MATEMATIKA KEUANGAN PENDAHULUAN
Julan HERNADI
1
Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Ponorogo Semester Genap 2012/2013
Julan HERNADI
matematika keuangan
SIMULASI INVESTASI Kebutuhan pokok plus mencakup: sandang, pangan, papan, kendaraan, alat komunikasi, dll. Misalkan kebutuhan pokok tersebut telah terpenuhi dan anda masih mempunyai kelebihan uang, katakan 100 juta rupiah selama 1 tahun. Digunakan untuk apa uang 100 juta rupiah ini?
Dibelikan perhiasan/emas Didepositokan di bank Dibelikan property extra, mis tanah, dll Dibelikan saham perusahaan, misalkan ikut danareksa Dibelikan obligasi Disimpan di bawah kasur, dll Keadaan uang 1 tahun yang akan datang
Bertambah signi kan berlipat-lipat Tetap nominalnya Berkurang nominalnya Julan HERNADI
matematika keuangan
KEADAAN INVESTASI PADA 2 TITIK WAKTU
Figure: Model uktuasi investasi
Julan HERNADI
matematika keuangan
TENTANG MATA KULIAH INI
Deskripsi mata kuliah: mata kuliah ini membahas manajemen investasi khususnya portofolio ditinjau dari teori matematika khususnya teori probabilitas. Tujuan mata kuliah : memberikan pengetahuan tentang model-model investasi, mengetahui estimasi keuntungan (return) dan resikonya terhadap suatu investasi. Materi Kuliah :
Model pasar sederhana (istilah & asumsi dasar, Prinsip non-arbitrase, Model binomial 1 langkah, Resiko dan kembalian, Kontrak muka, Opsi) Aset bebas resiko Aset dengan resiko Model Pasar waktu diskrit Managemen Portofolio. Julan HERNADI
matematika keuangan
Lanjutan
Mathematics for Finance: An Introduction to Financial Engineering, Referensi : Capinski, M & Zastawniak, T. 2003.
Spring-Verlag, London. SISTEM PERKULIAHAN: Tatap muka, presentasi dosen, presentasi kelompok, menyusun makalah, dll. PENILAIAN:
Kehadiran (10%) Presentasi (20%) Makalah (20%) Tugas pemecahan masalah (10%) Ujian: UTS (20%), UAS (20%) UTS dan UAS wajib diikuti.
Julan HERNADI
matematika keuangan
MACAM ASSET
Asset = harta/kekayaan. Asset dengan resiko (risky-asset), misalnya saham, logam mulia, valuta asing, dll Asset tanpa resiko (risk-free asset), misalnya deposito, obligasi pemerintah, dll Untuk sementara diperhatikan 2 titik waktu, yaitu
t = 0 yaitu saat awal investasi t = 1 yaitu akhir 1 periode investasi. Misalkan S (0) harga/nilai asset dengan resiko, A(0) harga/nilai asset tanpa resiko pada saat t = 0. Kedua harga ini diketahui oleh investor. Bayangkan S (t ) harga saham pada saat t , dan A(t ) banyaknya uang pada rekening bank. S (1) tidak diketahui oleh investor, sedangkan A(1) diketahui oleh investor. Julan HERNADI
matematika keuangan
Rate of return
Rate of return atau disingkat return dide nisikan sebagai selisih perubahan nilai asset terhadap nilai asset mula-mula. Risky-asset:
KS := S (1S)−(0S) (0)
tidak diketahui oleh investor,
S (1) tak diketahui A(1)−A(0) Risk free-asset: AS := A(0) saat t = 0. karena
diketahui oleh investor pada
Tugas matematikawan dalam bidang keuangan: membangun model matematika dari pasar sekuritas keuangan. Diperlukan teori matematika yang relevan. Untuk itu diperlukan beberapa asumsi dasar agar dapat dianalisis secara matematika. Asumsi ini sedapat mungkin mempunyai kemiripan dengan keadaan sesungguhnya atau realitas.
Julan HERNADI
matematika keuangan
ASUMSI DASAR
Asumsi RANDOM. Harga saham yang akan datang
S (1)
tidak pasti, dapat naik, turun atau tetap. Nilai kenaikan atau penurunan juga tidak diketahui. Harga obligasi yang akan datang
A(1) sudah diketahui saat ini.
