MODEL VERHULST DETERMINISTIK DAN STOKASTIK

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

MODEL VERHULST DETERMINISTIK DAN STOKASTIK Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika

Oleh : Happy Christanti NIM: 123114001

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2016

i


DETERMINISTIC AND STOCHASTIC VERHULST MODEL

Thesis

Presented as a Partial Fulfillment of the Requirement to Obtain the Sarjana Sains Degree in Mathematics

By : Happy Christanti Student Number: 123114001

MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 2016

ii


iii


iv


PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan atau daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 31 Maret 2016 Penulis,

Happy Christanti

v


HALAMAN PERSEMBAHAN

“Bersukacitalah dalam pengharapan, sabarlah dalam kesesakan, dan bertekunlah dalam doa!” (Roma 12:12)

Karya ini kupersembahkan untuk: Tuhan Yesus Kristus yang senantiasa menyertaiku Mama, Papa dan Kakak tercinta yang selalu mendukungku

vi


ABSTRAK Dinamika populasi merupakan salah satu penelitian di bidang matematika biologi yang paling aktif. Pada skripsi ini akan dibahas model Verhulst dan beberapa pengembangannya, seperti model Verhulst dengan batas bawah, model pemanenan Schaefer, model penyebaran teknologi, dan model Verhulst dengan laju pertumbuhan tidak konstan. Model Verhulst dan beberapa pengembangannya tersebut akan diselesaikan secara analitik. Kita juga akan memeriksa kestabilan titik ekuilibrium dan menyajikan grafik dengan menggunakan Matlab atau Maple. Lebih lanjut lagi, kita akan mengkonstruksi model stokastik Verhulst dengan mempertimbangkan derau putih yang berasal dari gerak Brown ke dalam model deterministik yang bersesuaian. Kita selesaikan model stokastik tersebut menggunakan kalkulus stokastik Ito.

vii


ABSTRACT Population dynamic is one of the most active research areas in mathematical biology. In this thesis we will discuss the Verhulst model and some of its modifications, such as Verhulst model with lower threshold, harvesting model of Schaefer, spreading-technology model, and Verhulst model with time dependent growth rate. Some of these models will be solved analytically. We also investigate the stability of the equilibrium solutions and present some simulations by using Matlab or Maple. Furthermore, we will construct a stochastic Verhulst model by incorporating a white noise coming from Brownian motion to the corresponding deterministic model. We solve the stochastic model by using Ito’s stochastic calculus.

viii


KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus yang selalu menyertai dan membimbing penulis sehingga penulis mampu menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Skripsi ini dibuat sebagai salah satu syarat dalam menyelesaikan studi Strata satu (S1) dan memperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si.) pada Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta. Penulis menyadari bahwa proses penulisan skripsi ini melibatkan banyak pihak yang membantu penulis dalam menghadapi berbagai macam kesulitan dan hambatan selama proses penulisan skripsi. Oleh karena itu pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada: 1. Bapak Hartono, Ph.D selaku Kaprodi Matematika dan Dosen Pembimbing Akademik. 2. Bapak Dr. rer. nat. Herry P. Suryawan, S.Si., M.Si. selaku Dosen Pembimbing Skripsi. 3. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, SJ., Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si., Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., dan Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si. selaku dosen-dosen

prodi

matematika

yang

telah

memberikan

banyak

pengetahuan kepada penulis selama proses perkuliahan. 4. Bapak/Ibu dosen/karyawan Fakultas Sains dan Teknologi yang telah berdinamika bersama selama penulis berkuliah.

ix


5. Teman-teman Matematika 2012: Boby, Ajeng, Tika, Oxi, Putri, Juli, Ferni, Risma, Ega, Rian, Budi, Lia, Anggun, Sila, Noni, Arum, Dewi, Ilga, Amanda, terimakasih untuk kebersamaan, keceriaan, semangat dan bantuan selama proses perkuliahan. Banyak suka dan duka, namun tidak ada kata menyerah. 6. Kakak-kakak dan adik-adik tingkat: Kak Indra, Kak Ensi, Kak Ochi, Kak Jojo, Kak Ayu, Kak Tika, Kak Pandu, Kak Ratri, Kak Astri, Ambar, Bintang, Inge, Dion, Rey, Agung, Bella, Monik dan yang lainnya, terimakasih untuk semangat dan dukungannya. 7. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu dalam proses penulisan skripsi ini. Semoga segala perhatian, dukungan, bantuan dan cinta yang telah diberikan mendapatkan balasan dari Tuhan Yesus Kristus. Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penulisan skripsi ini. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran demi penyempurnaan skripsi ini. Harapan penulis, semoga skripsi ini bermanfaat bagi pembaca dan menjadi referensi belajar yang baik.

Yogyakarta, 31 Maret 2016 Penulis,

Happy Christanti

x


LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:

Nama

: Happy Christanti

Nomor Mahasiswa

: 123114001

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:

MODEL VERHULST DETERMINISTIK DAN STOKASTIK beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di Internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta izin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap mencatumkan nama saya sebagai penulis. Demikian pernyataan ini yang saya buat dengan sebenarnya.

Dibuat di Yogyakarta Pada tanggal: 31 Maret 2016

Yang menyatakan

(Happy Christanti)

xi


DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL...........................................................................................i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................iii HALAMAN PENGESAHAN .............................................................................iv HALAMAN KEASLIAN KARYA ....................................................................v HALAMAN PERSEMBAHAN .........................................................................vi ABSTRAK ..........................................................................................................vii ABSTRACT ........................................................................................................viii KATA PENGANTAR ........................................................................................ix LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI..............................xi DAFTAR ISI .......................................................................................................xii DAFTAR GAMBAR ..........................................................................................xv BAB I PENDAHULUAN ...................................................................................1 A. Latar Belakang....................................................................................1 B. Rumusan Masalah ..............................................................................7 C. Batasan Masalah .................................................................................7 D. Tujuan Penulisan ................................................................................8 E. Manfaat Penulisan ..............................................................................8 F. Metode Penulisan ...............................................................................8 G. Sistematika Penulisan .........................................................................9

xii


BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL ............................................................11 A. Persamaan Diferensial Biasa ..............................................................11 1. Persamaan Diferensial .................................................................11 2. Persamaan Diferensial Linier ......................................................12 3. Persamaan Diferensial Variabel Terpisah ...................................14 B. Persamaan Diferensial Stokastik ........................................................16 1. Teori Peluang...............................................................................17 2. Integral Ito ...................................................................................32 3. Persamaan Diferensial Stokastik .................................................54 BAB III MODEL VERHULST DETERMINISTIK...........................................58 A. Model Pertumbuhan Populasi Verhulst ..............................................64 1. Penyelesaian Model Verhulst .....................................................65 2. Analisa Kualitatif Model Verhulst ..............................................69 B. Beberapa Pengembangan Model Pertumbuhan Populasi Verhulst ....74 1. Model Verhulst dengan Batas Bawah (Threshold) .....................74 2. Model Pemanenan Schaefer ........................................................88 3. Model Penyebaran Teknologi......................................................96 4. Model Verhulst dengan Laju Pertumbuhan tidak Konstan .........101 BAB IV MODEL VERHULST STOKASTIK ...................................................113 A. Model Pertumbuhan Stokastik yang Memuat Derau yang Berasal dari Gerak Brown ...............................................................................113 B. Penyelesaian Model Verhulst Stokastik .............................................115

xiii


BAB V PENUTUP ..............................................................................................125 A. Kesimpulan .........................................................................................125 B. Saran ...................................................................................................127 DAFTAR PUSTAKA .........................................................................................129 LAMPIRAN ........................................................................................................131

xiv


DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Ilustrasi Grafik Fungsi Densitas Peluang ......................................23 Gambar 2.2 Contoh Lintasan Sampel Gerak Brown dengan

...........31

Gambar 2.3 Ilustrasi geometri integral Riemann ..............................................33 Gambar 2.4 Ilustrasi Jumlahan Riemann-Stieltjes

.......................................39

Gambar 2.5 Ilustrasi Jumlahan Riemann-Stieltjes

.......................................40

Gambar 3.1 Grafik Penyelesaian Model Malthus saat

.........................59

Gambar 3.2 Grafik Penyelesaian Model Gompertz dengan

dan

...................................................................................................................62 Gambar 3.3 Grafik Penyelesaian Model Gompertz dengan

dan

...................................................................................................................63 Gambar 3.4 Grafik Penyelesaian Model Gompertz dengan

dan

..................................................................................................................63 Gambar 3.5 Grafik Penyelesaian Model Verhulst dengan

...................73

Gambar 3.6 Grafik Penyelesaian Model Verhulst dengan Batas Bawah dengan ,

, dan

...................................................................................87

Gambar 3.7 Grafik Penyelesaian Model Schaefer saat

dan

..............................................................................................................93 Gambar 3.8 Grafik Penyelesaian Model Schaefer saat

,

, dan

..............................................................................................................94 Gambar 3.9 Grafik Penyelesaian Model Schaefer saat

,

, dan

..............................................................................................................95 xv


Gambar 3.10 Grafik Penyelesaian Model Penyebaran Teknologi saat , dan

,

..............................................................................................100

Gambar 3.11 Grafik Penyelesaian Model Verhulst Laju tak Konstan dengan ( )

.........................................................................................................110


(

) .................................................................................................111


.................................................................................................112

Gambar 4.1 Contoh Lintasan Sampel Penyelesaian Model Verhulst Stokastik saat ,

,

, dan

.......................................................123


,

, dan

....................................................123


,

, dan

xvi

. ............................................124


BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Banyak matematikawan yang sudah mengembangkan model matematika untuk pertumbuhan populasi. Thomas Robert Malthus (1798), seorang ahli ekonomi asal Inggris, menjadi salah satu tokoh yang berpengaruh dalam pengembangan model pertumbuhan populasi. Model Malthus atau disebut juga model eksponensial, yaitu: ( ) ,

( )

( ) dengan t adalah variabel waktu, r adalah konstanta laju pertumbuhan intrinsik yang besarnya adalah

, dan

( ) ada-

lah banyaknya individu di dalam populasi pada waktu t. Dengan metode pemisahan variabel masalah nilai awal tersebut mempunyai penyelesaian: ( ) Hal ini berarti bahwa pertumbuhan populasi bertumbuh secara eksponensial dan besarnya bergantung pada kondisi awal

, konstanta laju pertumbuhan r

dan waktu t. Hal tersebut tidak realistis untuk

, sebab tidak mungkin

suatu populasi bertumbuh secara eksponensial tanpa batas. Sebagai ilustrasi, jika diambil t menuju tak hingga, maka diperoleh hingga.

1

( ) juga menuju tak


2

Model Gompertz merupakan salah satu pengembangan model Malthus yang cukup terkenal. Biasanya model Gompertz digunakan untuk memodelkan pertumbuhan tumor maupun dinamika populasi. Dalam skripsi ini akan dibahas model Gompertz yaitu: ( )

( )

, ( ) dengan

( ) adalah banyaknya individu di dalam

adalah variabel waktu,

populasi pada waktu t,

adalah konstanta positif yang menyatakan laju

pertumbuhan populasi, dan

adalah konstanta positif yang menunjukkan

seberapa cepat penyelesaian model Gompertz menuju ke kestabilan asimtotik. Kita juga dapat menyatakan

sebagai laju perubahan besarnya populasi.

Dengan menggunakan metode pemisahan variabel masalah nilai awal tersebut memiliki penyelesaian (

( )

)

Jika diambil nilai limitnya, maka kita memperoleh: (

)

Hal tersebut menunjukkan bahwa dalam jangka waktu yang lama penyelesaiannya bergerak menuju ke suatu nilai yang bergantung pada

dan .

Meskipun ada beberapa kekurangan pada model Malthus, misalnya tidak dipertimbangkannya aspek logistik yaitu keterbatasan kapasitas alam untuk mengadopsi atau menghidupi populasi, namun model tersebut digunakan sampai awal abad ke-XIX. Pada tahun 1838, seorang matematikawan asal


3

Belgia bernama Pierre-François Verhulst, memperbaiki model Malthus yang dianggap tidak realistis. Model Verhulst tersebut kemudian berkembang dan menjadi salah satu model sederhana terbaik untuk memodelkan pertumbuhan populasi. Model Verhulst juga disebut sebagai model logistik, yaitu: ( )

( )4

,

( )

5

( ) dengan t adalah variabel waktu, r adalah konstanta laju pertumbuhan,

( )

adalah banyaknya individu dalam populasi pada waktu t, dan K adalah kapasitas ambang atau kemampuan maksimum alam untuk menghidupi populasi. Dengan metode pemisahan variabel masalah nilai awal tersebut tersebut mempunyai penyelesaian: ( ) .

/

Model ini lebih realistis, sebab jika diambil nilai t menuju tak hingga, maka diperoleh:

.

/

Hal ini berarti populasi akan bertumbuh secara asimtotik ke K untuk t menuju tak hingga. Konstanta laju pertumbuhan r menandakan bahwa laju pertumbuhan suatu populasi bersifat konstan terhadap waktu. Dengan kata lain, waktu tidak mempengaruhi konstanta laju pertumbuhan populasi. Hal tersebut bisa saja terjadi, namun secara umum tidak mungkin bahwa laju pertumbuhan populasi


4

konstan terhadap waktu. Pada skripsi ini model Verhulst akan dikembangkan lagi menjadi model Verhulst dengan laju pertumbuhan tidak konstan atau laju pertumbuhannya merupakan fungsi dari waktu, yaitu: ( ) ,

( ) ( )4

( )

5

( ) dengan ( ) suatu fungsi terhadap t yang menyatakan bahwa laju pertumbuhan populasi besarnya bergantung pada waktu. Populasi yang berbeda mempunyai laju pertumbuhan yang berbeda-beda pula terhadap waktu. Beberapa populasi memiliki periode reproduksi yang berbeda-beda, bergantung pada waktu. Misalnya pada beberapa mamalia memiliki waktu reproduksi yang berbeda. Mamalia seperti anjing, serigala, dan beruang hanya bereproduksi sekali dalam setahun, sedangkan mamalia seperti kuda dan domba memiliki siklus reproduksi yang pendek, sehingga dalam setahun bisa bereproduksi lebih dari satu kali. Selain model Verhulst dengan laju pertumbuhan tidak konstan, model Verhulst juga dapat dikembangkan lagi menjadi model Verhulst dengan batas bawah dan model Schaefer (model pemanenan). Model Verhulst dengan batas bawah pada dasarnya menyatakan bahwa terdapat konstanta T yang merepresentasikan batas bawah banyaknya individu dalam suatu populasi yang menyebabkan populasi tersebut tidak punah. Dengan kata lain, jika banyaknya individu dalam populasi kurang dari T, maka populasi tersebut menuju kepunahan. Model Verhulst dengan batas bawah yaitu:


5

( )

( )4

,

( )

( )

5(

*


( )

adalah banyaknya individu dalam populasi pada waktu t, K adalah kapasitas ambang atau kemampuan maksimum alam untuk menghidupi populasi, dan T adalah batas bawah banyaknya individu agar populasi tidak punah. Model Schaefer atau model pemanenan berbentuk: ( )

( )4

,

( )

5

( )

( ) dengan t adalah variabel waktu, r adalah konstanta laju pertumbuhan populasi normal,

( ) adalah banyaknya individu dalam populasi pada waktu t, K

adalah kapasitas ambang atau kemampuan maksimum alam untuk menghidupi populasi, dan E adalah konstanta positif yang menyatakan laju pemanenan. Selain untuk memodelkan dinamika populasi, model Verhulst juga dapat dimodifikasi untuk memodelkan penyebaran teknologi. Model penyebaran teknologi serupa dengan model pertumbuhan populasi Verhulst, yaitu: ( ) ,

( )(

( )

*

( ) dengan adalah variabel waktu, menggunakan teknologi, penyebaran teknologi,

adalah banyaknya individu yang berpotensi

adalah konstanta positif yang menyatakan laju menyatakan limit asimtotik, dengan

adalah

konstanta positif yang menyatakan seberapa besar penurunan limit asimtotik.


