KAJIAN MODEL EPIDEMIK SIR DETERMINISTIK DAN STOKASTIK PADA WAKTU DISKRIT Oleh: Arisma Yuni Hardiningsih 1206 100 050 Dosen Pembimbing: Dra. Laksmi Prita Wardhani, M.Si
Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya 2010 ABSTRAK Selama ini telah banyak penelitian tentang model epidemik yang bersifat deterministik, diantaranya model epidemik SI, SIS, SIR, dan SEIR. Penelitian yang dilakukan sebagian besar adalah analisis kestabilan titik setimbang pada model deterministik. Sehingga pada penelitian ini dianalisis model epidemik, baik sifat deterministik maupun stokastiknya. Adapun model epidemik yang diteliti adalah model epidemik SIR. SIR merupakan model epidemik dengan karakteristik bahwa setiap individu rentan terinfeksi suatu penyakit, kondisi ini dinotasikan dengan S (susceptibles), individu yang rentan terinfeksi tersebut berinteraksi dengan individu yang terinfeksi, dan akhirnya terinfeksi. Individu yang terinfeksi tersebut dinotasikan dengan I (infected). Dengan pengobatan medis atau proses alam, individu yang terinfeksi mungkin akan sembuh, yang dinotasikan dengan R (removed). Pada Tugas Akhir ini dianalisis kestabilan titik setimbang pada model deterministik dan mean distribusi probabilitas pada model stokastik. Kestabilan titik setimbang ditentukan dengan cara linearisasi model deterministiknya. Sedangkan pada model stokastik dianalisis kesetimbangan (steady state) mean distribusi probabilitas. Hasil yang didapat dari penelitian Tugas Akhir ini adalah didapat nilai bilangan reproduksi dasar (R0) = yang mempengaruhi kestabilan titik setimbang pada model deterministik. Pada model stokastik diperoleh hasil solusi untuk keadaan setimbang mean distribusi probabilitas individu terinfeksi yakni atau . Sehingga dapat diambil kesimpulan bahwa terdapat hubungan antara model epidemik SIR deterministik dan stokastik yakni adanya hubungan antara bilangan reproduksi dasar (R0) pada model epidemik SIR deterministik dengan solusi keadaan setimbang (steady state) mean distribusi probabilitas individu terinfeksi pada model epidemik SIR stokastik. Kpata kunci : model epidemik SIR deterministik, model epidemik SIR stokastik, kestabilan, mean distribusi probabilitas. yang didapat dicari solusinya, baik dengan cara analitis maupun secara numerik[1]. Salah satu penerapannya yaitu di bidang biologi, yang kemudian berkembang menjadi disiplin ilmu matematika biologi .
I. Pendahuluan Model matematika merupakan salah satu alat yang dapat membantu mempermudah penyelesaian masalah dalam kehidupan nyata. Masalah-masalah tersebut dapat dibawa ke dalam model matematis dengan menggunakan asumsi-asumsi tertentu. Selanjutnya, dari model
1
Adapun contohnya yaitu aplikasi untuk mengetahui model penyebaran penyakit menular pada suatu daerah/wilayah tertentu, misalnya penyebaran penyakit yang diakibatkan oleh virus. Untuk mengetahui proses penyebaran penyakit menular, dikenal beberapa model penyebaran penyakit, baik model yang bersifat deterministik, maupun model yang bersifat stokastik. Model-model tersebut antara lain SI, SIS, SIR, dan SEIR. Model-model tersebut memiliki karakteristik tersendiri, berdasarkan jenis dan bentuk penyebaran penyakit menular yang diamati.
