KAJIAN MATRIKS JORDAN DAN APLIKASINYA PADA SISTEM LINEAR WAKTU DISKRIT

KAJIAN MATRIKS JORDAN DAN APLIKASINYA PADA SISTEM LINEAR WAKTU DISKRIT Oleh: APRILLIANTIWI NRP. 1207100064 Dosen Pembimbing: 1. Soleha, S.Si, M.Si 2. Dian Winda S., S.Si, M.Si

LATAR BELAKANG Matriks

dan similar jika ada matriks nonsingular P sehingga P -1AP=B

A dapat didiagonalkandengan kata lain ada matriks D yang similar dengan A sehingga A=PDP -1

Multiplisitas geometri matriks =n

Multiplisitas geometri matriks ≠n

?

Tidak dapat didiagonalkan

tetapi

dapat diperoleh matriks Jordan yang similar dengan A, A=PJP -1

RUMUSAN MASALAH Rumusan masalah dari Tugas Akhir ini adalah: ☼ Bagaimana bentuk matriks Jordan dan sifat matriks Jordan terhadap similaritas sebarang matriks bernilai real? ☼ Bagaimana mendapatkan vektor-eigen tergeneralisasi dan sifat-sifat apa saja yang berlaku pada vektoreigen tergeneralisasi? ☼ Bagaimana mengaplikasikan matriks Jordan pada sistem linear waktu diskrit?

BATASAN MASALAH Batasan masalah dari Tugas Akhir ini adalah: ☼ Matriks yang digunakan adalah matriks bernilai real dengan nilai-eigen real. ☼ Sistem linear yang digunakan adalah sistem linear waktu diskrit.

TUJUAN Tujuan dari Tugas Akhir ini adalah: ☼ Mendapatkan bentuk matriks Jordan dan sifat matriks Jordan terhadap similaritas sebarang matriks bernilai real. ☼ Mendapatkan vektor-eigen tergeneralisasi dan mengetahui sifat-sifat yang berlaku pada vektoreigen tergeneralisasi. ☼ Mengaplikasikan matriks Jordan pada sistem linear waktu diskrit.

MANFAAT Manfaat dari Tugas Akhir ini adalah: ☼ Memudahkan dalam memperoleh sifat-sifat matriks setelah diperoleh matriks Jordannya. ☼ Menambah pengetahuan terkait dengan nilai-eigen dan vektor-eigen (tergeneralisasi).

NILAI-EIGEN, VEKTOR-EIGEN, DAN SIMILARITAS Definisi 2.1 [2] Jika , maka vektor tak-nol x pada disebut suatu vektor-eigen dari A jika Ax = λx (2.1) untuk suatu skalar λ. Skalar λ disebut nilai-eigen dari A, dan x disebut suatu vektor-eigen dari A yang bersesuaian dengan λ .

 Untuk mencari nilai-eigen dan vektor-eigen dari suatu matriks , adalah sebagai berikut. Ax = λx (2.2) (A- λ I)x = 0 Penyelesaian tak nol didapat jika dan hanya jika det(A- λ I) = 0 (2.3) Setelah didapat nilai-eigen, vektor-eigen bisa diperoleh dengan cara memasukkan nilai λ ke persamaan (A- λ I)x = 0

NILAI-EIGEN, VEKTOR-EIGEN, DAN SIMILARITAS

 Jika λi adalah nilai-eigen dari suatu matriks A maka multiplisitas aljabar λi adalah banyaknya λi sebagai akar dari persamaan polinomial A. Sedangkan multiplisitas geometri λi adalah dimensi ruang-eigen yang bersesuaian dengan λi [2].  Berikut diberikan teorema yang menghubungkan besarnya nilai dari multiplisitas aljabar dan multiplisitas geometri. Teorema 2.1 [2] Multiplisitas geometri masing-masing nilai-eigen dari matriks A kurang dari atau sama dengan multiplisitas aljabarnya.  Pandang persamaan (2.3). det(A-λI) disebut polinomial karakteristik dari . Berikut ini diberikan sifat yang dimiliki polinomial karakteristik dari suatu matriks A. Teorema 2.2 (Cayley-Hamilton) [4] Misalkan pA(t) adalah polinomial karakteristik dari . Maka pA(A) = 0