Asumsi Positif. Semua harga saham dan obligasi selalu
positif, yaitu
S (t ), A(t ) > 0, t = 0, 1.
Julan HERNADI
matematika keuangan
PORTOFOLIO DALAM INVESTASI
Seorang investor mempunyai
x
lembar saham dan
y
lembar
obligasi (surat berharga) akan mempunyai kekayaan
V (t ) = xS (t ) + yA(t ), t = 0, 1 Pasangan
(x , y )
disebut portofolio dan
V (t ) disebut nilai
portofolio atau kekayaan investor. Loncatan (perubahan) nilai asset adalah
V (1) − V (0) = x (S (1) − S (0)) + y (A(1) − A(0)) . Return portofolio adalah
KV =
Julan HERNADI
V (1) − V (0) . V (0) matematika keuangan
Contoh Return
1
2
A(0) = 100 dan A(1) = 110 dollar. Return investasi sebesar −100 = 0.1 = 10%. KA = 110100 Misalkan S (0) = 50 dollar, dan S (1) variabel random dengan dua kemungkinan nilai
(
S (1) =
p
52
dengan probabilitas
48
dengan probabilitas 1 −
maka returnnya juga ada dua kemngkinan, yaitu
(
KS =
4%
bila saham naik
−4%
bila saham turun
Julan HERNADI
matematika keuangan
p
Contoh Portofolio
Misalkan harga per lembar saham dan obligasi sama seperti sebelumnya, yaitu S(0)=50 dollar dan A(0)=100 dollar. Pada
t = 0, diketahui portofolionya adalah x = 20 lembar saham
dan y = 10 surat obligasi. Tentukan nilai portfolio padat = 0, 1. Kemudian hitunglah returnnya. Penyelesaian:
V(0)= (20)(50)+(10)(100) = 2000 dollar. Bila harga saham naik maka V(1) = (20)(52)+(10)(110)= 2140. Bila harga saham turun maka V(1) = (20)(48)+(10)(110)= 2060. Return agar dihitung sendiri ! LATIHAN Selesaikan Latihan 1.1 dan 1.2 (lihat hal 4)
Julan HERNADI
matematika keuangan
Asumsi Dasar Lanjutan Asumsi Keterbagian: banyak lembar saham x dan obligasi y
diasumsikan dapat bernilai bulat, pecahan, negatif, nol, positif, yaitu
x , y ∈ R.
Fakta lapangannya, x dan y bilangan bulat tak
negatif. Asumsi Likuiditas: tidak ada pembatasan jumlah lembar
saham dan obligasi yang diperdagangkan. Ini merupakan idealisasi matematika, keadaan sesungguhnya tidak demikian.
Long position
adalah suatu keadaan dimana sekuritas pada
portofolio bernilai positif. Kebalikannya adalah
short position.
Pada
posisi short, Investor aset bebas resiko dapat pinjam tunai, bunganya dihitung dari nilai penjaman. Pengembalian pinjaman + bunga disebut
closing short position.
Investor saham dapat pinjam saham orang lain, menjualnya dan hasilnya digunakan untuk membuat investasi lainnya. Cara ini disebut juga
short selling.
Julan HERNADI
matematika keuangan
Asumsi kesanggupan: kekayaan investor tidak pernah minus,
yaitu
V (t ) ≥ 0, t = 0, 1
Portofolio yang memenuhi kondisi ini disebut admisibble (layak). Harga satuan diskrit : harga saham yang akan datang
mempunyai nilai diskrit atau banyak kemungkinannya berhingga.
Julan HERNADI
matematika keuangan
S (1)
PRINSIP NON-ARBITRASE Pasar tidak membolehkan keuntungan tanpa resiko, yaitu dengan investasi nol. CONTOH: Misalkan pedagang A di Newyork menawarkan untukmembeli poundsterling seharga 1.62 US dollar per pound, sedangkan penjual B di London menawarkan untukmenjual 1.60 dollar per pound. Seorang investor tanpa modal dapat untung 1.62-1.60=0.02 dollar per pound dengan cara ambil short position dengan pedagang B dan long position dengan A. Keadaan seperti ini diasumsikan tidak boleh terjadi. Model matematika untuk prinsip non-arbitrase: tidak boleh ada admisibble portfolio dengan V(0)=0 sehingga V(1)>0 dengan probabilitas tidak nol. LATIHAN Kerjakan exercises 1.3 (lihat hal 6). Mungkinkah prinsip non-arbitrase dilanggar ! Julan HERNADI
matematika keuangan
MODEL BINOMIAL 1 LANGKAH Pada model ini, harga saham kemungkinan. Misalkan
S (0) = 100 dan
(
S (1) = dimana 0
< p < 1.
