Buletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 5, No. 03 (2016), hal 221 – 228.
INVERS DRAZIN DARI SUATU MATRIKS DENGAN MENGGUNAKAN BENTUK KANONIK JORDAN Eko Sulistyono, Shantika Martha, Eka Wulan Ramadhani INTISARI Suatu matriks A berukuran nxn dikatakan tidak memiliki invers atau disebut dengan matriks singular jika tidak ada matriks B yang memenuhi AB=In dan BA=In . Jika matriks A adalah matriks singular maka dapat ditentukan suatu matriks B yang memiliki karakteristik dari sifat invers matriks sehingga matriks B disebut dengan invers tergeneralisasi dari matriks A. Invers Drazin merupakan salah satu invers tergeneralisasi dari suatu matriks berukuran nxn. Penelitian ini bertujuan untuk menentukan invers Drazin dari suatu matriks dengan menggunakan bentuk kanonik Jordan. Invers Drazin dari matriks A yang dinotasikan AD diperoleh dengan menentukan nilai karakteristik dari matriks A dan multiplisitas aljabar dari masing-masing nilai karakteristik. Langkah selanjutnya adalah menentukan bilangan bulat positif terkecil p yang memenuhi dimensi ruang karakteristik ke-p sama dengan multiplisitas aljabar dari masing-masing nilai karakteristik. Nilai p digunakan untuk menentukan vektor karakteristik tergeneralisasi dari matriks A. Selanjutnya menentukan matriks P dengan kolom-kolomnya merupakan vektor karakteristik tergeneralisasi dari matriks A. Hasil perkalian dari P-1AP merupakan bentuk kanonik Jordan yang dinotasikan dengan J. Matriks J kemudian dipartisi menjadi J1 dan J0 secara berturut-turut merupakan matriks blok diagonal utama dari J, dan matriks nol untuk matriks blok lainnya. Invers Drazin diperoleh dari PKP-1dengan K merupakan matriks yang dibentuk dari J1-1dan matriks nol secara berturutturut merupakan matriks blok diagonal utama dari K dan matriks nol untuk matriks blok lainnya. Kata Kunci: Invers Drazin, Bentuk Kanonik Jordan
PENDAHULUAN Matriks merupakan salah satu teori yang dipelajari di bidang matematika, khususnya pada ilmu aljabar. Matriks dapat digunakan dalam penyelesaian sistem persamaan linear, dengan penyelesaiannya dapat menggunakan invers. Matriks ܣberukuran ݊ × ݊ atas ℂ dikatakan memiliki invers atau disebut matriks non singular jika terdapat matriks ܤyang memenuhi ܫ = ܤܣ dan ܫ = ܣܤ . Apabila tidak ada matriks ܤyang memenuhi ܫ = ܤܣ dan ܫ = ܣܤ maka matriks ܣdisebut matriks singular. Walaupun matriks ܣadalah matriks singular, namun dapat ditentukan suatu matriks ܤyang memiliki karakteristik dari sifat invers matriks sehingga matriks ܤdisebut invers tergeneralisasi dari matriks ܣ. Ada beberapa invers tergeneralisasi, diantaranya adalah invers Moore-Penrose, invers Grup, dan invers Drazin. Invers Drazin merupakan salah satu invers tergeneralisasi dari matriks berukuran ݊ × ݊. Pada tahun 1958, ilmuwan asal Amerika yang bernama Michael P Drazin pertama kali memperkenalkan invers Drazin [1]. Beberapa metode yang dapat digunakan dalam memperoleh