Teori Dasar Himpunan. Julan HERNADI. December 27, Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo

Teori Dasar Himpunan

Julan HERNADI1 Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo

December 27, 2012

Julan HERNADI


PENGERTIAN DASAR

Denition Himpunan merupakan koleksi objek-objek yang disebut anggota atau elemen himpunan tersebut. Himpunan merupakan koleksi takterurut objek-objek. Himpunan yang tidak mempunyai anggota disebut himpunan kosong, dinyatakan dengan dengan

{ }.

Keanggotaan himpunan ditulis dengan notasi

anggota himpunan

S.

x ∈S

berarti objek

0/

x

atau

Representasi Himpunan braces ), jika A := {a, b, c , d } menyajikan himpunan dengan 4 anggota yaitu a, b, c dan d . Dalam hal ini a ∈ A, b ∈ A, c ∈ A dan d ∈ A. Menuliskan sebagian anggotanya dan menggunakan notasi ellipses (· · · ) untuk Menuliskan semua anggotanya di antara dua kurung kurawal (

mungkin. Notasi

menyatakan anggota yang lainnya. Cara ini biasanya digunakan untuk himpunan yang anggotanya sangat banyak sehingga tidak memungkinkan ditulis satu per satu. Contoh:

B := {1, 2, · · · , 99}

merupakan himpunan bilangan bulat yang

kurang dari 100.

set builder ).

Menuliskan sifat keanggotaannya atau pembangun himpunan ( Contoh:

Q :=

n

p q | p , q ∈ Z, q 6= 0

o

menyatakan himpunan bilangan rasional.

Menggunakan diagram Venn, yaitu berupa persegi panjang untuk menyatakan semesta dan di dalamnya digambarkan lingkaran atau bangun lainnya untuk menyatakan himpunan yang dimaksud.

Julan HERNADI


Lanjutan...

Notasi set builder secara umum ditulis sebagai

B = {x | P (x )} dimana

P (x )

pernyataan tentang

x,

atau sifat yang dimiliki oleh

x.

Notasi | dibaca di

mana, atau dengan.

Example Misalkan O himpunan bilangan ganjil maka cukup ditulis Himpunan bilangan real dapat pula ditulis sebagai

O = {2n − 1|n ∈ Z }.

R ={x | x

bilangan real}.

Berikut ini diberikan beberapa contoh himpunan bilangan dan notasi standar yang digunakan secara internasional:

1

N ={1, 2, 3, · · · }

2

Z = {· · · , −2, −1, 0, 1, 2, · · · } himpunan bilangan bulat n o Q := qp | p , q ∈ Z, q 6= 0 himpunan bilangan rasional

3

himpunan bilangan asli

4

R

5

C = {a + bi | a, b ∈ R}

himpunan bilangan real himpunan bilangan kompleks, di mana

Julan HERNADI


√

i = −1.

HIMPUNAN BAGIAN

Denition Misalkan

1

A

A

dan

B

dua himpunan tertentu.

dikatakan himpunan bagian (

juga merupakan anggota

B,

subset )

dari

B

jika hanya jika setiap anggota

dan dilambangkan dengan

A ⊆ B.

logika denisi ini dapat ditulis sebagai

A ⊆ B ↔ [∀x (x ∈ A → x ∈ B )

TRUE]

Notasi ⊂ kadangkala digunakan juga untuk menyatakan himpunan bagian.

2

dan

3

A B ⊆ A.

Himpunan

dan

B

dikatakan sama, ditulis

A=B

jika dan hanya jika

A dikatakan himpunan bagian sejati (proper subset ) A 6= B , biasanya ditulis A ( B .

dari

B

Theorem Untuk sebarang himpunan S, maka berlaku 1

0/ ⊆ S

2

S ⊆ S. Julan HERNADI


jika

A

Dalam bahasa

A⊆B

A⊆B dan

Bukti Teorema dan kardinalitas himpunan

1

Untuk membuktikan

∀x (x ∈ 0/ → x ∈ S )

0/ ⊆ S

dikarenakan pernyataan

∀x (x ∈ 0/ → x ∈ S )

cukup ditunjukkan bahwa kuantikasi

x ∈ 0/ → x ∈ S selalu TRUE x ∈ 0/ selalu FALSE (mengapa ???) maka jelas

TRUE. Karena implikasi

TRUE. Terbukti himpunan kosong adalah himpunan bagian

dari himpunan apapun. Perhatikan di sini digunakan metoda pembuktian kosong (

2

vacous proof ).

Pernyataan

x ∈S →x ∈S

jelas bernilai TRUE. Jadi terbuktilah (2).

Denition Misalkan

S

sebuah himpunan. Bila terdapat tepat

maka himpunan

S

n

anggota berbeda di dalam

dikatakan mempunyai kardinalitas

n.

himpunan adalah banyaknya anggota himpunan tersebut. Kardinalitas ditulis sebagai

|S |.

innite set )

Himpunan takberhingga (

S

Dengan kata lain, kardinalitas

S

biasanya

adalah himpunan dengan

kardinalitas takberhingga.