Epidemik Deterministik dan Mean Distribusi Probabilitas SIS Epidemik Stokastik. 2.2 Model Epidemik SIR Deterministik Adapun asumsi pada Model Epidemik SIR Deterministik ini adalah : a. Jumlah populasi N berukuran tetap (konstan) b. Laju kelahiran dan kematian sama c. Semua populasi yang baru lahir adalah individu yang rentan Berdasarkan asumsi-asumsi di atas disusun diagram kompartemen model epidemik SIR deterministik sebagai berikut :
SIR merupakan model epidemik dengan karakteristik bahwa setiap individu rentan terinfeksi suatu penyakit, kondisi ini dinotasikan dengan S (susceptibles), individu yang rentan terinfeksi tersebut berinteraksi dengan individu yang terinfeksi, dan akhirnya terinfeksi. Individu yang terinfeksi tersebut dinotasikan dengan I (infected). Dengan pengobatan medis atau proses alam, individu yang terinfeksi mungkin akan sembuh, yang dinotasikan dengan R (removed). Adapun contoh penyakit yang model penyebarannya merupakan model epidemik SIR adalah campak, cacar, dan gondong.
Gambar 2.1 Berdasarkan diagram kompartemen pada Gambar 2.1, model epidemik SIR deterministik analog dengan model sebagai berikut [2]. (2.1) (2.2)
Sari (2009) dalam penelitian Tugas Akhir-nya menjelaskan tentang penyebaran penyakit yakni Model Epidemik SIS. Dalam penelitian tersebut dianalisis tentang hubungan kesetimbangan Model Epidemik SIS baik secara deterministik dan stokastik.
(2.3)
dimana : := S(0) > 0, I(0) > 0, R(0) ≥ 0,
Penelitian pada Tugas Akhir ini dianalisis kestabilan dan mean distribusi probabilitas yang merupakan metode matematis yang dapat digunakan untuk menganalisis kesetimbangan dari model epidemik SIR baik model deterministik maupun stokastiknya.
,
,
.
2.3 Bilangan Reproduksi Dasar[3] Bilangan reproduksi dasar (R0) merupakan parameter penting dalam matematika epidemilogi yang merupakan ambang batas (threshold) terjadinya penyebaran penyakit. Bilangan ini diperoleh dengan menentukan nilai eigen matriks Jacobian pada titik setimbang bebas penyakit dan titik setimbang endemik. Jika R0 < 1maka jumlah individu yang terinfeksi berkurang, sedangkan jika R0 > 1 maka jumlah individu yang terinfeksi bertambah.
II. Tinjauan Pustaka 2.1 Studi dari Penelitian Sebelumnya. Penelitian mengenai perbandingan penyebaran penyakit dengan model epidemik yang bersifat deterministik dan stokastik telah diteliti sebelumnya oleh Sari (2009) pada Tugas Akhir yang berjudul Analisis Stabilitas Model SIS
2
2.4 Linearisasi [4] Linearisasi adalah proses hampiran persamaan diferensial tak linear dengan persamaan diferensial linear. Untuk menyelesaikan suatu sistem otonomous yang berbentuk : dx
Dengan A A 0 pada x x 0 , y y 0 . Matriks (2.9) disebut matriks Jacobian, dimana ukuran matriks tergantung pada banyaknya persamaan yang menyusun sistem persamaan diferensial akar-akar karakteristik matriks Jacobian itu akan menentukan sifat kestabilan sistem persamaan diferensial linear . 2.5 Kestabilan dan Akar Karakteristik [5] Sistem persamaan diferensial linear dengan koefisien konstan
f ( x, y )
dt
(2.4)
dy
g ( x, y )
dt dx
Dimana f dan g adalah tak linear. Jika ( x 0 , y 0 ) adalah titik kritis dari sistem (2.4) maka f ( x0 , y0 )
0
g ( x0 , y0 )
0
ax
by
dt dy
(2.10) cx
dy
dt
(2.6)
Selanjutnya akan dicari pendekatan sistem linear jika ( x , y ) disekitar ( x 0 , y 0 ) dengan melakukan ekspansi menurut deret taylor di sekitar titik ( x 0 , y 0 ) dengan menghilangkan suku taklinearnya sebagai berikut:
adalah konstanta dan jika ad bc 0 , maka persamaan (2.10) mempunyai titik (0,0) sebagai satu-satunya titik kritis. Penyelesaian dari persamaan (2.10) merupakan kombinasi linear dari e rt dimana r adalah akar-akar karakteristik dari
dx
r
dt
f
f (x0 , y0 )
dt dy
Dimana
x g
g (x0 , y0 )
x
( x 0 , y 0 )( x ( x 0 , y 0 )( x
f
x0 )
y g
x0 )
y
( x 0 , y 0 )( y
y0 )
y
dilakukan
substitusi
v , maka
y0
dx
du
dt
dt
x
( x 0 , y 0 )( y
x0
dan
y0 )
u
dy
dv
dt
dt
dan
f
dt
x
dv
g
dt
x
( x 0 , y 0 )u ( x 0 , y 0 )u
f y g y
u
dt
v
A0
u
( x0 , y 0 )v
(2.8) ( x0 , y 0 )v
v
dimana A
fx
fy
gx
gy
(a
( ad d)
bc ) (a
(2.11)
0 d)
2
4 ( ad
bc )
2
Bagian real dari akar-akar karakteristik persamaan (2.11) menentukan sifat kestabilan titik kesetimbangan dari sistem (2.10). 1. Titik kesetimbangan (0,0) dari sistem persamaan (2.10) stabil jika dan hanya jika kedua akar dari persamaan karakteristiknya adalah real dan negatif atau mempunyai bagian real tak positif 2. Titik kesetimbangan (0,0) dari sistem persamaan (2.10) stabil asimtotis jika dan hanya jika kedua akar dari persamaan karakteristiknya adalah real dan negatif atau mempunyai bagian real yang negatif 3. Titik kesetimbangan (0,0) dari sistem persamaan (2.10) tidak stabil jika salah satu (atau kedua) akar dari persamaan karakteristiknya real dan positif atau jika paling sedikit satu akar mempunyai bagian real yang positif.
Sistem tersebut dapat ditulis dalam bentuk matriks d
d )r
Teorema (Finizio/Ladas,1988,hal 293) ,pada
keadaan setimbang f ( x 0 , y 0 ) g ( x 0 , y 0 ) 0 sehingga diperoleh persamaan linier sebagai berikut: du
(a
Yaitu r
(2.7) Bila
2
a, b, c, d
(2.9)
3
2.6 Proses Stokastik [4] Definisi 2.1 : Suatu proses stokastik adalah himpunan/koleksi dari peubah acak (variabel random). dengan T adalah beberapa himpunan indeks disebut parameter space dan S adalah ruang sampel dari peubah acak disebut state space. 1. Untuk tiap t tertentu, dinyatakan suatu peubah acak yang didefinisikan pada S 2. Untuk tiap s tertentu, berhubungan dengan fungsi yang didefinisikan pada T yang disebut lintasan sampel. 2.7 Rantai Markov Waktu Diskrit [4] Proses Stokastik Markov adalah suatu proses stokastik dimana perilaku yang akan datang ( besok) dari sistem hanya bergantung pada keadaan sekarang dan tidak bergantung pada keadaan yang lalu, atau dapat dikatakan hanya bergantung pada keadaan satu langkah kebelakang. Definisi 2.2 : Suatu proses stokastik dengan waktu diskrit pada state space S dikatakan mempunyai sifat Markov atau Rantai Markov Waktu Dikrit ( DTMC ) jika :
Untuk kasus n = 0 dan n = 1 maka
dan
Dengan : symbol Kronecker delta Elemen-elemen dari adalah probabilitas transisi n langkah pada . 2.8 Proses Kelahiran dan Kematian Murni Probabilitas kelahiran dan kematian pada model Rantai Markov tersebut tidaklah konstan, akan tetapi bergantung pada jumlah populasi. Diasumsikan bahwa probabilitas transisi kelahiran dan kematian murni pada waktu diskrit memenuhi persamaan berikut: (2.12)
dengan i = 1,2,3,… Dimana : := adalah probabilitas kelahiran := adalah probabilitas kematian := adalah jumlah dari populasi pada saat n := adalah jumlah maksimal dari populasi Dan diasumsikan bahwa interval waktu sangat kecil, sehingga selama satu interval waktu hanya terjadi 1 kejadian, yaitu kelahiran atau kematian.