invers Drazin adalah bentuk kanonik Jordan, metode Leverrier Faddeev, dan metode semi iterative tipe BICG. Invers Drazin dapat diaplikasikan pada rantai Markov, kriptografi, dan sistem persamaan linear. Penelitian ini bertujuan untuk menentukan invers Drazin dari suatu matriks berukuran ݊ × ݊ dengan menggunakan bentuk kanonik Jordan. Adapun batasan masalah dalam penelitian ini adalah matriks berukuran ݊ × ݊ atas ℂ. Misalkan ܣmerupakan matriks berukuran ݊ × ݊ atas ℂ. Invers Drazin dari matriks ܣdiperoleh dengan menentukan nilai karakteristik ߣ dari matriks ܣdan multiplisitas aljabar dari ߣ yang dinotasikan dengan ݉(ߣ ) untuk setiap ݅ = 1,2, … , ݊. Langkah selanjutnya adalah menentukan bilangan bulat positif terkecil yang memenuhi dim ቀܧఒ ቁ = ݉(ߣ )
221
222
E. SULISTYONO, S. MARTHA, E.W. RAMADHANI
dengan dim ቀܧఒ ቁ merupakan dimensi ruang karakteristik ke- dari ߣ untuk setiap ݅ = 1,2, … , ݊. Nilai
digunakan untuk menentukan vektor karakteristik tergeneralisasi dari matriks ܣ. Selanjutnya menentukan matriks ܲ dengan kolom-kolomnya merupakan vektor karakteristik tergeneralisasi dari matriks ܣ. Hasil perkalian dari ܲ ିଵ ܲܣmerupakan bentuk kanonik Jordan dari matriks ܣyang dinotasikan dengan ܬ. Matriks ܬdipartisi menjadi ܬଵ dan ܬ secara berturut-turut merupakan matriks blok diagonal utama dari ܬdan matriks nol untuk blok lainnya dengan ܬଵ merupakan matriks blok Jordan yang bersesuaian dengan ߣ ≠ 0 dan ܬ merupakan matriks blok Jordan yang bersesuaian dengan ߣ = 0. Selanjutnya menentukan invers Drazin dari matriks ܣyaitu dengan menentukan perkalian antara matriks ܲ, matriks yang dipartisi menjadi ܬଵିଵ dan matriks nol berturut-turut merupakan matriks blok diagonal utama serta matriks nol untuk blok lainnya, dan invers dari matriks ܲ. Misalkan ܣmerupakan matriks berukuran ݊ × ݊ atas ℂ maka bentuk kanonik Jordan dari matriks ܣ yang dinotasikan dengan ܬdidefinisikan sebagai berikut [2]: L J p (λ1 ) 1 J p (λ 2 ) L 2 J = M O M M J p (λ m ) m (ߣ ) dengan ܬ merupakan matriks blok Jordan yang bersesuaian dengan ߣ , merupakan ukuran dari matriks blok Jordan, ukuran ditentukan dari ݉(ߣ ), dan merupakan matriks nol untuk setiap ݅ = 1,2, . . , ݉. Bentuk matriks blok Jordan ܬ (ߣ ) adalah sebagai berikut: BENTUK KANONIK JORDAN
0000 0000
0000
0000
0000
1
λi M 0 0
0000
0000
λ i 0 J p (λ i ) = M i 0 0
0 1 L 0 O M M . L λi 1 L 0 λ i L
0
Suatu matriks ܣdikatakan memiliki bentuk kanonik Jordan jika dapat dinyatakan ke dalam bentuk ିܲܬܲ = ܣଵ , dengan ܲ merupakan suatu matriks non singular. Matriks ܲ dapat diperoleh dengan menentukan vektor karakteristik tergeneralisasi dari matriks ܣ. Berikut ini diberikan definisi vektor karakteristik tergeneralisasi dari suatu matriks. Definisi 1 [3] Dimisalkan matriks ܣberukuran ݊ × ݊ atas ℂ dan ߣ merupakan nilai karakteristik dari matriks ܣ. Vektor ܘܠdisebut vektor karakteristik tergeneralisasi jika dan hanya jika ( ܣ− ߣ)ܫ = ܘܠ dan ( ܣ− ߣ)ܫିଵ ≠ ܘܠ dengan ∈ ℤ.