Example S :=himpunan

semua huruf latin, maka

|S | = 26.

Himpunan kosong mempunyai

kardinalitas 0. Himpunan bilangan real, himpunan bilangan bulat positif, himpunan bilangan rasional merupakan himpunan takberhingga.

Julan HERNADI


HIMPUNAN KUASA

Denition Misalkan

S

P(S )

power set ) dari S adalah himpunan S biasanya ditulis dengan

sebuah himpunan. Himpunan kuasa (

yang memuat semua himpunan bagian

S

S.

Himpunan kuasa

atau 2 .

Example S = {a, 1, 2}

maka himpunan bagian

S

adalah sebagai berikut.

0, / {a, 1, 2}, {a, 1}, {a, 2}, {1, 2}, {a}, {1}, {2}. Jadi

P({a, 1, 2}) = {0, / {a, 1, 2}, {a, 1}, {a, 2}, {1, 2}, {a}, {1}, {2}}.

Fact Himpunan 0, / S ∈ P(S ) Terdapat indikasi |P(S )| = 2|S | , karena pada contoh ini |S | = 3 dan P(S ) = 8. Fakta pertama sudah dibuktikan sebelumnya. Fakta kedua belum, masih dalam bentuk konjektur. Untuk itu perlu dibuktikan teorema berikut.

Julan HERNADI


Kardinalitas Himpunan Kuasa

Theorem

Bila S mempunyai kardinalitas n maka P(S ) mempunyai kardinalitas 2n .

Proof. P (n) : kardinalitas himpunan kuasa dari n adalah 2n , n = 1, 2, · · · . Untuk P (1): Misalkan S = {x } maka P(S ) = {0, / {x }}. Jadi |P(S )| = 21 = 2. Selanjutnya dibuktikan langkah induktif berikut: jika P (k ) TRUE maka ditunjukkan P (k + 1) TRUE. Misalkan S himpunan dengan kardinalitas k . Maka berdasarkan hipotesis k 0 induksi, |P(S )| = 2 . Tulis P(S ) = {P1 , P2 , · · · , P k }. Misalkan S adalah himpunan 2 dengan kardinalitas k + 1. Tanpa mengurangi umumnya pembuktian, tulis S 0 = {S , x } = {P1 , P2 , · · · , P2k , x }. Maka himpunan kuasa dari S 0 dapat ditulis sebagai

Menggunakan PIM pada

n,

di mana

himpunan yang mempunyai kardinalitas

berikut

    P(S 0 ) = P1 , P2 , · · · , P2k , {P1 , x }, {P2 , x }, · · · , {P2k , x }  {z }| {z }    |    

2k elemen

Jadi himpunan dengan kardinalitas

k +1

2k elemen

k + 2k = 2 · 2k = 2k +1

mempunyai 2

Bukti selesai by PIM.

Julan HERNADI


elemen.

Kardinalitas Himpunan Kosong

Berdasarkan denisi,

|0| / = 0.

Apakah teorema di atas berlaku. Coba diperhatikan

fakta pertama bahwa himpunan kuasa minimal memuat 2 anggota, yaitu himpunan kosong dan dirinya sendiri. Jadi,

P(0) / = {0, / 0} / = {0}, / yaitu mempunyai 2

0 (= 1) anggota. Dengan demikian teorema di atas tetap berlaku

untuk himpunan kosong.

Beberapa fakta kritis yang melibatkan himpunan kosong: 0/

dan

{0} /

adalah dua himpunan berbeda, mengapa??

Indentikasilah apakah pernyataan berikut TRUE

1 2

∈ 0/ , 0/ ∈ {0}, {0} ∈ {0}, 0/ ∈ {0}, / 0/ ∈ {0, / {0}},{ / 0} / ∈ {{0}} / . {0} ⊂ 0/ ,0/ ⊂ {0}, {0} / ⊂ {0} / , {0} ⊂ {0}, {0} / ⊂ {0, / {0}}, / {{0}} / ⊂ {0, / {0}} / , {{0}} / ⊂ {{0, / {0}}} / . 0

Himpunan yang hanya memiliki 1 anggota biasa juga disebut

S = {0}, B = {x }.

singleton set .

Contoh:

Hati-hati dengan penggunaan notasi anggota ∈ dan notasi

himpunan bagian ⊂.

Julan HERNADI


Susunan Terurut dan Produk Kartesian

Denition n-elemen (a1 , a2 , · · · , an ) adalah koleksi objek-objek yang diurutkan, di a2 urutan kedua, dan seterusnya. Khusus n = 2 bentuk ini pasangan terurut, yaitu (a, b ).

Susunan terurut mana

a1

disebut

urutan pertama,

Berbeda dengan himpunan, di sini urutan menentukan kriteria. Susunan terurut menggunkan kurang biasa (bracket).