 Terdapat tiga macam matriks yang banyak digunakan dalam pembahasan yaitu: 1. Matriks Diagonal Suatu matriks D = [dij] dikatakan diagonal jika dij = 0, j ≠ i. 2. Matriks Segitiga Suatu matriks T = [tij] dikatakan matriks segitiga atas jika tij = 0, j < i. Jika tij = 0, j ≤ i, maka T dikatakan matriks strictly segitiga atas. T dikatakan matriks segitiga bawah jika tij = 0, j > i. Kita dapat langsung mengetahui nilai-eigen dari dua matriks yang disebutkan di atas, seperti yang tertera pada lema berikut. Lema 2.1 [2] Jika adalah matriks segitiga (segitiga atas, segitiga bawah, atau diagonal), maka nilaieigen A adalah anggota-anggota diagonal utama A. 3. Matriks Blok Diagonal Suatu matriks dalam bentuk


dengan

dan

,

dikatakan matriks blok diagonal. Matriks di atas dapat ditulis sebagai . Persamaan ini disebut jumlahan langsung dari matriks

Berikut ini diberikan definisi dari similaritas suatu matriks. Definisi 2.2 [4] Sebuah matriks dikatakan similar dengan matriks jika terdapat sebuah matriks nonsingular sedemikian hingga B=S-1AS Relasi “B similar A” dinotasikan dengan B ~ A. Suatu relasi similaritas memiliki beberapa sifat yang mana akan diberikan pada lema di bawah ini.

Lema 2.2 [4] Relasi similaritas adalah sebuah relasi ekivalen pada ; dengan kata lain, relasi similaritas memenuhi sifat-sifat berikut ini Refleksif : A ~ A Simetris : B ~ A maka A ~ B Transitif : C ~ B dan B ~ A maka C ~ A


Terdapat suatu definisi untuk menyatakan suatu matriks yang similar dengan matriks diagonal seperti yang didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 2.3 [2] Suatu matriks dikatakan dapat didiagonalkan jika ada suatu matriks P yang mempunyai invers sedemikian sehingga P-1AP adalah suatu matriks diagonal. Untuk mengetahui apakah suatu matriks dapat didiagonalkan dapat dilihat dari multiplisitas aljabar dan multiplisitas geometrinya seperti yang tertera pada teorema berikut ini. Teorema 2.3 [5] Misal i. A dapat didiagonalkan jika dan hanya jika jumlah multiplisitas geometri nilai-eigennya n. ii. Jika multiplisitas geometri dari masing-masing nilaieigen A sama dengan multiplisitas aljabarnya, maka A dapat didiagonalkan. iii. Jika semua nilei-eigen A berbeda (masing-masing multiplisitas aljabarnya adalah 1), maka A dapat didiagonalkan.


Berikut ini diberikan suatu teorema tentang similaritas matriks blok diagonal

Teorema 2.4 [4] Misalkan , mempunyai nilaieigen dengan multiplisitas , dan berbeda. Maka A similar terhadap matriks dengan bentuk

dengan adalah matriks segitiga atas dengan semua elemen diagonalnya sama dengan

BENTUK KANONIK JORDAN Matriks Jordan adalah jumlahan langsung dari matriks blok Jordan. Sebuah matriks Jordan yang similar dengan matriks yang diberikan disebut bentuk kanonik Jordan. Setelah tahu bentuk kanonik Jordan, semua informasi aljabar linear tentang matriks yang diberikan dapat diketahui dengan mudah. Definisi 2.4 [4] Sebuah blok Jordan Jk(λ) adalah matriks segitiga atas k×k dengan bentuk

ada k-1 angka “+1” pada superdiagonal; λ muncul k kali pada diagonal utama. Elemen yang lainnya nol, dan J1(λ)=[λ]. Matriks Jordan adalah jumlahan langsung dari blok Jordan sehingga dapat dituliskan sebagai berikut

dengan

mungkin sama dan nilai

tidak perlu berbeda.

SIFAT-SIFAT MATRIKS JORDAN TERHADAP SIMILARITAS




Vektor-Eigen Tergeneralisasi dan SifatSifat pada Vektor-Eigen Tergeneralisasi Suatu matriks A, dengan jumlah multiplisitas geometri dari nilai-eigen-nilai-eigen tidak sama dengan n, maka A tidak similar dengan matriks diagonal karena jumlah vektoreigennya tidak sama dengan n. Tetapi matriks tersebut similar dengan matriks Jordan. Untuk mendapatkan n vektor-eigen yang bebas linear dapat digunakan vektor-eigen tergeneralisasi. Berikut ini diberikan definisi dari vektoreigen tergeneralisasi.

Definisi 4.1 [3] Vektor x disebut vektor-eigen tergeneralisasi dengan tingkat k dari A yang berpadanan dengan λ jika dan hanya jika Dan Perhatikan jika k = 1, definisi ini menjadi dan , di mana ini merupakan definisi vektoreigen.

Vektor-Eigen Tergeneralisasi dan Sifat-Sifat pada Vektor-Eigen Tergeneralisasi


Teorema 4.3 [3] Jika merupakan vektor-eigen tergeneralisasi dengan panjang k maka adalah bebas linear.