6

Kita dapat menginterpretasikan

sebagai laju penurunan minat pengguna

teknologi yang berkaitan. Pada kenyataannya, sering kali pertumbuhan populasi “diganggu” oleh hal-hal yang tidak direncanakan (tidak terduga), misalnya: bencana alam, penyakit, predator alami, perburuan dan lain sebagainya. Hal tersebut menyebabkan model deterministik menjadi tidak relevan lagi untuk digunakan. Oleh karena itu kita perlu memperbaiki model deterministik menjadi model stokastik. Model stokastik memuat unsur acak atau ketidakpastian. Model Verhulst stokastik dirumuskan seperti model Verhulst deterministik dengan ( )

menambahkan faktor derau pada fungsi laju pertumbuhan, yakni ( )

. Model Verhulst deterministik sekarang menjadi: ( )

( )

, ( )

( ) ( )4

- ( )4 ( )

5

( )4

( )

( )

5

5

Derau di dalam kalkulus stokastik dipandang sebagai derau putih Gaussian, yaitu turunan terhadap waktu dari gerak Brown. Jadi model Verhulst stokastik diberikan oleh: ( ) dengan

( ) ( )4

( )

5

( ) ( )4

( )

5

( )

( ) adalah fungsi laju pertumbuhan berkaitan dengan model

deterministik,

( ) koefisien difusi yang menyatakan seberapa besar derau

atau gangguan yang mempengaruhi laju pertumbuhan populasi dan

( )


7

adalah proses Wiener atau gerak Brown. Namun dalam skripsi ini akan dicari penyelesaian model Verhulst stokastik yang lebih sederhana, yaitu ( ) dengan

( )4

( )

5

( )

( )

berturut-turut adalah konstanta laju pertumbuhan populasi ber-

kaitan dengan suku deterministik dan stokastik. Dalam skripsi ini juga akan disajikan grafik penyelesaian model Verhulst deterministik dan stokastik dengan menggunakan Matlab atau Maple. B. Rumusan Masalah Perumusan masalah yang akan dibicarakan pada skripsi ini adalah: 1. Bagaimana model Verhulst deterministik untuk pertumbuhan populasi dan beberapa pengembangannya dirumuskan, diselesaikan, dan dianalisa? 2. Bagaimana model Verhulst stokastik untuk pertumbuhan populasi dirumuskan dan diselesaikan? C. Batasan Masalah Skripsi ini dibatasi pada masalah-masalah sebagai berikut. 1. Model deterministik yang dibahas ialah model Verhulst serta beberapa pengembangannya, seperti model Verhulst dengan batas bawah, model Verhulst dengan laju pertumbuhan tidak konstan, model Schaefer (model pemanenan), dan model penyebaran teknologi. 2. Model stokastik yang dibahas ialah model Verhulst yang memuat derau yang berasal dari gerak Brown. 3. Baik model deterministik dan stokastik dibatasi pada populasi homogen, yakni populasi yang terdiri dari satu jenis spesies saja.


8

4. Model yang dibicarakan ialah model kontinu, yaitu menggunakan persamaan diferensial biasa tingkat satu. 5. Populasi pada model yang dibicarakan hanya menempati satu daerah yang tetap. D. Tujuan Penulisan Tujuan dari penulisan tugas akhir ini adalah untuk menyelesaikan dan menganalisa model pertumbuhan populasi Verhulst, baik yang bersifat deterministik maupun stokastik. E. Manfaat penulisan Manfaat yang dapat diperoleh dari penulisan skripsi ini adalah kita dapat memahami dan menganalisa pertumbuhan populasi satu spesies dengan model matematika, khususnya dengan model Verhulst deterministik dan stokastik. Selain itu juga kita dapat memperkirakan besarnya populasi satu spesies di masa yang akan datang. F. Metode Penulisan Metode yang digunakan penulis dalam penulisan skripsi ini adalah metode studi pustaka, yaitu dengan membaca dan mempelajari buku-buku atau jurnal-jurnal yang berkaitan dengan model pertumbuhan populasi Verhulst, baik deterministik maupun stokastik.


9

G. Sistematika Penulisan BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang B. Rumusan Masalah C. Batasan Masalah D. Tujuan Penulisan E. Manfaat Penulisan F. Metode Penulisan G. Sistematika Penulisan BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL A. Persamaan Diferensial Biasa 1.

Persamaan Diferensial

2.

Persamaan Diferensial Linier

3.

Persamaan Diferensial Variabel Terpisah

B. Persamaan Diferensial Stokastik 1.

Teori Peluang

2.

Integral Ito

3.

Persamaan Diferensial Stokastik

BAB III MODEL VERHULST DETERMINISTIK A. Model Pertumbuhan Populasi Verhulst 1.

Penyelesaian Model Verhulst

2.

Analisa Kualitatif Model Verhulst


10

B. Beberapa Pengembangan Model Pertumbuhan Populasi Verhulst 1.

Model Verhulst dengan Batas Bawah (Threshold) (Efek Allee)

2.

Model Pemanenan Schaefer

3.

Model Penyebaran Teknologi

4.

Model Verhulst dengan Laju Pertumbuhan tidak Konstan

BAB IV MODEL VERHULST STOKASTIK A. Model Pertumbuhan Stokastik yang Memuat Derau yang Berasal dari Gerak Brown B. Penyelesaian Model Verhulst Stokastik BAB V PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran DAFTAR PUSTAKA


BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL

A. Persamaan Diferensial Biasa 1. Persamaan Diferensial Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat variabelvariabel tak bebas dan turunan-turunannya terhadap variabel bebas. Secara umum, persamaan diferensial dikategorikan dalam dua kelas yaitu biasa dan parsial. Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial yang hanya melibatkan satu variabel bebas. Misal ( ) adalah fungsi satu variabel, dengan

adalah variabel bebas dan

adalah variabel

tak bebas, maka suatu persamaan diferensial biasa dapat dinyatakan dalam bentuk: ( )

( Jika ( )

)

( )

maka persamaan diferensial di atas dinamakan persamaan

diferensial homogen. Sementara itu, persamaan diferensial parsial adalah suatu persamaan diferensial yang melibatkan dua atau lebih variabel bebas. Definisi 2.1 Tingkat Persamaan Diferensial Tingkat atau order dari persamaan diferensial didefinisikan sebagai tingkat dari turunan tertinggi yang muncul dalam persamaan diferensial.

11


12

Contoh 2.1 1.

merupakan persamaan diferensial biasa tingkat satu.

2.

merupakan persamaan diferensial biasa tingkat dua.

3.

merupakan persamaan diferensial parsial tingkat satu.

4.

merupakan persamaan diferensial parsial tingkat dua.

2. Persamaan Diferensial Linier Persamaan diferensial dikatakan linier jika: a) tidak ada perkalian antara variabel-variabel tak bebas dengan dirinya sendiri atau dengan turunan-turunannya, b) tidak ada fungsi transendental (trigonometri, logaritma, eksponensial, siklometri, hiperbolik) yang terlibat dari fungsi dalam variabelvariabel tak bebas. Persamaan diferensial yang tidak linier disebut persamaan diferensial tak linier. Sebagai contoh: -

merupakan persamaan diferensial yang linier dalam .

-

merupakan persamaan diferensial yang tak linier dalam

karena terdapat perkalian antara variabel tak bebas

dengan turunannya, yaitu -

.

merupakan persamaan diferensial yang tidak linier karena memuat

.


13

-

merupakan persamaan diferensial yang tak linier karena terdapat perkalian antara variabel-variabel tak bebasnya, yaitu

.

Secara umum, persamaan diferensial linier tingkat satu dapat ditulis sebagai berikut: ( dengan

(

)

(

)

(2.1)

)

adalah fungsi yang kontinu,

merupakan interval untuk

dan

merupakan

interval untuk . Definisi 2.2 Penyelesaian Persamaan Diferensial Fungsi terdiferensial

dikatakan penyelesaian persamaan (

diferensial (2.1) pada sebuah interval ( )

untuk

pada , dan

, apabila

( )

adalah fungsi yang terdiferensial kontinu

( )), untuk

(

) dengan syarat

.

Definisi 2.3 Masalah Nilai Awal (Intial Value Problem) Masalah nilai awal adalah persamaan diferensial yang dilengkapi dengan data pada satu titik awal domain. Definisi 2.4 Penyelesaian Masalah Nilai Awal Misal ( (

)

(

)

(

). Kita katakan fungsi

) dan diasumsikan

kontinu pada (

)

adalah penyelesaian masalah nilai awal: {

( ( )

)

(2.2)


14

(

pada interval

) dengan syarat

, apabila

saian dari persamaan (2.1) pada , dan ( ) Titik

adalah penyele-

.

dinamakan titik awal untuk masalah nilai awal (2.2) dan

dikatakan nilai awal untuk masalah nilai awal (2.2). 3. Persamaan Diferensial Variabel Terpisah Untuk mengidentifikasi persamaan diferensial variabel terpisah, pertama kita tulis persamaan diferensial tingkat satu (2.1) dalam bentuk: ( (

dengan kita ambil

dan

(

)

(

)

) ) (

(

) (2.3)

)

merupakan fungsi yang bergantung pada

adalah suatu fungsi yang hanya bergantung

dan . Jika dan

adalah

sebuah fungsi yang hanya bergantung , maka persamaan (2.3) menjadi: ( )

( )

(2.4)

Persamaan (2.4) disebut persamaan diferensial variabel terpisah. Metode yang dipakai untuk menyelesaikan persamaan diferensial variabel terpisah dinamakan metode pemisahan variabel. Penyelesaian persamaan diferensial (2.4) dapat dicari dengan terlebih dahulu menuliskan dalam bentuk diferensial ( )

( )


15

Selanjutnya, integralkan masing-masing sukunya ∫ untuk suatu

( )

∫ ( )

.

Contoh 2.2 Temukan solusi persamaan diferensial : (

)

(

)

Jawab: Persamaan diferensial tersebut merupakan persamaan diferensial variabel ( )

terpisah. Misalkan

( )

( )

dan

. Langkah 1: bagi kedua ruas dengan ( ) ( )

, diperoleh:

Langkah 2: Integralkan masing-masing suku, diperoleh: ∫

∫(

∫

)

∫

)

∫( (

Definisi 2.5 Titik Ekuilibrium dari Persamaan Diferensial Diberikan persamaan diferensial sebagai berikut ( )

)

( )


16

Titik ap

disebut titik ekuilibrium jika ( )

dimana

untuk seti-

. Dengan kata lain titik ekuilibrium terjadi saat

Contoh 2.3 Diberikan persamaan diferensial sebagai berikut (

)

Syarat ekuilibrium yaitu

Sehingga, titik ekuilibrium persamaan diferensial di atas yaitu

dan

.

B. Persamaan Diferensial Stokastik Alasan munculnya kalkulus stokastik yaitu karena seringkali kita menjumpai situasi yang tidak dapat diprediksi sebelumnya atau disebut unsur acak, sehingga metode-metode pada kalkulus deterministik tidak mampu menyelesaikan masalah tersebut. Persamaan diferensial stokastik adalah persamaan diferensial yang memuat unsur acak yang biasa disebut derau (noise), yaitu: ( dengan

)

(

)

merupakan sebuah proses stokastik,

dua variabel, dan

dan

adalah fungsi-fungsi

menyatakan gangguan atau unsur acak dari

masalah yang bersangkutan. Pada skripsi ini akan dibahas

yang


17

berasal dari gerak Brown, yaitu unsur acak atau gangguan yang memiliki variansi yang tak terbatas. 1. Teori Peluang Untuk menyelesaikan persamaan diferensial stokastik kita perlu mempelajari kalkulus Itô. Pertama, kita harus mengingat konsep dasar teori peluang. Definisi 2.6 Percobaan Acak (Random Experiment) Sebuah percobaan dikatakan acak apabila hasil dari percobaan tidak dapat diprediksi sebelumnya. Definisi 2.7 Ruang Sampel (Sample Space) dan Titik Sampel (Sample Point) Himpunan , yaitu semua kemungkinan hasil dari percobaan acak dinamakan ruang sampel. Suatu anggota

dinamakan titik sampel.

Contoh 2.4 Pada sebuah percobaan pelemparan koin, kemungkinan hasil yang muncul adalah “angka”

dan “gambar"

. Jadi

*

+.

dan

disebut titik

sampel. Definisi 2.8 Kejadian (Event) Sebuah kejadian adalah suatu koleksi dari hasil percobaan yang merupakan himpunan bagian dari ruang sampel. Definisi 2.9 Jika

dan

adalah kejadian dari ruang sampel , maka

i. Gabungan dari dua kejadian dapat ditulis sebagai berikut *

+


18

ii. Irisan dari dua kejadian dapat ditulis sebagai berikut *

+

iii. Komplemen suatu kejadian dapat ditulis sebagai berikut *

+

iv. Selisih suatu kejadian dapat ditulis sebagai berikut

Definisi 2.10 Kejadian Saling Asing (Disjoint) Sepasang kejadian

dan

dikatakan saling asing jika

Definisi 2.11 Peluang (Probability) Misal

adalah kejadian pada ruang sampel

( ) menyatakan peluang kejadian

berhingga, notasi peluang

akan terjadi dan diberikan oleh: ( ) ( )

( ) Definisi 2.12 Aljabar- ( -Algebra) Misal

himpunan tak kosong. Aljabar- pada

bagian

dari

adalah koleksi himpunan

yang memenuhi:

i. ii. jika

, maka , maka ⋃

iii. jika

.

