KAJIAN MATRIKS JORDAN DAN APLIKASINYA PADA SISTEM LINEAR WAKTU DISKRIT Nama Mahasiswa : Aprilliantiwi NRP : 1207100064 Jurusan : Matematika Dosen Pembimbing : 1. Soleha, S.Si, M.Si 2. Dian Winda Setyawati, S.Si, M.Si Abstrak Matriks similar dengan suatu matriks diagonal atau dapat didiagonalkan jika dan hanya jika jumlah multiplisitas geometri dari nilai-eigen nilai-eigen sama dengan n. Untuk matriks yang jumlah multiplisitas geometrinya tidak sama dengan n, matriks tersebut tidak dapat didiagonalkan tetapi dari matriks tersebut dapat diperoleh matriks yang hampir diagonal, biasa disebut matriks Jordan , yang similar dengan . Untuk mendapatkan matriks , harus mendapatkan matriks sedemikian hingga . Tugas akhir ini mengkaji cara mendapatkan matriks S dengan menggunakan vektor-eigen tergeneralisasi. Selain itu juga mengkaji bentuk matriks Jordan, sifat-sifat matriks Jordan, dan aplikasi matriks Jordan pada sistem kontrol waktu diskrit. Kata kunci : matriks Jordan, vektor-eigen tergeneralisasi, sistem kontrol waktu diskrit
1. Pendahuluan Matriks dan dikatakan similar jika ada matriks nonsingular P sehingga
, maka vektor takDefinisi 2.1 [2] Jika disebut suatu vektor-eigen dari nol pada jika
Jika matriks mempunyai multiplisitas geometri dari nilai-eigen sama dengan n, dapat didiagonalkan dengan kata lain ada matriks diagonal D yang similar dengan matriks A sehingga
untuk suatu skalar . Skalar disebut nilai-eigen dari , dan disebut suatu vektor-eigen dari yang bersesuaian dengan . Untuk mencari nilai-eigen dan vektor-eigen adalah sebagai dari suatu matriks berikut.
dengan dan sebagai vektor kolom keadalah vektor-eigen yang bersesuaian i. dengan nilai-eigen untuk [4]. Lalu bagaimana jika multiplisitas geometri dari nilai-eigen tidak sama dengan ? Apakah tidak ada matriks yang similar dengan ? Ternyata walaupun matriks , multiplisitas geometri dari nilai-eigen tidak sama dengan , tidak dapat didiagonalkan tetapi dari matriks tersebut dapat diperoleh matriks yang hampir diagonal, biasa disebut matriks Jordan, yang similar dengan A. Hubungan ini dapat dituliskan sebagai berikut dengan
Penyelesaian tak nol didapat jika dan hanya jika Setelah didapat nilai-eigen, vektor-eigen bisa ke diperoleh dengan cara memasukkan nilai persamaan Jika
adalah nilai-eigen dari suatu matriks maka multiplisitas aljabar adalah sebagai akar dari persamaan banyaknya polinomial karakteristik A. Sedangkan multiplisitas geometri adalah dimensi ruangeigen yang bersesuaian dengan [2].
.
2. Nilai-eigen, Vektor-eigen, dan Similaritas Berikut ini diberikan definisi nilai-eigen, vektor-eigen, dan cara mendapatkannya.
Definisi 2.2 [4] Misalkan . Untuk suatu nilai-eigen , himpunan dari semua vektor yang memenuhi disebut ruang1
Berikut ini diberikan definisi dari similaritas suatu matriks.
eigen dari yang bersesuaian dengan nilai-eigen . Ingat bahwa setiap elemen tak nol dari ruangyang eigen merupakan vektor-eigen dari dari bersesuaian dengan nilai-eigen .
Definisi 2.3 [4] Suatu matriks similar dengan matriks suatu matriks nonsingular hingga
Berikut diberikan teorema yang menghubungkan besarnya nilai dari multiplisitas aljabar dan multiplisitas geometri.
dikatakan jika terdapat sedemikian
Relasi “B similar A” dinotasikan dengan
Teorema 2.1 [2] Multiplisitas geometri masingmasing nilai-eigen dari matriks A kurang dari atau sama dengan multiplisitas aljabarnya.
.
Suatu relasi similaritas memiliki beberapa sifat yang mana diberikan pada lema di bawah ini.