Teorema 4.4 [3] Vektor-eigen tergeneralisasi dari A dengan vektor-eigen vektor-eigen dari nilai nilai-eigen yang berbeda adalah bebas linear.


Teorema 4.5 Asumsikan bahwa matriks memiliki nilai-eigen sebanyak k dan nilai-eigen lain yang semuanya berbeda dari serta . Maka ada matriks Jordan

Dan dengan adalah vektor-eigen tergeneralisasi yang bersesuaian dengan dan adalah vektor-eigen yang bersesuaian dengan nilai-eigen sedemikian hingga

Vektor-Eigen Tergeneralisasi dan Sifat-Sifat pada Vektor-Eigen Tergeneralisasi ,

Lema 4.2 [3] Diberikan

ruang null dari

, maka



Teorema 4.6 Jika matriks sebarang berukuran maka terdapat J dan S dimana kolom-kolom S merupakan vektor-eigen (tergeneralisasi) yang bersesuaian dengan sedemikian hingga A=SJS-1

Keteramatan ,

Lema 4.3.2. [6] Syarat perlu dan syarat cukup untuk keadaan keteramatan pada persamaan (4.18) adalah

Keteramatan ,

Keterkontrolan ,

Lema 4.4.2. [6] Syarat perlu dan syarat cukup untuk keadaan keterkontrolan adalah

Keterkontrolan ,

KESIMPULAN Berdasarkan analisis yang telah dilakukan, dapat diambil kesimpulan yaitu : ☼ Matriks strictly segitiga atas similar dengan matriks Jordan J(0). ☼ Sebarang matriks real similar dengan matriks Jordan J(λ). ☼ Jika x1,x2,…,xk merupakan vektor-eigen tergeneralisasi dengan panjang k maka x1,x2,…,xk adalah bebas linear. ☼ Vektor-eigen tergeneralisasi dari A dengan vektoreigen vektor-eigen dari nilai nilai-eigen yang berbeda adalah bebas linear. ☼ Untuk sebarang terdapat S yaitu matriks yang kolom-kolomnya adalah vektor-eigen (tergeneralisasi) dan matriks Jordan sehingga ☼ Matriks S-1F S adalah matriks Jordan, sistem dikatakan dalam keadaan teramati jika dan hanya jika a. Tidak ada dua blok Jordan dalam J yang bersesuaian dengan nilai-eigen yang sama, b. Kolom CS yang bersesuaian dengan baris pertama dari masing-masing blok Jordan tidak ada yang elemennya nol semua,

KESIMPULAN

c. Elemen dari masing-masing kolom CS yang bersesuaian dengan nilai-eigen yang berbeda tidak semuanya nol. ☼ Matriks S-1FS adalah matriks Jordan, syarat untuk keadaan keterkontrolan sistem (F,G) boleh dinyatakan sebagai berikut: sistem dikatakan dalam keadaan terkontrol jika dan hanya jika a. Tidak ada dua blok Jordan dalam J yang bersesuaian dengan nilai-eigen yang sama, b. Baris S-1G yang bersesuaian dengan baris terakhir dari masing-masing blok Jordan tidak sama dengan nol, c. Elemen dari masing-masing baris S-1G yang bersesuaian dengan nilai-eigen yang berbeda tidak semuanya nol.

SARAN

Saran yang dapat dikembangkan untuk penelitian selanjutnya adalah : 1. Matriks yang digunakan dalam Tugas Akhir ini adalah matriks bernilai real dengan nilai-eigen real oleh karena itu untuk selanjutnya dapat menggunakann matriks komplek. 2. Untuk selanjutnya dapat digunakan sistem linear yang waktu kontinu.

DAFTAR PUSTAKA 1.

2.

3. 4. 5. 6.

Anton, Howard. 2000. Dasar-dasar Aljabar Linear Edisi 7 Jilid 1. Interaksara P.O. Box 238, Batam Centre, 29432. Anton, Howard. 2000. Dasar-dasar Aljabar Linear Edisi 7 Jilid 2. Interaksara P.O. Box 238, Batam Centre, 29432. Chen, Chi-Tsong. 1970. Linear System Theory and Design. CBS College Publishing. Horn, Roger A., Charles R. Johnson. 1990. Matrix Analysis. Cambridge University Press. Jacob, Bill. 1990. Linear Algebra. W.H. Freeman and Company. Ogata, Katsuhiko. 1995. Discrete-Time Control Systems Second Edition. Prentice-Hall International, Inc.

KAJIAN MATRIKS JORDAN DAN APLIKASINYA PADA SISTEM LINEAR WAKTU DISKRIT

Recommend Documents