BAB III TEORI MEDAN KUANTUM UNTUK FORWARD RATES DENGAN VOLATILITAS STOKASTIK 3.1. Lagrangian Forward Rates dengan Volatilitas Deterministik Pertama akan dibahas secara singkat tentang pentingnya teori medan forward rates dengan volatilitas deterministik. Sebagai bentuk konkretnya, misalkan forward rates di mulai dari waktu Ti sampai pada masa mendatang di t = T f . Karena semua forward rates f ( t , x ) selalu untuk masa mendatang, maka
dalam hal ini x > t , oleh karena itu medan kuantum f ( t , x ) didefinisikan sebagai medan dengan domain berbentuk jajaran genjang
yang dibatasi oleh garis-garis
sejajar x = t dan x = TFR + t dalam arah sumbu maturitas ; serta garis t = Ti dan t = T f dalam arah sumbu waktu sebagaimana digambarkan dalam gambar 3.1.
dibawah ini: t
Tf
Ti
Ti+TF R Gambar 3.1. Domain P Forward Rates
Setiap titik dalam domain P
Tf+TF
x
R
merepresentasikan suatu variabel integrasi
f ( t , x ) yang independen. Interpretasi teori medan pada evolusi forward rates sebagaimana dinyatakan dalam domain P yaitu suatu string kuantum (non-relativistik) yang berpindah dengan satuan kecepatan dalam arah x.
65
Dari model HJM, forward rates memiliki kecepatan drift
volatilitas
(t, x ) ,
( t , x ) dan
dan kedua kuantitas ini akan tampak dalam persamaan
Lagrangian untuk forward rates. Guna mendefiniskan Lagrangian, pertama kita membutuhkan
suku
kinetik,
yang
dilambangkan
dengan
Lkinetik,
guna
mendefinisikan standar waktu evolusi forward rates. Guna mendefinisikan Lagrangian maka perlu diperkenalkan suku lain sebagai gangguan yang merubah bentuk forward rates dalam arah sumbu x. Analogi dengan hal ini dalam string biasa adalah suku potensial dalam Lagrangian yang membuat bentuk runcing dalam string, karena bentuk string sendiri sebenarnya mengandung suku potensial. Untuk memodelkan sifat-sifat yang mirip dengan string pada forward rates, tidak dapat menggunakan suku turunan
( ) dalam Lagrangiannya, karena (f 2 (x
hal ini hanya berlaku pada kondisi tanpa kehadiran arbitrase saja. Kondisi tanpa arbistrase diperlukan ini agar Lagrangian mengandung suku turunan dengan orde yang lebih tinggi, khususnya suku dengan bentuk
( ) ; yang mirip dengan (2 f (x(t
2
sistem string yang memiliki rigiditas berhingga. Istilah seperti ini dalam Lagrangian forward rates dinamakan Lrigiditas dengan parameter baru µ , diberikan oleh µ12 , yang menunjukkan kuantitas fluktuasi dari forward rates terhadap waktu dalam arah sumbu x. Jika diberlakukan limit µ - 0 , akan diperoleh hasil yang sama dengan model HJM, yang juga akan mirip dengan string dengan rigiditas tak hingga. Aksi dari forward rates diberikan oleh persamaan : S[ f ] =
/
.
Tf
Ti
dt .
t +TFR
t
dxL [ f ]
.P L [ f ]
(1) (2)
Dengan rapat Lagrangian L [ f ] diberikan oleh :
66
L[ f ]
=
L kinetik [ f ] + Lrigiditas [ f ]
(3)
$ $ (f ( t , x ) 0 (f ( t , x ) t, x ) ! ( (t, x ) ! ! 1 ! (t 1 !( ! t ( # 1 + 2# 2 ! µ ! (x (t, x ) (t, x ) ! "! 2! "! 2
=
f (t, x )
3
0 !! 1 ! 2!
2
+3
(4)
Adanya suku kedua dalam persamaan aksi yang diberikan persamaan (3) tidak dicantumkan dalam [14] ketika kondisinya tanpa arbitrase, dan studi empiris yang dilakukan [11] menguatkan bukti bahwa suku ini merupakan suku evolusi forward rates. Singkatnya, menurut [11] forward rates berlaku seperti string kuantum,
dengan ruang dan waktu bergantung kepada kecepatan drift efektifnya diberikan oleh
1
(t, x )
(t, x ) ,
, dan rigiditas string sebanding dengan
Karena teori medan didefinisikan dalam dalam domain
1
µ2
massa
.
, maka perlu untuk
menspesifikasi syarat batas untuk seluruh empat batas jajaran genjang tersebut. a. Kondisi Terikat Dirichlet (awal dan akhir) Syarat batas awal dan akhir untuk kondisi Dirichlet dalam arah sumbu t diberikan oleh : Ti (T f
)
< x < Ti (T f ) + TFR
: f (Ti , x ) , f (T f , x )
(5)
yang meliputi kurva forward rates dari awal sampai akhir. b. Kondisi Bebas Neumann Dalam menspesifikasi syarat batas dalam arah sumbu x, perlu menganalisis aksi yang diberikan oleh persamaan (1) guna menentukan bahwa dalam kondisi itu aksi tidak mengandung suku permukaan. Analisis ini kemudian menghasilkan kondisi Neumann dengan versi sebagai berikut :
67
Ti < t < T f
(f (t , x ) (t , x ) ( ( t , =0 (t , x ) (x
(6)
dan
x = t atau x = t + TFR
(7)
Forward rates dalam teori medan kuantum didefinisikan oleh Integral
Lintasan Feynmann dengan mengintegrasikan terhadap semua konfigurasi yang mungkin, dan hasil untuk f ( t , x ) adalah: Z =
.D f
.D f e =
S[ f ]
4P .