. Pandang persamaan disebut polinomial karakteristik dari . Berikut ini diberikan sifat yang dimiliki polinomial karakteristik dari suatu matriks.
Lema 2.2 [4] Relasi similaritas adalah suatu relasi ekivalen pada ; dengan kata lain, relasi similaritas memenuhi sifat-sifat berikut ini a. Refleksif : b. Simetris : maka c. Transitif : dan maka
Teorema 2.2 (Cayley-Hamilton) [4] Misalkan adalah polinomial karakteristik dari maka
Terdapat suatu definisi untuk menyatakan suatu matriks yang similar dengan matriks diagonal seperti yang didefinisikan sebagai berikut.
Terdapat tiga macam matriks yang banyak digunakan dalam pembahasan yaitu: 1. Matriks Diagonal Suatu matriks dikatakan diagonal jika . 2. Matriks Segitiga dikatakan Suatu matriks matriks segitiga atas jika . Jika , maka dikatakan matriks dikatakan matriks strictly segitiga atas. . segitiga bawah jika
Definisi 2.4 [2] Suatu matriks dikatakan dapat didiagonalkan jika ada suatu matriks P yang mempunyai invers sedemikian sehingga adalah suatu matriks diagonal. Berdasarkan Definisi 2.4 maka dapat dikatakan matriks dapat didiagonalkan jika similar terhadap suatu matriks diagonal. Untuk mengetahui apakah suatu matriks dapat didiagonalkan dapat dilihat dari multiplisitas aljabar dan multiplisitas geometrinya seperti yang tertera pada teorema berikut ini.
Nilai-eigen dari dua matriks yang disebutkan di atas, bisa langsung diketahui. Hal ini tertera pada lema berikut. (segitiga atas, segitiga Lema 2.1 [2] Jika bawah, atau diagonal), maka nilai-eigen A adalah anggota-anggota diagonal utama A.
Teorema 2.3 [5] Misal i. A dapat didiagonalkan jika dan hanya jika jumlah multiplisitas geometri nilai-eigennya n. ii. Jika multiplisitas geometri dari masingmasing nilai-eigen A sama dengan multiplisitas aljabarnya, maka A dapat didiagonalkan. iii. Jika semua nilei-eigen A berbeda (masingmasing multiplisitas aljabarnya adalah 1), maka A dapat didiagonalkan.
3. Matriks Blok Diagonal Suatu matriks dalam bentuk
Berikut ini diberikan suatu teorema tentang similaritas matriks blok diagonal.
dengan
dan , dikatakan matriks blok diagonal. Matriks di atas dapat ditulis sebagai . Persamaan ini disebut jumlahan langsung dari matriks .
Teorema 2.4 [4] Misalkan , mempunyai nilai-eigen dengan multiplisitas , dan berbeda maka similar terhadap matriks dengan bentuk 2
Dengan mungkin sama dan nilai perlu berbeda.
tidak
4. Sifat-sifat Matriks Jordan terhadap Similaritas Sebelum menuju sifat-sifat matriks Jordan terhadap similaritas, terlebih dahulu perlu membuktikan lema berikut. Lema 4.1 [4] Diberikan dan blok Jordan
dengan adalah matriks segitiga atas dengan semua elemen diagonalnya sama dengan . Berikut ini diberikan sifat-sifat yang dimiliki dua matriks similar. Teorema 2.5 [4] Misalkan . Jika A dan B similar, maka keduanya mempunyai rank, determinan, dan polinomial karakteristik yang sama. Lema 2.3 [4] Misal matriks . Jika
Maka dan
(i). (ii). (iii).
dan
jika untuk
dan (iv). dengan adalah matriks identitas, adalah vektor satuan basis standar ke-i dan . Bukti : (i). Dengan induksi, akan dibuktikan
adalah jumlahan langsung dari A dan B maka C dapat didiagonalkan jika dan hanya jika A dan B dapat didiagonalkan. 3. Bentuk Kanonik Jordan Matriks Jordan adalah jumlahan langsung dari matriks blok Jordan. Suatu matriks Jordan yang similar dengan matriks yang diberikan disebut bentuk kanonik Jordan. Setelah tahu bentuk kanonik Jordan, semua informasi aljabar linear tentang matriks yang diberikan dapat diketahui dengan mudah. Berikut ini diberikan definisi blok Jordan.