Dimisalkan ܘܠmerupakan vektor karakteristik tergeneralisasi dengan tingkat yang bersesuaian dengan ߣଵ , maka vektor karakteristik tergeneralisasi dapat ditentukan dari persamaan sebagai berikut: ( ܣ− ߣଵ ܫ )ܠ = ۗ ( ܣ− ߣଵ ܫ )ଶ ܠ = (1) ⋮ ۘ ( ܣ− ߣଵ ܫ ) = ܘܠ ۙ
Invers Drazin dari Suatu Matriks dengan…
= ( ܣ− ߣଵ ܫ ) ܘܠ ିܘܠ = ( ܣ− ߣଵ ܫ )ܘܠ ିܘܠ = ( ܣ− ߣଵ ܫ )ଶ ܘܠ ⋮ ܠ = ( ܣ− ߣଵ ܫ )ିଶ ܘܠ ܠ = ( ܣ− ߣଵ ܫ )ିଵ ܘܠ
Selanjutnya Persamaan (1) dapat dituliskan sebagai berikut:
223
ۗ ۖ ۖ ۘ ۖ ۖ ۙ
(2)
dengan ∈ ℤ. Dimensi ruang karakteristik ke- yang bersesuaian dengan nilai karakteristik ߣ
dinotasikan dengan dim ቀܧఒ ቁ. Dimensi dari ܧఒ diperoleh dengan menentukan banyaknya vektor
vektor pada suatu basis untuk ruang karakteristik ke- yaitu:
( ܣ− ߣ ܫ ) = ܘܠ
terkecil yang memenuhi dim ቀܧఒ ቁ = ݉(ߣ ) untuk setiap ݅ = 1,2, … , ݉. Berikut ini diberikan
Banyaknya vektor karakteristik tergeneralisasi diperoleh dengan menentukan bilangan bulat positif
contoh menentukan bentuk kanonik Jordan dari suatu matriks. Contoh 2 Diberikan matriks
2 3 A= − 4 0
0 3
i 2
3 0
0 − 2i − 6 0 0 3
Nilai karakteristik dari matriks ܣadalah ߣଵ = ߣଶ = 3 dengan ݉(3) = 2, ߣଷ = 2 − 2݅ dengan ݉(2 − 2݅) = 1 dan ߣସ = 0 dengan ݉(0) = 1. Untuk = 1 diperoleh dim(ܧଷଵ ) = 1 sedangkan ݉(3) = 2, sehingga dim(ܧଷଵ ) ≠ ݉(3). Untuk = 2 diperoleh dim(ܧଷଶ ) = 2 = ݉(3), akibatnya dengan menggunakan Definisi 1 untuk = 2 diperoleh vektor karakteristik tergeneralisasi ܠ sebagai berikut: 6 12 3 6 x 2 = − i 0 − + i 1 5 5 5 5
T
dan dengan menggunakan Persamaan (2) diperoleh vektor karakteristik tergeneralisasi ܠ sebagai berikut: T
3 6 x 1 = ( A − 3I 4 )x 2 = 0 − + i 0 0 . 5 5
Dengan = 1 untuk ߣଶ = 2 − 2݅ diperoleh vektor karakteristik tergeneralisasi 1 1 1 y 1 = − − + i 1 0 10 5 2
T
dan dengan = 1 untuk ߣସ = 0 diperoleh vektor karakteristik tergeneralisasi T
Kemudian membentuk P = ሾܠ
2 1 1 z 1 = − i − + i 1 0 . 3 2 2
ܠ
ܡ
ܢ ሿ maka
224
E. SULISTYONO, S. MARTHA, E.W. RAMADHANI
3 6 1 1 − i − − i 0 5 5 2 2 3 6 1 1 2 1 − + i 0 − + i − + i P= 5 5 10 5 3 2 . 6 12 0 − + i 1 1 5 5 1 0 0 0
Bentuk kanonik Jordan dari matriks ܣadalah J = P −1 AP sehingga diperoleh
3 0 J = 0 0
1 3
0 0
0 0
.
0 2 − 2i 0 0 0 0
Diberikan matriks ܣdan ܤberukuran ݊ × ݊ atas ℂ. Matriks ܤdikatakan invers tergeneralisasi dari ܣjika dapat dinyatakan ke dalam bentuk [ ܣ = ܣܤܣ2]. Salah satu invers tergeneralisasi adalah invers Drazin. Invers Drazin dari suatu matriks ܣberukuran ݊ × ݊ atas ℂ dinotasikan dengan ܣ . Sebelum diberikan definisi invers Drazin, terlebih dahulu diberikan definisi mengenai indeks dari suatu matriks. INVERS DRAZIN
Definisi 3 [4] Diberikan matriks singular ܣberukuran ݊ × ݊ atas ℂ, bilangan bulat positif terkecil ݇ yang memenuhi rank൫ܣ ൯ = rank൫ܣାଵ ൯ disebut indeks matriks ܣyang dinotasikan ݇ = )ܣ(݀݊ܫ. Berdasarkan Definisi 3 diberikan contoh menentukan indeks dari suatu matriks singular.