Contoh 2.5 Koleksi berikut merupakan aljabar- dari himpunan bagian : 1.

*

+


19

*

2.

+ untuk suatu ( )

3.

*

+

merupakan aljabarmerupakan aljabar-

dan

terkecil pada

, dan

(himpunan kuasa dari

)

terbesar yang memuat semua himpunan bagian yang

mungkin dari . *

Sedangkan aljabar- , karena

+ untuk suatu

dan

bukan merupakan

.

Definisi 2.13 Ukuran Peluang (Probability Measure) M

aljabar-

,

pada himpunan tak kosong

. Fungsi

) disebut ukuran peluang jika memenuhi:

i. Untuk sebarang kejadian ( )

ii.

( )

,

.

.

iii. Jika

, maka (⋃

Kesamaan berlaku jika

+

∑ (

)

adalah barisan himpunan yang saling

asing. Definisi 2.14 Misal

adalah aljabar- pada himpunan tak kosong

dan

pada . i. (

) disebut ruang terukur (measurable space)

ii. Tripel (

) disebut ruang peluang (probability space)

ukuran peluang


20

Teorema 2.1 Jika

dan

i.

( )

ii.

(

adalah kejadian dan .

)

( ). , maka ( )

iii. Jika iv. (

adalah ruang sampel, maka

)

( )

( ).

( )

Lebih lanjut, jika

dan

(

).

saling asing maka (

)

( )

( )

Bukti: i. Karena ( ) maka ( )

(

)

( )

( )

.

ii. Karena ( ) maka (

)

(

)

( )

(

)

,

)

( ).

iii. Karena (

) dan

(

)-

( )

maka ( ) dan karena ,

(

,

(

)-

,

(

, maka diperoleh ( )

)( ).

iv. Kita punya (

)

(

)

(

)

dan himpunan-himpunan pada sisi kanan saling asing. Sehingga


21

(

)

(

)

(

)

(

)

)-

, (

)

Maka (

)

(

)

, (

)

(

( ) )

Jika

saling asing, maka (

( )

)

)-

( )

Jadi ( dan

( )

(

(

). . Kita memperoleh

( )

( )

(

( )

( )

( )

( )

( )

)

■

Contoh 2.6 Dari 52 kartu remi diambil sebuah kartu secara acak. Berapa peluang terambilnya sebuah kartu berbentuk hati atau As. Jawab: Misal

adalah ruang sampel dengan ( )

nya kartu hati dengan ( ) As dengan ( )

, dan

. Kejadian

,

adalah kejadian terambil-

adalah kejadian terambilnya kartu

menyatakan kejadian kartu As berben-

tuk hati. Karena hanya ada satu kartu As yang berbentuk hati, maka ( )

. Kita akan mencari peluang terambilnya sebuah kartu berbentuk hati

atau As yaitu maka

(

). Kita tahu bahwa satu dari kartu As berbentuk hati,

. Dari teorema 2.1 (iv), kita dapatkan (

)

( )

( )

(

)

( ) ( )

( ) ( )

(

) ( )


22

Definisi 2.15 Kejadian Saling Bebas (Independent) Dua kejadian

dan

dikatakan saling bebas jika (

)

( ) ( )

Definisi 2.16 Variabel Acak (Random Variable) Misal

adalah ruang sampel, fungsi

disebut variabel acak.

Sebuah variabel acak dikatakan diskrit apabila (artinya terdapat fungsi bijektif

atau

). Sedangkan jika

terhitung

tidak terhitung

maka variabel acak dikatakan kontinu. Contoh 2.7 Pada sebuah percobaan pelemparan koin, kita tulis “1” untuk “angka” dan “0” untuk “gambar". Jadi kita peroleh variabel acak *

( ) *

+. Dengan kata lain

*

+ untuk

+ adalah sebuah

variabel acak diskrit. Definisi 2.17 Variabel Acak Saling Bebas (Independent) Dua variabel acak

dan

dikatakan saling bebas jika

(

)

(

untuk setiap himpunan bagian yang mungkin kejadian *

+ dan *

notasi singkat untuk *

) ( dan

) dari . Hal ini berarti

+ saling bebas. Dalam hal ini * ( )

+.

+ adalah


23

Definisi 2.18 Fungsi Densitas Peluang (Probability Density Function) Fungsi

disebut fungsi densitas peluang dari variabel acak

ruang peluang ( i.

( )

ii.

(

pada

) jika

,(

); )

∫

( )

untuk sebarang

sedemikian sehingga

; iii. ∫

( )

.

Berikut adalah ilustrasi grafik dari fungsi densitas peluang

( ). (i)

ditunjukkan dengan kurva yang selalu berada di atas sumbu horizontal, (ii) dtunjukkan oleh daerah yang diarsir dan (iii) merupakan luas total area di bawah kurva.

Gambar 2.1 Ilustrasi Grafik Fungsi Densitas Peluang. Definisi 2.19 Nilai Harapan (Expectation/ Mean/ Expectation Value) Nilai harapan dari sebuah variabel acak kontinu ( )

∫

dimana ( ) adalah fungsi densitas peluang.

( )

diberikan oleh:


24

Nilai harapan dapat diintepretasikan sebagai rata-rata berbobot (weighted average) dari nilai

pada ruang sampelnya.

Teorema 2.2 Nilai Harapan Perkalian Dua Variabel Acak yang Saling Bebas Misal

adalah dua variabel acak yang saling bebas, maka (

)

( ) ( )

∫ ∫

(

Bukti: Menurut definisi nilai harapan. ( Karena

dan

)

saling bebas maka ( (

)

∫

)

) dapat ditulis

( )

∫

( ) ■

( ) ( ) Definisi 2.20 Variansi (Variance) Misalkan atau

adalah variabel acak kontinu, variansi dinotasikan dengan ( )

menyatakan ukuran dari variasi atau penyebaran distribusi peluang

dari variabel acak

dan didefinisikan oleh ( ) 0(

( )) 1

,(

) -

∫ (

)

( )

Akar dari variansi disebut standar deviasi dari , yaitu √ ( )


25

Definisi 2.21 Fungsi Distribusi (Distribution Function) ( ) sebagai peluang variabel acak

Didefinisikan fungsi distribusi

berni-

lai kurang dari atau sama dengan , yaitu ( )

(

)

Persamaan di atas mengakibatkan

( )

(

)

∫

∫

( ) saat

( )

dan ( )

( )

Definisi 2.22 Momen keMomen ke- suatu variabel acak

yaitu (

).

Definisi 2.23 Fungsi Pembangkit Momen (Moment-Generating Function) Fungsi pembangkit momen

( ) untuk suatu variabel acak

didefinisikan

sebagai berikut ( )

(

)

Fungsi pembangkit momen dikatakan ada jika terdapat konstanta positif sedemikian sehingga

( ) hingga untuk

.

Teorema 2.3 Jika

( ) ada, maka untuk sebarang bilangan bulat positif ( )

|

( )

( )

(

)

Bukti Teorema 2.2 dapat dilihat pada buku “Mathematical Statistics with Applications” karangan Dennis D. Wackerly, dkk, tahun 2008 halaman 139 (Teorema 3.12).


26

Definisi 2.24 Distribusi Normal (Normal Distribution) Suatu variabel acak dan variansi

dikatakan berdistribusi normal dengan rata-rata (

(notasi:

)) jika memiliki fungsi densitas peluang

berbentuk (

( )

)

√

Teorema 2.4 Misal

adalah variabel acak berdistribusi normal, maka ( )

∫

( )

( )

dan

∫ (

)

( )

Bukti: Pertama kita cari fungsi pembangkit momen dari variabel acak

yang

berdistribusi normal, yaitu ( )

(

)

∫

√

(

)

(

)

√ ∫ (

√

√

√

√

)

∫

∫

[(

∫

[

∫

[

)

]

]

(

)

]


27

√

√

∫

0

∫

0

√

(

(

.

.

(

1

1

]

)/

(

(

.

∫

) /

)

)/

∫

√

Fungsi

) (

(

[.

∫

(

.

)

)/

√

)/

merupakan fungsi densitas peluang distribusi nor-

√

mal dengan rata-rata

dan variansi

, dan menurut definisi fungsi

densitas peluang, maka (

.

∫

)/

√

Sehingga kita peroleh fungsi pembangkit momen distribusi normal yaitu ( ) Dengan menggunakan teorema 2.3, kita memperoleh ( )

( )

|

(

)

(

)

|


28

dan (

( )

)

(

)

(

)

Selanjutnya akan ditunjukkan ( ) ( )

|

|

. ( )) 1

0( ,

( )

(

)

(

)

(

)

( ) ( ))

( )

( ) ( )

( )

(

( ) ( ) ■

Catatan: Jika suatu variabel acak variansi

berdistribusi normal memiliki rata-rata

maka variabel acak

dan dinotasikan oleh

(

dan

dikatakan berdistribusi normal standar

).

Definisi 2.25 Proses Stokastik (Stochastic Process) Proses stokastik

*

+, dengan

variabel acak yang terdefinisi pada ruang peluang ( dengan parameter

.

adalah koleksi dari ) yang terindeks


29

Definisi 2.26 Lintasan Sampel (Sample Path) , koleksi * ( )

Untuk suatu pada

+ dinamakan lintasan sampel dari

.

Definisi 2.27 Aljabar- yang dibangkitkan oleh proses stokastik *

Untuk sebuah proses stokastik

+, aljabar-

( ) adalah

aljabar- terkecil yang memuat semua himpunan yang berbentuk ( ( )

*

untuk setiap himpunan yang mungkin

)

+

dari fungsi pada

. Maka

( )

disebut aljabar- yang dibangkitkan oleh . Definisi 2.28 *

Proses stokastik (

+ dan

*

+ pada ruang peluang

) dikatakan ekuivalen jika: *

untuk setiap

. Kita katakan

+ adalah versi dari , dan sebaliknya.

Definisi 2.29 Filtrasi (Filtration) Filtrasi pada ruang terukur (

) adalah koleksi aljabar- (

) pada

yang memenuhi:

untuk setiap

.

Definisi 2.30 Proses stokastik

(

(adapted to the filtration) (

) dikatakan teradaptasi terhadap filtrasi ) jika: ( )


30

untuk setiap

. Fungsi

Proses stokastik

disebut

-terukur.

selalu teradaptasi terhadap filtrasi natural yang dibangkit-

kan oleh : (

)

Definisi 2.31 Gerak Brown (Brownian Motion) (

Proses stokastik

) dinamakan gerak Brown atau proses

Wiener jika memenuhi kondisi-kondisi berikut: i.

.

ii.

berdistribusi normal dengan rata-rata , artinya untuk setiap (

)

iii.

dan variansi

, dengan

(

√

)

∫

untuk

berlaku (

)

adalah variabel acak-variabel acak yang saling bebas untuk

. Dengan kata lain,

mempu-

nyai kenaikan yang saling bebas (independent increments) atau (

) untuk setiap

(

, dengan

) ( .

iv. Mempunyai lintasan sampel yang kontinu, yakni untuk setiap fungsi ( ) ,

)

adalah fungsi kontinu.

Berikut adalah contoh lintasan sampel gerak Brown.

)


31

Gambar 2.2 Contoh Lintasan Sampel Gerak Brown dengan

.

Sifat lintasan sampel gerak Brown: i. Kontinu dimana-mana tapi tidak terdiferensial dimana-mana, ii. Memiliki variasi fungsi yang tidak terbatas pada setiap interval kompak. Artinya untuk setiap interval tertutup dan terbatas , ∑|

( )

- berlaku

( )|

dengan supremumnya diambil dari semua partisi yang mungkin pada ,

-.

iii. Gerak Brown selalu teradaptasi terhadap filtrasi naturalnya. Bukti dapat dilihat pada buku “Elementary Stochastic Calculus with Finance in View” karangan Thomas Mikosch tahun 1998 halaman 36. Derau putih (white noise) didefinisikan sebagai turunan distribusi dari gerak Brown terhadap waktu, yakni


32

Pengertian derau putih sebagai turunan distribusi ini akan kita gunakan secara informal. Dari sini diperoleh bahwa derau putih adalah sebuah proses Gauss (berdistri-busi normal) dengan rata-rata

dan variansi

. Derau putih sering

digunakan sebagai model matematika untuk gangguan acak yang bersifat saling bebas untuk tiap waktu yang berbeda dan memiliki fluktuasi yang besar. 2. Integral Itô Kita telah mengetahui bahwa lintasan sampel gerak Brown tidak terdiferensial dimana-mana dan memiliki variasi yang tak terbatas pada suatu interval kompak. Pada bagian ini akan ditunjukkan bahwa integral yang telah kita kenal yaitu integral Riemann ataupun integral RiemannStietjes tidak dapat digunakan untuk mengintegralkan fungsi dengan integratornya merupakan lintasan gerak Brown. Selanjutnya akan didefinisikan integral stokastik Itô sebagai alat untuk mengintegralkan fungsi yang memuat lintasan sampel gerak Brown. a. Integral Riemann Integral Riemann tentunya sudah tidak asing lagi bagi kita, karena sudah pernah kita pelajari pada kalkulus dasar. Pada bagian ini akan dijelaskan integral Riemann secara sederhana. Secara geometri, integral Riemann sering diintepretasikan sebagai jumlahan luas area yang dibentuk untuk mencari luas daerah yang dibatasi oleh suatu kurva. Berikut ini adalah ilustrasi secara geometri integral Riemann:


33

Gambar 2.3 Ilustrasi geometri integral Riemann. , ( )

( )

(

)

-

Secara matematis, integral Riemann didefinisikan sebagai berikut. Misal

adalah fungsi bernilai real yang terdefinisi pada interval ,

dan misal *

+ dimana adalah partisi pada ,

Riemann pada interval , ∫ dengan ‖

-

‖

-, kita katakan

terintegral

- jika limit berikut ada:

( )

‖

‖

∑ ( )(

(

) dan

,

evaluasi (tag). Jumlahan ∑ ( )(

disebut jumlahan Riemann.

)

)

- disebut titik


34

Catatan: 1. Untuk menentukan jumlah partisi pada interval ,

- menjadi

subinterval yang sama panjang, gunakan rumus

2. Jika

terbatas pada , ( )

- atau berarti

,

-

dan kontinu di sana kecuali pada sejumlah titik

yang berhingga, maka

terintegral Riemann pada ,

kontinu pada seluruh interval ,

lanjut, jika

terintegral Riemann pada ,

-. Lebih -, maka

-.

Contoh 2.8 Hitung ∫ (

)

!

Jawab: Bagi ,

- dalam

buah subinterval yang sama panjang, yaitu ma-

sing-masing intervalnya memiliki panjang (

Kita peroleh

)


35

Jadi, ( ) tiap

, ∑ ( )(

.