atau
III. Metodologi Penelitian 1. Studi Literatur 2. Penyelesaian model epidemik SIR deterministik 3. Penyelesaian model epidemik SIR stokastik 4. Mengkaji hasil analisis 5. Penarikan kesimpulan
Definisi 2.3 : Probabilitas transisi satu langkah (One step transisition probability) dinyatakan sebagai , yang didefinisikan sebagai berikut : Untuk DTMC waktu homogen . Maka berarti terdapat transisi dari i ke j. Definisi 2.4 : Probabilitas transisi n langkah dinyatakan dengan adalah probabilitas bergeraknya atau transferring dari state i ke state j dalam n langkah waktu, didefinisikan :
IV. Analisis dan pembahasan 4.1 Model Epidemik SIR Deterministik dengan Jumlah Populasi Konstan Jika adalah turunan terhadap waktu maka akan diperlihatkan nilai , , dan yang masingmasing merupakan turunan terhadap waktu dari S, I, dan R. Diperoleh model turunan terhadap waktu
Matriks transisi n langkah dinyatakan dengan .
dari persamaan (2.1), (2.2), dan (2.3) sebagai berikut :
4
Kurangi kedua ruas pada persamaan (4.6) dengan sehingga diperoleh
(4.1) (4.2) (4.3)
4.1.2 Titik Setimbang Model Epidemik SIR Deterministik Titik setimbang adalah titik yang invarian terhadap waktu. Mengingat redundan karena R tidak muncul pada kedua persamaan lainnya [6], maka titik setimbang diperoleh jika
(4.7) Bagi kedua ruas dengan pada persamaan (4.7) dengan sehingga diperoleh
. a. Untuk Dari persamaan (4.2) bernilai nol diperoleh
atau b. Untuk
.
dan
Dari uraian a), b), dan c) diperoleh dua titik setimbang yakni dan . Titik
Dari persamaan (4.1) bernilai nol diperoleh (4.4) Subtitusi ke persamaan (4.4) sehingga diperoleh
c. Untuk
merupakan titik setimbang bebas penyakit (disease-free equilibrium). Titik setimbang bebas penyakit ini menunjukkan bahwa ketika maka . Hal ini berarti semua individu masuk populasi rentan atau dengan kata lain tidak terjadi penyebaran penyakit. Sedangkan titik merupakan titik
dan
Subtitusi (4.4) sehingga diperoleh
ke persamaan
setimbang endemik (endemic equilibrium) karena pada keadaan ini terdapat penyebaran penyakit pada populasi ( ).