Contoh 4 Diberikan matriks ܣdari Contoh 2. Rank dari matriks ܣadalah 3 dan rank dari matriks ܣଶ adalah 3, akibatnya indeks dari matriks ܣadalah 1. Selanjutnya diberikan definisi mengenai invers Drazin dari suatu matriks berukuran ݊ × ݊ atas ℂ.
Definisi 5 [1] Misalkan ܣmatriks berukuran ݊ × ݊ atas ℂ. Matriks ܣ berukuran ݊ × ݊ atas ℂ dikatakan invers Drazin dari ܣ, jika memenuhi (i) ܣ ܣܣ = ܣ (ii) ܣܣ = ܣ ܣ (iii) ܣ ܣ ܣ = ܣ dengan ݇ merupakan indeks dari matriks ܣ.
Definisi 3 hanya berlaku untuk matriks singular berukuran ݊ × ݊ atas ℂ. Berikut ini diberikan teorema yang menjelaskan indeks dari suatu matriks non singular berukuran ݊ × ݊ atas ℂ.
Teorema 6 [4] Diberikan matriks ܣberukuran ݊ × ݊ atas ℂ. Jika matriks ܣmerupakan matriks non singular maka = )ܣ(݀݊ܫ0. Bukti:
Misalkan ܣmerupakan matriks non singular berukuran ݊ × ݊ atas ℂ. Matriks ܣjika dibentuk ke dalam eselon baris tereduksi akan menghasilkan matriks identitas sehingga rank(ܫ(݇݊ܽݎ = )ܣ ) = ݊. Matriks ܣ merupakan matriks ܫ , akibatnya rank(ܣ ) = rank(ܣଵ ). Karena ݇ = 0 mengakibatkan rank(ܣ ) = rank(ܣଵ ) maka = )ܣ(݀݊ܫ0. ∎ Selanjutnya diberikan teorema mengenai invers Drazin dari suatu matriks non singular berukuran ݊ × ݊ atas ℂ.
Invers Drazin dari Suatu Matriks dengan…
225
Teorema 7 Diberikan matriks ܣmerupakan matriks non singular berukuran ݊ × ݊ atas ℂ. Matriks ܤ dikatakan invers Drazin dari ܣjika dan hanya jika matriks ܤmerupakan invers dari ܣ. Bukti: Misalkan ܣmerupakan matriks non singular berukuran ݊ × ݊ atas ℂ, ܤmerupakan suatu matriks berukuran ݊ × ݊ atas ℂ. Invers Drazin dari matriks non singular ܣdapat dinyatakan sebagai berikut: ܤmerupakan invers dari ܤ ⟺ ܣmerupakan invers Drazin dari ܣ a) ܤmerupakan invers dari ܤ ⇒ ܣmerupakan invers Drazin dari ܣ Dengan yang telah diketahui bahwa ܤmerupakan invers dari ܣyaitu ܫ = ܣܤ dan ܫ = ܤܣ , maka akan ditunjukkan bahwa ܤmerupakan invers Drazin dari ܣyaitu memenuhi Definisi 5 i. ܫ = ܤܣܤ ܤ ii. ܫ = ܤܣ iii. ܣ ܣ = ܣܤ ܫ =ܤ = ܣܤ = ܣ Karena ܣdan ܤmemenuhi Definisi 5, maka ܤmerupakan invers Drazin dari ܣ. b) ܤmerupakan invers Drazin dari ܤ ⇒ ܣmerupakan invers dari ܣ Dengan yang telah diketahui bahwa ܤmerupakan invers Drazin dari ܣmaka akan ditunjukkan bahwa ܤmerupakan invers dari ܣyaitu memenuhi ܫ = ܣܤ dan ܫ = ܤܣ . ܣ ܣ = ܣܤ ⟺ ܣ ܣ = ܣܤ ⟺ ܫ = ܣܤ ⟺ ܫ = ܤܣ Karena ܣdan ܤmemenuhi ܫ = ܣܤ dan ܫ = ܤܣ maka ܤmerupakan invers dari ܣ. Berdasarkan (a) dan (b), terbukti bahwa matriks ܤmerupakan invers Drazin dari ܣjika dan hanya jika matriks ܤmerupakan invers Drazin dari ܣ.∎ Misalkan ܣmerupakan matriks berukuran ݊ × ݊ atas ℂ, ܬభ (ߣଵ ), ܬమ (ߣଶ ), … , ܬ (ߣ ) merupakan matriks blok Jordan yang bersesuaian dengan ߣ ≠ 0, dan ܬ (0) merupakan matriks blok Jordan yang 0000