Untuk matriks berukuran Anggap benar untuk matriks berukuran Sekarang cek untuk matriks
Definisi 2.5 [4] Suatu blok Jordan Jk(λ) adalah matriks segitiga atas dengan bentuk
(ii). Dengan induksi, akan dibuktikan , Untuk matriks berukuran maka pasti dengan 0. Anggap benar untuk matriks berukuran
ada k-1 angka “+1” pada superdiagonal; muncul k kali pada diagonal utama. Elemen yang lainnya nol, dan . Matriks Jordan adalah jumlahan langsung dari blok Jordan sehingga dapat dituliskan sebagai berikut
Jadi Sekarang cek untuk matriks berukuran
3
sama
Sehingga dengan , dan (iii). Akan dibuktikan untuk Bukti:
Perhatikan bahwa tidak ada blok jordan pada diagonal J yang berukuran lebih besar dari sehingga berdasarkan Lema 4.1.1 (ii) maka
Sekarang akan dibuktikan berukuran n. Dimisalkan hanya akan mempunyai nilai saat bertemu dengan kata lain hanya yang yang mempunyai nilai. Matriks berukuran hanya elemen ke yang sama dengan satu adalah . (iv). Akan dibuktikan
untuk
matriks
dengan , dan adalah matriks strictly segitiga atas. Pandang persamaan di bawah ini
Bukti : Dengan mempartisi menjadi yaitu dan dan berdasarkan persamaan serta partisi pada ruas kanan dari , maka persamaan dapat ditulis sebagai berikut
Lema di atas akan digunakan untuk pembuktian Teorema 4.1.2 berikut ini Teorema 4.1 [4] Misalkan adalah matriks strictly segitiga atas. Terdapat sebuah matriks nonsingular dan bilangan bulat dengan dan sedemikian sehingga
Sekarang pandang tersebut yaitu
Bukti: Pembuktian akan dilakukan dengan induksi. Jika Anggap benar untuk matriks berukuran yaitu matriks matriks strictly segitiga atas terdapat matriks nonsingular sedemikian hingga
similaritas
dari
Ada dua kemungkinan nilai berdasarkan atau .
4
matriks
(i) Jika
maka
Akan dibuktikan dengan induksi. . Untuk matriks berukuran yaitu terdapat Dianggap benar untuk matriks nonsingular sedemikian hingga
dengan
adalah blok Jordan berukuran dengan diagonal utama nol. Gunakan sifat untuk , secara rekursif dapat ditunjukkan bahwa untuk
Dengan adalah matriks Jordan dengan elemen diagonal nol.
Untuk Untuk
(4.6) Karena
similar dengan similar dengan
Karena , terlihat bahwa paling banyak langkah pada similaritas ini, nilai di dalam luar diagonal pada akhirnya akan sama dengan nol. Dapat disimpulkan bahwa
(ii) Jika bahwa
similar dengan
dan maka
.
Teorema 4.2 [4] Misalkan adalah matriks real. Terdapat suatu matriks nonsingular sedemikian sehingga
, maka menunjukkan similar terhadap matriks
Dengan similaritas,
dan
Sehingga dapat pula disimpulkan bahwa similar terhadap matriks
Bukti: . Berikut ini akan dibuktikan bahwa Dari Teorema 2.4 didapatkan bahwa setiap matriks kompleks yang mempunyai nilai-eigen dengan multiplisitas dan berbeda, similar dengan matriks blok diagonal yang masing-masing blok diagonalnya adalah matriks segitiga atas dengan elemen diagonal sama. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa matriks blok diagonal yang masing-masing blok diagonalnya adalah matriks segitiga atas dengan elemen diagonal sama similar dengan matriks Jordan.
Berikut akan dicari matriks yang similar dengan matriks B. Misalkan matriks tersebut adalah 5
.
Misalkan matriks segitiga atas dengan elemen diagonal utama p adalah dan misalkan adalah matriks strictly segitiga atas sedemikian hingga Dari Teorema 4.1 diketahui bahwa . akan dibuktikan dengan kata lain . akan dibuktikan
Himpunan vektor disebut rantai vektor-eigen tergeneralisasi dengan panjang . Berikut ini akan dibuktikan bahwa vektoreigen tergeneralisasi dengan panjang dari nilaieigen yang sama adalah vektor bebas linear. Teorema 4.3 [3] Jika merupakan vektor-eigen tergeneralisasi dengan maka adalah bebas panjang linear.
karena setiap matriks kompleks similar dengan matriks blok diagonal yang masing-masing blok diagonalnya adalah matriks segitiga atas dengan elemen diagonal sama dan matriks tersebut similar dengan matriks Jordan maka setiap matriks kompleks similar dengan matriks Jordan.