S (1) diasumsikan hanya memiliki 2 p
125
dengan probabilitas
105
dengan probabilitas 1 −
p
Mudah diperoleh returnnya adalah
(
KS =
25%
jika harga naik
5%
jika harga turun
Secara umum model binomial 1 langkah dapat disajikan sebagai
Su Sd
(
S (1) = dimana
Sd < Su
dan 0
dengan probabilitas
p
dengan probabilitas 1 −
< p < 1.
Julan HERNADI
matematika keuangan
p
Penentuan harga saham
S
dan obligasi
A dibatasi oleh prinsip
non-arbitrase, seperti diungkapkan pada teorema berikut. Theorem
Bila A(0) = S (0) maka haruslah S d < A(1) < S u . Bila tidak maka akan terjadi kesempatan arbitrase. Bukti. Untuk sederhananya, misalkan
A(1) ≤ S d
maka pada
A(0) = S (0) = 100.
t = 0 dilakukan kegiatan sbb
Andai
Pinjam cash 100 dollar aset bebas-resiko, Beli 1 lembar saham seharga 100 dollar Keadaan ini memenuhi portofolio Pada
t = 1, diperoleh
S u − A(1) S d − A(1)
(
V (1) = Pada kedua kasus
x = 1, y = −1 sehingga V (0) = 0. bila harga naik bila harga turun.
V (1) > 0 sehingga muncul kesempatan arbitrase. Julan HERNADI
matematika keuangan
Selanjutnya diandaikan
A(1) ≥ S u , maka pada t = 0 dilakukan
short selling 1 lembar saham 100 dollar investasikan 100 dollar tsb pada ases tanpa resiko Keadaan ini memenuhi portofolio Pada
t = 1, diperoleh
x = −1, y = 1 sehingga V (0) = 0.
( −S u + A(1) V (1) = −S d + A(1) Pada kedua kasus selalu dipenuhi
bila harga naik bila harga turun.
V (1) > 0, yaitu prinsip
non-arbitrase dilanggar. Oleh karena itu untuk menjamin agar prinsip non-arbitrasi tidak dilanggar haruslah
Julan HERNADI
S d < A(1) < S u .
matematika keuangan
EKSPEKTASI RETURN DAN RESIKO INVESTASI Diperhatikan ilustrasi berikut: misalkan dan
S (0) = 80, S (1) diberikan oleh (
S (1) =
A(0) = 100, A(1) = 110,
100
probabilitasnya 0.8
60
probabilitasnya 0.2.
Misalkan dana 10000 dollar diinvestasikan denga portofolio saham dan
y = 60 obligasi.
Diperoleh
(
V (1) = (
KV =
x = 50
11600
bila harga naik
9600
bila harga turun.
0.16
−0.04
bila harga naik bila harga turun.
Ekspektasi return adalah ekspektasi matematika terhadap return
portofolio, dalam hal ini adalah Julan HERNADI
matematika keuangan
E (KV ) = (0.16)(0.8) + (−0.04)(0.2) = 0.12 = 12%.
Sedangkan
resiko investasi dide nisikan sebagai standar deviasi dari variabel
random
KV , yaitu s
σV =
n
∑ (Ki − E (KV ))2 p(KV = Ki )
i =1 q = (0.16 − 0.12)2 (0.8) + (−0.04 − 0.12)2 (0.2) = 0.08
Jadi untuk investasi ini diperoleh ekspektasi 12% dan resiko 8%. Coba bandingkan dengan portofolio berikut: kemudian dengan portofolio
x = 0 dan y = 100,
x = 125 dan y = 0.
Latihan Kerjakan exercise 1.4 hal 10 !
