bab 5 Hasil dan Pembahasan Dari suku kinetik yang sudah dihitung maka bisa didapat aturan Feynman untuk teori SU (6). Diagram Feynman yang dibuat dari aturan Feynman tersebut antara lain: i
d
g 6
i
γµ
2
G
di
i
d
g 6
i
d
2
µ
γ R
(-H +H +H ) 3
B
C
i
28
i
d
g
µ
γ L
6
i
2
X
i
d
d
i
g
µ
6
i
2
γ L
Y
γµ
Z
C
( ν i) l
d
i
g i
(N )i
6
2
C
l
d
i
g i
6
2 u
µ
γ R
H
1
C
29
i
d
g 6
i
µ
γ R
2 d
H
+ 4
j
i
d
g 6
-i
µ
γ R
2
X
j +
(l )
j
d
g 6
-i
µ
γ R
2
H
2
H
4
uR
d
j
g 6
-i
2 d
µ
γ R
i
30
j
d
g
µ
γ R
6
i
(2H +H ) B
2 d
C
j
j
d
g
µ
γ R
6
i
X
2 i +
(l )
j
d
g i
(N l )i
6
2
+
g
d
Y
C
(l i)
i
µ
γ R
6
2
µ
γ L
X
i
31
(l i)
+
g i
6
2
γ
µ
(H +H +H ) 3
B
C
(l i) +
(l i)
+
g i
6
2
µ
γ R
(2H +H ) B
C
(l i) +
(l i)
+
g i
6
2
µ
γ L
H
+ 1
(ν i) C l
(l i)
+
g i
6
2
µ
γ L
H
+ 2
(N )i l
32
(l i)
+
g -i
6
2
µ
γ R
H
+ 1
C
(N )i l
(l i)
+
g i
6
2
µ
γ R
Z
u
(l i)
+
g -i
6
2
µ
γ R
H
4
j +
(l )
(l i)
+
g i d
6
2
µ
γ R
X
j
33
(l i)
+
g -i
6
2
µ
γ R
Y
u
(l j)
+
g i
6
2
µ
γ R
(H +H +H ) 3
B
C
(l j) +
(l j)
+
g i (N l )i
( ν )i
6
2
µ
γ R
H
+ 2
C
+
l
g -i d
6
2
µ
γ L
Y
i
34
+
( ν )i l
g -i
6
2
µ
γ L
H
1
(l i ) +
( ν )i
+
l
g i
6
2
µ
γ L
(-H +H +H ) 3
B
C
( ν l)i
( ν )i
+
l
g -i
6
2
µ
γ L
H
+ 4
(N l )i
(N
i)
l
+
g i d
6
2
γ
µ
Z
i
35
+
(N i) l
g 6
-i
2
µ
γ L
H
4
i C
(ν ) l
+
(N i) l
g 6
i (N
2
µ
γ L
(2H +H ) B
C
) l i
(N i)
C
l
g 6
-i l
2
µ
γ R
H
2
j
(N i)
C
l
g i
d
6
2
µ
γ R
Y
j
36
C
(N i) l
g -i
6
2
µ
γ R
H1
-
(l i) +
u g i
6
2
µ
γ R
(H +H +H ) 3
B
C
u
u g -i
6
2
µ
γ R
Y
(l j)+
u g -i
d
6
2
µ
γ R
H
+ 1
i
37
u g i
6
2
µ
γ R
G
u
Dari aturan Feynman yang telah dibuat, terlihat adanya interaksi baru pada teori SU (6) ini. Interaksi-interaksi tersebut antara lain merupakan interaksi-interaksi yang melibatkan boson-boson X, Y, Z, H2 , H4 sebagai kouplingnya. Boson-boson ini merupakan boson-boson baru yang diperkenalkan pada teori SU (6). Interaksiinteraksi baru ini akan memberikan konsekuensi fenomenologis pada eksperimeneksperimen fisika energi tinggi antara lain proton decay, NuteV, dll.