0000
bersesuaian dengan ߣ = 0. Bentuk kanonik Jordan dari matriks ܣdapat dipartisi menjadi J p (λ1 ) L 1 O M M M J = L J p (λ n ) n J p ( 0) L m 0000
0000
0000 0000
Matriks ܬdapat dituliskan dalam bentuk sederhana sebagai berikut: ܬ =ܬଵ ൨ ܬ dengan ܬଵ merupakan matriks blok Jordan yang bersesuaian dengan ߣ ≠ 0 dan ܬ merupakan matriks blok Jordan yang bersesuaian dengan ߣ = 0. Selanjutnya diberikan teorema yang menjelaskan bentuk invers Drazin dari suatu matriks dengan menggunakan bentuk kanonik Jordan namun sebelumnya diberikan lemma yang dapat mendukung dalam membuktikan teorema yang akan dijelaskan.
J
λ k +1 L O
0000
0000
0000
M
0000 0000
L
0000
J k (λ1 ) = M
0000
Lemma 8 [2] Jika diberikan matriks ܣberukuran ݊ × ݊ atas ℂ maka terdapat matriks ܲ non singular sedemikian sehingga ܬܲ = ܲܣdengan ܬmerupakan bentuk kanonik Jordan dari matriks ܣ. Lebih lanjut ܲ merupakan matriks yang kolom-kolomnya merupakan vektor karakteristik tergeneralisasi dari matriks ܣ. Bukti: Misalkan matriks ܣberukuran ݊ × ݊ atas ℂ dan ߣଵ , . . , ߣ , ߣାଵ , . . , ߣ merupakan nilai karakteristik dari matriks ܣ, ߣଵ = ⋯ = ߣ , sehingga dapat dibentuk
M λn
E. SULISTYONO, S. MARTHA, E.W. RAMADHANI
226
dengan ܬ (ߣଵ ) merupakan matriks blok Jordan yang bersesuaian dengan ߣଵ = ⋯ = ߣ . Misalkan ܠ , ܠ , … , ܓܠmerupakan vektor karakteristik tergeneralisasi yang bersesuaian dengan ߣଵ sehingga dengan menggunakan Definisi 1 maka ݇ vektor karakteristik tergeneralisasi dapat ditentukan dari persamaan sebagai berikut: ( ܣ− ߣଵ ܫ )ܠ = ( ܣ− ߣଵ ܫ )ଶ ܠ = ⋮ ( ܣ− ߣଵ ܫ ) = ܓܠ diperoleh ܠ = ( ܣ− ߣଵ ܫ )ܠ ܠ = ( ܣ− ߣଵ ܫ )ܠ (3) ൢ ⋮ ିܓܠ = ( ܣ− ߣଵ ܫ )ܓܠ Berdasarkan Persamaan (3) maka ܠ , ܠ , … , ܓܠmemenuhi persamaan berikut: ܠܣ = ߣଵ ܠ ܠܣ = ܠ + ߣଵ ܠ (4) ൢ ⋮ ିܓܠ = ܓ ܠܣ + ߣଵ ܓܠ Kemudian ܓܠା , ܓܠା , … , ܖܠmerupakan vektor karakteristik yang bersesuaian dengan nilai karakteristik ߣାଵ , ߣାଶ , … , ߣ sehingga diperoleh ( ܣ− ߣାଵ ܫ )ܓܠା = ( ܣ− ߣାଶ ܫ )ܓܠା = (5) ൢ ⋮ ( ܣ− ߣ ܫ ) = ܓܠ Berdasarkan Persamaan (5) maka ܓܠା , ܓܠା , … , ܖܠmemenuhi persamaan berikut: ܓ ܠܣା = ߣାଵ ܓܠା ܓ ܠܣା = ߣାଶ ܓܠା (6) ൢ ⋮ ߣ = ܖܠܣ ܖܠ Persamaan (4) dan (6) dapat dibentuk menjadi