Julan HERNADI
matematika keuangan
KONTRAK MAJU
forward contract ) adalah kesepakatan bersama
Kontrak maju (
investor untuk menjual atau membeli asset beresiko pada waktu
delivery date ), dengan harga
tertentu di masa yang akan datang ( tertentu
F (forward price ).
Investor yang setuju untuk membeli disebut mengambil posisi
long forward.
Investor yang setuju untuk menjual disebut mengambil posisi
short forward.
CONTOH: Misalkan forward price 80 dollar. Kalau harga pasar pada saat delivery date 84 dollar maka pemegang kontrak long forward akan membeli saham tsb seharga 80 dan langsung menjualnya 84 dollar, untung 4 dollar. Sebaliknya, pihak short foward rugi 4 dollar krn hrs mau menjual seharga 80 dollar. Tetapi dalam kasus harga pasar 75 dollar maka pihak long rugi dan pihak short untung. Dalam sistem kontrak maju, kerugian pihak 1 mengakibatkan keuntungan pihak lain, dan sebaliknya. Julan HERNADI
matematika keuangan
PAYOFF DALAM KONTRAK MAJU Pihak pada posisi long akan untung bila short akan untung bila selisih nilai
S (1) dan F
S (1) < F .
yang membuat investor untung. Jadi
S (1) − F F − S (1)
(
payo =
S (1) > F , sedangkan posisi
Payo dide nisikan sebagai
bagi posisi long bagi posisi short
Sekarang portofolio dapat memuat kontrak maju, sehingga komponen portofolio dapat disajikan sebagai
(x , y , z )
dimana
x lembar saham y lembar obligasi z banyaknya kontrak maju (positif untuk long dan negatif untuk short) Nilai portofolio pada
t = 0, V (0) = xS (0) + yA(0). Pada delivery V (1) = xS (1) + yA(1) + z (A(1) − F ).
date nilai portofolio menjadi
Julan HERNADI
matematika keuangan
PENENTUAN FORWARD PRICE F Penentuan forward price F didasarkan pada prinsip non-arbitrase.
Contoh: bila A(0) = 100, A(1) = 110 dan S (0) = 50 maka haruslah F = 55, sebab kasus lain akan melanggar prinsip non-arbitrase. Buktinya sbb: Bila
F > 55 maka pada saat t = 0 lakukan:
pinjam 50 dollar, beli 1
lembar saham dan ambil posisi short. Portofolio ini adalah
(1, − 12 , −1)
yaitu punya 1 saham, hutang separuh obligasi, dan 1
posisi short. Mudah dihitung
V (0) = 0.
Pada delivery date
dilakukan: tutup posisi short dg menjual 1 saham seharga F dan tutup hutang dengan mebayar nilai
1 2
× 110 = 55.
V (1) = F − 55 > 0.......terjadi pelanggaran prinsip
non-arbitrase. Coba bagaimana bila
F < 55 ?
Kerjakan Exercise 1.5 dan 1.6 hal
13. Julan HERNADI
matematika keuangan
OPSI CALL Opsi call adalah suatu kontrak yang memberikan hak kepada
pemegangnya (bukan kewajiban) untuk membeli asset dengan
strike/exercise price ) tertentu di masa yang akan datang (exercise time ).
harga (
Perbedaan dengan posisi long pada forward kontrak adalah di sini tidak ada kewajiban membeli bagi pemegang hak, sedangkan pada forward kontrak harus membeli.
(A(0) = 100, A(1) = 110, S (0) = 100
Misalkan
S (1) =
p
120
dengan prob
80
dengan prob 1 −
p
.
dan
Misalkan strike price 100.
Pada saat exercise time, jika harga saham 80, yaitu dibawah strike price maka opsi call tidak berguna. Tidak mungkin pemegang opsi call mau membeli saham dengan 100 padahal harga pasar 80. Sebaliknya jika yang terjadi
S (1) = 120 maka si pemegang opsi call
pasti menggunakan haknya, krn dapat membeli saham seharga 120 dengan hanya membayar 100. Julan HERNADI
matematika keuangan
PAYOFF OPSI
Mirip payo pada kontrak maju, tetapi di sini nilainya tidak pernah negatif. Dalam ilustrasi sebelumnya berlaku payo opsi sbb
(
C (1) =
20
jika saham naik
0
jika saham turun
,
C (0) dapat diinterpretasikan sebagai nilai opsi pada t = 0, yaitu harga opsi yang dapat diperjualbelikan pada saat ini. Portofolio yang memuat
x
lembar saham,
y
obligasi dan
z
opsi adalah
V (0) = xS (0) + yA(0) + zC (0) V (1) = xS (1) + yA(1) + zC (1).
