MEMBAWA MATRIKS KE DALAM BENTUK KANONIK JORDAN. Irmawati Liliana. KD Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Unswagati

Jurnal Euclid, vol.3, No.2, p.568 MEMBAWA MATRIKS KE DALAM BENTUK KANONIK JORDAN

Irmawati Liliana. KD Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Unswagati [email protected]

Abstrak Bentuk kanonik Jordan terbentuk apabila terdapat suatu matriks A dengan nilai eigen λ dan u. u adalah vektor eigen dan vektor eigen tergeneralisir dari matriks A, maka akan didapat matriks transisi Q dimana entri-entri matriks transisi Q adalah vektor u sehingga didapat Q1

AQ = J, dimana J adalah bentuk kanonik Jordan.

Suatu matriks persegi A dengan ordo nxn yang mempunyai s vektor eigen yang bebas linier, maka similar dengan matriks J yang berbentuk:

J1 0  0 0 J   2 J  Q-1AQ     0   J  s  J dinamakan bentuk kanonik Jordan dengan tiap Ji (i = 1, 2,….., s) dinamakan blok Jordan, dimana

1 0 1 0   Ji     0   

0   1 i 

Dengan λi adalah nilai eigen tunggal dari matriks A dan mempunyai s vektor eigen yang bebas linier dari A. Matriks Q kolom-kolomnya merupakan vektor eigen dan vektor eigen tergeneralisir dari matriks A. Kata kunci: Bentuk Kanonik Jordan, Nilai Eigen, Vektor Eigen, Vektor Eigen Tergeneralisir

A. PENDAHULUAN Matriks merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika, yang lebih dikhususkan dalam kajian aljabar linear. Matriks adalah susunan segiempat sikusiku dari bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks (Howard Anton,2002). Proses membentuk suatu matriks menjadi matriks diagonal kita ketahui sebagai proses diagonalisasi matriks yang memerlukan nilai eigen dan vektor eigen. Sebuah matriks yang nonsingular P dapat mendiagonalisasikan matriks A sedemikian sehingga P−1 A P diagonal. Jurnal Euclid, ISSN 2355-1712, vol.3, No.2, pp. 474-603 ©Prodi Pendidikan Matematika Unswagati Cirebon

adalah matriks

Jurnal Euclid, vol.3, No.2, p.569 Suatu matriks dapat dibawa ke bentuk kanonik jika dapat didiagonalisasikan. Jika suatu matriks tidak dapat didiagonalisasikan maka harus dicari vektor-vektor eigen dari matriks tersebut. Ada berbagai macam bentuk kanonik diantaranya bentuk kanonik rasional, Jacobian, triangular dan Jordan. Pada kesempatan ini peneliti ingin memperdalam salah satu bentuk yaitu bentuk kanonik Jordan. Kanonik Jordan terjadi bila suatu matriks A dengan nilai eigen  dan u adalah vektor eigen dan vektor eigen tergeneralisir dari matriks A maka akan didapatkan matriks transisi Q, dimana matriks transisi Q adalah vektor u sehingga didapat Q-1AQ = J dimana J adalah bentuk kanonik Jordan. Dalam artikel ini dibahas bagaimana membawa matriks ke dalam bentuk kanonik Jordan menggunakan konsep-konsep aljabar linear. Oleh karena itu penting sekali dipelajari terlebih dahulu dasar-dasar aljabar linear seperti sistem persamaan linear, ruang vektor, matriks, dimensi dan basis. B. KAJIAN PUSTAKA Suatu matriks A dengan ordo nxn dikatakan dapat didiagonalisasi jika hanya jika A mempunyai vektor eigen yang bebas linier. Bila 1,2,…,  nilai eigen A dengan berturut-turut m1,m2,…,m , dimana mi (i =

) adalah banyaknya nilai eigen i dan dim ( E ) adalah dimensi ruang eigen maka dim ( E )1+ dim ( E )2+…+ dim ( E )  = m1+m2+…+m  = n 1,…,

hal ini mengakibatkan A mempunyai cukup vektor eigen dengan nilai eigen . Maka didapat matriks Q sedemikian hingga Q-1AQ = D dimana D adalah matriks diagonal. Matriks A dengan nilai eigen  dengan m1, serta vektor eigen yang bebas linier yang berhubungan dengan  kurang dari m, maka