+ M
nnnn xxxx
nnnn xxxx
+ M
M
T
1111 kkkk xxxx kkkk xxxx
1111 kkkk xxxx kkkk xxxx
M
T
=
1111 2222 xxxx xxxx
1111 2222 xxxx xxxx
A
λ1 0 M 0 0 M 0
λ1
L O
0 0
0 0
L L
M 0
O 1 L λ1
M 0
O L
0 M
L O
0 M
0
L
0
L O
0 0
1
λk + 1 L M
O
0
L
L L
0 0 M 0 0 M λn
pada Persamaan (7), matriks
λ1 1 0 λ 1 M M 0 0 0 0 M M 0 0
0 0
O 1 M O L λ1 0 L L 0 λk +1 L O L
M 0
M 0
O L
0 0 M 0 0 M λn
(7)
Invers Drazin dari Suatu Matriks dengan…
227
xxxx nnnn
xxxx 2222
xxxx 1111
merupakan bentuk kanonik Jordan dari matriks ܣ. Selanjutnya vektor-vektor karakteristik yang terdapat pada Persamaan (7) dapat ditulis menjadi ] P=[ L sehingga Persamaan (7) dapat dinyatakan sebagai ܬܲ = ܲܣ. ∎
Berikut ini diberikan teorema mengenai bentuk invers Drazin dari suatu matriks dengan menggunakan bentuk kanonik Jordan.
Teorema 9 [2] Diberikan matriks A berukuran ݊ × ݊ atas ℂ memiliki bentuk kanonik Jordan ܬ ିଵ ܲ = ܣ ଵ ൨ܲ ܬ dengan ܬ dan ܬଵ yang masing-masing merupakan matriks blok Jordan yang bersesuaian dengan ߣ = 0 dan ߣ ≠ 0, maka ିଵ ൨ ܲିଵ . ܣ = ܲ ܬଵ Bukti: Misalkan matriks ܣberukuran ݊ × ݊ atas ℂ dapat dinyatakan ke dalam bentuk kanonik Jordan yaitu: ܬ ିଵ (8) ܲ = ܣ ଵ ൨ܲ ܬ untuk suatu ܲ merupakan matriks yang kolom-kolomnya merupakan vektor karakteristik ܬ tergeneralisasi yang bersesuaian dengan nilai karakteristik dari matriks ܣ, dan ଵ ൨ merupakan ܬ bentuk kanonik Jordan dari matriks ܣ. Misalkan ܣ merupakan invers Drazin dari matriks ܣyang dapat ditulis sebagai berikut: ܴ ିଵ ܣ = ܲ ቂ (9) ቃܲ ܷ ܴ dengan ቂ ቃ merupakan bentuk kanonik Jordan dari matriks ܣ , ܴ merupakan matriks blok Jordan ܷ yang memiliki ukuran yang sama dengan ܬଵ , ܷ merupakan matriks blok Jordan yang memiliki ukuran yang sama dengan ܬ . Karena ܣ merupakan invers Drazin dari ܣ, maka ܣdan ܣ memenuhi ܣ ܣܣ = ܣ (10) ܣ = ܣܣ ܣ (11) dengan ݇ merupakan indeks dari matriks ܣ. Selanjutnya dengan mensubstitusikan Persamaan (8) dan (9) ke Persamaan (11) diperoleh ܬାଵ ܴ ܬଵ ቈଵ = ቈ ܬାଵ ܷ ܬ karena ܬଵ merupakan matriks blok Jordan yang bersesuaian dengan ߣ ≠ 0 akibatnya ܬଵ memiliki invers sehingga berdasarkan kesamaan dua matriks diperoleh ܬଵାଵ ܴ = ܬଵ ⟺ ܴ = ܬଵିଵ . Dengan mensubstitusikan Persamaan (8) dan (9) ke Persamaan (10) diperoleh ܷ = ܬ ܷ ଶ . (12) ଶ Matriks ܬ = dengan ݇ merupakan indeks dari matriks ܣmaka ܬ ܷ = . Karena ܷ = ܬ ܷ dan ܬ ܷ = maka ܬିଵ ܷ = ܬ ܷଶ = dan ܬିଶ ܷ = ܬିଵ ܷ ଶ = kemudian ditentukan ݇ hingga diperoleh ܬ ܷ ଶ = . (13) Berdasarkan Persamaan (12) dan (13) maka diperoleh ܷ = . Kemudian dengan mensubstitusikan matriks ܴ = ܬଵିଵ , ܷ = ke Persamaan (9) diperoleh