Bukti: Akan dibuktikan vektor-eigen tergeneralisasi adalah vektor bebas linear. Dengan kata lain akan dibuktikan untuk ,
5. Vektor-Eigen Tergeneralisasi dan SifatSifat pada Vektor-Eigen Tergeneralisasi Suatu matriks , dengan jumlah multiplisitas geometri dari nilai-eigen nilai-eigen tidak sama dengan n, maka tidak similar dengan matriks diagonal karena jumlah vektor-eigennya tidak sama dengan Tetapi matriks tersebut similar dengan matriks Jordan. Untuk mendapatkan vektor-eigen yang bebas linear dapat digunakan vektor-eigen tergeneralisasi. Berikut ini diberikan definisi dari vektor-eigen tergeneralisasi.
hanya mempunyai 1 penyelesaian yaitu Pembuktian akan dilakukan dengan iterasi. Iterasi 1 Kalikan kedua ruas dengan
Definisi 4.1 [3] Vektor x disebut vektor-eigen tergeneralisasi dengan tingkat dari A yang berpadanan dengan jika dan hanya jika Berdasarkan
dan , definisi ini menjadi dan , di mana ini merupakan definisi vektor-eigen.
Definisi diperoleh
4.2.1
bahwa
Perhatikan jika
karena maka dapat . Dengan disimpulkan bahwa mensubstitusikan hasil ini ke (4.10) diperoleh persamaan berikut (4.11)
adalah vektor-eigen Misalkan dan tergeneralisasi yang bersesuaian dengan merupakan vektor-eigen tergeneralisasi dengan vektor-eigen tergeneralisasi tingkat , maka tersebut dapat ditentukan dari persamaan berikut.
Iterasi 2 Kalikan kedua ruas dengan
yang dapat dituliskan sebagai
6
Pandang lagi persamaan Kalikan kedua ruas dengan
Berdasarkan Definisi 4.1 bahwa diperoleh
karena disimpulkan bahwa mensubstitusikan hasil ini ke persamaan berikut
maka dapat . Dengan diperoleh Berdasarkan Definisi 4. 1 bahwa diperoleh
Kalikan kedua ruas dengan dan akan diperoleh kembli persamaan sehingga . Dengan mengulangi langkah-langkah tersebut, akhirnya didapatkan kesimpulan
Sehingga terbukti tergeneralisasi bebas linear.
bahwa
vektor-eigen adalah vektor Karena
Setelah terbukti bahwa vektor-eigen tergeneralisasi dari nilai-eigen yang sama merupakan vektor bebas linear, selanjutnya akan dibuktikan bahwa vektor-eigen tergeneralisasi dengan vektor-eigen vektor-eigen dari nilaieigen yang berbeda juga bebas linear.
maka oleh sebab itu
Kalikan dengan
Teorema 4.4 [3] Vektor-eigen tergeneralisasi dari dengan vektor-eigen vektor-eigen dari nilai nilai-eigen yang berbeda adalah bebas linear.
sehingga
maka
Bukti: Tanpa mengurangi keumuman, misalkan mempunyai nilai-eigen dengan jadi mempunyai satu rantai vektor-eigen tergeneralisasi dengan panjang sedangkan . Misalkan vektor-eigen tergeneralisasi yang bersesuaian dengan adalah dan vektor-eigen yang bersesuaian dengan adalah . Akan dibuktikan bahwa adalah bebas linear dengan kata lain akan dibuktikan bahwa
Kalikan dengan
sehingga
maka
Dan seterusnya hinga diperoleh Karena
hanya mempunyai satu penyelesaian yaitu 7
maka
Karena
maka
Dari maka persaman berikut
memenuhi
Dan seterusnya hingga diperoleh Dari Teorema 4.3 diperoleh sehingga bebas linear.