1 dim( E ) m , ini berarti

bahwa A tidak mempunyai cukup vektor eigen dengan nilai eigen . Karena itu tidak mungkin untuk menemukan matriks Q sedemikian hingga Q-1AQ = D dimana D adalah matriks diagonal. Kolom matriks transisi Q merupakan vektor-vektor eigennya. Vektor-vektor ini dinamakan vektor eigen tergeneralisir. 1. Bentuk Kanonik Jordan Jika A matriks persegi dengan ordo nxn yang mempunyai s vektor eigen yang bebas linier, maka similar dengan matriks J yang berbentuk

J1 0  0 0 J   2 J  Q-1AQ     0   J  s  Jurnal Euclid, ISSN 2355-1712, vol.3, No.2, pp. 474-603 ©Prodi Pendidikan Matematika Unswagati Cirebon

Jurnal Euclid, vol.3, No.2, p.570 J dinamakan bentuk kanonik Jordan dengan tiap Ji (i = 1,2,…,s) dinamakan blok Jordan yang berbentuk matriks segitiga

1 0 1 0   Ji     0   

0   1 i 

dimana i adalah nilai eigen tunggal dari matriks A dan s adalah vektor eigen yang bebas linier dari A. Q adalah matriks yang kolom-kolomnya merupakan vektor eigen dan vektor eigen tergeneralisir dari matriks A. (Bill Jacob, 1990) Bentuk kanonik Jordan adalah matriks diagonal dengan nilai eigen pada diagonal. Oleh karena itu matriks diagonal tersebut dinamakan bentuk kanonik Jordan. 2. Vektor Eigen Tergeneralisir Teori basis dapat digunakan pada vektor eigen tergeneralisir untuk menghasilkan balikan matriks transisi Q sehingga transformasi ini menyebabkan matriks A menjadi bentuk kanonik jordan. Vektor eigen u merupakan penyelesaian dari persamaan matriks Au = u

A- I u  0. Sedangkan vektor eigen tergeneralisir u

r



merupakan penyelesaian dari

persamaan matriks Aur = r ur + ur-1. ur adalah vektor eigen tergeneralisir dari vektor eigen ur-1. Persamaan ini dapat ditulis menjadi

A- rI ur  ur1 . Dimana r adalah rank dari matriks A. Jika u

1

adalah

vektor eigen, u2 adalah vektor eigen tergeneralisir dari vektor eigen u1, dan seterusnya. Contoh 1 Cari bentuk kanonik jordan dari matriks

2 1 4  A 0 2 1 0 0 3 

Jawab: Karena matriks A merupakan matriks segitiga atas sesuai dengan teorema maka nilai eigen yang di dapat 1=2=2 dan 3=3 

Untuk 1=2=2 maka

0 1 4  A- 2I  0 0 1 0 0 1 

H32(1)

0 1 4  0 0 1   0 0 0 

rank =2 dan dim ( E )1 adalah 1. Vektor eigen yang berhubungan dengan =2 adalah Jurnal Euclid, ISSN 2355-1712, vol.3, No.2, pp. 474-603 ©Prodi Pendidikan Matematika Unswagati Cirebon

Jurnal Euclid, vol.3, No.2, p.571

A- 2Ix = 0 

0 1 4  x1 0 0 0 1 x   0    2   0 0 0  x3 0

persamaannya menjadi x2 + x3 = 0 - x3 = 0 misal x3 =0 , x2 =0 dan x1=t maka vektor eigen yang bersesuaian dengan =2 adalah vektor tak nol yang berbentuk

jadi 

t  1 x  0  t0 0 0

1  u1   0 0

Untuk mencari vektor eigen tergeneralisir dengan rank 2 dan  =2 digunakan persamaan :  