(t , x)
(8) +3 3
df ( t , x )
(9)
Perhatikan bahwa e S [ f ] Z adalah probabilitas untuk konfigurasi medan yang berbeda yang terjadi ketika dibentuk integral fungsional f ( t , x ) . 3.2 Lagrangian Forward Rates dengan Volatilitas Stokastik
Untuk menyatakan fungsi volatlitas
(t , x) stokastik, dalam formalisme teori
medan kuantum perlu untuk menaikkan
(t , x) dari fungsi yang deterministik ke
dalam fungsi yang random. Ada dua cara yang dapat digunakan guna menaikkan volatilitas menjadi kuantitas yang stokastik, yaitu: a. Meninjau volatilitas sebagai suatu fungsi dari forward rates f (t , x ) b. Meninjau volatlitas sebagai suatu medan kuantum yang independen dalam tesis ini akan dikaji kemungkinan keduanya. 3.2.1. Volatilitas sebagai Fungsi Forward Rates
Dalam [13] telah diindikasikan bahwa volatilitas sebenarnya merupakan fungsi dari forward rates. Model standar menggunakan pendekatan ini dengan persamaan volatilitas secara ringkas diberikan oleh :
68
(t , x ) , f (t , x ) =
0
(t , x )
f v (t , x )
(10)
dengan 0
(t, x ) adalah fungsi deterministik
karena volatilitas
(t , x) > 0, maka
(11)
f (t , x ) juga >0, berlawanan dengan
persamaan (4), diperoleh: f (t , x ) = f 0 e ) (t , x ) > 0 ;
3
) (t , x ) +3
(12)
dengan f (t , x ) > 0 karena forward rates di pasar finansial selalu positif dan hal ini akan dipakai dalam perhitungan selanjutnya. Dengan limit µ - 0 dalam persamaan (10) akan menghasilkan cakupan volatilitas model HJM. Adapun pandangan-pandangan empiris volatilitas sebelumnya menurut [13] diberikan dalam tabel 3.1. berikut: Model
Ho dan Lee (1986) CIR (1985)
Volatilitas
(t , x, f (t , x )) =
0
1 2
(t , x, f (t , x )) =
0
f
Courtadon (1982)
(t , x, f (t , x )) =
0
f (t , x )
Vasicek (1997)
(t , x, f (t , x )) =
0
Heath-Jarrow-Morton / HJM
(t , x, f (t , x )) = [
0
(t , x )
exp( 5 ( x t )) +
1
(x, t ), f (t , x )]
(1992) Tabel 3.1. Berbagai Rumusan Volatilitas Tesis ini akan membahas bentuk umum Lagrangian dalam persamaan (3) untuk kasus forward rates yang selalu positip. Interpretasi Lagrangian dalam
69
persamaan (3) akan valid jika semua forward rates mendekati nilai tertentu f 0 . Oleh karena itu menghasilkan persamaan: (f (t , x ) () (t , x ) = f 0 e (t , x ) (t (t
(13)
() (t , x ) + O )2 (t
(14)
6 f0
( )
oleh karena itu dibuat mapping sebagai berikut: (f (t , x ) () (t , x ) - f0 (t (t
(15)
Persamaan (3) kemudian digeneralisir menjadi :
L [) ] = L kinetik [) ] + L rigiditas [) ] $ () (t , x ) (t , x )0!! 1 $!! ( f 0 () (t , x ) (t , x ) f 1 !! 0 (t (t # 1 + 2# v) ( t , x ) v) ( t , x ) 2 ! µ ! (x 0 (t , x ) e 0 (t , x ) e ! !" !2 !" 2
=
0 !! 1 ! !2
2
(16) nantinya dalam penurunan Hamiltonian- sistem akan memerlukan perhitungan dengan solusi trivial dalam integrasinya Fungsi Partisi didefinisikan secara teori oleh Integral Lintasan Feynmann sebagai berikut: Z = . D) f
. D) f
v
/
v
e S [) ]
4. ( ) t,x
P
+3 3
(17) d) (t , x ) f
v
(t , x )
(18)
70
dengan syarat batas yang diberikan untuk f (t , x ) dalam persamaan (5) dan (6)
tetap berlaku untuk mempertahankan volatilitas stokastik dalam Lagrangian di persamaan (16). 3.2.2. Volatilitas sebagai Suatu Medan Kuantum yang Independen
Sekarang akan dibahas asumsi yang kedua, yaitu jika volatilitas
0
(t , x )
ditinjau sebagai suatu medan kuantum yang independen. Karena hanya dapat menentukan efek dari volatilitas pada forward rates, maka seluruh efek-efek dari volatilitas stokastik akan dimanifestasikan hanya melalui perilaku forward rates saja. Guna penyederhanaan, ditinjau forward rates sebagai suatu medan kuantum sebagaimana dalam persamaan (4), dengan: f (t , x ): 3
f (t , x ) +3
karena fungsi volalititas
0
(t , x )
(19)
selalu positif, yaitu
0
(t , x ) > 0
maka
diperkenalkan sebuah medan kuantum lain h(t , x ) dengan hubungan sebagai berikut : 0
(t , x ) =
0
e
h (t , x )
,
3 h(t , x ) +3
(20)
tanda – (negatif) diambil bertujuan untuk meyakinkan secara notasi saja. Sekarang sistem terdiri atas dua medan kuantum yang saling berinteraksi, dinamakan dengan
f (t , x ) dan h(t , x ) serta mengikuti aturan-aturan sebagai
berikut : •
Parameter 7 adalah kuantitas yang menentukan bahwa medan h(t , x ) tidak deterministik. Suatu Limit 7 - 0 akan membekukan semua fluktuasi medan h(t , x ) dan mereduksinya menjadi fungsi yang deterministik.
71
•
Parameter 8 berfungsi mengendalikan fluktuasi h(t , x ) dalam arah sumbu x,
yang hal ini sama dengan parameter µ yang mengendalikan fluktuasi dari forward rates f (t , x ) dalam arah sumbu x juga. •
Parameter 9 dengan:
9
1
+1 adalah kuantitas korelasi medan kuantum
forward rates f (t , x ) dengan medan kuantum volatilitas h(t , x ) . •
Suku drift dari volatilitas dinamakan & (t , x ) , dimana analog dengan suku drift
(t , x ) untuk forward rates. Lagrangian untuk sistem yang berinteraksi di sini tidak unik, artinya ada
sejumlah pilihan yang dapat memenuhi kondisi di atas. Suatu Lagrangian yang mungkin untuk sistem yang berinteraksi dituliskan dengan analogi Lagrangian untuk kasus volatilitas stokastik pada sekuritas tunggal di [9], yaitu :
L =
(f (t
1
2(1 9 )
1 2µ 2
(h 9 (t
2
( (x
(f (t
2
& 7
2
1 28 2
( (x
(h & 1 (t 2 7 (h (t
2
2
(21)
& 7
dengan persamaan aksi : S [ f , h] =
.P L
(22)
disini perlu untuk menspesifikasi syarat batas bagi sistem yang berinteraksi. Kondisi awal dan akhir dari forward rates f (t , x ) yang diberikan oleh persamaan (5) tetap dipertahankan untuk kasus sistem yang berinteraksi, dan untuk medan volatilitas syarat batasnya mirip, sebagai berikut : a. Syarat Batas Terikat Dirichlet (awal dan akhir) Nilai awal dispesifikasi dari data sebagai berikut: Ti (T f
)<
x < + TFR ,
(Ti , x ), (T f , x )
(23)
72
yang berlaku khusus kurva volatlitas awal dan akhir. Syarat batas dalam arah sumbu x untuk forward rates f (t , x ) sebagaimana dalam
persamaan (6) tetap dipertahankan pada kasus sistem yang berinteraksi, dan untuk medan volatilitas syaratnya sebagai berikut : b. Syarat Batas Bebas Neumann ( (h(t , x ) & (t , x ) = 0 (x (t
Ti < x < T f ;
(24)
; x = t atau x = t + TFR
(25)
untuk keperluan kuantisasi medan volatilitas
(t, x ) ,
syarat batas forward rates
f (t , x ) yang diberikan oleh persamaan (6) sebenarnya tidak biasa. Guna merupakan
memecahkan kondisi tanpa arbitrase, ditemukan bahwasanya fungsional berbentuk kuadratik dari medan volatilitas
(t, x ) .