/

, sehingga untuk se-

)

∑ ( )

∑(

*

∑(

*

Berdasarkan kelinieran notasi sigma, kita peroleh ∑ ( )(

)

∑

∑

∑

∑

Berdasarkan rumus jumlah khusus (lihat lampiran 2), kita peroleh ∑ ( )(

)

[

(

)

]


36

(

*

Karena

merupakan suatu partisi yang tetap, maka ‖

dengan

. Sehingga dapat disimpulkan bahwa ∫ (

)

‖

‖

∑ ( )(

[

‖

setara

)

(

*]

Ada dua teorema penting penting dalam teori integral Riemann. Teorema 2.5 Teorema Dasar Kalkulus I Jika

kontinu pada interval tertutup ,

sebuah titik pada (

- dan misal

adalah

), maka ∫

( )

( )

Teorema 2.6 Teorema Dasar Kalkulus II Jika

kontinu (dan terintegral Riemann) pada interval ,

misal

sebarang antiturunan pada ∫

( )

pada , ( )

- dan

-, maka ( )

Bukti teorema dasar kalkulus pertama dan kedua dapat dilihat pada buku “Calculus (9th Edition)” karangan Dale Varberg, dkk tahun 2007 halaman 235 (Teorema A) dan 243 (Teorema A) berturut-urut.


37

Contoh 2.9 Gunakan teorema dasar kalkulus kedua untuk menghitung integral yang diberikan pada contoh sebelumnya! Jawab: Pada ∫ (

)

( )

kita punya

,

,

( )

dan

. Kita hitung ( ) dan ( ) sebagai berikut: ( )

(

)

( )

( )

(

)

(

)

Dengan teorema dasar kalkulus kedua, kita peroleh ∫ (

)

( )

(

)

(

)

b. Integral Riemann-Stieltjes Integral Remann-Stieltjes merupakan integral Riemann yang diperumum. Integral ini melibatkan dua fungsi ( ) dan terdefinisi pada interval , ambil

( )

-, dinotasikan ∫

( )

( ) yang

( ). Jika kita

, maka kita peroleh integral Riemann ∫

Definisi integral Riemann-Stieltjes dari

( ) terhadap

( )

.

( ) serupa

dengan integral Riemann. Misal

adalah fungsi kontinu bernilai real yang terdefinisi pada inter-

val ,

- dan

terval ,

adalah fungsi naik monoton yang terdefinisi pada in-

-. Misal *

+ dimana adalah partisi pada ,

-, kita katakan

dikata-


38

kan terintegral Rieman-Stieltjes pada ,

- terhadap fungsi

jika

limit berikut ada ( )

∫ dengan ‖

( )

‖

‖

‖

∑ ( )( ( )

(

) dan

,

(

))

- disebut titik

evaluasi (tag). Contoh 2.10 Bagaimana jika kah ∫

( )

kontinu dan naik monoton dengan

kontinu, apa-

( ) ada?

Jawab: Dengan menggunakan integral parsial, kita misalkan ( )

( ) dan

( )

( ) Kita peroleh: ∫ Karena

( )

kontinu dan

( ) ( )|

( )

∫

( )

( )

kontinu dan naik monoton, maka ∫

( )

( )

terintegral Riemann-Stieltjes. Contoh 2.11 Jika ada?

dan

keduanya kontinu pada ,

-, apakah ∫

( )

( )


39

Jawab: Belum tentu. Untuk menunjukkan hal ini, kita selidiki kasus yakni apakah ∫ Misalkan *

( )

,

( ) ada? + adalah partisi pada , ∑ (

-. Didefinisikan

), ( )

(

(2.5)

)-

yaitu jumlah Riemann-Stieltjes dengan titik evaluasi

(batas

kiri). Lihat ilustrasi berikut.

Gambar 2.4 Ilustrasi Jumlahan Riemann-Stieltjes

.

Selanjutnya kita definisikan )-

(2.6)

yaitu jumlah Riemann-Stieltjes dengan titik evaluasi

(batas

∑ ( ), ( )

kanan). Lihat ilustrasi berikut.

(


40

Gambar 2.5 Ilustrasi Jumlahan Riemann-Stieltjes Misal

, cek apakah

‖

‖

‖

. ?

‖

Dari (2.5) dan (2.6) kita peroleh ∑ ( ), ( )

(

)-

∑* ( ), ( )

(

)-

(

), ( )

(

)-

∑, ( )

(

)- , ( )

∑, ( )

(

)-

), ( )

∑ (

(

(

)-

)-+

(2.7)

dan ∑ ( ), ( )

(

)-

∑* ( ), ( )

(

)-

(

), ( )

)- , ( )

(

)-

∑, ( )

(

), ( )

∑ (

(

(

)-

)-+


41

∑ ( ) ( )

(

)

( )

(2.8)

Dari persamaan (2.7) dan (2.8), kita memperoleh ( )

( )

[ ( )

( )

∑, ( )

∑, ( )

(

(

)-

)- ]

(2.9)

dan ( )

( )

[ ( )

( )

∑, ( )

∑, ( )

(

)-

(

)- ]

(

)-

(2.10)

Perhatikan persamaan (2.7). Nilai

‖

∑, ( )

‖

disebut variasi kuadratik fungsi

pada ,

-.

Jadi jelas bahwa ‖

‖

jika variasi kuadratik fungsi

‖

pada ,

‖

- tidak sama dengan nol.

Dengan kata lain, integral Riemann-Stieltjes berlaku jika variasi kuadratik fungsi

pada ,

- sama dengan nol.


42

yaitu gerak Brown (

Bagaimana jika

), apakah inte( )

gral Riemann-Stieltjes memungkinkan untuk mencari ∫

?

Berikut adalah sifat-sifat dasar dari gerak Brown. 1. Kontinu dimana-mana tetapi tidak terdiferensial dimana-mana. 2. Untuk sebarang

,

berdistribusi normal dengan rata-rata

dan variansi . Untuk sebarang

,

(

)

*

+.

Bukti: Asumsikan

, karena

berdistribusi normal dan memiliki

kenaikan yang saling bebas, maka (

)

(

)

( (

)

( (

))

(

)

Sifat distributif Kelinieran nilai harapan

)

Definisi gerak Brown Definisi gerak Brown

yang berarti sama dengan 3. Untuk

*

+.

yang tetap, proses stokastik ̃

juga

merupakan gerak Brown. 4. Untuk sebarang bilangan real

, proses stokastik ̃

( ) √ juga merupakan gerak Brown. 5. Variasi kuadratik pada setiap interval ,

- adalah

Untuk melihat hal ini, perhatikan teorema berikut:

.


43

Teorema 2.7 *

Misal ,

+ adalah partisi dari interval kompak

-. Maka:

pada

∑(

)

‖

(

( ) dengan ‖

( )

(2.11)

)

*

(

. Dengan )

+

Bukti: ∑

Ingat bahwa

(

) dan misalkan

∑ 0(

(

dengan

(

)

(

)

)1

∑

(2.12)

). Maka:

∑

untuk

, dan (

dan (

)

)

karena

mempunyai kenaikan yang saling bebas

. Di sisi lain, (

3) dan untuk (

)

(2.13)

)

(

) (lihat lampiran

pada persamaan (2.13), diperoleh 2(

(

)

(

)

(

)

(

)( )

(

) )

(

) 3


44

Sehingga, dari persamaan (2.13) kita memperoleh ∑ (

‖

‖ ∑(

( saat ‖

‖

)

)‖

) ‖

. Hal ini menunjukkan bahwa

konvergen ke 0 di

( ). Dan

dari persamaan (2.12), mengakibatkan persamaan (2.11) terpenuhi.

■

Pada gerak Brown, kita mempunyai ∑

(

)

dan ∑ dengan titik evaluasi untuk

(

)

yaitu pada

dan

pada .

Kita mempunyai ∑

(

∑(

)

∑

(

)

)

∑

(

)

)

dan ∑

(


45

∑(

)

Kita memperoleh [

∑(

) ]

[

∑(

) ]

dan

Menggunakan teorema 2.7, kita peroleh

‖

‖

‖

‖

[

(

) ]

[

(

) ]

dan

Sehingga kita dapatkan variasi kuadratik dari gerak Brown yaitu

‖

‖

(

)

[

(

)]

(

[

)]

Jadi integral Riemann-Stieltjes tidak bisa dipakai untuk mendefinsikan integral fungsi terhadap gerak Brown ∫

( )

. Oleh karena itu

muncullah teori integral stokastik yang pertama kali diperkenalkan oleh matematikawan Jepang Kiyoshi Itô pada tahun 1946. Tujuannya ialah jika diberikan sebarang proses stokastik

(

) dengan


46

(

sifat-sifat tertentu dan diberikan gerak Brown

), kita

ingin mendefinisikan integral stokastik ( )

∫ dengan

,

-

( )

. Integral tersebut selanjutnya dikenal de-

ngan nama integral Itô. c. Integral Itô Persamaan diferensial yang memuat derau: ( dengan (

) (

)

(

)

) merupakan suatu fungsi dan

pretasikan sebagai turunan dari gerak Brown yaitu

diinte.

Persamaan tersebut dapat kita tulis (

)

(

)

atau jika ditulis dalam bentuk diferensial kita peroleh persamaan diferensial stokastik: (

)

(

)

Persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk persamaan integral sebagai berikut: ∫

∫ (

)

∫ (

)

∫ (

)

∫ (

)

∫ (

)

∫ (

)


47

Disini ∫ (

)

merupakan bentuk integral Riemann, sedangkan ∫ (

)

merupakan bentuk integral Itô yang didefinisikan sebagai integral sebuah fungsi dari proses stokastik terhadap gerak Brown. Selanjutnya, akan dikonstruksikan integral Itô. Definisi 2.32 Misal ( ) merupakan aljabar- yang dibangkitkan oleh variabel acak . Untuk , didefinisikan kelas

dari fungsi

(

) ,

)

yang

memenuhi i.

teradaptasi- ( ).

ii.

0∫

Misal

(

)

1

.

menotasikan semua himpunan dari fungsi tangga di

, yaitu fungsi

yang berbentuk ( dengan

)

( )

, untuk partisi

integral Itô untuk fungsi tangga , -

∫

. Didefinisikan sebagai berikut

( )

∑ (

)


48

Lemma 2.1 Sifat-Sifat Integral Itô Untuk sebarang

dan

i.

, - bersifat terukur- (

ii.

( , -)

iii. ,( , -) iv. ,

∫

),

, ( ) -

-

, -

padat di

.

, integral Itô memenuhi

, , -.

Lemma 2.2 Ruang

Artinya yaitu untuk setiap (

terdapat barisan *

+

di dalam

sehingga

).

Bukti Lemma 2.1 dan 2.2 dapat dilihat di Lecture Notes “Stochastic Differential Equations” karangan Thomas Önskog tahun 2009 pada halaman 21 (Lemma 3.4) dan 22 (Lemma 3.5) berturut-urut. Definisi 2.33 Itô integral dari

didefinisikan oleh ∫

(

dengan limitnya berada di si di

∫

(

)

(

) dan *

+

adalah barisan dari fung-

(

) -

sedemikian sehingga ∫

jika

)

.

,

(

)


49

Contoh 2.12 Hitung integral ∫

.

Jawab: adalah partisi dari interval ,

Misal Pilih

(

)

∑

( ) dengan

6∫ (

)

. Maka

7

∑∫

*∑ ∫

[.

∑∫

(

+

)

|

∑ [(

*

(

*]

∑(

*

∑ (

)

∑

)

/ ]

(

∑[

-.

(

)

jika

.


50

Sehingga kita tahu bahwa ∫

(

∫

∑

)

.

/

∑

dengan

.

Sekarang perhatikan (

)

(

)

(

Dari persamaan di atas, kita memperoleh ∑

∑(

∑ 0(

)

Menurut teorema 2.7 ∑ (

)

∑(

)

)

, sehingga ∑

∑

∑

Sehingga kita peroleh ∫

1

∑

∑

)


51

Teorema 2.8 Rumus Itô Misal

adalah proses Itô yang diberikan oleh:

dan (

)

(,

)

pada ,

)

. Maka,

) yaitu fungsi yang terdiferensial kontinu dua kali

(

)

juga merupakan proses Itô, dan berlaku

dengan (

)

(

)

(

) (

(

)

(

) (

)

) dihitung berdasarkan aturan:

Bukti teorema Rumus Itô dapat dilihat pada buku “Stochastic Differential Equations. An Introduction with Applications” karangan Bernt Øksendal tahun 2003 halaman 44 (Teorema 4.1.2). Bentuk Integral dari Rumus Itô Dengan mengintegralkan rumus Itô terhadap variabel waktu dari

sampai

kita memperoleh (

)

Contoh 2.13 Hitung: a. ∫

(

)

∫

(

)

∫ 6

(

)

(

)7


52

b. ∫ Jawab: a. Pilih ( (

)

) (

, maka ( )

)

(

∫

dan dari rumus Itô kita memperoleh

)

(

∫ 6

∫

)

∫ (

∫

(

)7

*

∫

Sehingga diperoleh ∫

∫

∫ b. Pilih ( (

)

) (

∫

, maka ( )

∫

)

(

)

∫

dan dari rumus Itô diperoleh (

∫ 6

∫ (

∫

(

*

∫

Sehingga kita memperoleh ∫

)

∫

)7


53

Teorema 2.9 Teorema Fundamental Kalkulus Itô Misal

(

) adalah antiderivatif atau integral tak tentu dalam variabel (

dari fungsi kontinu

) dengan

dan

kontinu, maka

berlaku: ∫

(

)

(

)|

(

∫ [

)

(

tidak bergantung waktu, yakni (

Khususnya, jika

( )

∫

( )|

∫

)

antiturunan . Contoh 2.14 !

Jawab: Jika ( )

maka

( ) ( )

dan ∫ ( )

∫

Dengan menggunakan metode integral parsial, kita misalkan

dan

maka ( )

∫

( ), maka

( )

Teorema di atas merupakan bentuk lain dari Rumus Itô jika

Hitung ∫

)]

mempunyai


54

untuk

.

Jadi menurut Teorema Fundamental Kalkulus Itô kita memperoleh ∫

∫

( )

( )|

(

)|

(

)

∫

∫(

( )

)

(

)

∫

∫(

)

∫

Berdasarkan contoh 2.12 (b), kita memperoleh ∫

4

∫

5

∫

∫ Sehingga diperoleh ∫

∫

(

*

∫

3. Persamaan Diferensial Stokastik Persamaan diferensial stokastik ialah persamaan diferensial yang berbentuk:


55

( dengan (

)

(

(2.14)

)

) adalah variabel acak yang merupakan penyelesaian adalah gerak Brown, (

dari persamaan tersebut, bagian deterministik dan Fungsi-fungsi (

) dan (

(

) adalah koefisien

) adalah koefisien bagian stokastik. ) selalu diasumsikan memenuhi sifat-sifat

terbatas dan kontinu agar teorema eksistensi dan ketunggalan penyelesaian berlaku. (Lihat buku “Stochastic Differential Equations An Introduction with Applications” karangan Bernt Øksendal halaman 66 (Teorema 5.2.1)).