Vektor-eigen bersesuaian dengan nilai-eigen yang masing-masing berbeda, dapat ditentukan dari
Sekarang asumsikan bahwa matriks memiliki nilai-eigen sebanyak k dan nilai-eigen lain yang semuanya berbeda dari , maka nilai-eigen dari A adalah
Kemudian dengan menggabungkan persamaan dengan , yaitu
Berikut ini akan dibahas dua kasus yaitu untuk dan . 4.2.1 Untuk kasus di mana adalah hanya ada satu vektor-eigen yang bersesuaian dengan nilai-eigen , akibatnya hanya ada satu blok Jordan yang bersesuaian dengan nilai-eigen berulang ini.
diperoleh
Teorema 4.5 Asumsikan bahwa matriks memiliki nilai-eigen sebanyak k dan nilaiyang semuanya eigen lain berbeda dari serta , maka ada matriks Jordan
dan dengan adalah vektor-eigen dan tergeneralisasi yang bersesuaian dengan adalah vektor-eigen yang bersesuaian dengan nilai-eigen sedemikian hingga
Karena
dan
maka
persamaannya
menjadi Bukti: Dari
4.2.2 Karena kita berasumsi bahwa matriks memiliki nilai-eigen sebanyak k dan nilai-eigen lain yang semuanya dan berbeda dari , maka ada vektor-eigen yang bebas sehingga linear yang bersesuaian dengan terdapat blok Jordan yang bersesuaian dengan nilai-eigen .
8
Untuk mendapatkan vektor-eigen yang bebas linear, terlebih dahulu akan dibuktikan sifat berikut. Lema 4.2 [3] Diberikan , maka
maka ukuran blok Jordan yang bersesuaian dengan adalah .
ruang null dari
Teorema 4.6. Jika maka terdapat dan dimana kolom-kolom merupakan vektor-eigen (tergeneralisasi) yang bersesuaian dengan sedemikian hingga
Bukti: ruang null dari dengan kata lain memuat semua yang memenuhi . Akan dibuktikan dengan kata lain maka akan dibuktikan jika
Bukti: Tanpa mengurangi keumuman anggap bahwa mempunyai nilai-eigen nilai-eigen sebanyak k dan nilai-eigen lain dan yang semuanya berbeda dari sehingga artinya terdapat s blok Jordan pada matriks Jordan. Misalkan panjang rantai dengan maka bisa diperoleh Rantai pertama
berarti Dengan mengalikan kedua ruas dengan diperoleh
Berarti Sekarang akan ditunjukkan cara untuk mendapatkan vektor-eigen yang bebas linear. Kita misalkan multiplisitas aljabar dari adalah dan misalkan
diperoleh
maka maka maka maka
maka
Rantai kedua
maka Dari nilai null dapat diketahui jumlah vektor yang bebas linear yaitu diperoleh
vektor-eigen
vektor-eigen maka
vektor-eigen Sehingga Berikut ini akan dijelaskan bagaimana menentukan banyaknya blok Jordan dan ukuran blok Jordan yang bersesuaian dengan . i. Jika maka terdapat blok jordan yang bersesuaian dengan . ii. Jika dan dengan panjang rantai dengan
Rantai ke-s
9
diperoleh
Diperoleh
maka
Vektor-eigen bersesuaian yang dengan nilai-eigen masing-masing berbeda, dapat ditetukan dari
Atau
Kemudian dengan menggabungkan persamaan vektor-eigen tergeneralisasi sebelumnya dengan persamaan vektor-eigen di atas menjadi satu, yaitu
Misalkan didefinisikan vektor keadaan baru
sehingga
6. Keberagaman Sistem Kontrol Waktu Diskrit Pandang sistem kontrol waktu diskrit yang didefinisikan oleh
dengan adalah matriks nonsingular. ke persamaan Substitusikan persamaan , diperoleh Kalikan kedua ruas dengan
Misal didefinisikan dan dapat ditulis ulang
maka persamaan sebagai Dengan cara yang sama, Misalkan menjadi Misalkan rantai vektor sebagai
dan