Oleh karena itu
syarat batas dalam persamaan (6) sesungguhnya adalah bentuk interaksi antara medan f (t , x ) dan medan h(t , x ) . Dalam hal ini perlu mendefinisikan perhitungan integrasi untuk medan h(t , x ) . Hamiltonian untuk sistem yang berinteraksi adalah sebagai berikut :
.D f D 4. ( )P t,x
+3 3
1
=
4. ( )P t ,x
+3 3
df (t , x ) d
1
(t , x )
df (t , x ) dh (t , x ) e h (t , x )
(26) (27)
Fungsi partisi teori medan kuantum untuk forward rates dengan volatilitas stokastik didefinisikan oleh Integral Lintasan Feynmann sebagai berikut : Z =
.D f D
1
(28)
Nilai pasar yang diamati oleh suatu instrumen keuangan, disebut O [ f , h] , menyatakan nilai rata-rata instrumen keuangan yang melingkupi semua nilai-nilai yang mungkin dari medan kuantum f (t , x ) dan h(t , x ) -dinotasikan dengan
73
O[ f , h] -, dengan rapat probabilitas diberikan oleh aksi (yang telah dinormalisasi) dengan simbol : < O [ f , h] > =
1 Df D Z.
1
O [ f , h ]e S [ f , h ]
(29)
Jika ditinjau limitnya volatilitas akan terseduksi menjadi fungsi yang deterministik, dimana untuk limit ini nilai 7 , 9 dan 8 - 0 . Suku kinetik medan
h(t , x ) dalam aksi di persamaan (22) memiliki limit : $ (h & ! 1 ! ( t lim 4 exp# .P 7 7 -0 t ,x P ! 2 !"
2
0 ! ! 1! !2
4P ,
t,x
(h (t
&
(30)
yang mengimplikasikan bahwa:
(t , x ) > =
<
=
0
exp
0
<e
h (t , x )
>
{ . dt' & (t' , x)}+ O (7 ,8 , 9 ) t
t0
(31) (32)
3.3. Hamiltonian dan Ruang Keadaan
Integral Lintasan Feynmann yang diberikan di persamaan (17) dan (18) berfungsi untuk menghitung
nilai ekspektasi dari medan kuantum. Guna
mempelajari evolusi waktu dari kuantitas-kuantitas laju bunga, maka perlu untuk menurunkan Hamiltonian sistem dari persamaan Lagrangiannya. Cara yang ditempuh dalam tesis ini akan berlawanan dengan cara [9], dimana dalam [9] Lagrangian untuk harga saham dengan volatilitas stokastik justru diturunkan dari
Hamiltonian sistemnya. Ruang keadaan dari teori medan adalah ruang keadaan vektor linier, yang dinotasikan dengan V, terdiri atas sejumlah fungsional medan konfigurasi pada waktu terikat t [9]. Dua ruang keadaan dari V –dinotasikan dengan Vrangkap- terdiri atas semua pemetaan linier dari V menjadi bilangan kompleks, yang juga
74
merupakan ruang vektor linier. Tinjau sebuah elemen V dinotasikan oleh g dan sebuah elemen Vrangkap dinotasikan oleh p ; maka p g adalah suatu bilangan kompleks. Dalam hal ini ditinjau V dan Vrangkap sebagai ruang keadaan suatu sistem. H, operator Hamiltonian –yang dalam kuantum analog dengan energiadalah sebuah elemen tensor produk ruang V : V rangkap . Matriks elemen H adalah bilangan kompleks yang diberikan oleh p g . Dalam kasus ini, akan dipelajari lebih lanjut mengenai ruang keadaan dan Hamiltonian forward rates. Untuk mudahnya notasi ditinjau medan kuantum forward rates f (t , x ) memenuhi medan kuantum f (t , x ) dan h(t , x ) . Karena
Lagrangian di persamaan (21) merupakan turunan pertama terhadap waktu saja, maka akan ada sebuah generator infinitesimal yang disebut dengan hamiltonian
H. Merumuskan hamiltonian untuk forward rates adalah hal yang sulit karena domain P memiliki struktur non-trivial, dan medan kuantum forward rates akan memiliki ruang keadaan yang berbeda-beda untuk tiap waktu sesaat t. Untuk mengatasinya, perlu mendiskritisasi baik t dan x dalam suatu kisi yang berhingga, dengan ruang kisi meliputi arah t dan x dinotasikan dengan (untuk sebuah string yang bergerak dengan kecepatan ; , maturitas kisi akan berjarak
; ). Dalam kisi ini, waktu minimum suatu kontrak berjangka
dinotasikan dengan waktu ; dan untuk aplikasinya
=1 hari. Domain yang baru
~ P adalah sebagai berikut: t
Tf
Ti
x
~
Gambar 3.2. Domain diskrit P
75
~
Definisi diskrit dari domain P diberikan oleh :
(t , x )
(T , T i
(n, l ) dengan n,l integer
f
, TFR ) -
(N , N i
f
{
n
Nf :n
~ kisi P = (n, l ) N i
(33)
, N FR )
(34) l
(n + N FR )}
(35)
f (t , x ) - f n , l
(36)
(f (t , x ) f n +1, l 6 (t
f n , l (f (t , x ) f n , l +1 6 ; (t
fn,l
(37)
fungsi partisinya sekarang berupa integral lipat berhingga yang dinamakan:
4 . df
Z =
( n ,l )
S=
~) P
n,l
eS[ f ]
(38)
' S (n )
(39)
n
Sekarang tinjau dua irisan kisi yang berdekatan yang diberi label n dan n + 1 sebagaimana ditunjukkan dalam gambar 3.3 dibawah ini. S (n ) adalah aksi
yang berkaitan dengan forward rates pada dua irisan waktu ini.