228
E. SULISTYONO, S. MARTHA, E.W. RAMADHANI
ܬଵ ିଵ ቃ ܲ ∎. Berikut ini diberikan contoh dalam menentukan invers Drazin dari suatu matriks singular. ܣ = ܲ ቂ
Contoh 10 Diberikan matriks ܬdari Contoh 2. Matriks blok Jordan ܬଵ dan ܬ adalah sebagai berikut: 3 1 0 ܬଵ = 0 3 ܬ = ሾ0ሿ 0 ൩ dan 0 0 2 − 2݅ Selanjutnya menentukan invers Drazin dari matriks ܣdengan menggunakan Teorema 9 yaitu: ିଵ ൨ ܲିଵ ܣ = ܲ ܬଵ diperoleh
1 4i 7 5 + i D A = 18 36 − 1i 2 0
0 1 3 0 0
1 i 8 4 4 11 1 1 1 + i − − i 72 36 12 12 1 1 1 + i 4 2 2 1 0 3 −
1
−
1
−
Invers Drazin dari matriks ܣberukuran ݊ × ݊ atas ℂ diperoleh dengan menentukan nilai karakteristik dari matriks ܣdan multiplisitas aljabar dari masing-masing nilai karakteristik. Langkah selanjutnya PENUTUP
menentukan bilangan bulat positif terkecil yang memenuhi dim ቀܧఒ ቁ = ݉(ߣ ). Nilai digunakan
untuk menentukan vektor karakteristik tergeneralisasi dari matriks ܣ. Selanjutnya membentuk ܲ dengan kolom-kolomnya merupakan vektor karakteristik tergeneralisasi dari matriks ܣ. Hasil perkalian dari ܲିଵ ܲܣmerupakan bentuk kanonik Jordan dari matriks ܣyang dinotasikan dengan ܬ. Matriks ܬdipartisi menjadi ܬଵ dan ܬ secara berturut-turut merupakan matriks blok diagonal utama dan matriks nol untuk blok lainnya. Invers Drazin dari matriks ܣdiperoleh dengan melakukan perkalian antara matriks ܲ, matriks yang dipartisi menjadi ܬଵିଵ dan matriks nol merupakan matriks blok diagonal utama serta matriks nol untuk blok lainnya, dan invers dari matriks ܲ. DAFTAR PUSTAKA
[1]. Campbell SL, Meyer CD. Generalize Inverses of Linear Transformation. London: Siam; 2009. [2]. Ben-Israel A, Greville NE. Generalized Inverse : Theory and Application, Second Edition. New York: Springer; 2003. [3]. Bronson R, Costa GB. Linear Algebra : An Introduction, Second Edition. London: Elsevier; 2007. [4]. Nikuie M. Some Result About The Index of Matrix and Drazin Inverse. Mathematical Science. 2010; 4(3):283-294. EKO SULISTYONO
: Jurusan Matematika FMIPA Untan, Pontianak,
[email protected] SHANTIKA MARTHA : Jurusan Matematika FMIPA Untan, Pontianak,
[email protected] EKA WULAN RAMADHANI : Jurusan Matematika FMIPA Untan, Pontianak,
[email protected]