38
Lampiran A Perhitungan Suku Kinetik Sebelum dilakukan perhitungan suku kinetik medan boson Aaµ λa perlu didefinisikan terlebih dahulu
A/aµ λa =
=
− √13 A35 A1 − iA2 A1 + iA2 −A3 + √13 A8 − √13 A35 A4 + iA5 A6 + iA7 A9 + iA10 A11 + iA12 A15 + iA16 A17 + iA18 A21 + iA22 A23 + iA24
A4 − iA5 A6 − iA7 −2 √ A8 − √1 A35 3 3 A13 + iA14 A19 + iA20 A25 + iA26
A9 − iA10 A15 − iA16 A11 − iA12 A17 − iA18 A13 − iA14 A19 − iA20 1 1 A27 − iA28 A29 + √3 A34 + √3 A35 A27 + iA28 −A29 + √13 A34 + √13 A35 A30 + iA31 A32 + iA33
A21 − iA22 A23 − iA24 A25 − iA26 A30 − iA31 A32 − iA33 −2 √ A34 + √1 A35 3 3
γµ
A3 +
1 µ γ 2
√1 A8 3
G3 + G 8 − H C
G+ 1
G+ 2
X1+
Y1+
G1 G− 2
−G3 + G8 − HC G− 4
G4 −2G8 − HC
X2 X3+
Y2 Y3+
X1− Y1− − Z1
X2− Y2− − Z2
X3− Y3− − Z3
−
+
+
H3 + H B + H C H1− H2−
+
H1+ −H3 + HB + HC H4−
+ Z1 +
Z2 + Z3
H2+ H4+ −2HB + HC
,
(A.1)
√ ± ± dengan G± 1 ≡ A1 ∓ iA2 , G2 ≡ A4 ∓ iA5 , G3 ≡ A3 , G4 ≡ A6 ∓ iA7 , G8 ≡ A8 / 3,
X1± ≡ A9 ∓ iA10 , X2± ≡ A11 ∓ iA12 , X3± ≡ A13 ∓ iA14 , Y1± ≡ A15 ∓ iA16 , Y2± ≡
A17 ∓ iA18 , Y3± ≡ A19 ∓ iA20 , Z1± ≡ A21 ∓ iA22 , Z2± ≡ A23 ∓ iA24 , Z3± ≡ A25 ∓ iA26 , √ √ H1± ≡ A27 ∓ iA28 , H2± ≡ A30 ∓ iA31 , H3 ≡ A29 , HC ≡ A35 / 3 dan HB ≡ A34 / 3. 39
Untuk memudahkan perhitungan maka color state dibuat menjadi satu suku karena color state tersebut masih dalam state yang sama, sehingga untuk sextet menjadi
d (`i )+ −(ν`i )C N `i
[6]
ψR =
(A.2) R
sedangkan 15-plet menjadi
[15] ψL
=
0 −uC di dj
−di (`j )+ 0 −(N`i )C
u 0 −(`j )+ (`i )+
−dj −(`i )+ (N`i )C 0
dan medan bosonnya disederhanakan menjadi
Aaµ λa =
(A.3) L
G X
X (H3 + HB + Hc )
Y H1+
Z H2+
Y
H1−
(−H3 + HB + HC )
H4+
Z
H2−
H4−
(2HB + HC )
(A.4)
Dengan penyederhanaan ini maka bisa dibuat perhitungan suku kinetiknya.