n
n+1
Gambar 3.3.Potongan dua kisi untuk t = n< dan t = (n + 1)< Dapat dilihat dalam Gambar 3.3, untuk 2 irisan kisi waktu ini ada dua tempat kisi di sudut yang tidak sebanding, kisi pada lokasi kisi (n, n ) pada waktu n dan (n + 1, n + 1 + N FR ) pada waktu n + 1 tidak umum. Kita akan mengisolasi
variabel yang tidak sebanding ini sebagai berikut: Variabel-variabel pada waktu n berlaku:
76
{f
n,n
}
~ , Fn ;
~ Fn / {f n +1,l n
l
n + N FR }
(40)
Variabel-variabel yang berada pada waktu (n + 1) berlaku :
{F , f n
n +1, n +1+ N FR
};
Fn / {f n +1,l n + 1 l
n + 1 + N FR }
(41)
Perhatikan bahwasanya meskipun variabel Fn mengacu kepada waktu
(n + 1) ,
tetapi tetap diarahkan labelnya dengan waktu sebelumnya untuk
~ pembuktian lebih lanjut. Dari gambar 3.3, sejumlah variabel Fn dan Fn melingkupi lokasi kisi yang sama dalam arah x yaitu pada n + 1 l
n + N FR , dan
oleh karena itu memiliki jumlah forward rates yang sama yang dinamakan N FR 1 . Hamiltonian akan dapat diekspresikan dalam ungkapan variabel-variabel ini. Dari turunan diskrit waktu yang didefinisikan di pers (37), aksi diskrit S (n ) mengandung suku-suku yang berpasangan karena adanya titik-titik bersama dalam kisi untuk 2 irisan kisi waktu yang nama-nama variabelnya dimiliki oleh ~ sejumlah Fn ; Fn . Untuk itu aksinya adalah: S (n ) =
L [f ' {} n
n ,l
, f n +1,l
l
S (n ) =
]
(42)
L [F~ ; F ] ' {} n
n
(43)
n
l
~
sebagaimana ditunjukkan dalam gambar 3.4, aksi untuk seluruh domain P yang ditunjukkan oleh gambar 3.2 dapat dibangun dengan mengulang konstruksi di gambar 3.3 dan menjumlahkan seluruh aksi S (n ) terhadap semua waktu Ni
n
Nf .
Gambar 3.4. Merupakan rekonstruksi kisi dari dua irisan waktu
77
Hamiltonian dari forward rates adalah sebuah operator yang bekerja pada ruang keadaan forward rates; oleh karena itu perlu untuk menentukan koordinatkoordinat dari ruang keadaannya. Tinjau lagi 2 irisan waktu yang berurutan n dan n+1 dari Gambar 3.4. Sekarang interpretasikan 2 forward rates sesaat pada 2 irisan waktu yang ~ berurutan, f n , n , Fn dan Fn , f n +1, n +1+ N FR yang diberikan di persamaan (40) -
{
}
{
}
yang tampak dalam persamaan aksi di (42)- sebagai koordinat ruang keadaan V dan V dual Untuk tiap waktu sesaat n, ada sejumlah ruang keadaan V n dan V rangkap , n . Koordinat-kordinat ruang keadaan V n dan V n + 1 diberikan oleh tensor produk dari ruang keadaan untuk setiap titik maturitas l, yang dinamakan:
~ fn =
:
n l n + N FR
~ f n,l / f n ,n Fn
(44)
yaitu koordinat keadaan untuk V rangkap , n f n +1 =
:
n +1 l n +1+ N FR
f n +1, l / Fn f n, n+1+ N FR
(45)
yaitu koordinat keadaan untuk V n +1 Vektor keadaan
Fn
milik yang ruang keadaan V n + 1 , tapi kembali
diinterpretasikan bahwa Fn sebagai ruang keadaan F n pada waktu sebelum n, maka dari interpretasi ini dapat dipelajari sistem secara sesaat menggunakan formalisme Hamiltonian. Ruang keadaan V n
{
terdiri dari semua unsur
}
~ kemungkinan fungsi N R forward rates f n ,n , Fn . Ruang keadaan V n ini berbeda untuk tiap n yang berbeda, karena sejumlah forward rates berisi sejumlah variabel yang independen.
78
Meskipun ruang keadaan V n dan V n + 1 tidak identik, ada suatu irisan dua ruang ini yang disebut V n = V n +1 yang melingkupi interval yang sama dalam arah maturitas, dan terkopel oleh aksi S (n ) . Irisan ini menghasilkan sebuah ruang keadaan F n dimana didalamnya berlangsung Hamiltonian evolusi forward rates. Dalam simbol-simbolnya, kita memiliki : V n +1 = F n : f n +1, n+1+ N FR
(46)
V rangkap , n = f n.n :F rangkap , n
(47)
Hn
:
Fn - Fn > H n
V rangkap , n : V n +1
(48)
Hamiltonian H n adalah elemen produk tensor ruang yang dilingkupi oleh ~ operator Fn Fn , penamaan operator ruang diberikan oleh F n : F rangkap , n . Ruang vektor V n dan Hamiltonian H n bekerja pada ruang seperti ditunjukkan dalam Gambar 3.5 berikut
Vn + 2
H n +1 Vn + 1
Hn Vn Gambar 3.5. : Propagasi Hamiltonian H n dalam Ruang Forward rates V n Perhatikan bahwa kedua keadaan Fn
~ dan Fn memiliki ruang keadaan
yang sama F n , dan dengan menggunakan aturan putar untuk mengindikasikan dua keadaan ini berbeda; sebagai contoh dua keadan
f
dan
f
mengidikasikan
bahwa satu keadaan adalah rangkap dari keadaan lainnya.
