HUBUNGAN MATRIKS AB DAN BA PADA STRUKTUR JORDAN NILPOTEN

HUBUNGAN MATRIKS AB DAN BA PADA STRUKTUR JORDAN NILPOTEN Sondang Purnamasari Pakpahan ([email protected]) UPBJJ-UT Medan Elvina Herawaty FMIPA Matematika Universitas Sumatera Utara ABSTRACT In this paper, we give another proof about the relationship between AB and BA with eigenvalue zero that reduced by structure Jordan for nilpoten matrix Keywords : eigenvalue, nilpotent matrix, structure Jordan

Perkalian dua matriks kuadrat AB dan BA tidak selalu komutatif, tetapi bukan berarti AB dan BA tidak mempunyai hubungan satu dengan yang lainnya. Salah satu hubungan yang diperoleh melalui trace (AB) = trace(BA) Hubungan matriks AB dan BA yang lain diperlihatkan oleh Flander (1951), melalui struktur Jordan AB dan BA sebagai berikut: 1. Untuk nilai eigen tak nol, struktur Jordan AB sama dengan struktur Jordan BA 2. Untuk nilai eigen nol jika m1  m2  ...  mq  1 dan m1  m2  ...  mq  m ukuranukuran blok Jordan AB dan n1  n2  ...  np  1 dengan n1  n2  ...  np  n ukuranukuran blok Jordan BA, maka ni  mi  1; yaitu struktur Jordan keduanya akan naik sebesar satu atau relatif sama. Hubungan matrik AB dan BA juga diperlihatkan Flander (1951) dengan menggunakan konsep pembagi nol atas lapangan secara umum, yang relatif abstrak. Thomson (1968) membuktikan pernyataan Flander dengan menggunakan konsep rank dan Parker dan Mitchell (1952) membuktikannya dengan menggunakan konsep variansi, tetapi keduanya tidak memberikan bukti yang transparan. Dalam teori matriks, struktur Jordan dari suatu matriks nilpoten mempunyai bentuk yang khas, yaitu blok-blok Jordannya berbentuk matriks nilpoten dengan entri satu pada superdiagonal dan entri nol pada posisi lainnya, dan matriks nilpoten mempunyai nilai eigen nol (Horn & Johnson, 1985). Melihat pernyataan yang diberikan oleh Horn dan Johnson (1985) untuk matrik nilpoten, maka timbul pertanyaan, apakah pernyataan Flender (1951) yang kedua dapat dibuktikan tanpa menggunakan konsep pembagi nol dan lebih transparan?

Jurnal Matematika, Sains, dan Teknologi, Volume 9, Nomor 1, Maret 2009, 1-5

Tulisan ini membahas cara pembuktian yang berbeda tentang hubungan struktur Jordan antara perkalian matriks AB dan BA hanya pada matriks nilpoten. KONSEP DASAR Struktur Jordan untuk matriks nilpoten diberikan oleh Horn dan Johnson (1985) sebagai berikut : Setiap matriks nilpoten Ln x n berindeks k similar ke bentuk matriks dengan blok- blok diagonal N = diag Jn1, Jn2 , ..., Jnp , yaitu ada matriks invertible P sehingga berlaku





J n1 0 1 P AP  N      0

0 J n2 0

0 0   0 0 dengan setiap blok J n i   :   0  0 J np  0 

1 0 : 0 0

0 ... 0  1 ... 0 :  ... 0 1 ... 0 0

dan n1  n2  ...  np  1 dengan n1  n2  ...  np  n . Dalam hal ini berlaku : 1. Jumlah blok di N sebanyak np = dim N(L) 2. Ukuran blok Jordan terbesar di N adalah k x k 3. Jumlah blok yang berukuran i x i di ditentukan oleh ri-1 – 2ri + ri+1 dengan ri = rank ( Li ) Contoh : Diberikan matriks L sebagai berikut

 1   3  2 L  2 5  3 

1 1 1 1 3 2

2 5 0 0 1 1

1 1 0 0 1 1

1 1   1 3  1 0  maka L adalah matriks nilpoten berindeks 3. 1 0 1 1 0 1

Banyaknya blok N adalah dim N (L) = 6 – rank ( L) = 3. Dengan r1 = rank ( L ) = 3 r2 = rank ( L2 ) = 1 dan r3 = rank ( L3 ) = 0. Banyak blok berukuran 3 x 3 = r2 – 2r3 + r4 = 1, blok berukuran 2 x 2 = r1 – 2r2 + r3 = 1, banyak blok berukuran 1 x 1 = r0 – 2r1 + r2 = 0.

2

Pakpahan, Hubungan Matriks AB dan BA Pada Struktur Jordan Nilpoten

0  0 0 Oleh karena itu blok Jordan dari L adalah N =  0 0  0 

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0  0 0  0 0 0

Dari matriks nilpoten Ln x n berindeks k similar ke bentuk matriks dengan blok- blok diagonal N = diag ( Jn1, Jn2 , ..., Jnp untuk n1  n2  ...  np  1 , n1  n2  ...  np  n diperoleh matriks invertible P. Kemudian dibuat matrik P1mxm untuk m = n + k sebagai berikut





0  P P 1  P  I   nxn nxk  0kxn I kxk  (P ) 1 0nxk  Dalam hal ini matriks P 1 juga invertible dengan ( P 1 ) – 1 =  nxn  I kxk   0kxn Lnxn X mxk  Jika diberikan D    , maka 0kxn 0kxk 

.