A.1
Suku Kinetik Sextet
Suku kinetik untuk fungsi gelombang sextet bentuknya [6]
/ ψ [6] LK6 = iψ D [6]
= iψ (∂ / + gA/aµ
λa [6] )ψ 2
(A.5)
Substitusi fungsi gelombang yang sudah disederhanakan sehingga suku kinetiknya menjadi h
i
LK = −ig6 d (` )+ −(ν il ) N`i
G X Y Z
i
R
/∂
d (`i )+ −(ν`i )C N `i
X (H3 + HB + Hc )
Y H1+
H1− H2−
Z H2+
(−H3 + HB + HC )
H4+
H4−
(2HB + HC )
40
+
1h i d (` )+ −(ν il ) N`i 2
R
d (`i )+ −(ν`i )C N `i
R
i R
= ig6
h
i
d (` )+ −(ν il ) N`i
i
R
/∂
d (`i )+ −(ν`i )C N `i
+ ig6
i 1h i d (` )+ −(ν il ) N`i R 2
R
i C (GdL + X(`i )+ L − Y (ν` )L + ZN`i L ) + + (XdL + (H3 + HB + Hc )(`i )L − H1+ (ν`i )C L + H 2 N `i L ) + i C (Y dL + H1− (`i )+ L − (−H3 + HB + HC )(ν` )L + H4 N`i L ) − i C (ZdL + H2− (`i )+ L − H4 (ν` )L + (2HB + HC )N`i L )
n
i
µ i + i µ i C µ = ig6 dL γ µ ∂µ dL + (` )+ L γ ∂µ (` )L + (ν l )L γ ∂µ (ν` )L + N`i L γ ∂µ N`i L
n
i C +if racg6 2 dL γ µ (GdL + X(`i )+ L − Y (ν` )L + ZN`i L ) i
o
µ i + + i C + +(` )+ L γ (XdL + (H3 + HB + Hc )(` )L − H1 (ν` )L + H2 N`i L )
i C + −(ν il )L γ µ (Y dL + H1− (`i )+ L − (−H3 + HB + HC )(ν` )L + H4 N`i L )
− i C + N`i L γ µ (ZdL + H2− (`i )+ L − H4 (ν` )L + (2HB + HC )N`i L )
A.2
o
(A.6)
Suku Kinetik 15-plet
Subsitusi langsung dari fungsi gelombang yang sudah disederhanakan ke dalam suku kinetik lagrangian untuk 15-plet akan menghasilkan LK15 = iψ
[15]
= ig6 ψ =
D / ψ [15]
[15]
ig6
+
+
(∂ / ψ [15] + A/aµ i
λaT λa [15] ψ + ψ [15] Aµa ) 2 2 j
0
uC
d
u
0
(` )+
(` )+
0
(N `i )C
i
(` )+
j
i +
d d
j
j
(` )
(N `i )
d
C
i
0
/ ∂ R
G X
X (H3 + HB + Hc )
Y H1+
Y Z
H1− H2−
(−H3 + HB + HC ) H4−
0 −uC di dj
u 0 −(`j )+ i + (` )
−di (`j )+ 0 −(N`i )C
−dj −(`i )+ (N`i )C 0
L
0 −uC di dj
u 0 −(`j )+ (`i )+
Z H2+
H4+ (2HB + HC )
−di (`j )+ 0 −(N`i )C 0 −uC di dj
G X
X (H3 + HB + Hc )
Y
H1+
Z
H2+
g6 n C µ i µ j µ j i uR γ ∂µ uC = i R + dR γ ∂µ dR + dR γ ∂µ dR 2 j i + µ µ j + i + +uR γ µ ∂µ uR + (` )+ R γ ∂µ (` )R + (` )R γ ∂µ (` )R i
j
µ j + C µ C +dR γ µ ∂µ diR + (` )+ R γ ∂µ (` )R + (N `i )R γ ∂µ (N`i )R
41
−dj −(`i )+ (N`i )C 0
u 0 −(`j )+ i + (` )
Y H1− (−H3 + HB + HC ) H4+
L
−di (`j )+ 0 −(N`i )C
−dj −(`i )+ (N`i )C 0 Z H2+
L
H4− (2HB + HC )
j
o
i
µ i + C µ C + +dR γ µ ∂µ djR + (` )+ R γ ∂µ (` )R + (N `i )R γ ∂µ (N`i )R ig6 n C µ + i + j −uR γ (−(H3 + HB + Hc )uC = +i R + H1 dR + H2 dR ) 4 i µ i + j +dR γ (−H1− uC R + (−H3 + HB + HC )dR + H4 dR ) j
j − i +dR γ µ (−H2− uC R + H4 dR + (2HB + HC )dR ) i + +uR γ µ (GuR − Y (`j )+ R + Z(` )R ) j