79
Setelah dikaji semua kemungkinan nilai forward rates dan fˆ , maka sekarang perlu untuk mengkaji basis lengkap dari ruang keadaan V n , terutama operator untuk V n , dilambangkan I n yang merefleksikan bahwa basis ruang keadaan adalah lengkap. Persamaannya menurut [9] diberikan oleh:
In =
4 . df
n l n + N FR
fn
n, l
fn (49)
~ ~ / . df n , n . dFn f n, n ; Fn
~ f n,n ; Fn
(50)
Hamiltonian sistem H didefinisikan oleh Formulasi Feynmann (sampai di normalisasi) dari persamaan (42), yaitu:
9n e
'{l }Ln [ f n ,l ,
f n +1 + l
]
~ = f n ,n , Fn e
Hn
Fn , f n +1, n +1+ N FR
(51)
dimana secara umum 9 n adalah suatu suku medan independen. Dengan menggunakan sifat aksi diskrit yang diberikan di persamaan (43), kita peroleh:
9n e
'{l }Ln [Fn , Fn ] ~
~ = f n ,n , Fn e ~ = Fn e
Hn
Hn
Fn , f n +1, n +1+ N FR
Fn
(52) (53)
Berangkat dari persamaan (50) ke persamaan (53) ternyata hubungan irisan kisi waktu n dan n + 1 masing-masing tidak mengandung variabel f n , n dan f n +1+ N FR . Hal ini menjadikan Hamiltonian tidak bergantung pada variabel-varibel
ini. Interpretasi persamaan (53) adalah bahwa Hamiltonaian mempropagasi ~ keadaan awal Fn dalam waktu menjadi keadaan akhir Fn . Perhatikan hubungan ini: ~ f n ,n , Fn e
Hn
~ Fn , f n +1, n +1+ N FR = Fn e
Hn
Fn
(54)
80
menunjukkan bahwa ada suatu asimetri dalam arah waktu, dengan Hamiltonian masih tidak bergantung pada forward rates paling awal f n ,n di keadaan mulamula dan forward rates terakhir f n +1+ N FR di keadaan akhir. Inilah asimetri dalam
~
propagasi forward rates yang menghasilkan domain jajaran genjang P di gambar 3.2, dan merefleksikan bahwa forward rates f (t , x ) hanya eksis untuk x > t .
Guna penyederhanaan notasi, mulai sekarang digunakan notasi kontinu kembali, khususnya ruang keadaan dilabelkan dengan Vt , vektor keadaan oleh f t . Elemen dari ruang keadaan forward rates V t mencakup semua instrumen
keuangan yang diperdagangkan di pasar pada waktu t. Dalam notasi kontinu dari persamaan (45) diperoleh: ft =
Ft =
:
f (t , x )
(55)
:
f (t , x )
(56)
t x t +TFR
t x t +TFR
dalam notasi kontinu, perbedaan antara vektor keadaan f t
dan Ft
hanya di
persamaan (56), yaitu saat titik x = t tidak termasuk dalam tensor produk untuk yang kontinu. Fungsi pastisi Z yang diberikan di persamaan (38) dapat direkonstruksi dari Hamiltonian dengan menerapkan secara rekursif prosedur yang dibahas untuk dua irisan kisi waktu yang berurutan. Maka untuk notasi kontinu kita peroleh: Z = . D f eS[ f ] = f mula
mula
(57)
T $#exp "
.
Tf
Ti
H t dt 01 f akhir 2
(58)
dimana simbol T dalam persamaan diatas berkedudukan sebagai operator waktu (non-commut) dalam argument, dengan waktu paling mula-mula diletakkan di kiri.
81
3.3.1. Vektor Keadaan Obligasi Vektor keadaan yang paling penting dalam keuangan adalah kupon obligasi biasa dan obligasi tanpa bunga (zero coupon bonds). Tinjau sebuah obligasi tanpa bunga bebas resiko yang jatuh tempo (maturitas) pada waktu T dengan pembayaran sebesar $1. Harga obligasi pada waktu t < T t diberikan oleh : T
P(t , T ) = e .t
f (t , x ) dx
/ P[ f ; t , T ]
(59)
vektor keadaan P(t , T ) adalah sebuah elemen ruang keadaan V t . vektor keadaan
saham dapat dituliskan sebagai berikut: P(t , T ) /
f t P(t , T ) T
= e .t
(60)
f ( x ) dx
(61)
vektor keadaan yang lain adalah kupon obligasi biasa B
dengan pembayaran
sejumlah cl pada saat Tl , dan pembayaran akhir L pada waktu T. Vektor keadaan obligasi biasa adalah superposisi linier dengan zero coupon bond dan diberikan oleh persamaan:
B (t ) = ' cl P(t , Tl ) + L P(t , T )
(62)
l
3.4. Hamiltonian untuk Forward Rates dengan Volatilitas Stokastik
Sebelumnya telah diperoleh persamaan umum untuk Hamiltonian dan ungkapan suku aksi S sebagaimana dalam persamaan (53), dan perlu untuk menerapkan formula ini dalam kasus khusus Largangian forward rates guna memperoleh persamaan Hamiltoniannya secara eksplisit. Dari persamaan (53) diperoleh persamaan sebagai berikut:
9 n e S (n ) = e
'{l }L n [H n , H n ; Fn , Fn ] ~
~
(63)
82
~ ~ = Fn ; H n e
Hn
Fn ; H n
(64)
dimana dalam persamaan diatas secara eksplisit sudah memuat volatilitas medan kuantum h(t , x ) .
Untuk penyederhaan notasi, tinjau sumbu arah x maturitas adalah kontinu, dan tinjau hanya waktu yang diskrit. Dalam notasi kontinu keberadaan variabel waktu t dan t + dihitung dan di analisis variabel yang tampak pada batas interval
[t
x
t + TFR ] . Aksi S (n ) untuk t = n sebagai berikut: S (n ) =
.
/.
. L (t , x )
t =TFR
t
(65)
n
(66)
dx
3.4.1.Hamiltonian untuk Forward Rates dengan Volatilitas Stokastik
Sebelumnya telah diperoleh Hamiltonian untuk kasus sederhana dari volatilitas sebagai suatu fungsi forward rates. Mengingat kembali Lagrangian sistem yang diberikan oleh :
L [) ] = L kinetik [) ] + L rigiditas [) ]
$ () (t , x ) $ () (t , x ) 0 ( ) (t , x ) , f f t x 0 0 ! 1 !! 1 !( !! (t ( t # 1 + 2# v) ( t , x ) v) ( t , x ) 2 ! µ ! (x 0 (t , x ) e 0 (t , x ) e ! !" !2 !" 2
=
0 !! 1 ! !2
2
(67) Pada diskritisasi Lagrangian yang diperoleh menggunakan syarat batas persamaan (6), bahwa: S (n ) =
. Ln =
1 (2 1 1 A A 2. µ 2 (x 2
(68)
83
A = f0
1 0
e
;)
()
)t
t+
f0 1
)
(69)
Sekarang kembali menuliskan persamaan (68) menggunakan Integrasi Gaussian akan diperoleh : (konstanta yang tidak berhubungan diabaikan) 0 $ e S (n ) = 4 . dp( x ) exp # p (x )D( x, x' ; t ) p ( x') + i . p ( x )A( x )1 (70) . 2 " 2 x
dengan
1 (2 1 D( x, x ' ; t ) = , ( x µ 2 (x 2
x ')
merupakan syarat batas kondisi Neumann. Sebuah turunan eksplisit didefinisikan dari propagator D( x, x' ; t ) menghasilkan :
D ( x, x ' ; t ) =
[
µ cosh (µTFR 2 sinh (µTFR )
µ x x' ) + cosh (µTFR
]
µ ( x + x' 2t ))
(71) Tinjau definisikan suku yang didefinisikan sebagai berikut:
9n = 4 f
;
(n
, x)
(72)
x
dengan menskala kembali p( x ) sebagai berikut : p - f0 1
0
e;) p
(73)
maka akan diperoleh:
{
9 n e S (n ) = 4 . dp( x ) exp i . p( x )()t + x
2 f 02
.