Proposisi 2.1 Persamaan Diferensial Stokastik Linier Persamaan diferensial stokastik linier: ( ( ) dengan nilai awal 4

( ))

( ( )

(2.15)

( ))

mempunyai penyelesaian umum: ∫

( )

( ) ( ))

∫

4∫ ( ( )

( ( )) *

∫

(

( )

5

dengan ( )

5

Lihat Lecture Notes “Stochastic Differential Equations” karangan Thomas Önskog tahun 2009 halaman 36 (Proposisi 4.2).


56

Kita juga bisa meyelesaikan persamaan diferensial stokastik tak linier: (

)

dengan mengambil transformasi

(2.16)

(

)

(

), dimana

memiliki invers (paling tidak pada interval tertutup , Sekarang, kita evaluasi nilai (

)

(

)

(

)

(

), (

)

(

) dan

(

), (

) (

( (

-

), (

)

)

)(

(

)

(

)

)

(

)

(

)

-

(

(

-

)

) (

dan

6

-

)

) (

(

)

)

(

)

karena (

linier.

dengan menggunakan rumus Itô:

(

(

adalah fungsi yang

) (

)( (

) (

)

, maka

)

(

) (

)

))

(

)( (

)) 7 (2.17)

( Misal

, maka:

) (

)


57

(

)

(

) (

)

(

)( (

)) (2.18)

( ) (

)

( )

dan (

) (

)

( ) (

)

( )

(2.19)


BAB III MODEL VERHULST DETERMINISTIK

Model populasi untuk satu spesies dikemukakan pertama kali oleh Malthus. Modelnya diberikan oleh masalah nilai awal: ( )

( )

,

(3.1)

( ) dengan t adalah variabel waktu, r adalah konstanta laju pertumbuhan yang besarnya adalah

, dan

( ) banyaknya

individu di dalam populasi pada waktu t. Dengan metode pemisahan variabel model pertumbuhan populasi (3.1) dapat diselesaikan sebagai berikut: ( ) ( )

(3.2)

Integralkan kedua ruas persamaan (3.2): ∫

( ) ( )

∫

( ( )) dengan

. Jadi, ( )

Misal

, maka: ( )

Subtitusikan nilai awal nilai

( )

(3.3) ke persamaan (3.3) untuk mendapatkan

yang memenuhi:

58


59

( )

(3.4) Substitusikan persamaan (3.4) ke (3.3), diperoleh: ( ) yang menandakan bahwa pertumbuhan populasi bertumbuh secara eksponensial dan besarnya bergantung pada kondisi awal

, konstanta laju pertumbu-

han r dan waktu t. Oleh karena itu model Malthus disebut juga model eksponensial. Model eksponensial tidak realistis, sebab untuk

, tidak

mungkin suatu populasi bertumbuh secara eksponensial tanpa batas. Sebagai ilustrasi, jika diambil t menuju tak hingga, maka diperoleh

( ) juga menuju

tak hingga. Grafik model Malthus ditunjukan oleh Gambar 3.1, sebagai berikut:

Gambar 3.1 Grafik Penyelesaian Model Malthus saat

.


60

Terdapat pengembangan model Malthus yang cukup terkenal, yaitu model Gompertz yang biasanya digunakan untuk memodelkan pertumbuhan tanaman, penyebaran penyakit tumor, dan lain sebagainya. Berikut akan dibahas penyelesaian dan analisa kestabilan titik ekuilibrium model Gompertz. Model Gompertz berbentuk masalah nilai awal sebagai berikut: ( )

( )

,

(3.5)

( ) dengan t adalah variabel waktu,

adalah konstanta laju pertumbuhan,

adalah banyaknya individu di dalam populasi pada waktu t, dan

( )

adalah

konstanta positif yang menunjukkan seberapa cepat penyelesaian model Gompertz menuju ke kestabilan asimtotik. Kita juga dapat menyatakan sebagai laju perubahan besarnya populasi. a. Penyelesaian Dengan metode pemisahan variabel model Gompertz (3.5) dapat ditulis: ( ) ( )

(3.6)


( ) ( )

( ( )) untuk suatu

. Jadi, ( )

∫


61

( ) Misal

, maka:

Subtitusikan nilai awal nilai

( )

(3.7)

( )

ke persamaan (3.7) untuk mendapatkan

yang memenuhi: ( )

(3.8) Substitusikan persamaan (3.8) ke (3.7), diperoleh: ( ) ( ) ( )

(

)

b. Analisa Kualitatif 1) Analisa Penyelesaian Model Gompertz Penyelesaian model Gompertz (3.43) diberikan oleh: ( )

(

)

(3.9)

Perilaku jangka panjang dari penyelesaian model Gompertz diberikan oleh: ( )

(

)


62

Dengan kata lain penyelesaian model Gompertz akan menuju suatu nilai yang bergantung pada nilai awal

, konstanta

, dan kons-

tanta . Berikut grafik penyelesaian model Gompertz untuk beberapa nilai awal yang berbeda.

Gambar 3.2 Grafik Penyelesaian Model Gompertz dengan dan

.

Akan ditunjukkan pula grafik penyelesaian model Gompertz untuk beberapa nilai konstanta laju pertumbuhan yang berbeda.


63


.

Selanjutnya akan disajikan grafik penyelesaian model Gompertz untuk beberapa nilai konstanta

yang berbeda.


.


64

2) Analisa Kestabilan Titik Ekuilibrium Model Gompertz Syarat ekuilibrium yaitu ( )

Sehingga model Gompertz menjadi: ( ) ( ) Jelas bahwa titik ekuilibrium tersebut tidak stabil sebab untuk sebarang nilai awal penyelesaiannya bergerak menjauhi nol ketika . Selanjutnya, model Malthus dikembangkan lagi oleh seorang matematikawan Belgia bernama Pierre-François Verhulst (1838) dan modelnya disebut model Verhulst atau model logistik. Model ini dinamakan logistik sebab pada model Verhulst sudah mempertimbangkan aspek logistik yaitu keterbatasan kapasitas alam untuk menghidupi populasi. Berikut akan dibahas penyelesaian sekaligus analisa model Verhulst dan beberapa pengembangannya. A. Model Pertumbuhan Populasi Verhulst Model Verhulst merupakan salah satu modifikasi dari model Malthus. Inspirasi munculnya model Verhulst yakni karena solusi pada model Malthus tidak realistik, yaitu naik atau turun secara eksponensial. Sebagai contoh, untuk populasi manusia pada suatu negara, tidak mungkin dalam jangka waktu yang lama, banyaknya populasi manusia mendekati tak hingga, sebab alam memiliki keterbatasan ruang, makanan ataupun daya dukung lainnya. Model Verhulst juga disebut sebagai model logistik, yaitu:


65

( )

( )

( )4

,

5

(3.10)


( )

adalah banyaknya individu dalam populasi pada waktu t, dan K adalah kapasitas ambang atau kemampuan maksimum alam untuk menghidupi populasi. 1. Penyelesaian Model Verhulst Model Verhulst (3.10) dapat ditulis menjadi: ( ) ( )

( )(

(3.11)

*

Dengan menggunakan metode pecahan parsial, ruas kiri persamaan (3.11) dapat ditulis: ( ) ( )( Akan dicari nilai

( )

( *

dan

( )

( )

(

( )

yang memenuhi (3.12). ( )

( ( )(

, *

( )

*

( )(

*

( ) ( )

( ) ( )( . ( )(

*

( ) ( )

*

/ ( ) ( )

*

(3.12)


66

Dari persamaan di atas diperoleh: (3.13) dan

Karena

, maka: (3.14)

Substitusikan (3.13) dan (3.14) ke (3.12): ( ) ( )

( )(

( *

( )

( )

(

,

( )

(3.15)

*

Persamaan (3.11) menjadi:

(

( )

( )

(

( )

( )

( )

(

( )

, *

( )

(3.16)

*

Integralkan kedua ruas persamaan (3.16):

∫

( )

( )

( )

(

( ) *

( ∫

( )

∫ )

( )

∫ (

( )

( ) *

∫


67

( ( )) untuk suatu

( )

4 4

5(

)5

. ( ( ))

( )

4

5

( ) ) ( )

(

( ) ( ) ( ) ( ) Misal

, maka ( ) ( ) ( ), diperoleh:

Kalikan kedua ruas dengan ( )

(

( )

( )

( )

( )

(

) ( ) (3.17)

( ) Subtitusikan nilai awal kan nilai

( ))

( )

ke persamaan (3.17) untuk mendapat-

yang memenuhi: ( )


68

(

)

(

) (3.18)

Substitusikan persamaan (3.18) ke persamaan (3.17) untuk memperoleh

( )

(

)

.

.

/

/


69

2. Analisa Kualitatif Model Verhulst a. Analisa Penyelesaian Model Verhulst Dari perhitungan di atas kita memperoleh penyelesaian model Verhulst adalah ( ) .

(3.19)

/

Penyelesaian tersebut lebih realistis dibandingkan dengan penyelesaian model Malthus, sebab jika diambil nilai t menuju tak hingga, maka diperoleh:

.

/

Hal ini berarti populasi akan bertumbuh secara asimtotik ke K saat t menuju tak hingga. Akan dicari titik ekuilibrium dari model Verhulst, yaitu: ( )

Kita memperoleh ( )4

( )

( )

5

4

( )

atau ( )

( )

5


70

Diperoleh ( )

( )⁄

( )

saat

dan

. Sehingga, grafik naik pada interval (

interval (

( )⁄

saat

) dan turun pada

).

Selanjutnya, jika ( )

maka ( )

( )

( )

(

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )(

* ( )

*(

* ( )

atau

atau

( )

( )⁄

( )

( )

( )

Diperoleh

( )

( ) ( )⁄ saat

*

( )

( )

(

( )

( )(

*

saat ( )

( ) ( ) atau

atau ⁄

( ) ( )

dan . Karena

pertumbuhan populasi menandakan bahwa besarnya populasi tak negatif, maka grafik cekung ke atas pada interval ( dan grafik cekung ke bawah pada interval ( han kecekungan pada saat

( )

) atau (

)

). Terjadi peruba-

. Selanjutnya, substitusikan


71

( )

ke persamaan (3.19) untuk mencari nilai

di mana terja-

dinya titik belok, yaitu:

.

/

(

*

(

*

(

*

(

*

( Sekarang akan ditunjukan bahwa suatu bilangan positif. Karena

(3.20)

pada persamaan (3.20) merupakan , maka

kup dibuktikan bahwa: (

*

*

⁄

. Sehingga cu-


72

Jelas bahwa:

Sebab

. Sehingga, cukup dibuktikan bahwa:

Andaikan:

maka:

Kontradiksi dengan kondisi

yang seharusnya kurang dari

.

Jadi, terbukti pada persamaan (3.20) adalah suatu bilangan potitif. Sehingga, diperoleh titik belok dari grafik penyelesaian model Verhulst yaitu: (

( ))

(

(

*

*

Sehingga diperoleh grafik penyelesaian model Verhulst jika diberikan beberapa beberapa nilai awal, yaitu seperti di bawah ini:


73

Gambar 3.5 Grafik Penyelesaian Model Verhulst dengan

dan

. b. Analisa Kestabilan Titik Ekuilibrium Model Verhulst Syarat titik ekuilibrium yaitu ( )

Sehingga kita peroleh ( )4

( )

( )

5

4

( )

5

atau ( )

( )

Karena untuk setiap

maka dikatakan solusi

berlaku

.

/

( )

adalah solusi yang stabil asimtotik.


74

Berbeda dengan solusi

( )

, untuk nilai awal

diperoleh

( )

adalah solusi

populasi akan bergerak menjauhi nol. Jadi, yang tidak stabil.

B. BeberapaPengembangan Model Pertumbuhan Populasi Verhulst 1. Model Verhulst dengan Batas Bawah (Threshold) (Efek Allee) Model Verhulst dengan batas bawah merupakan salah satu pengembangan model Verhulst. Ide dari munculnya model ini yaitu karena pada dunia nyata, sering kali populasi terancam punah jika banyaknya individu di dalam populasi terlalu sedikit. Kasus seperti predasi atau kompetisi menjadi faktor alam yang dapat menyebabkan penurunan jumlah populasi suatu spesies. Akibatnya, proses reproduksi menjadi sulit dan kekurangan variasi genetik. Seperti yang terjadi pada populasi burung merpati penumpang (passenger pigeon) di Amerika Serikat. Jumlahnya yang sangat banyak menyebabkan burung tersebut menjadi incaran para pemburu untuk dijadikan makanan dan peliharaan. Akibatnya jumlah burung merpati penumpang menurun drastis pada akhir abad ke-XIX. Burung yang akan sukses berkembangbiak saat populasinya besar berkaitan dengan batas bawah

yang relatif tinggi. Meskipun masih terdapat cukup banyak

burung merpati jenis ini pada tahun 1880an, namun jumlah tersebut tidak cukup baginya untuk ber-kembangbiak dengan baik. Pada akhirnya populasi burung tersebut dengan cepat menurun hingga


75

punah pada tahun 1914. Hal semacam ini juga disebut sebagai efek Allee, karena diperkenalkan oleh seorang ahli ekologi asal Amerika bernama Warder Clyde Allee. Model

Verhulst

dengan

batas

bawah

pada

dasarnya

menyatakan bahwa terdapat T yaitu batas bawah banyaknya individu dalam suatu populasi yang menyebabkan populasi tersebut tidak punah. Dengan kata lain, jika banyaknya individu dalam populasi kurang dari T, maka populasi tersebut perlahan-lahan akan punah. Dengan mengkonstruksi laju pertumbuhan per kapita menjadi negatif, hal tersebut akan memberikan hasil bahwa suatu populasi akan punah jika banyaknya populasi awal terlalu sedikit (di bawah nilai ). Model Verhulst dengan batas bawah yaitu: ( ) ,

( )4

( )

5(

( )

*

(3.21)

( ) dengan t adalah variabel waktu, r adalah konstanta laju pertumbuhan, ( ) adalah banyaknya individu dalam populasi pada waktu t, K adalah kapasitas ambang atau kemampuan maksimum alam untuk menghidupi populasi, dan T adalah batas bawah banyaknya individu agar populasi tidak punah.


76

a. Penyelesaian Model Verhulst dengan batas bawah (3.21) dapat ditulis menjadi: ( ) ( ) *(

( )(

( )

(3.22)

*

Dengan menggunakan metode pecahan parsial, ruas kiri persamaan (3.22) dapat ditulis: ( ) ( ) *(

( )(

( )

* (3.23)

(

Akan dicari nilai

( )

(

*(

( )

*(

( )

( )

( )

.