µ j + + i + −(` )+ R γ (Y uR − (−H3 + HB + HC )(` )R + H4 (` )R ) i
µ − j + i + +(` )+ R γ (ZuR − H4 (` )R + (2HB + HC )(` )R ) i
C −dR γ µ (−GdiR + X(`j )+ R − Z(N`i )R ) j
µ i j + + C +(` )+ R γ (−XdR + (H3 + HB + Hc )(` )R − H2 (N`i )R ) µ i − j + C −(N `i )C R γ (−ZdR + H2 (` )R − (2HB + HC )(N`i )R ) j
C −dR γ µ (−GdjR − X(`i )+ R + Y (N`i )R ) i
j µ i + + C −(` )+ R γ (−XdR − (H3 + HB + Hc )(` )R + H1 (N`i )R )
j µ − i + C +(N `i )C R γ (−Y dR − H1 (` )R + (−H3 + HB + HC )(N`i )R ) C µ j + µ i + µ −uC R (−uR γ G + (` )R γ Y − (` )R γ Z) i
µ C µ +dR (diR γ µ G − (`j )+ R γ X + (N`i )R γ Z) j
C µ µ +dR (djR γ µ G + (`i )+ R γ X − (N`i )R γ Y )
+uR (+uR γ µ (H3 + HB + Hc ) − diR γ µ H1+ − djR γ µ H2+ ) j
i µ j + µ C µ + −(` )+ R (dR γ X − (` )R γ (H3 + HB + Hc ) + (N`i )R γ H2 ) i
j µ i + µ C µ + +(` )+ R (dR γ X + (` )R γ (H3 + HB + Hc ) − (N`i )R γ H1 ) i
−dR (+uR γ µ H1− − diR γ µ (−H3 + HB + HC ) − djR γ µ H4+ ) j
C µ j + µ i + µ + +(` )+ R (−uR γ Y + (` )R γ (−H3 + HB + HC ) − (` )R γ H4 )
j µ i + µ − C µ −(N `i )C R (dR γ Y + (` )R γ H1 − (N`i )R γ (−H3 + HB + HC )) j
−dR (+uR γ µ H2+ − diR γ µ H4− − djR γ µ (2HB + HC )) i
C µ j + µ − i + µ −(` )+ R (−uR γ Z + (` )R γ H4 − (` )R γ (2HB + HC ))
i µ j + µ + C µ + (N `i )C R (dR γ Z − (` )R γ H2 + (N`i )R γ (2HB + HC ))
42
o
(A.7)
A.3
Suku Kinetik Total
Suku Kinetik Total diperoleh dari penjumlahan Suku Kinetik sextet dengan Suku Kinetik 15-plet LK = LK15 + LK8 n
i
i
µ i C µ = ig6 d γ µ ∂µ di + (` )+ γ µ ∂µ (`i )+ + (ν il )C L γ ∂µ (ν` )L + N `i L γ ∂µ N`i L 1 1 j µ j + µ j µ C µ j + + uC R γ ∂µ uR + dR γ ∂µ dR + uR γ ∂µ uR + (` )R γ ∂µ (` )R 2 2 o 1 1 C µ C µ C + (N `i )R γ ∂µ (N`i )R + + (N `i )C R γ ∂µ (N`i )R 2 n 2 g6 i µ i µ i d γ Gd + dR γ (−H3 + HB + HC )diR + dL γ µ X(`i )+ +i L 2 i µ i i µ − C µ C −dL γ Y (ν`i )C L + d γ Z(N`i ) + dR γ H1 uR i
i
j
j
+dR γ µ H4+ djR − dR γ µ X(`j )+ R
j
j µ − i µ −dR γ µ H2− uC R + dR γ H4 dR + dR γ (2HB + HC )dR j
j
j
µ C −dR γ µ GdjR + dR γ µ X(`i )+ R + dR γ Y (N`i )R i
i
i
µ i + µ i + + µ i + +(` )+ L γ XdL + (` ) γ (H3 + HB + HC )(` ) + (` )R γ (2HB + HC )(` )R +
i
+ µ + C i + µ + −(`i )L γ µ H1+ (ν`i )C L + (` )L γ H2 (N`i )L − (` )R γ H1 (N`i )R
j µ i + µ − j + i + µ +(`i )+ R γ ZuR − (` )R γ H4 (` )R + (` )R γ XdR j
j
j
j
j
µ + µ j + + µ + i + −(` )+ R γ Y uR + (` )R γ (−H3 + HB + HC )(` )R − (` )R γ H5 (` )R j
µ i + µ j + + µ + C −(` )+ R γ XdR + (` )R γ (H3 + HB + HC )(` )R − (` )R γ H2 (N`i )R
i µ i −(ν i` )L γ µ Y diL − (ν i` )L γ µ H1− (`i )+ L + (ν ` )L γ (−H3 + HB + HC )(ν` )L