;)
0
e
p ( x )D( x, x' ; t )
)t
f 01
)(x )
0 p ( x')1 0e 2 ;)
(74)
Ingat kembali persamaan (53) bahwa Hamiltonian didefinisikan sebagai:
84
9 n e S (n ) = )t e =e
H)
H n (t )
)t +
(75) i p () t +
. . D pe
)t )
(76)
Dan dengan menghilangkan t dalam )t , Hamiltonian forward rates menjadi: 1 H ) (t ) = 2 f 02
.
;)
0
e
,2 ( x ') 0e ,) ( x ),) ( x')
( x ) D ( x, x ' ; t )
1 f0
;)
, ,)
.
(77) Hamiltonian adalah non-hermitian dengan nilai eigen kompleks. Meskipun hal ini merupakan masalah dalam fisika, hal ini tidak terjadi di finansial karena Hamiltonian bukanlah besaran kuantitas (seperti energi) yang memiliki nilai eigen yang observabel, dan oleh karena itu tidak harus memiliki nilai eigen yang real. 3.4.2 Hamiltonian untuk Forward Rates dan Volatilitas Medan Kuantum Sekarang tinjau kasus ketika fluktuasi forward rates dan volatilitas yang direpresentasikan sebagai medan kuantum yang terpisah, sebelumnya menguji Lagrangian yang diberikan dalam persamaan (21), yaitu:
L =
(f (t
1
2(1 9 )
1 2µ 2
( (x
(h 9 (t
2
(f (t
2
& 7
2
1 28 2
( (x
(h & 1 (t 2 7 (h (t
2
2
(78)
& 7
kemudian ingat kembali
3
f (t , x ), h(t , x ) + 3
(79)
dengan melakukan diskritisasi waktu, dan untuk penyederhanaan notasi waktu dan maturitas, maka dituliskan Lagrangian dalam notasi matriks berikut:
85
.[
1 2
S (n ) =
1
]
A 7 1 B ( x )M ( x, x' ; t )
1
7
1
A ( x ') B
(80)
dimana: 1
M ( x, x ' ; t ) = 1 9
2
9 1 92
1 (2 µ 2 (x 2
9 1 92
1 1 92
1 (2 8 2 (x 2
, ( x x') (81)
dan
A / ft+
~ ft
B / ht +
~ ht
(82)
&
(83)
Perhatikan bahwa dalam memperoleh persamaan (80) untuk S (n ) telah menggunakan syarat batas kondisi medan yang diberikan dalam persamaan (6) dan (24). Sekarang kembali menuliskan persamaan (80) menggunakan Integrasi Gaussian dan memperoleh (abaikan konstanta yang tidak relevan): e S (n ) = 4 . dp ( x )dq ( x ) exp x
2
. [p
q ]M
1
p q
+ i . [ p q]
1
7
1
A B
(84) mengingat dari persamaan (37) bahwa Integral Lintasan Feynman memiliki perhitungan non-trivial dalam menghitung
1
(t , x )
dan dalam memperoleh
Hamiltonian perhitungan ini akan dilibatkan. Definisikan suku perhitungan dengan:
9n /4
1
(x )
(85)
x
dan dengan menskala variabel p dan q dalam persamaan (84) untuk tiap x:
86
p -
(86)
p
q - 7q
(87)
kemudian diperoleh dari persamaan (84) :
[ 2.
9 n e S (n ) = . DpDq × exp
p 7q ] M
+ i . [ p q]
p
1
7q
~ f f ~ h h
+
(88)
&
menunjukan bahwa perhitungan di atas dapat dibatalkan. Kemudian sebelumnya diperoleh: ~ ~ f ;h e
9 n e S (n ) =
i p f
(89)
f ; h
n
(
. . DpDq e
Hn
=e
H
) . (
~ ~ f +i q h h
)
(90)
dan yang menghasilkan Hamiltonian untuk forward rates serta volatilitas sebagai suatu medan kuantum independen diberikan oleh persamaan berikut :
H (t ) =
, , ~ 7 ~ M i,f i,h
1 2.
1
, ~ i,f , 7 ~ i,h
$ , , 0 ~ + & ~ 1 (91) ,f ,h 2
. #"
dari persamaan (81) diperoleh:
M 1 ( x, x' ; t ) = c
(D
D+ ) +
(1
92)
82
9 (D
( r+ D+
r D
D+ )
)
9 (D
(D
D+ ) +
(1
D+ )
92)
82
( r+ D+
r D
dimana : c=
(8
µ 28 2 2
µ
)
2 2
+ 49 µ 8 2
2
(92) 2
87
)
r± =
(
1
21 9
2
)
µ2 +8 2 ±
(8
2
µ 2 ) + 49 2 µ 2 8 2 2
(93)
(2 + r± D± ( x, x '; t ) = , ( x x ') dengan kondisi batas Neumann (x 2 (94) Untuk memecahkan keadaan tanpa kehadiran arbitrase, dibutuhkan : G ( x; x' , t ) / M 111 ( x; x' , t )
=
(8
µ2
2
µ ) + 49 µ 8 2
2
2
2
[8
2
(D
(95)
(
)
D+ ) + 1 9 2 ( r+ D+
r D
)]
(96)
3.5. Perumusan Hamiltonian untuk Keadaan Tanpa Kehadiran Arbitrase
Prinsip keadaan tanpa kehadiran arbistrase adalah pusat dari teori finansial, dan integral lintasan yang membahas formulasi prinsip ini diberikan dalam [10]. Untuk kasus volatilitas deterministik, Lagrangian forward rates yang diberikan oleh persamaan (3) adalah kuadratis, dan kemudian kondisi tanpa kehadiran arbitrase dapat dipecahkan dengan tepat dengan melakukan Integrasi Lintasan Gaussian [10]. Sedangkan untuk kasus volatilitas yang stokastik, Lagrangiannya adalah non-linier dan kemudian kondisi tanpa kehadiran arbitrase
tidak dapat dipecahkan secara eksplisit menggunakan integral lintasan; untuk alasan inilah kemudian akan kembali dirumuskan kondisi tanpa kehadiran arbitrase menggunakan Hamiltonian. Perumusan Hamiltonian untuk teori nonlinier dari forward rates dengan volatilitas stokastik memenuhi solusi yang eksak untuk keadaan tanpa arbitrase. Pertama, akan menurunkan perumusan Hamiltonian untuk kasus sekuritas tunggal S, karena untuk produk turunan untuk forward rates akan lebih kompleks 3.4.1 Sekuritas Tunggal tanpa Arbitrase
88
Tinjau suatu opsi dalam sebuah sekuritas S = e x yang akan jatuh tempo pada waktu T dan memiliki fungsi payoff diberikan oleh g ( x, K ) dimana K adalah
strike price. Sebagaimana telah didiskusikan dalam [10], evolusi bebas resiko suatu sekuritas diberikan oleh Hamiltonian H s , dengan nilai opsi pada waktu t < T diberikan oleh:
f (t , x ) = e
r (T t )
.