/ ( )

( )

( )(

*

( ) ( )

*

( )

( )

( ( )

*

( )(

*(

( ( ) ( )

*(

( )

*

( )

*(

( )

( )( (

)

( )

( )

*

( )( (

( )

yang memenuhi (3.23)

( )

( )(

( )

( )

( )(

( )

*

* ( ) ( )

*

( ( )

( )

*

*

( ) ( )

*

( ( )

*

Dari persamaan di atas diperoleh: (3.24)

( )

*


77

dan (

* (

Karena

*

, maka:

(3.25) dan (

Karena

*

dan

, maka: (

(

*

)

(

)

(3.26)


78

Substitusikan persamaan (3.26) ke (3.25), diperoleh: (

(

( (

)

)

)

(

)

(

)

(

(

)

)

( Substitusikan nilai

*

(3.27)

)

pada persamaan (3.24), (3.26) dan (3.27) ke

(3.23), diperoleh: ( ) ( ) *(

( )(

( )

(

*

(

) ( )

(

) , ( )

( )

(

) , ( )

( )

Persamaan (3.22) menjadi:

(

( ) ( )

(

( ( )

)

(

) ( )

( ) ( )

*

(

)

(

( )

( ) ( )

*

(3.28)


79


∫

( ) ( ) ( ) ( )

∫

(

(

( ( ))

)

)

( ) ( )

(

( ) ( )

∫ (

(

)

(

*

+

⁄

)

)

)

⁄

(

( ( )

+

( ) ( )

∫

4

(

( ) ( )

∫ *

5

( )

4

∫ *

5

. Selanjutnya,

( ( ))

( ( ))

(

*

(

( untuk suatu

∫

( )

4

( )

(4

5

5

)

(

(

( )( (

( )( (

(4

( )

( )(

( )

) *

*

( ) ( )

*

*

( ) ( )

( )

4

*

*

( )

5

5

)


80

Misal

, maka: ( )

( )(

* (3.29)

( )

( ( )

Substitusikan nilai awal dapatkan nilai

* ke persamaan (3.29) untuk men-

yang memenuhi: ( )

( )(

( )

(

*

*

.

/ (3.30)

.

/

Substitusi persamaan (3.30) ke persamaan (3.29), diperoleh: ( )(

( ) ( )

(

*

.

/

.

*

/

b. Analisa Kualitatif 1) Analisa Penyelesaian Model Verhulst dengan Batas Bawah Penyelesaian model Verhulst dengan batas bawah berupa fungsi implisit sebagai berikut: ( )(

( )

*

.

/ (3.31)

(

( )

*

.

/


81

Misalkan ( ) maka ( )( (

( ) ( )

*

.

/

.

*

. .

/

/ /

(

*

(

atau

*

Dengan demikian, dalam waktu yang lama solusinya menuju nol atau . Akan dicari titik ekuilibrium model Verhulst dengan batas bawah, yaitu ( )

Sehingga kita memperoleh ( )4

( )

5(

( )

*


82

( )

( )

( )

atau

atau

( )

( )

Diperoleh

( )⁄

( )

atau

saat (

( ) ( )

saat ( )

( )⁄

dan

. Sehingga, grafik naik pada interval

) dan turun pada interval (

) atau (

). Akan diselidiki

perilaku penyelesaian model Verhulst dengan batas bawah pada interval (

) atau (

).

Untuk menyelidiki kasus di atas, kita perlu informasi dari turunan kedua. Model Verhulst dengan batas bawah dapat ditulis sebagai berikut: ( )

( )

( )4

( )

( )

( )4

( )

( )

( )

5( ( )

( )

/ ( )

.

*

5

( )

dan memiliki turunan kedua yang berbentuk: ( )

( )

( )

. ( )

( ) ( )

( )

(

( )

( )

/

.

/

( )

(

Persamaan di atas harus memenuhi ( )

( )

( )

( )

( )

* ( )

( )

*


83

sehingga diperoleh: ( )

( )4

( )

( )

( ( )

5(

* ( )

(

( )

*(

*

* ( )

(

Kita memperoleh ( )

( )4

( )

5(

*

( )

( )

( )

atau

atau

( )

( )

( )

atau ( )

( )

.

* ( )

(

√0 .

/

/1

.

.

/

√ .

/

√ .

/

√ . .

/ /

/

*


84

√ .

/

√

√.

/

√

Akan ditunjukkan

.

Persamaan

dapat ditulis: ( , maka (

Karena

) )

dan

. Jadi terbukti

. Diperoleh: √

( ) dan

√

( )

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa ( )

.

Pertama, akan ditunjukkan bahwa: ( )

√

( )

dan


85

Andaikan

( )

, maka: √ √ (

.√

)

/


.

Kedua, jelas bahwa: √

( )

dan √

sebab ( )

Ketiga, akan ditunjukkan Andaikan

( )

.

.

, maka: √ √ .√

/

Kontradiksi dengan kondisi Keempat, akan ditunjukkan

(

. ( )

.

)


86

( )

Andaikan

, maka: √ √ .√


( )

( )

atau

( )

atau

interval (

) atau (

( )

saat ( )

( )

)

.

( )⁄

Diperoleh

(

/

( )⁄

dan ( )

saat

( )

. Grafik cekung ke atas pada

( ) ) atau (

ke bawah pada interval ( ( ) perubahan kecekungan pada saat

( )

atau

( ) ) dan grafik cekung

) atau ( ( ) ( )

( ) dan

). Terjadi ( )

( ) .

Berdasarkan informasi turunan kedua di atas, dapat disimpulkan bahwa pada interval ( sedangkan pada interval ( ambang

) grafik turun menuju nol,

) grafik turun menuju kapasitas

. Sehingga diperoleh grafik penyelesaian model Verhulst

dengan batas bawah jika diberikan beberapa nilai awal, yaitu seperti di bawah ini:


87

Gambar 3.6 Grafik Penyelesaian Model Verhulst dengan Batas Bawah dengan

,

, dan

.

2) Analisa Kestabilan Titik Ekuilibrium Model Verhulst dengan Batas Bawah Syarat ekuilibrium yaitu ( )

Sehingga kita memperoleh ( )

( )4

*

( )

( ) atau ( )

( )

5(

( ) atau

( )

( )

Berdasarkan informasi titik-titik ekuilibrium yang diperoleh pada perhitungan sebelumnya, dapat disimpulkan bahwa

( )

merupakan titik ekuilibrium yang tidak stabil, sebab untuk seba-


88

rang

( )

( )

solusinya menjauhi

dan

( )

( )

. Sedangkan untuk

merupakan titik ekuilibrium yang stabil, ( )

sebab untuk sebarang

yang cukup dekat dengan nol

maupun , penyelesaiannya menuju nol atau kapasitas ambang . 2. Model Pemanenan Schaefer Model pemanenan yang akan dibahas ialah model Schaefer, yang pertama kali dikemukakan oleh M. B. Schaefer (1954) pada masalah pemanenan populasi ikan. Model Schaefer atau model pemanenan berbentuk: ( )

( )4

,

( )

5

( )

(3.32)

( ) dengan t adalah variabel waktu, r adalah konstanta laju pertumbuhan populasi normal,

( ) adalah banyaknya individu dalam populasi pada

waktu t, K adalah kapasitas ambang atau kemampuan maksimum alam untuk menghidupi populasi, dan E adalah konstanta positif yang menyatakan laju pemanenan. Model (3.32) juga dapat diinterpretasikan sebagai sebuah model interaksi dengan adanya predasi pada populasi yang bertumbuh secara logistik dan dalam hal ini,

merupakan laju predasi.

a. Penyelesaian Model Schaefer dapat ditulis sebagai ( )

( )6 4

( )0

( )

( )

5

7

1


89

( )0 dan ⁄

Misal

( )1

, maka: ( )

( ),

( )-

Dengan metode pemisahan variabel, diperoleh: ( ) ( ),

(3.33)

( )-

Dengan metode pecahan parsial, ruas kiri persamaan (3.33) dapat ditulis: ( ) ( )( Akan dicari nilai

( ))

(

( )

( )

*

(3.34)

yang memenuhi: (

( )(

( )

( ))

( )

( )

( )) ( )(

( ) ( ))

Dari persamaan di atas, diperoleh:

(3.35) dan

Karena

, maka


90

(3.36) Substitusikan (3.35) dan (3.36) ke persamaan (3.34) dan didapatkan 4

⁄ ( )

⁄ ( )

( ) ( )

( )

5

( ) ( ))

(

Selanjutnya, kita integralkan kedua ruas: ( ) ( )

∫

∫

( ) ( )

∫

( ( ))

(

4

( ) ( )

∫

( )) (

( ( ))

6 4

∫

∫

(

[ ( ( ))

( ) ( ))

( ))

(

( ))]

( ( ) 57 ( ) ( ) 5 ( )

⁄

⁄

4

( ) 5 ( )

⁄

4

( ) 5 ( )

*


91

( ) 5 ( )

*4

⁄

(

+

)

( ) ( ) Misal

, maka: ( ) ( ) ( )

( ))

(

( )

( )

( )

( )

( )(

) ( )

( ) .

Substitusikan nilai awal menda-patkan nilai

/

( )

(3.37)

( )

ke persamaan (3.37) untuk

yang memenuhi: ( )


92

(3.38) Substitusikan persamaan (3.38) ke (3.37), diperoleh: ( )

(

)

( Karena

dan

)

⁄ , maka:

( ) (

)

(

(

))

b. Analisa Kualitatif 1) Analisa Penyelesaian Model Schaefer Penyelesaian model Schaefer, yaitu ( ) (

)

(

(

akan dianalisa menurut tiga kasus di bawah ini:

))

(3.39)


93

a) Jika

, maka ( ) (

)

(

(

))

Hal tersebut menandakan bahwa dalam jangka waktu yang lama penyelesaian akan menuju nol. Grafik penyelesaian model Schaefer saat

adalah sebagai

berikut:

Gambar 3.7 Grafik Penyelesaian Model Schaefer saat dan b) Jika

.

, maka ( ) (

)

(

(

))


94

(

)

(

*

Grafik penyelesaian model Schaefer saat

adalah sebagai

berikut:

Gambar 3.8 Grafik Penyelesaian Model Schaefer saat , dan

,

.

Grafik tersebut menunjukkan bahwa dalam jangka waktu yang lama banyaknya individu dalam populasi akan konvergen menuju suatu nilai yaitu c) Jika

.

/, dalam kasus ini yaitu 200.

, maka ( ) (

)

(

(

))


95

Hal ini berarti perilaku jangka panjang penyelesaian model Schaefer saat

akan menuju nol.

Perilaku jangka panjang penyelesaian model Schaefer saat sama dengan saat

, yakni keduanya menuju nol,

namun terdapat perbedaan perilaku penurunan grafik. Pada saat grafik turun secara langsung menuju nol, namun pada saat

grafik turun secara eksponensial, seperti tampak

pada gambar di bawah ini:

Gambar 3.9 Grafik Penyelesaian Model Schaefer saat , dan

.

2) Analisa Kestabilan Titik Ekuilibrium Model Schaefer Diberikan model Schaefer ( )

Jika

, maka

( )4

( )

5

( )

,


96

( )

( )6 4

5

7

berakibat: ( )

atau

( )

4

5

( ) ( )

( ) Titik

( )

*

adalah titik ekuilibrium yang tidak stabil, sebab

untuk sebarang Sebaliknya,

(

titik

penelesaiannya bergerak menjauhi nol. ( )

(

)

adalah

sebagai

titik

ekuilibrium yang stabil asimtotik, sebab: ( )

( (

Jika

dan

)

(

(

*

))

, maka titik equilibriumnya yaitu ( )

.

Jelas bahwa titik ekuilibrium tersebut stabil, sebab untuk sebarang nilai awal

( )

, penyelesaiannya akan menuju nol.

3. Model Penyebaran Teknologi Tak dapat dipungkiri bahwa akhir-akhir ini teknologi berkembang sangat pesat. Penyebaran teknologi tersebut dapat dimodelkan secara matematika. Salah satu yang dapat digunakan model serupa dengan model pertumbuhan populasi Verhulst. Ketika suatu (produk) teknologi


97

baru diperkenalkan, diperkirakan pengguna teknologi tersebut akan naik secara logistik. Namun, saat teknologi yang lebih baru diperkenalkan atau saat terjadi kompetisi dengan (produk) teknologi yang lain, maka pengguna teknologi sebelumnya akan turun secara eksponensial. Model penyebaran teknologi dinyatakan oleh: ( ) ,

( )

( )(

*

(3.40)

( ) dengan


adalah banyaknya individu yang

berpotensi menggunakan teknologi,

adalah konstanta positif yang me-

nyatakan laju penyebaran teknologi, dan tik, dengan

menyatakan limit asimto-

adalah konstanta positif yang menyatakan seberapa besar

penurunan limit asimtotik. Kita dapat menginterpretasikan

sebagai laju

penurunan minat pengguna teknologi yang berkaitan. Limit asimtotik dibentuk dengan cara mengalikan kapasitas ambang dengan faktor eksponensial yang turun. a. Penyelesaian Penyelesaian model penyebaran teknologi (3.40) akan dicari dengan mengambil transformasi: ( )

( )

(3.41)

sehingga diperoleh: ( )

( ) ( )

( ) ( )

(

)


98

( )

(

(3.42)

( )*

Substitusikan persamaan (3.42) ke (3.40) dan diperoleh: ( )

(

( )

( )

( )*

( )

( )4

( )

( )( ( )

( )4

5

( )

*

( )

Persamaan tersebut sama seperti model Schaefer, dengan ( )

Sehingga, apabila diberikan nilai awal

( )

Jika ( )

)

(

(

))

(

))

, maka berdasarkan (3.41): ( )

( ) dan ( )

( )

( )

( )

Jadi, ( ) (

)

(

.

, maka penyelesai-

annya berbentuk:

(

5


99

( ) (

)

(

)

( )

.

/

b. Analisa Kualitatif 1) Analisa Penyelesaian Model Penyebaran Teknologi Penyelesaian model penyebaran teknologi yaitu: ( ) .

/

(3.43)

Perilaku jangka panjang penyelesaian model penyebaran teknologi diberikan oleh: ( ) .

/

Hal tersebut menunjukkan bahwa untuk jangka waktu yang lama, maka banyaknya individu yang berpotensi menggunakan teknologi akan menuju nol. Grafik penyelesaian model penyebaran teknologi jika diberikan beberapa nilai awal tampak pada gambar di bawah ini:


100

Gambar 3.10 Grafik Penyelesaian Model Penyebaran Teknologi saat

,

, dan

.