A- rI ur  ur1 A- 2I u2  u1 0 1 4  x1 1 0 0 1 x   0    2   0 0 1  x3 0

maka didapat x3 = 0 , x2= 1, dan x1= t maka vektor eigen tergeneralisir yang bersesuaian dengan =2 adalah vektor tak nol yang berbentuk

t  0   x = 1  t1 0 0

jadi vektor eigen tergeneralisirnya adalah u2 = 

Untuk 3=3 ,maka

1 1 4  A-3I   0 1 1 H12(1)  0 0 0  A-3I x = 0

0 1 .  0

1 0 3   0 1 1    0 0 0 

Jurnal Euclid, ISSN 2355-1712, vol.3, No.2, pp. 474-603 ©Prodi Pendidikan Matematika Unswagati Cirebon


1 0 3 x1 0       0 1 1x2  0  0 0 0 x3 0 persamaannya menjadi -x1

+ 3x3 = 0

- x2 – x3 = 0 terdapat satu variabel bebas, misal x3 x3= 1 , x2= -1 dan x1= 3 maka vektor eigen yang bersesuaian dengan  =3 adalah u3=

3 1    1 

Didapat himpunan vektor {u1,u2,u3}

1 0 3  1 0 3   -1  Q  0 1 1 sehingga Q  0 1 1  0 0 1  0 0 1  1 0 32 1 4 1 0 3  -1 Q AQ 0 1 1 0 2 10 1 1 0 0 1 0 1 3 0 0 1  2 1 0  0 2 0 0 0 3 j 0  1  0 j2 2 1 dan j  3. dimana j1   2  0 2 Contoh 2 Cari Q sehingga Q-1AQ = J. J adalah bentuk kanonik jordan dari matriks

2 0 A  0 0 

-1 3 1 1

2 -1 1 -3

0 0 0 5

Jawab:

2 1 2 0 0 3 1 0 A- I  0 1 1 0 0 1 3 5


Jurnal Euclid, vol.3, No.2, p.573 Persamaan eigen A adalah

A-I  4 113 422 68 40  23 5  0

Maka nilai-nilai eigen yang didapat 1=2=3=2, dan 4=5 

Untuk 1=2=3=2, maka

1 1 1 1

0  A- 2I  00 0 

2 1 1 3

1 1 0 1

0 0 0 0 H32(-1)  0 0  0 3 

2 1 0 3

0 0 0 0

rank = 3 dan dim ( E ) adalah 1 Vektor eigen yang berhubungan dengan =2 adalah

A- 2Ix = 0



1 1 0 1

0 0  0 0 

2 1 0 3

0x1 0 0x2 0  0x3 0 3x4 0

persamaanya menjadi -x2 + 2x3 x2 - x3

=0 =0

x2 - 3x3 + 3x4 = 0 terdapat 2 variabel bebas x2 dan x3 misal x2=0, x3=0, x4=0 dan x1=t

t  1 0 0 x =    t  0 0 0 0   1 0 Jadi u1 =   0 0 

Untuk mencari vektor-vektor eigen tergeneralisir dengan rank 3 dan  =2 digunakan persamaan : 

A- rI ur  ur1

A- 2Iu = u 0 0  0 0 

2

1

1 1 1 1

2 1 1 3

0x1 1 0x2 0  0x3 0 3x4 0

persamaanya menjadi -x2 + 2x3

=1


Jurnal Euclid, vol.3, No.2, p.574 x2 - x3

=0

x2 - 3x3 + 3x4 = 0 terdapat 2 variabel bebas x2 dan x3 misal x2=1, x3=1, maka x4=

2 3

dan x1=t

t  1 0 1 0 1 x =    t     1 0 1 2 0 2 3   3 0 1 Jadi u2 =   1 2 3  A- 2Iu3 = u2 0 1 2 0x1 0 0 1 1 0x  1   2     0 1 1 0x3 1 0 1 3 3x  2   4 3 persamaanya menjadi -x2 + 2x3 x2 - x3

=0 =1

x2 - 3x3 + 3x4 = didapat x3=1, x2=2, x4=

5 9

2 3

dan x1=s

s 1 0 2 0 2 u3 =    s     1 0 1 5 0 5 9   9 0 2 Jadi u3 =   1 5 9  Untuk 4=5, maka