3 3
dx' x e
(T
t )H s
x ' g ( x ')
(97)
dimana r adalah suatu konstanta laju bunga bebas resiko sesaat) Kondisi martingale untuk evolusi bebas resiko dari suatu sekuritas merupakan potongan evolusi dari harga mendatang sekuritas itu pada waktu mendatang tertentu, sebut saja t* , . Nilai ini adalah sama, pada saat rata-rata, dengan harga sekuritas ketika waktu mula-mula t. Persamaan kondisi martingale menyatakan bahwa:
[
S ( x(t )) = E[t , t* ] e
(t* t )r
]
S ( x(t* ))
(98)
dimana notasi E[t , t* ] [Y ] merupakan rata-rata dari nilai Y untuk semua variabel stokastik dalam interval waktu [t ,t* ] . Dari persamaan (97) dapat diperoleh :
S (x ) = e
r (t* t )
3
.
3 3
dx' x e
> x S = . dx' x e 3
(t* t ) H s
(t* t ) (H s + r )
x ' S ( x ')
x' x' S
(99)
(100)
dengan menggunakan kelengkapan persamaan untuk sekuritas tunggal yang diberikan oleh : 3
I = . 3 dx x x
(101)
Dari persamaan (100) akan menghasilkan persamaan operator yaitu :
89
S =e
(t* t )(Hˆ s + r )
S =0
(102)
Karena t* adalah waktu arbitrase, maka diperoleh:
(H s + r )
S =0
(103)
3.5. 2. Perumusan Forward Rates Tanpa Kehadiran Arbistrase
Prinsip tanpa kehadiran arbitrase menyatakan bahwa harga dari obligasi P(t* , T ) pada waktu di masa mendatang T > t* > t adalah sama dengan harga
obligasi itu pada waktu t, di potong oleh laju bunga bebas resiko r (t ) = f (t , t ) . Dengan kata lain : P(t , T ) = E[t ,t* ]
t*
e .t
r (t ) dt
P(t* , T )
(104)
dimana E[t , t* ] [Y ] menunjukkan nilai rata-rata Y yang meliputi seluruh variabel stokastik dalam interval waktu [t ,t* ] . Dalam kaitannya dengan Integral Lintasan Feynmann, Persamaan (104) menghasilkan (dihitung untuk 9 ): t*
P (t , T ) = . D f 9 [ f ]e
. r (t ) dt t
e S [ f ] P(t* , T )
(105)
Terdapat dua domain yang dilibatkan dalam integral lintasan di persamaan (105), disebut dengan domain dari treasury bond yang juga berada di dalam domain forward rates. Domain ini ditunjukkan oleh gambar 3.6 berikut: t
Tf t t* Ti
Ti+TF T Gambar 3.6. Domain tanpa Arbitrase untuk Treasury Bonds
x
90
Meskipun dituliskan dalam bentuk integral, kondisi persamaan (105) sebenarnya merupakan suatu diferensial karena mengandung bentuk t* kemudian diambil t* =t + . Alasan perlu untuk meninjau perubahan yang infinitesimal saja untuk forward rates adalah karena ruang keadaan V t memiliki sifat bergantung terhadap waktu. Untuk evolusi waktu infinetesimal, fungsi dalam persamaan (105) ~ gagal untuk mengintegrasikan terhadap variabel waktu akhir f t + pada waktu kisi
t + , sehingga: ~ P(t , T ) = . Df t + 9 t + e
f ( t ,t )
[
L [ f , ~f ] ~ e. P f ;t + , T
]
(106)
kemudian dituliskan kembali persamaan diatas dalam bahasa vektor keadaan, yang dinamakan dengan: ~ f t P(t , T ) = . Df t +
f (t ,t )
ft e
e
H
~ ft+
~ f t + P(t + , T )
(107)
Telah dimiliki dari kelengkapan yang diberikan persamaan (49) bahwa : ~
~
~ ft+
I t + = . Df t + f t +
(108)
kemudian dari persamaan (107) bahwa : f t P(t , T ) = f t e > P(t , T ) = e
f (t ,t )
f (t ,t )
e
e
H (t )
H (t )
P(t + , T )
P(t + ,T )
(109) (110)
dapat dibuktikan dengan menggunakan representasi zero coupon bond secara eksplisit dari persamaan (61) bahwa : e+
f ( t ,t )
P(t , T ) = P(t + , T )
(111)
kemudian kita punya: P(t + , T ) = e
H (t )
P(t + , T )
(112)
91
> H (t ) P(t + , T ) = 0
(113)
Perumusan diferensial untuk tak ada arbitrase, yang dinamakan zero coupon bond –yang juga berlaku untuk tiap zero coupon bond- dianihilasi oleh Hamiltonian Hˆ , yaitu :
H (t ) P(t , T ) = 0 untuk semua t, T
(114)
Perhatikan similaritas persamaan diatas dengan kasus untuk sekuritas tunggal dalam persamaan (103). Adanya kasus pemotongan terlihat sangat berbeda untuk kedua kasus. Spot rate r merupakan suatu konstanta dalam kasus sekuritas tunggal , sementara dalam kasus forward rates pemotongan oleh spot rate merupakan suatu faktor yang dibutuhkan untuk mentransformasikan waktu mendatang dari obligasi P (t + , T ) ke waktu sebelumnya, yang dinamakan P(t , T ) 3.6. Kondisi Tak Ada Arbitrase untuk Volatilitas Stokastik
Dengan menggunakan Hamiltonian untuk forward rates dengan volatilitas stokastik yang diberikan dalam persamaan (77) dan (91), dapat diaplikasikan pada keadaan tanpa arbitrase yang diperoleh di persamaan (114), yaitu:
H (t ) P(t , T ) = 0
(115)
atau secara lebih eksplisit lagi adalah : T
f t H (t ) P(t , T ) = H (t ) e
. dx f (t , x ) t
=0
(116)
3.6.1 Kondisi Tak Ada Arbitrase Untuk Volatilitas Sebagai Suatu Fungsi Forward rates
Di tinjau kembali persamaan zero coupon bond yang diberikan oleh :
92
T
P(t , T ) = exp
f 0 . dx e) (t , x )
(117)
t
yang kemudian menghasilkan :
$ f e) (t , x ) P(t , T ), t < x < T P(t , T ) = # 0 ,) (t , x ) 0 x >T "
,
(118)
Sementara dari persamaan (116) dan (77) dapat diperoleh: T
1 dx dx' 2 .t
0
e ; ) (t , x ) f (t , x ) D(x, x'; t )
0
e; ) (t , x ' ) f (t , x') +
0
e;) (t , x ' ) f (t , x')
T
. dx (t , x ) f (t, x ) P(t ,T ) = 0 t
>
(t , x )=
T
0
f
e;) (t , x ) . dx' D( x, x'; t )
(119)
t
merupakan persamaan untuk kondisi tanpa arbistrase Perhatikan bahwa kondisi tanpa arbitrase yang diberikan di atas tidak terkandung dalam solusi model HJM untuk kecepatann drift yang semuanya berbentuk kuadratis dalam medan-medan volatilitas [13]. Kehadiran forward rates
f (t , x ) secara langsung dalam kecepatan drift muncul secara alamiah dalam formulasi teori medan kuantum, dan hal ini menunjukkan bahwa suku kinetik dalam Lagrangian untuk kasus f () oleh (t
2
untuk f
[
3 , + 3] - yang disebut
(f (t
2
- digantikan
[0,+3] .