Garis putus-putus yang tampak pada Gambar 3.10 merupakan kurva asimtotik dari penyelesaian model penyebaran teknologi baru. 2) Analisa Kestabilan Titik Ekuilibrium Model Penyebaran Teknologi Syarat ekuilibrium yaitu ( )

Sehingga kita peroleh ( )(

( )

* ( )

( ) atau ( )

( )


101

Untuk setiap nilai awal, penyelesaian model penyebaran bergerak mendekati

dan

, sehingga dapat dikatakan bahwa nol dan

merupakan titik ekuilibrium yang stabil. 4. Model Verhulst dengan Laju Pertumbuhan tidak Konstan Konstanta

menunjukkan bahwa laju dari pertumbuhan populasi

tidak bergantung pada waktu. Hal ini berarti waktu tidak memiliki pengaruh penting untuk menentukan seberapa cepat populasi bertumbuh. Hal tersebut mungkin saja terjadi, namun secara umum tidak mungkin bahwa laju pertumbuhan populasi tidak dipengaruhi oleh waktu. Spesies yang berbeda memiliki laju pertumbuhan yang berbeda pula, tergantung periode reproduksi misalnya. Misalnya pada beberapa mamalia memiliki waktu reproduksi yang berbeda. Mamalia seperti anjing, serigala, dan beruang hanya bereproduksi sekali dalam setahun, sedangkan mamalia seperti kuda dan domba memiliki siklus reproduksi yang pendek, sehingga dalam setahun bisa bereproduksi lebih dari satu kali. Selain itu, laju pertumbuhan populasi juga dipengaruhi oleh perubahan cuaca. Oleh karena itu, penting untuk memodifikasi laju pertumbuhan populasi menjadi suatu fungsi yang bergantung waktu, dengan kata lain laju pertumbuhannya tidak lagi berupa konstanta. Model Verhulst dengan laju pertumbuhan tidak konstan diberikan oleh masalah nilai awal sebagai berikut:


102

( )

( )

( ) ( )4

,

5

(3.40)

( ) dengan


,

-

adalah fungsi

kontinu yang menyatakan bahwa laju pertumbuhan populasi besarnya ( ) adalah banyaknya individu dalam populasi

bergantung pada waktu,

pada waktu t, dan K adalah kapasitas ambang atau kemampuan maksimum alam untuk menghidupi populasi. a. Penyelesaian Dengan metode pemisahan variabel, model (3.40) dapat ditulis sebagai berikut: ( ) ( )

( )(

( ) *

Dengan menggunakan metode pecahan parsial untuk ruas kiri, persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk

( )

( )

( )

( )

( ( ) (

( )

( )

*

( )

( )

( )

*

Integralkan kedua ruas, untuk memperoleh ∫

( )

( )

( ( ))

∫ (

4

( ) ( )

5

( ) *

∫ ( )

∫ ( )


103

untuk suatu

,

. Jika

(

Misal

-

, maka

( ) ) ( )

∫ ( )

( ) ( )

∫

( )

( ) ( )

∫

( )

, maka: ( ) ( )

( )

∫

( )

∫

( ) ( )

( )

∫

( )

* ∫

5

∫

( )

∫

( )

∫

( )

( )

( ) ∫

( )

( )

∫

(3.45)

( )

mendapatkan nilai

( )

( )

∫

Substitusikan nilai awal

( )

4

( )

( )

( )(

∫

∫

( )

( )

yang memenuhi:

ke persamaan (3.45) untuk


104

( )

∫

( ) Karena

,

-

( )

∫

kontinu, maka

(

(

)

) (3.46)

Substitusikan persamaan (3.46) ke persamaan (3.45) dan didapatkan ( )

∫

( )

∫

∫

∫

( )

∫

( )

∫

( )

( )

( )

b. Analisa Kualitatif 1) Analisa Penyelesaian Model Verhulst dengan Laju tidak Konstan Penyelesaian model Verhulst dengan laju tidak konstan yaitu: ∫

( )

( ) ∫

( )


105

Agar populasi tidak bertambah besar atau ( ) untuk suatu

( ) adalah fungsi yang

, maka paling tidak

terintegral tak wajar pada interval , Ketika

).

( ) adalah fungsi konstan, persamaan di atas

tereduksi menjadi persamaan (3.19). Untuk melihat hal tersebut, ambil ( )

. ∫

( ) ∫

.

/

.

/

2) Analisa Kestabilan Titik Ekuilibrium Model Verhulst dengan Laju tidak Konstan Syarat ekuilibrium model dengan laju pertumbuhan populasi model Verhulst dengan laju tidak konstan: ( ) ( )4

( ) ( )

atau

( )

5 ( )


106

( )

( )

Kestabilan titik ekuilibrium model Verhulst dengan laju tidak konstan sangat bergantung pada fungsi laju pertumbuhannya. Akan diberikan beberapa contoh model Verhulst dengan laju tidak konstan untuk mempermudah pemahaman kita. Contoh 3.2.1 Diberikan model pertumbuhan populasi Verhulst dengan laju tidak konstan sebagai berikut: ( ) ,

( )

( ) ( )4

5

( ) a.

Carilah penyelesaian dari model di atas jika diberikan ( ) ( )

b.

), dan ( )

(

.

Dengan menggunakan MATLAB, buatlah grafik penyelesaian ( )

model di atas dengan nilai awal ( ) c.

,

. Ambil

,

,

dan

( )

, dan

-.

Analisa kestabilan titik ekuilibrium untuk masing-masing ( ). Jawab: Penyelesaian model Verhulst dengan laju tidak konstan yaitu: ∫

( )

( ) ∫

a. Akan dicari penyelesaian dari model di atas. (i) Untuk ( )

maka kita peroleh:

( )


107

∫

( ) ∫

Kita hitung ∫

:

∫

(

|

)

Sehingga diperoleh: ( )

(ii) Untuk ( )

(

) kita memperoleh: ∫

(

)

( ) ∫

Kita hitung ∫

(

)

(

)

(

)

dengan menggunakan metode integral

parsial:

maka diperoleh:

∫

(

)

(

) |

(

Kita hitung ∫

)

∫

∫

dengan menggunakan metode substitusi.


108

Misal:

Jika

maka

dan jika

maka

maka

∫

∫

∫ (

*

(

( )|

(

)

(

)

(

( ))

(

)

(

)

(

)

Sehingga kita peroleh

∫

(

)

∫

(

)

(

)

(

(

)

(

)

(

( )

Sehingga penyelesaian model awal saat ( ) (

)

(

)

(

)

))

yaitu:

( ) (

)


109

(iii) Untuk ( )

kita memperoleh ∫(

)

( )

Kita hitung ∫ ( ∫(

)

∫(

)

)

dengan terlebih dahulu menghitung

: )

∫(

untuk suatu

∫

∫

.

Maka diperoleh: ∫(

)

| (

(

)

)

Sehingga penyelesaian model awal saat ( ) (

yaitu:

)

( ) (

)

b. Grafik penyelesaian model pada soal dengan diberikan nilai awal ( )

,

( )

,

( )

ditunjukkan oleh gambar berikut.

,

, dan

,

-


110

(i) Jika ( )

, grafik penyelesaiannya diberikan oleh gam-

bar berikut.


.

Interaksi predasi merupakan salah satu contoh yang populasinya bergerak secara periodik. Misalnya pada ekosistem laut terdapat ikan kecil pemakan plankton sebagai mangsa dan hiu sebagai pemangsa. Jika nelayan menahan diri untuk tidak memancing ikan kecil pemakan plankton untuk beberapa tahun (seperti yang terjadi selama Perang Dunia I), maka ikan ini jumlahnya akan meningkat dalam waktu yang cepat. Setelah meningkat, hiu akan memiliki cukup makanan untuk pertumbuhan populasinya, sehingga populasi hiu akan meningkat. Namun hal tersebut menyebabkan berkurangnya populasi pada ikan kecil dengan singkat. Akibatnya, hiu kekurangan makanan dan populasinya menurun. Hal tersebut memung-


111

kinkan ikan kecil untuk memperbesar populasinya kembali. Jika proses ini terus berlanjut tanpa batas, maka baik populasi ikan kecil maupun populasi hiu akan bergerak secara periodik. (ii) Jika ( )

(

), grafik penyelesaiannya diberikan oleh

gambar berikut.


(

).

Pertumbuhan singa laut pada Pulau St. Paul, Alaska merupakan salah satu contoh populasi yang tumbuh secara logistik. (iii) Jika ( ) gambar berikut.

, grafik penyelesaiannya diberikan oleh


112


.

c. Akan kita analisa kestabilan titik ekuilibrium dari masing-masing ( ). ( )

(i) Pada

( )

, titik ekuilibrium

dan

( )

merupakan titik ekuilibrium yang tidak stabil sebab untuk sebarang nilai awal, penyelesaiannya bergerak secara periodik. (ii) Pada saat ( ) (

)

(

(

)

(

)

Sehingga titik

(

):

)

.

( )

(iii) Pada saat ( )

/

)

(

)

merupakan titik ekuilibrium yang stabil. : (

) (

Sehingga titik

(

( )

)

merupakan titik ekuilibrium yang stabil.


BAB IV MODEL VERHULST STOKASTIK

Seringkali dalam situasi nyata, untuk mendapatkan model matematika yang lebih baik, kita harus mempertimbangkan pengaruh unsur-unsur acak atau ketidakpastian. Demikian pula untuk model pertumbuhan populasi akan lebih baik (realistis) ketika kita memasukkan aspek probabilistik, yaitu hal-hal yang tidak dapat diprediksi sebelumnya, seperti bencana alam (banjir, kebakaran, letusan gunung berapi, gempa bumi, dan lain sebagainya), penyakit (virus, bakteri, dan lain sebagainya), predasi, perburuan, dan lain-lain. Untuk mempelajari model matematika yang mengandung ketidakpastian kita perlu menggunakan kalkulus stokastik. Berikut akan dibahas model Verhulst stokastik untuk dinamika populasi dengan derau (unsur ketidakpastian) yang berasal dari gerak Brown. A. Model Pertumbuhan Stokastik yang Memuat Derau yang Berasal dari Gerak Brown Perhatikan kembali model Verhulst deterministik diberikan oleh masalah nilai awal sebagai berikut: ( ) ,

( ) ( )4

( )

5

(4.1)

( ) Selanjutnya, kita akan mengonstruksi model Verhulst stokastik. Kita ambil transformasi ( )

( ) dan substitusikan ke dalam model (4.1) yang laju

pertumbuhannya telah disederhanakan menjadi ( )

113

, sehingga diperoleh:


114

.

( )/

(

( ) ( )

( )

( )

Pada model stokastik

( )/

( )

( )( ( )(

( )

.

( )* (

)

*

* (4.2)

( )

, sehingga persamaan (4.2) menjadi: ( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

) ( )

(

( ) ,

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) -

( )

( )

Derau di dalam kalkulus stokastik dipandang sebagai derau putih Gauss, yaitu turunan terhadap waktu dari gerak Brown. Persamaan terakhir dapat ditulis sebagai berikut: ( dengan

)

(4.3)

adalah besarnya populasi pada waktu , dimana sekarang bukan lagi

fungsi deterministik melainkan sebuah variabel acak yang terdefinisi pada suatu ruang peluang (

). Persamaan (4.3) merupakan sebuah persamaan

tak linier sesuai bentuk persamaan (2.16) dengan (

)

, disini

.

(

)

dan


115

B. Penyelesaian Model Stokastik Verhulst Untuk menyelesaiakan model Verhulst stokastik (4.3), pertama kita ambil (

transformasi

), maka persamaan (2.18) dan (2.19) (halaman 56)

dapat ditulis sebagai berikut: (

)

(

( Ambil

( ) (

) (

)

)(

(

)

)( (

(

)(

))

)

( ) (

( ) (

)

)

( )

( )

( ) adalah suatu konstan, maka diperoleh )(

)

(

)(

)

(

)

(4.4)

dan ( dengan diambil

( )

) (

)

( ) (

)

( )

( ) adalah suatu konstan, maka diperoleh: (

)

(

)

(4.5)

Sehingga persamaan (2.17) dapat ditulis sebagai berikut: ,

(

)

-

,

Selanjutnya akan dicari hubungan antara Kita asumsikan bahwa

dan

(

)

dan

.

-

(4.6)

. Persamaan (4.5) merupakan persa-

maan diferensial variabel terpisah dan dengan menggunakan metode pemisahan variabel, kita tulis persamaan (4.5) menjadi ( ( Integralkan kedua ruas:

) )


116

(

∫

(

)

∫

)

Misal (

) (

(

)

)

Kita memperoleh ∫

,

(

)

-

,

(

)

-

( dengan

∫

)

. Sehingga kita memperoleh penyelesaian dari persamaan

(4.5) yaitu: ( dengan

. Selanjutnya, dari penyelesaian yang diperoleh kita dapatkan

( dan

)

)


117

(

(

Substitusikan

)

)

(

(

) dan

* (

) ke persamaan (4.4) untuk

mendapatkan (

)

(

(

*

)

4

(

5

*

]

(4.7)

Karena ruas kanan persamaan (4.7) tidak memuat

, maka kita dapat mencari

[

nilai

dan

(

*

. Pertama, turunkan persamaan (4.7) terhadap [

(

*]

[

[

(

*

(

*

]

, diperoleh: ]


118

Kedua, kalikan hasil yang diperoleh pada langkah pertama dengan

,

dan diperoleh: [

(

*

]

Ketiga, turunkan sekali lagi supaya diperoleh persamaan yang lebih sederhana, yaitu: [

(

*]

(

*

( Karena

*

, maka haruslah:

atau

Substitusikan

ke dalam persamaan (4.7) dan diperoleh: [

(

*

(

)

4

( Pilih antara

, dan

]

5

(

)* dan

. Sekarang kita dapatkan hubungan

menurut persamaan (4.6) yaitu:


119

,(

)

-

,(

)

-

dihasilkan hubungan antara

dan

,

(4.10)

sebagai berikut: (

)

Berdasarkan Proposisi 2.1 dan mengingat

dan

kita memperoleh

penyelesaian dari persamaan (4.8) yaitu 4

∫

(

4

∫

(

4

∫

)

∫

)

5

∫

5

5

dengan 4∫ (

*

(

4∫ (

4∫ (

*

∫

5

) *

∫

∫

5

5


120

4(

* |

4(

*

4(

*

( 4(

(

)| 5

(

)5

5

*

5+

Dengan demikian diperoleh penyelesaian model Verhulst stokastik (4.3) sebagai berikut:

.

/

∫

∫ untuk suatu nilai awal

maka

atau

4. ∫ Substitusi balik

4.

dan karena

. Jadi,

/

5 /

5

berkaitan dengan laju pertumbuhan

suku deterministik, maka kita dapat substitusikan peroleh penyelesaian dari model Verhulst stokastik (4.3)

. Sehingga kita mem-


121

4.

dengan

4.