4.1.3 Kestabilan Lokal Titik Setimbang Setelah menentukan titik setimbang model, selanjutnya ditentukan kestabilan lokal untuk setiap titik setimbang tersebut. Untuk itu dicari nilai eigen matriks Jacobian dari model yang telah dilinearisasi. Maka tahap selanjutnya adalah linearisasi model. a. Linearisasi Model Karena tidak muncul pada kedua persamaan lainnya maka dapat
(4.5) Kurangi kedua ruas pada persamaan (4.5) dengan sehingga diperoleh
atau (4.6)
5
diabaikan, dan pada linearisasi yang dipakai adalah persamaan (4.1) dan (4.2) sebagai berikut :
Dengan persamaan karakteristik
(4.1) (4.2)
Diperoleh akar-akar atau
Misalkan
karakteristiknya
(4.8) (4.9)
Sehingga titik asimtotis jika
Untuk menyelidiki kestabilan titik setimbang dilakukan linearisasi terhadap persaman nonlinear (4.8) dan (4.9) sebagai berikut :
stabil yang menunjukkan
bahwa tidak terjadi penyebaran penyakit pada populasi. c. Kestabilan Titik Setimbang Endemik (endemic equilibrium) Untuk titik maka diperoleh matriks Jacobian :
Maka hampiran linearnya, matriks Jacobian dengan
Dengan persamaan karakteristik
merupakan
Substitusi nilai , , , dan ke dalam matriks Jacobian sehingga diperoleh
Selanjutnya nilai eigen didapatkan dengan menyelesaikan persamaan karakteristik dimana I matriks identitas. b. Kestabilan Titik Setimbang Bebas Penyakit (disease-free equilibrium) Untuk titik maka diperoleh matriks Jacobian : Diperoleh akar-akar karakteristiknya
6
, dimana i,r=0,1,2,....,N dan 0≤ i+r ≤N.[2] Misalkan : a) menyatakan probabilitas sebuah infeksi baru pada waktu :
Titik
1
stabil asimtotis jika bagian real , maka untuk
b)
menyatakan probabilitas satu individu pada waktu
kesembuhan
c)
menyatakan probabilitas kematian dari satu individu terinfeksi pada waktu
d)
menyatakan probabilitas kematian dari satu individu yang sembuh pada waktu
mendapatkan kestabilan tersebut nilai harus lebih besar dari nol. Mengingat bahwa titik
1
merupakan titik setimbang endemik yang terjadi jika , maka nilai harus lebih dari 1. Dari analisis kestabilan titik setimbang bebas penyakit (disease-free equilibrium) dan titik setimbang endemik didapat sebuah bilangan reproduksi dasar yaitu: . Titik setimbang bebas
Sehingga didapatkan persamaan beda memenuhi fungsi probabilitas bersama adalah :
penyakit akan stabil asimtotis jika . Sedangkan titik setimbang
yang
endemik akan stabil asimtotis jika
Pada model epidemik SIR deterministik, titik setimbang berhubungan dengan ada tidaknya individu terinfeksi di dalam populasi, sehingga selanjutnya pada model epidemik SIR stokastik dicari distribusi probabilitas individu terinfeksi. Karena diasumsikan bahwa pada waktu hanya terjadi satu kejadian maka : Untuk individu terinfeksi yaitu jika diperoleh yang hanya berubah ke . Jadi, probabilitas transisi dari Model Epidemik SIR stokastik untuk individu yang terinfeksi adalah :
4.2 Model Epidemik SIR Stokastik dengan Jumlah Populasi Konstan Model epidemik SIR stokastik pada waktu diskrit merupakan Rantai Markov dengan state space berhingga. Model epidemik SIR stokastik merupakan proses bivariat yang tergantung pada dua variabel random I dan R, yang masingmasing menyatakan jumlah individu yang terinfeksi dan individu yang sembuh. Ukuran populasi diasumsikan konstan dan dinotasikan dengan N. Variabel random I dan R mengambil nilai dari i,r {0,1,2,...,N}, dengan t {0, }. Jika cukup kecil, maka model waktu diskrit analog dengan model waktu kontinu. Diasumsikan bahwa pada waktu cukup kecil hanya terjadi satu kejadian. Adapun fungsi probabilitas bersama untuk Model Epidemik SIR stokastik adalah
7
pada populasi. Keadaan setimbang (steady state) mean distribusi probabilitas individu terinfeksi diperoleh jika .
diperoleh dan probabilitas beda sebagai berikut:
.