0  J n1    1 P 0 P X  (*) 0  L X  P 0  P A P P X   1          (P' ) D P        0 J np 0   0 Ik   0 0   0 Ik   0   0 0   Karena D berupa matriks nilpoten berarti similar kebentuk matriks blok Jordan, yaitu ada matriks 1

1

1

 J m1    invertible Q sehingga Q-1 D Q =  0  (**)  J mq   Dengan m1  m2  ...  mp  1 , m1  m2  ...  mq  m Agar (*) dan (**) mempunyai bentuk yang sama diperlukan pengertian berikut 1) Jika bentuk D sebagai berikut

0  W1   J n1   0   dengan 0 J np  Wp    0 I k   0  Y1   J n1   0 T   1 Wi  J ni X i . Dalam hal ini jelas P invertibel dan berlaku P DP   0 J np  Yp    0 0   T dengan Yi = Xi  J ni J ni 0  J n1  0 D   0 J np  0 

  X  dan dipilih keberadaan P =   0 

3

Jurnal Matematika, Sains, dan Teknologi, Volume 9, Nomor 1, Maret 2009, 1-5

Karena J ni J ni  I n i 1  0 maka setiap blok ni dari matriks P-1DP mempunyai T

(ni – 1) baris

pertama bernilai nol dan pada baris ke-n i entrinya sama seperti xi . 2) Pada langkah ini setiap blok ni ambil entri pada baris ke- i, kemudian bentuk matriks R , yang berarti berukuran p x k.

 x11 x12 ... x1k     x21 x22 ... x2k  Matriks R   : : :     x p1 x p2 ... x pk   

Pada matriks R ini dilakukan reduksi baris tanpa melakukan pertukaran baris dan kemudian reduksi kolom, sehingga diperoleh matriks R ‘ yang berbentuk 0-1 dengan 1 muncul paling banyak satu pada setiap baris dan kolom. Buat matriks M sebagai berikut

 J n1      M        

J n2  J np

            J mq 

X11  X1q X 21  X 2q   X p1  X pq J m1 J m2

0

3) Pada matriks M dilakukan a) menghapus blok baris ke-i dari sebelah atas dan blok kolom ke-i dari sebelah kiri b) menghapus blok baris ke-j dari sebelah bawah dan blok kolom ke-j dari sebelah kanan.

 J nii  0 

Maka dari blok entri yang dihapus diperoleh matriks 

Xi j   dan M i merupakan submatriks J mj 

dari M setelah proses pengeliminasian.

 J nii  0 

Xi j   Jn i  J mj   0

Jika Xij = [ 0, 0, ... , 1 ] t dan J m j  J1 maka 

 J nii X i j    0 J1j   J ni  J1 . Artinya jika    J ni X i j   0   0 J mj  maka M similar secara permutasi dengan  0 M1  

Jika Xij = [ 0, 0, ... , 0 ] t maka 

 J nii   0 

Xi j    M1 J mj 

1   J n1 1i J1 

4

Pakpahan, Hubungan Matriks AB dan BA Pada Struktur Jordan Nilpoten

 J ni X i j   0  0 J mj   0 M1   Dari 3 langkah observasi dapat dibuat lemma berikut Lemma : Jika A matriks nilopoten n x n dengan blok Jordan n1  n2  ...  np  1 untuk

L X   nilpoten berukuran m x m dengan blok-blok n1  n2  ...  np  n dan matriks D =  0 0  Jordan m1  m2  ...  mq  1 untuk m1  m2  ...  mq  m maka q  p dan 1) Blok mi = 1 untuk p 1  i  q 2) 0  mi  ni  1 untuk i = 1, 2, … , p Untuk memperlihatkan hubungan struktur Jordan matriks AB yang berukuran m x m dengan struktur Jordan BA yang berukuran n x n cukup diasumsikan

B B   I 0  dan B   11 12  yang dibawa kebentuk blok matriks yang bersesuaian. A    0 0  B21 B22   B 0  B B12   dan BA   11  . diperoleh AB   11  0 O  B21 0  B B12   dengan det (AB -  I) = 0 memberikan nilai eigen   0 atau  0 . Untuk AB   11 0 O   Untuk   0 maka cukup diasumsikan B11 berbentuk matriks nilpoten. Jika diaplikasikan lemma di atas , berarti struktur Jordan AB sama dengan BA atau naik sebesar satu .

PENUTUP Hubungan struktur Jordan antara perkalian matriks AB dan BA untuk nilai eigen 0 relatif sama atau berbeda sebesar satu ukuran, dapat diperlihatkan tanpa menggunakan konsep abstrak hanya pada matriks nilpoten. Untuk matriks secara umum bukti di atas tidak berlaku. REFERENSI Flandes, H. (1951). Elementary divisors of AB and BA. Proc. Amer. Math. Soc, 2, 871-874 Horn, R.A. & Johnson, C.R. (1985). Matrix analysis. New York: Cambridge Univesity Press. Thompson, R.C. (1968). On the Matrices AB and BA. Linear Algebra Apl, 1, 43-58 Parker, W.V., & Mitchell (1952). Elementary divisors of certain matrices. Duke Math J, 19, 483-485

5