Secara fakta, dapat dibuktikan suatu hasil yang lebih umum dari aksi S [) ] untuk kasus dimana volatilitas stokastik merupakan fungsi dari forward rates. Dituliskan Lagrangian secara umum sebagai :
93
Lumum = L [) ]+ . U (t , x )
() + W (t , x ) (t .
(120)
U, W : arbitrase lokal yang merupakan fungsi dari f (t , x ) (121)
kemudian dari keadaan tanpa arbitrase menghasilkan : U (t , x ) = W (t , x ) = 0
(122)
suku tensi string dalam Lagrangian akan memiliki bentuk: (f (x
W (t , x )A
2
(123)
dimana hal ini tidak diijinkan dalam keadaan tanpa arbitrase. 3.6.2. Keadaan Tanpa Arbitrase Untuk Volatilitas Sebagai Medan Kuantum Yang Independen
Dari Hamiltonian yang diberikan dalam persamaan (91) dapat dilihat
, bernilai nol dalam persamaan ,h
bahwa, sebagaimana dalam kasus di bawah,
(116) karena dalam zero coupon bond tidak bergantung secara eksplisit pada medan volatilitas. Dengan menggunakan fakta bahwa : T
, ,f
m
m
(t , x )
e
. dx t
f (t , x )
$ . dx f (t , x ) ! m t 1 e , ( ) =# ! 0, " T
t < x
T
(124)
kemudian dari menggabungkan persaman (116), (91) dan (124) diperoleh: T
1 dx dx' 2 .t
T
(t , x )G(x, x' ; t ) (t , x') + . dx (t , x ) P(t , T ) = 0 t
x
>
(t , x )= (t , x ) . dx' G(x, x' ; t ) (t , x')
(125)
t
merupakan persamaan untuk kondisi tanpa arbitrase
94
Karena tidak ada instrumen dalam pasar finansial sekarang ini yang dapat menyajikan perdagangan dalam volatlitas dari forward rates secara langsung, maka sulit untuk mengaplikasikan kondisi martingale dari medan volatilitas, khususnya kecepatan drift dari medan volatilitas, yang disebut dengan & (t, x ) ,
menjadi fungsi medan lain dan parameter-parameter teori lainnya. Dari alasan inilah kemudian & harus ditentukan secara empiris dari pasar. Untuk memperoleh limit volatilitas deterministik, maka perlu untuk mengambil limit 7 , 9 , dan
8 - 0 . Dari sini akan diperoleh: 7 , 9 ,8 - 0
(126)
r+ - µ
(127)
r -0
(128)
G ( x , x ' ; t ) - D ( x, x ' ; t )
(129)
dengan propagator D( x, x'; t ) diberikan oleh persamaan (71). Dengan menerapkan beberapa identitas, propagator D( x, x' ; t ) yang diberikan dalam persamaan (71) diatas benar-benar sama dengan hasil yang diperoleh dalam [10] dengan menggunakan teknik integral. Kemudian dari keadaan tanpa arbitrase diperoleh
untuk kasus volatilitas deterministik
menggunakan Hamiltonian sama dengan yang diperoleh dengan hasil sebelumnya yang menggunakan integral lintasan. Sedangkan dengan memasukkan
(t, x )
yang diberikan dalam persamaan (125) ke dalam Lagrangian menghasilkan hasil akhir dalam tesis ini. Sebagai notasi, didefinisikan fungsi non-lokal dalam medan volatilitas berikut : x
v(t , x ) = . dx' G ( x, x' ; t ) (t , x')
(130)
t
Sehingga diperoleh hasil akhir Lagrangian :
95
L (t , x ) = 2 (1 9 ) 1
1 2µ 2
1
2
( (x
1
(f (t (f (t
v 9
(h (t
&
1 2K 2
(h (t
1 2
7
2
v
2
( (x
(h (t
&
2
7
&
2
(131)
7
Lagrangian yang diberikan oleh persamaan diatas merupakan deskripsi yang utuh secara teori dari forward rates dengan volatilitas stokastik. Semua paraameter dalam teori, yang dinamakan dengan fungsi & (t, x ) dan parameter µ , K , 9 dan 7
perlu untuk ditentukan dari data pasar. Selama adanya medan v(t , x ) , dapat diperoleh
bahwasanya
Lagrangian
non-lokal,
dengan
fungsi
G ( x, x' ; t )
mengandung semua informasi yang dibutuhkan dengan asumsi tidak ada arbitrase. Jadi, ada 2 generalisasi yang dapat dilakukan dengan Lagrangian: dalam persamaan (131), yang menunjukkan bahwa forward rates dapat dibuat positip, yaitu f > 0 , dan yang kedua adalah bahwa propagator G ( x, x' ; t ) dapat memuat efek-efek lain yang lebih kompleks yang datang dari depedensi maturitas terhadap parameter rigiditas µ .
96