a) Ketika nilai dapat disimpulkan bahwa di dalam populasi tidak terdapat individu terinfeksi atau dengan kata lain terjadi kesetimbangan bebas penyakit yang diperoleh ketika . b) Ketika nilai dapat disimpulkan bahwa
memenuhi persamaan
] (4.16) , dengan i = 1,2,....,N dan untuk i {0,1,2,...,N}. 4.2.1 Mean Distribusi Probabilitas Individu Terinfeksi Pada uraian sebelumnya telah didapatkan distribusi probabilitas individu terinfeksi. Selanjutnya dicari mean distribusi probabilitas individu terinfeksi yang berhubungan dengan kesetimbangan pada Model Epidemik SIR stokastik. Mean distribusi probabilitas untuk individu yang terinfeksi dinotasikan dengan dimana . Keadaan setimbang pada model epidemik stokastik diperoleh dari . Keadaan setimbang ini disebut pula keadaan steady state. Diperoleh nilai sebagai berikut :
dengan
atau
nilai yang berarti bahwa terdapat individu yang terinfeksi di dalam populasi atau dengan kata lain terjadi kesetimbangan endemik yang terjadi jika 4.3 Kajian Hasil Analisis Kesetimbangan Model Epidemik SIR Deterministik dan Stokastik 4.3.1 Kesetimbangan Pada Model Epidemik SIR Deterministik Dari hasil analisis kesetimbangan model epidemik SIR deterministik pada subbab sebelumnya, diperoleh dua titik setimbangan yakni titik setimbang bebas penyakit (disease-free equilibrium) dan titik setimbang endemik (endemic equilibrium). Adapun kedua titik setimbang tersebut adalah sebagai berikut : a) Titik setimbang bebas penyakit (disease-free equilibrium) Titik setimbang ini menunjukkan bahwa dalam populasi tidak terdapat individu yang terinfeksi, sehingga semua individu dalam populasi masuk dalam subpopulasi rentan. Dari hasil analisis sebelumnya diperoleh titik setimbang bebas penyakit adalah .
.
Setelah didapatkan pada persamaan selanjutnya dianalisis kesetimbangan model epidemik SIR stokastik yang diperoleh dari kesetimbangan mean distribusi probabilitas individu terinfeksi yakni jika =0. 4.2.2 Analisis Kesetimbangan Model Epidemik SIR Stokastik Pada pembahasan sebelumnya telah dijelaskan bahwa kesetimbangan model epidemik SIR stokastik diperoleh dari kesetimbangan mean distribusi probabilitas individu terinfeksi yang menunjukkan ada tidaknya individu terinfeksi
b) Titik setimbang endemik (endemic equilibrium) Titik setimbang ini menunjukkan bahwa dalam populasi terdapat individu terinfeksi, sehingga dalam populasi tersebut terdapat penyebaran penyakit. Dari hasil analisis sebelumnya diperoleh titik setimbang endemik adalah .
8
Pada Gambar 4.3 ditunjukkan bahwa ketika S(0)=88, I(0)=12, R(0)=0, R0 = 2, , dan terjadi kesetimbangan endemik dengan titik setimbangnya berada pada titik . 4.3.3 Kesetimbangan Pada Model Epidemik SIR Stokastik Model stokastik yang digunakan dalam penelitian ini merupakan Rantai Markov waktu diskrit, dimana Rantai Markov yang digunakan mempunyai state space yang berhingga. Dari analisis pada subbab sebelumnya telah dicari distribusi probabilitas individu terinfeksi, mean distribusi probabilitas individu terinfeksi, dan keadaan setimbang (steady state) mean distribusi probabilitas individu terinfeksi. Ada pun analisis yang diperoleh adalah ada dua solusi untuk keadaan setimbang mean distribusi individu terinfeksi yakni atau . Kesetimbangan bebas penyakit terjadi jika
4.3.2 Contoh Kasus Model Epidemik SIR Deterministik a) Kasus ketika terjadi kesetimbangan bebas penyakit
nilai jika
Grafik Model Epidemik SIR Deterministik ketika R0 = 0.375, , dan
dan kesetimbangan endemik terjadi .