maka persamaan
Hal ini menunjukkan bahwa sistem pada persamaan ekivalen dengan dan . persamaaan sistem 7. Keteramatan Sistem Kontrol Waktu Diskrit Pandang sistem kontrol waktu diskrit yang didefinisikan oleh
dengan waktu yang merupakan bilangan bulat 10
b. Kolom yang bersesuaian dengan baris pertama dari masing-masing blok Jordan tidak ada yang elemennya nol semua, c. Elemen dari masing-masing kolom yang bersesuaian dengan nilai-eigen yang berbeda tidak semuanya nol. 8. Keterkontrolan Sistem Kontrol Waktu Diskrit Pandang sistem kontrol waktu diskrit yang didefinisikan oleh
vektor keadaan, vektor output, matriks anggota matriks anggota Solusi dari Setelah mendapatkan solusi sistem pada , bisa didefinisikan sifat persamaan keteramatan dari sistem tersebut. Definisi 4.2 Suatu sistem dinamakan teramati jika setiap keadaan awal dapat ditentukan dari . , kita Dengan menggunakan mendapatkan syarat perlu dan syarat cukup untuk keadaan keteramatan seperti yang dijelaskan pada lema berikut ini. Lema 4.3 [6] Syarat perlu dan syarat cukup untuk keadaan keteramatan pada persamaan adalah
dengan waktu yang merupakan bilangan bulat vektor keadaan, vektor kontrol, matriks anggota matriks anggota Untuk selanjutnya, sistem yang dinyatakan dengan persamaan (4.22) dinotasikan sebagai sistem . Solusi dari dapat diselesaikan menggunakan metode rekursi yaitu
7.1 Bentuk Alternatif Untuk Keadaan Keteramatan Selain dengan cara yang diuraikan sebelumnya, ada cara lain untuk menentukan apakah suatu sistem teramati atau tidak. Yaitu dengan mengubah matriks ke bentuk diagonal atau Jordan. Pertimbangkan sistem didefinisikan oleh . Jika semua vektor-eigen berbeda, dan sebuah matriks transformasi mentransformasikan ke bentuk matriks diagonal, sedemikian hingga
Mengulangi prosedur ini, didapatkan Setelah mendapatkan solusi sistem , bisa didefinisikan sifat keterkontrolan dari sistem tersebut. Definisi 4.3 Suatu sistem dinamakan terkontrol jika untuk setiap keadaan awal dan keadaan akhir , terdapat dan vektor kontrol sedemikian hingga . solusi dalam persamaan menjadi Dengan menggunakan definisi yang diberikan, kita akan mendapatkan syarat untuk keadaan keterkontrolan.
dengan adalah nilai-eigen berbeda dari . Sistem teramati jika dan hanya jika tidak yang semua ada kolom dari matriks elemennya nol. Jika matriks tidak mempunyai vektor-eigen yang berbeda, maka pendiagonalan tidak mungkin dilakukan. Dalam kasus seperti ini, kita boleh mengubah menjadi bentuk kanonik Jordan:
Lema 4.4 [6] Syarat perlu dan syarat cukup untuk keadaan keterkontrolan pada persamaan adalah
Bukti: terkontrol Akan dibuktikan jika sistem maka . Misal dan . Karena terkontrol, maka terdapat dan sedemikian hingga
Sistem dikatakan dalam keadaan teramati jika dan hanya jika a. Tidak ada dua blok Jordan dalam yang bersesuaian dengan nilai-eigen yang sama, 11
apakah suatu sistem terkontrol atau tidak. Yaitu dengan mengubah matriks ke bentuk diagonal atau Jordan. Teorema 4.7 [6] Jika matriks matriks diagonal maka sistem
Pertimbangkan sistem didefinisikan oleh (4.28). Jika semua vektor-eigen berbeda, maka mungkin untuk menemukan matriks transformasi seperti
Artinya . jelas
Jika .
Jika
.
Jadi
adalah terkontrol.