Julan HERNADI
matematika keuangan
Menentukan Nilai Opsi
C (0)
Step 1 (Replikasi opsi): bangun investasi dengan
x
saham dan
y obligasi shg nilainya pada saat t = 1 sama dengan nilai opsi C (1), yaitu xS (1) + yA(1) = C (1) sehingga diperoleh sistem persamaan:
x + 110y = 20 80x + 110y = 0
120
4 . Ini artinya x = 21 dan y = − 11 1 beli lembar saham dan ambil posisi short, yaitu pinjam 2 4 − 11 × 100 agar dapat melakukan replikasi ini. yang memberikan penyelesaian
Step 2 (penilaian opsi): Pada
t = 0, diberlakukan kondisi
xS (0) + yA(0) = C (0) sehingga diperoleh 1
4
2
11
C (0) = (100) − Julan HERNADI
× 100 = 13.6364
matematika keuangan
BENTUK UMUM NILAI OPSI
Nilai opsi untuk portofolio seperti diberikan di atas ditentukan berdasarkan formula 1
4
2
11
C (0) = S (0) −
A(0).
Kemungkinan lain akan menyebabkan pelanggaran prinsip non-arbitrase. Bukti: (lihat buku hal 16). CATATAN Probabilitas saham naik
p
dan saham turun 1 −
tidak berpengaruh pada penentuan harga opsi. Kerjakan Exercise 1.7 dan Exercise 1.8 hal 17.
Julan HERNADI
matematika keuangan
p
OPSI PUT Opsi put adalah hak untuk menjual saham seharga tertentu pada waktu tertentu di masa yang akan datang. Berbeda dengan opsi call, opsi put tidak berguna jika harga saham pada waktu exercise date lebih tinggi dari strike price. Payo opsi call adalah
(
P (1) =
0
F − Sd
bila harga naik bila harga turun
( =
0
bila harga naik
20
bila harga turun
Pemegang opsi call tidak akan menggunakan haknya untuk menjual harga saham di bawah harga pasar. Tetapi dalam kontrak maju posisi short wajib menjual saham seharga tsb. Variasi investasi dapat memuat opsi sekaligus kontrak maju, dimana payo bergantung pada harga saham. Karena
derivative securities (sekuritas turunan) atau contingent claim. itu kedua bentuk investasi ini disebut
Kerjakan Latihan 1.9 hal 18. Julan HERNADI
matematika keuangan
MANAGEMEN RISIKO DENGAN OPSI Adanya opsi dan turunan sekuritas lainnya memungkinkan untuk memperluas skenario investasi. Ilustrasi, andai anda mempunyai dana 1000 dollar. Diperhatikan model investasi sebelumnya, yaitu:
A(0) = 100, A(1) = 110, S (0) = 100 dan (
S (1) =
p
120
dengan prob
80
dengan prob 1 −
p
.
Bila dibelikan 10 lembar saham maka akan diperoleh kekayaaan
( 10 ×
S (1) =
1200
bila harga saham naik
800
bila harga saham turun
.
Bila diinvestasikan pada opsi call semua semua, yaitu
1000 13.6364
= 73.33
maka akan diperoleh kekayaan
( 73.33 ×
C (1) =
1466.67
bila saham naik
0
bila saham turun
Julan HERNADI
matematika keuangan
.
ANALISIS
Perhatikan jika diinvestasikan pada opsi, anda akan memperoleh return 46.67% ketika saham naik, tapi sebaliknya modal awal habis bila saham turun. Bila investasi pada saham maka return akan didapat sebesar 20% jika saham naik, sebaliknya akan rugi 20% jika saham turun. KERJAKAN Latihan 1.10, Latihan 1.11, Latihan 1.12 hal 19-20.
Julan HERNADI
matematika keuangan