4.3.4 Contoh Kasus Model Epidemik SIR Stokastik a) Kasus ketika terjadi kesetimbangan bebas penyakit
Pada Gambar 4.1 ditunjukkan bahwa ketika S(0)=88, I(0)=12, R(0)=0, R0 = 0.375, , dan terjadi kesetimbangan bebas penyakit dengan titik setimbangnya berada pada titik . b) Kasus ketika terjadi kesetimbangan endemik
Gambar 4.5 Distribusi Probabilitas R0 = 0.5, , dan
, ketika ,
Pada Gambar 4.3 ditunjukkan bahwa probabilitas tidak terjadi endemik, , mendekati 1 dengan cepat ketika R0 = 0.5.
Grafik Model Epidemik SIR Deterministik ketika R0 = 2, , dan
9
b) Kasus ketika terjadi kesetimbangan endemik
mempengaruhi kestabilan kedua titik setimbang tersebut adalah . b) Pada model solusi untuk probabilitas atau
Gambar 4.3 Distribusi Probabilitas R0 = 3, , dan
c) Dari analisis bab sebelumnya diperoleh kesimpulan bahwa hubungan antara model epidemik SIR deterministik dan stokastik terletak pada hubungan antara bilangan reproduksi dasar (R0) pada model epidemik SIR deterministik dengan solusi keadaan setimbang (steady state) mean distribusi probabilitas individu terinfeksi pada model epidemik SIR stokastik. 5.2 Saran Pada Tugas Akhir ini diteliti Model Epidemik SIR dengan jumlah populasi konstan, baik model deterministik maupun model stokastik. Diharapkan pada penelitian berikutnya diteliti model epidemik SIR atau yang lain dengan jumlah populasi yang tidak konstan serta dapat pula menambahkan adanya vaksinasi pada populasi.
, ketika ,
Pada Gambar 4.4 ditunjukkan bahwa probabilitas tidak terjadi endemik, , mendekati 0 dengan cepat ketika R0 = 3. 4.3.5 Hubungan Kesetimbangan Pada Model Epidemik SIR Deterministik dan Sitokastik Dari hasil analisis pada subbab sebelumnya dapat diketahui adanya hubungan antara kesetimbangan model epidemik SIR deterministik dan stokastik yakni hubungan antara nilai bilangan reproduksi (R0) yang menentukan kestabilan titik setimbang pada model epidemik SIR deterministik dengan solusi keadaan setimbang (steady state) mean distribusi probabilitas individu terinfeksi yang menetukan keadaan setimbang pada model epidemik SIR stokastik. V. Kesimpulan dan Saran 5.1 Kesimpulan Berdasarkan uraian pada bab sebelumnya, dari Tugas Akhir ini dapat diambil kesimpulan sebagai berikut : a) Pada model epidemik SIR deterministik diperoleh nilai titik setimbang bebas penyakit dan titik setimbang endemik . Adapun nilai bilangan reproduksi dasar,
epidemik SIR stokastik diperoleh keadaan setimbang mean distribusi individu terinfeksi yakni .
DAFTAR PUSTAKA [1] Tamrin, H dkk. 2007. Model SIR Penyakit Tidak Fatal. Yogyakarta : Jurusan Matematika UGM. [2] Allen, L.J.S. , Burgin Amy M. 2000. Comparison of Deterministic and stochastic SIS and SIR models in discrete time. Mathematical Bioscience 163(200) 1-33. [3] Asfihani, T. 2009. Analisis stabilitas Pada Model Kompetisi Spesies yang Dipengaruhi Penyakit Menular. Surabaya : Jurusan Matematika ITS. [4] Sari, D.M. 2009. Analisis Stabilitas Model SIS Epidemik Deterministik dan Mean Distribusi Probabilitas SIS Epidemik Stokastik. Surabaya : Jurusan Matematika ITS. [5] Mufidah, L. 2009. Pengaruh Pemberitaan Media terhadap Penyebaran Penyakit Menular dalam Model Epidemik Tipe SIRS. Surabaya : Jurusan Matematika ITS. [6]Supriatna, A.K. 2004. Tingkat Vaksinasi minimum untuk Pencegahan Epidemik Berdasarkan Model Matematika SIR. Matematika Integratif. Vol 2: 41-49.
R0 , yang
10
11