, Perhatikan bahwa jika nilai-eigen berbeda maka vektor-eigen berbeda. Bagaimanapun, kebalikannya tidak benar. Perhatikan juga bahwa kolom ke i dari matriks adalah vektor-eigen yang bersesuaian dengan nilai-eigen ke i . Misalkan didefinisikan
. Akibatnya Dengan Akan sistem persamaan
kata
. lain
maka persamaan (4.28) menjadi
dibuktikan
jika maka terkontrol. Karena solusi dari adalah
Misalkan didefinisikan kita mendapatkan
maka,
Karena bahwa
adalah matriks , kita dapatkan masing-masing dari matriks adalah matriks . misalkan
Matriks disebut matriks keterkontrolan. Jika rank matriks keterkontrolan adalah , maka untuk sebarang dan , terdapat keadaan sebuah rangkaian sinyal kontrol yang memenuhi . sehingga jika rank dari persamaan matriks keterkontrolan adalah , maka sistem terkontrol
Jika pada matriks yang berukuran terdapat vektor baris nol, maka variabel keadaan yang bersesuaian dengan kolom tersebut tidak dapat dikontrol oleh setiap . Oleh sebab itu, syarat untuk keadaan keterkontrol adalah bahwa, jika vektor-eigen berbeda, maka sistem dalam keadaan terkontrol jika dan hanya jika tidak ada . Hal ini penting vektor baris nol dalam
8.1 Bentuk Alternatif Untuk Keadaan Keterkontrolan Selain dengan cara yang diuraikan sebelumnya, ada cara lain untuk menentukan 12
untuk dicatat bahwa untuk menerapkan syarat ini pada keadaan terkontrol, kita harus mengubah matriks ke dalam bentuk diagonal. Jika matriks tidak mempunyai vektoreigen yang berbeda, maka pendiagonalan tidak mungkin dilakukan. Dalam kasus seperti ini, kita boleh mengubah menjadi bentuk kanonik Jordan. Sebagai contoh, jika mempunyai nilaieigen dan mempunyai vektor-eigen yang berbeda, maka bentuk kanonik Jordan dari adalah
3. Jika tergeneralisasi
merupakan vektor-eigen dengan panjang maka adalah bebas linear. 4. Vektor-eigen tergeneralisasi dari dengan vektor-eigen vektor-eigen dari nilai nilaieigen yang berbeda adalah bebas linear. 5. Untuk sebarang terdapat yaitu matriks yang kolom-kolomnya adalah vektoreigen (tergeneralisasi) dan matriks Jordan sehingga 6. Matriks adalah matriks Jordan, sistem dikatakan dalam keadaan teramati jika dan hanya jika a. Tidak ada dua blok Jordan dalam yang bersesuaian dengan nilai-eigen yang sama, b. Kolom yang bersesuaian dengan baris pertama dari masing-masing blok Jordan tidak ada yang elemennya nol semua, c. Elemen dari masing-masing kolom yang bersesuaian dengan nilai-eigen yang berbeda tidak semuanya nol. adalah matriks Jordan, 7. Jika matriks syarat untuk keadaan keterkontrolan sistem (F,G) boleh dinyatakan sebagai berikut: sistem dikatakan dalam keadaan terkontrol jika dan hanya jika a. Tidak ada dua blok Jordan dalam yang bersesuaian dengan nilai-eigen yang sama, yang b. Elemen dari vektor baris bersesuaian dengan baris terakhir dari masing-masing blok Jordan tidak sama dengan nol, c. Elemen dari masing-masing baris yang bersesuaian dengan nilai-eigen yang berbeda tidak semuanya nol
Submatriks berukuran dan pada diagonal utama disebut blok Jordan. Andaikan mungkin untuk menemukan matriks transformasi sehingga Jika kita definisikan maka
Syarat untuk keadaan keterkontrolan sistem boleh dinyatakan sebagai berikut: sistem dikatakan dalam keadaan terkontrol jika dan hanya jika a. Tidak ada dua blok Jordan dalam yang bersesuaian dengan nilai-eigen yang sama, b. Elemen dari vektor baris yang bersesuaian dengan baris terakhir dari masing-masing blok Jordan tidak sama dengan nol, c. Elemen dari masing-masing baris yang bersesuaian dengan nilai-eigen yang berbeda tidak semuanya nol.
10.Daftar Pustaka 1. Anton, Howard. 2000. Dasar-dasar Aljabar Linear Edisi 7 Jilid 1. Interaksara P.O. Box 238, Batam Centre, 29432. 2. Anton, Howard. 2000. Dasar-dasar Aljabar Linear Edisi 7 Jilid 2. Interaksara P.O. Box 238, Batam Centre, 29432. 3. Chen, Chi-Tsong. 1970. Linear System Theory and Design. CBS College Publishing. 4. Horn, Roger A., Charles R. Johnson. 1990. Matrix Analysis. Cambridge University Press. 5. Jacob, Bill. 1990. Linear Algebra. W.H. Freeman and Company. 6. Ogata, Katsuhiko. 1995. Discrete-Time Control Systems Second Edition. PrenticeHall International, Inc.
9. Kesimpulan Berdasarkan analisis yang telah dilakukan, dapat diambil kesimpulan yaitu 1. Matriks strictly segitiga atas similar dengan matriks Jordan 2. Sebarang matriks real similar dengan matriks Jordan 13