−(ν i` )L γ µ H4+ (N`i )L + (N `i )γ µ Zdi + (N `i )L γ µ H2− (`i )+ L µ −(N `i )L γ µ H4− (ν`i )C L + (N `i )L γ (2HB + HC )(N`i )L
j µ C µ − j C µ C +(N `i )C R γ (−H3 + HB + HC )(N`i )R − (N `i )R γ H2 (` )R + (N `i )R γ Y dR µ − i + −(N `i )C R γ H1 (` )R
µ +uR γ µ GuR − uR γ µ Y (`j )+ R + uR γ (H3 + HB + HC )uR
−uR γ µ H1+ diR
o
(A.8)
43
Daftar Acuan [1] S.L. Glashow, Nucl. Phys. 22 (1961) 579; S. Weinberg, Phys. Rev. Lett. 19 (1967) 264; A. Salam, Elementary Particle Theory, Eds. N. Svartholm, Almquist and Wiksells, Stockholm (1968); S. Glashow, J. Iliopoulos and L. Maiani, Phys. Rev. D2 (1970) 1285. [2] Particle Data Group, Phys. Lett. 592 (2004) 1. [3] S. Fukuda et.al. (Super-Kamiokande Collaboration), Phys. Rev. Lett. 81 (1998) 1562; ibid., Phys. Rev. Lett. 86 (2001) 5651. [4] G.P. Zeller et.al. (NuTeV Collaboration), Phys. Rev. Lett. 88 (2002) 091802; For a comprehensive review on both theoretical and experimental aspects see : G.P. Zeller, PhD Theses, Northwestern University (2002). [5] C. Aalseth et.al. (Working Group on Neutrinoless double beta decay and direct search for neutrino mass), hep-ph/0412300 (2004). [6] ATLAS, ATLAS TDR on Physics Performance Vol. 2 (1999); CMS TP, CERN/LHC 94-38 (1994); E. Accomando et.al. , Phys. Rep. 299 (1998) 1; J.A. Aguilar-Saavedra et.al. , hep-ph/0106315 (2001); T. Abe et.al. , hep-ph/0109166 (2001); M. Battaglia, hep-ph/0103388 (2001); 44
B. Austin, A. Blondel and J. Ellis (eds.), CERN 99-02 (1999); C.M. Ankenbrandt et.al. , Phys. Rev. ST Acc. Beams 2 (1999) 081001. [7] H. Georgi and S.L. Glashow, Phys. Rev. Lett. 32 (1974) 438. [8] H. Georgi, Particles and Fields (Ed. C.E. Carlson) (1975); H. Fritzsch and P. Minkowski, Ann. Phys. 93 (1975) 193. [9] A. Hartanto and L.T. Handoko, Phys. Rev. D71 (2005) 095013; A. Hartanto, C. Wijaya and L.T. Handoko, in preparation . [10] M. Fukugita, T. Yanagida and M. Yoshimura, Phys. Lett. B109 (1982) 369. [11] P. Majumdar, Phys. Lett. B121 (1983) 25; K. Tabata, I. Umemura and K. Yamamoto, Prog. Theor. Phys. 71 (1984) 615. [12] J. Banks and H. Georgi, Phys. Rev. D14 (1976) 1158; S. Okubo, Phys. Rev. D16 (1977) 3528. [13] For example see : F.L. Stancu, Group Theory in Subnuclear Physics, Oxford Science Publications (1992). [14] For example see : R.N. Mohapatra, Unification and Supersymmetry : The Frontiers of Quark-Lepton Physics, Springer Verlag New York Inc. (1992). [15] M. Gell-Mann, Phys. Rev. 125 (1962) 1067.
45