∫

[

/

5 /

5

]

, maka: 4. 4.

∫

[

/ /

4.

4.

]

5 /

/ 4.

∫

5

/

4.

∫

5

5

5 /

5

Dari penjabaran di atas, kita memperoleh penyelesaian model Verhulst stokastik berbentuk ( ) dengan nilai awal

( )

( )4

( )

( )

5

( )

yaitu: 4.

/

5

( )

(4.13) ∫

4.

/

5

Jika tidak ada gangguan acak yang mempengaruhi laju pertumbuhan populasi maka persamaan (4.13) tereduksi menjadi persamaan (3.14). Untuk menunjukkan hal tersebut kita ambil

, sehingga diperoleh:


122

4.

/

5

( ) 4.

∫

/

5

∫

.

/|

(

)

(

)

Dengan mengalikan ruas kanan dengan

, maka kita memperoleh

( )

.

/

Persamaan tersebut merupakan penyelesaian model Verhulst deterministik. Jadi, dapat disimpulkan bahwa model deterministik merupakan kasus khusus dari model stokastik ketika tidak terdapat derau. Berikut contoh lintasan sampel/trayektori dari penyelesaian model Verhulst stokastik.


123

(i) Saat

.

Gambar 4.1 Contoh Lintasan Sampel Penyelesaian Model Verhulst Stokastik saat

(ii) Saat

,

,

, dan

.

.


,

,

, dan

.


124

(iii) Saat

.


,

,

, dan

.


BAB V PENUTUP

A. Kesimpulan Salah satu penerapan matematika yaitu untuk memodelkan dan menganalisa, baik secara kuantitatif mapun secara kualitatif, masalah nyata, termasuk pertumbuhan populasi. Model pertumbuhan populasi yang sering digunakan yaitu model logistik yang dikembangkan oleh Verhulst. Model Verhulst berbentuk: ( )

( )

( )4

,

5

( ) dan penyelesaiannya diberikan oleh: () .

/

Model Verhulst lalu dikembangkan lagi untuk mendapatkan model yang lebih baik. Setidaknya ada empat pengembangan yang dibahas pada skripsi ini, yaitu: 1. Model Verhulst dengan Batas Bawah (Lower Threshold). Modelnya berbentuk: ( ) ,

( )4

( )

5(

( )

*

( ) dan penyelesaiannya diberikan oleh fungsi implisit sebagai berikut:

125


126

( )

( )(

( )

(

*

.

/

.

*

/

2. Model Pemanenan Schaefer. Modelnya berbentuk: ( )

( )

( )4

,

5

( )

( ) dan penyelesaiannya diberikan oleh ( ) (

)

(

(

))

3. Model Penyebaran Teknologi. Modelnya berbentuk ( )

( )

( )(

,

*

( ) dan penyelesaiannya diberikan oleh ( ) .

/

4. Model Verhulst dengan Laju Pertumbuhan tidak Konstan. Modelnya berbentuk ( ) ,

( )

( ) ( )4

( ) dan penyelesaiannya diberikan oleh ∫

( )

( ) ∫

( )

5


127

Model Verhulst deterministik tidak mempertimbangkan faktor acak seperti bencana alam, penyakit, predator alami, perburuan dan lain sebagainya sehingga perlu dimodifikasi menjadi model Verhulst stokastik. Model Verhulst stokastik yang dibahas di skripsi ini berbentuk: ( ) dengan nilai awal

( )

( )4

( )

( )

5

( )

model tersebut memiliki penyelesaian: 4.

/

5

( ) ∫

4.

/

5

Penyelesaian diperoleh dengan menggunakan kalkulus stokastik Itô. Kita juga telah melihat bahwa model deterministik merupakan kasus khusus dari model stokastik ketika

, yakni ketika tidak ada derau (unsur ketidakpas-

tian) di dalam model. B. Saran Berikut saran bagi pembaca yang ingin mengembangkan skripsi ini: 1. Model deterministik yang dibahas tidak hanya model kontinu, bisa juga model diskret. 2. Beberapa pengembangan model Verhulst, seperti model Verhulst dengan batas bawah, model Verhulst dengan laju tak konstan, model penyebaran teknologi dan model pemanenan Schaefer

juga dapat dikembangkan

lebih lanjut menjadi model-model stokastik dan diselesaikan menggunakan kalkulus stokastik Itô.


128

3. Unsur derau pada model stokastik dapat juga diperoleh dari proses stokastik selain gerak Brown, misalnya gerak Brown fraksional atau proses Lévy. 4. Baik model deterministik maupun stokastik dapat dikembangkan lagi dengan mempertimbangkan perpindahan individu dari suatu area ke area lain (model temporal-spasial). 5. Laju pertumbuhan model Verhulst bisa dikembangkan lagi yaitu dengan memasukkan faktor migrasi. 6. Model Schaefer dapat dikembangkan lagi, yaitu dengan mengubah laju pemanenan

( ) yaitu fungsi dari waktu.


DAFTAR PUSTAKA

Adams, R. A. dan Essex, C. (2008). Calculus: a Complete Course. (7th Edition). Toronto: Pearson Canada. Allen, Linda J. S. (2010). An Introduction to Stochastic Processes with Applications to Biology. (2nd Edition). Boca Raton: CRC Press. Bacaër, Nicolas. (2011). A Short History of Mathematical Populations Dynamics. London: Springer-Verlag. Boyce, William E. dan Richard C. DiPrima. (2001). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. (7th Edition). New York: John Wiley & Sons, Inc. Haberman, Richard. (1998). Mathematical Models: Mechanical Vibrations, Population Dynamics, and Traffic Flow. Philadelphia: SIAM. Johnson, George dan Johathan Losos. (2008). The Living World. (5th Edition). New York: McGraw-Hill Companies, Inc. Jones, Peter W. dan Peter S. (2010). Stochastic Processes An Introduction. (2nd Edition). Boca Raton: CRC Press. Kelley, Walter G. dan Allan C. Peterson. (2010). The Theory of Differential Equations: Classical and Qualitative. (2nd Edition). New York: Springer. Khodabin, M. dan Neda Kiaee. (2011). Stochastic Dynamical Logistic Population Growth Model. Journal of Mathematical Sciences: Advances and Applications, 11:11-29. Kirkwood, James R. (2015). Markov Processes. Boca Raton: CRC Press.

129


130

Mikosch, Thomas. (1998). Elementary Stochastic Calculus with Finance in View. London: World Scientific. Øksendal, Bernt. (2003). Stochastic Differential Equations. An Introduction with Applications. (6th Edition). Heidelberg: Springer-Verlag. Önskog, Thomas. (2009). Stochastic Differential Equations. Umeå: Department of Mathematics and Mathematical Statistics, Umeå University. Lecture Notes. Shonkwiller, R. W. dan Herod, J. (2009). Mathematical Biology:An Introduction with Maple and Matlab. (2nd Edition). New York: Springer. Stewart, James. (2008). Calculus Early Trancendental. (6th Edition). Belmont: Thomson. Tahepe, Yusuf, S.Si. (2012). Statistika dan Rancangan Percobaan. Jakarta: EGC. Tsoularis, A. (2001). Analysis of Logistic Growth Models. Res. Lett. Inf. Math. Sci, 2:23-46. Varberg, D., dkk. (2007). Calculus. (9th Edition). London: Pearson Prentice Hall. Wackerly, D. D., dkk. (2008). Mathematical Statistics with Applications. Belmont: Thomson.


LAMPIRAN

Lampiran 1 Keliniaran Notasi Sigma Misal *

+ dan *

(i)

∑

(ii)

∑

+ menyatakan dua barisan dan

suatu konstanta. Maka:

∑ (

)

∑

∑

Lampiran 2 Beberapa Rumus Jumlah Khusus (

1. ∑

)

(

2. ∑ 3. ∑

)(

(

0

)

1

(

4. ∑

)

)(

)

Lampiran 3 Misal

adalah gerak brown, maka (

)

(

)

Bukti: Misal rata-rata

. Menurut definisi gerak Brown, dan variansi

berdistribusi normal dengan

, maka kita dapatkan fungsi pembangkit momennya

sebagai berikut: (

( ) Untuk menunjukkan (

)

( 131

)

) , maka cukup ditunjukkan bahwa


132

( )

Karena

( )

(i)

( )

(ii)

( )

(iii)

( )

( )

(iv)

(

(

|

)

)

, maka (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

( )

(

(

)

(

)

(

(

)

(

)

)

)

(

(

)

(

)

(

)

)

(

)

(

(

)

(

)

(

)

(

)

)

(

)

)

Sehingga ( )

|

(

Lampiran 4 Program contoh Gerak Brown clc; clf; T=1; n=1000; dt=T/n; for j=1:2 B(1)=0; for i=1:n B(i+1)=B(i)+sqrt(dt)*randn; end

)

■


133

plot([0:dt:T],B,'LineWidth',2) hold end Title('Contoh Lintasan Sampel Gerak Brown') xlabel('t'); ylabel('B(t)');

Lampiran 5 Program untuk model Malthus clc; clf; hold on; r=0.5; t=0:0.1:5; n=length(t); N0=[100 200 300 400 500]; m=length(N0); N=zeros(n,m); for i=1:m N(:,i)=N0(i).*exp(r*t); end display(N) plot(t,N) Title('Grafik Model Malthus') xlabel('t (tahun)') ylabel('N (besarnya populasi)')

Lampiran 6 Program untuk model Gompertz jika diberikan beberapa nilai awal yang berbeda clc; clf; hold on; t=0:0.1:40;


134

n=length(t); r0=1; a=1; N0=[100 300 500 700 900]; m=length(N0); N=zeros(n,m); ekui=zeros(m,n); for i=1:m N(:,i)=N0(i).*exp(r0/a*(1-exp(-a*t))); ekui(i,:)=N0(i)*exp(r0/a); end display(N) ekuilibrium=ekui(:,1); tabel=[N0' ekuilibrium] plot(t,N,t,ekui,'--') Title('Grafik Model Gompertz dengan Beberapa Nilai Awal') xlabel('t (tahun)') ylabel('N (besarnya populasi)')

Lampiran 7 Program untuk model Gompertz jika diberikan beberapa konstanta laju pertumbuhan yang berbeda clc; clf; hold on; t=0:0.1:10; n=length(t); r0=[1 0.5 1.5]; m=length(r0); a=1; N0=100;


135

N=zeros(n,m); ekui=zeros(m,n); for i=1:m N(:,i)=N0.*exp(r0(i)/a*(1-exp(-a*t))); ekui(i,:)=N0*exp(r0(i)/a); end display(N) ekuilibrium=ekui(:,1); tabel=[r0' ekuilibrium] plot(t,N,t,ekui,'--') Title('Grafik Model Gompertz dengan Beberapa Nilai Laju Pertumbuhan') xlabel('t (tahun)') ylabel('N (besarnya populasi)')

Lampiran 8 Program untuk model Gompertz jika diberikan beberapa nilai berbeda clc; clf; hold on; t=0:0.1:10; n=length(t); r0=1; a=[0.5 1 2]; m=length(a); N0=100; N=zeros(n,m); ekui=zeros(m,n); for i=1:m N(:,i)=N0.*exp(r0/a(i)*(1-exp(-a(1)*t)));

yang


136

ekui(i,:)=N0*exp(r0/a(i)); end display(N) ekuilibrium=ekui(:,1); tabel=[a' ekuilibrium] plot(t,N,t,ekui,'--') Title('Grafik Model Gompertz dengan Beberapa Nilai Alpha') xlabel('t (tahun)') ylabel('N (besarnya populasi)')

Lampiran 9 Program untuk model Verhulst clc; clf; hold on; r=0.5; t=0:0.1:15; n=length(t); int_r=subs(r,t); N0=[100 300 500 700 900]; m=length(N0); K=600; N=zeros(n,m); for i=1:m N(:,i)=K./((K/N0(i)-1).*exp(-r.*t)+1); end display(N) plot(t,N) plot(t,K,'-.',t,K/2,'b-.') Title('Grafik Model Verhulst Biasa') xlabel('t (tahun)')


137

ylabel('N (besarnya populasi)')

Lampiran 10 Program untuk model Verhulst dengan batas bawah (Threshold) >

Lampiran 11 Program untuk model Schaefer clc; clf;hold on; r=input('Berapa laju pertumbuhan alami populasi (skala 0-1)? r='); E=input('Berapa laju pemanenan (skala 0-1)? E='); t=0:0.1:30; n=length(t); N0=[100 300 500]; m=length(N0);


138

K=600; N=zeros(n,m); for i=1:m N(:,i)=(r-E)./((r-E)/N0(i).*exp(-t.*(r-E))+r/K.*(1-exp(-t.*(rE)))); end if r>E %misal: r=0.6 E=0.4 ekui=K*(1-E/r); display(N) elseif r==E %misal: r=E=0.5 ekui=0; else r<E %misal: r=0.4 E=0.6 ekui=0; display(N) end display(ekui) plot(t,N) plot(t,ekui,'r') Title('Grafik Model Schaefer') xlabel('t (tahun)') ylabel('N (besarnya populasi)')

Lampiran 12 Program untuk model penyebaran teknologi baru clc; clf; hold on; k=10; b=1; t=0:0.1:5; n=length(t);


139

M=90; p0=[1 6 11 16 25]; m=length(p0); ekui=exp(-b.*t)*M; p=zeros(n,m); for i=1:m p(:,i)=(k+b)./(exp(-k*t)*((k+b)/p0(i)-(k/M))+k/M*exp(b*t)); end display(p) plot(t,p) plot(t,ekui,'m-.') Title('Grafik Model Penyebaran Teknologi') xlabel('t (waktu)') ylabel('p (banyak individu)')

Lampiran 13 Program untuk model Verhulst dengan laju tak konstan clc; clf; syms t R=input('Masukan fungsi laju pertumbuhan (dalam variabel t):'); r=int(R,0,t); t=0:0.1:8; n=length(t); int_r=subs(r,t); N0=[100 200 300]; m=length(N0); K=600; N=zeros(n,m); for i=1:m


140

N(:,i)=exp(int_r)./(1./N0(i)-(1/K)+(1/K).*exp(int_r)); end display(N) plot(t,N,t,K) title('Grafik Model Verhulst Laju Tak Konstan') xlabel('t (tahun)'); ylabel('N (besarnya populasi)')

Lampiran 14 Konvergensi di Diberikan ruang peluang ( (

)

(notasi

). Misal

adalah barisan variabel acak, maka

dikatakan konvergen ke

) jika untuk setiap (

dan

adalah variabel acak dan

saat

) .

Lampiran 15 Lintasan Sampel Penyelesaian Model Verhulst Stokastik >

(i) saat >

di


141

(ii) saat

(iii) saat

MODEL VERHULST DETERMINISTIK DAN STOKASTIK

Recommend Documents