A-5Ix = 0



3 0  0 0 

1 2 1 1

2 1 4 3

0x1 0 0x2 0  0x3 0 0x4 0

persamaanya menjadi

3x1 - x2 + 2x3 = 0 -2x2 - x3 = 0 - x2 - 4x3 = 0 x2 - 3x3 = 0

terdapat 2 variabel bebas x2 dan x3 misal x2=0, x3=0, x1=0 dan x4=s

0 0 0 0 x =    s  0 0 s 1   0 0 Jadi u4 =   0 1 

Didapat himpunan vektor {u1,u2,u3,u4}

1 0 0 0 0 1 2 0  Q  sehingga 0 1 1 0 0 2 5 1  3 9  1 0 0 02 1 0 1 2 00 3 -1  Q AQ  0 1 1 00 1 0 1  7 10 1 9  9  2 1 0 0 0 2 1 0   0 0 2 0 0 0 0 5   j 0  1  0 j2

1 0  -1 0 1 Q  0 1 0 1  9 2 01 0 1 00 1 1 00 1 3 50 23

0 0 2 0 1 0  79 1 0 0 2 0 1 0  5 9 1



dimana

2 1 0 j1  0 2 1 dan j2  5. 0 0 2

Apabila A suatu matriks persegi yang mempunyai vektor eigen yang bebas linier dan J bentuk kanonik jordan maka sesuai definisi akan diperoleh bentuk:

J  Q-1AQ J   1   Js  dimana entri-entri dari Q adalah vektor eigen dan vektor eigen tergeneralisir dari matriks A dan Ji (i=1,2,..,s) adalah blok Jordan. C. KESIMPULAN DAN SARAN Suatu matriks persegi A dengan ordo nxn dan mempunyai vektor eigen yang bebas linier, maka vektor eigen tersebut similar dengan matriks J yang berbentuk

J1 0  0  J   2 -1  J  Q AQ    0   J  s  Dimana J dinamakan bentuk kanonik jordan dengan tiap Ji (i=1,2,…,s) dinamakan blok jordan

i 1 0 0 0      Ji     1 0     i 

i adalah nilai eigen tunggal dari matriks A, matriks Q kolom-kolomnya merupakan vektor eigen dan vektor eigen tergeneralisir dari matriks A. Vektor eigen u merupakan penyelesaian dari persamaan matriks Au = u

A- I u  0.

Sedangkan

vektor

karakteristik

tergeneralisir

ur



merupakan

penyelesaian dari persamaan matriks Aur = r ur + ur-1. ur adalah vektor karakteristik tergeneralisir dari vektor karakteristik ur-1. Persamaan ini dapat ditulis menjadi

A- rI ur  ur1 , dimana r adalah rank dari matriks A.

Penulis sangat berharap artikel ini dapat digunakan sebagai bahan pertimbangan atau pedoman penelitian lebih lanjut, misalnya penelitian tentang bentuk kanonik jordan bila diaplikasikan dalam bidang lain atau dalam kehidupan sehari-hari.


Jurnal Euclid, vol.3, No.2, p.577 DAFTAR PUSTAKA Anton, H. 2002. Aljabar Linear Elementer. Jakarta: Erlangga. Ayres, F. 1994. Matriks. Jakarta: Erlangga. Finkbeiner, D.T. 1978. Introduction To Matrices And Linear Transformation. San Francisco: W.H. Freeman and Company. Hadley, G. 1992. Aljabar linier. Jakarta: Erlangga. H.S, Suryadi. 1991. Pengantar Aljabar Linear dan Geometri Analitik. Jakarta: Gunadarma. Jacob, B. 1990. Linear Algebra. New York: W.H. Freeman and Company. Setiadji. 2007. Aljabar Linear. Jogjakarta: Graha Ilmu. Tabrizian, P. 2013. How to Find the Jordan Canonical Form of Matrix. http://math.berkeley.edu. Diakses 26 September 2015.


MEMBAWA MATRIKS KE DALAM BENTUK KANONIK JORDAN. Irmawati Liliana. KD Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Unswagati

Recommend Documents