Example 1

Himpunan

{1, 2, 3} = {1, 3, 2}

berdasarkan denisi kesamaan dua himpunan

sebelumnya.

2

(1, 2, 3) 6= (1, 3, 2). Jadi secara umum 2 susunan terurut (a1 , a2 , · · · , an ) dan (b1 , b2 , · · · , bn ) dikatakan sama jika hanya jika ai = bi setiap i = 1, · · · , n. Susunan terurut

untuk

Denition Misalkan

A

dan

B

A dan B , b ∈ B . Jadi

dua buahn himpunan. Produk kartesian dari

adalah himpunan semua terurut

(a, b )

di mana

a∈A

dan

A × B := {(a, b)| a ∈ A, b ∈ B }. Julan HERNADI


ditulis

A×B

Perluasan Produk Kartesian

Denition Produk kartesian dapat diperumum untuk sebanyak berhingga himpunan, yaitu

A1 × A2 × · · · × An = {(a1 , a2 , · · · , an )| ai ∈ Ai , i = 1, 2, · · · , n}. Soal-soal yang dipecahkan

Halaman 85 dan 86 Nomor 1 s.d. 30.

Julan HERNADI


Operasi Himpunan 1

Gabungan (union) A dan B : A ∪ B := {x |x ∈ A ∨ x ∈ B } = {x |x ∈ A} ∨ {x |x ∈ B } = p ∨ q

| 2

3 4 5

{z

=p

} |

{z

=q

}

intersection) A dan B : A ∩ B := {x |x ∈ A ∧ x ∈ B } = {x |x ∈ A} ∧ {x |x ∈ B }. Bila A ∩ B = 0/ maka A dan B disebut saling asing (disjoint ). c Komplemen A: A := {x ∈ Ω|x ∈ / A}, Ω: semesta. Selisih A dari B : A \ B := {x |x ∈ A ∧ x ∈ / B} Selisih simetris A dan B : A ⊕ B := {x |x ∈ A} ⊕ {x |x ∈ B } Irisan (

Latihan mandiri:

1

Ilustrasikan ke-5 operasi himpunan di atas dalam bentuk diagram Venn.

2

Tuliskan sebanyak mungkin hubungan langsung di antara operasi himpunan tersebut.

Prinsip inklusi-eksklusi:

|A ∪ B | = |A| + |B | − |A ∩ B |

Bila

A dan B saling asing maka berlaku |A ∪ B | = |A| + |B |. Julan HERNADI


Soal Latihan

Diberikan himpunan berikut:

A = {a, b, 1, 2, 3}, B = {a, 2, 4, 5} 1

2

3

4 5

A ∪ B , A ∩ B , A \ B , B \ A, A ⊕ B . Apakah A\B = B \A ? Hitunglah |A|, |B |, |A ∪ B |, |A ∩ B |. Apakah berlaku prinsip Tentukan

inklusi-eksklusi ? Tentukan himpunan P(A ∩ B ) dan P(A) ∩ P(B )? Apakah P(A) ∩ P(B ) = P(A ∩ B )? Apakah berlaku P(A) ∪ P(B ) = P(A ∪ B ) ? Bila pernyataan 3 dan 4 berlaku, buktikan kebenaran pernyataan ini secara umum!

Julan HERNADI


Identitas Himpunan

Kalau pada logika ada ekuivalensi logis, maka pada himpunan ada identitas himpunan. Identitas himpunan adalah relasi yang menyatakan kesamaan dua himpunan.

A ∪ 0/ = A dan A ∩ Ω = A. A ∪ Ω = Ω dan A ∩ 0/ = 0/ . Hukum idempoten: A ∪ A = A dan A ∩ A = A. c c Hukum komplemen ganda: (A ) = A. Hukum komutatif: A ∪ B = B ∪ A dan A ∩ B = B ∩ A. Hukum asosiatif: A ∪ (B ∪ C ) = (A ∪ B ) ∪ C dan A ∩ (B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C . Hukum distributif: A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B ) ∪ (A ∩ C ) dan A ∪ (B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ (A ∪ C ). c c c c c c Hukum De Morgan: (A ∪ B ) = A ∩ B dan (A ∩ B ) = A ∪ B . Hukum penyerapan: A ∪ (A ∩ B ) = A dan A ∩ (A ∪ B ) = A. c c Hukum komplemen: A ∪ A = Ω dan A ∩ A = 0 /.

1

Hukum identitas:

2

Hukum dominasi:

3 4 5 6 7 8 9 10

Perhatikan penulisan ekuivalensi logis menggunakan ≡, sedangkan pada identitas himpunan menggunakan =.

Julan HERNADI


Pembuktian Hukum De Morgan

(A ∪ B )c = Ac ∩ B c

Cara 1: Menggunakan denisi kesamaan dua himpunan c Misalkan x ∈ (A ∪ B ) maka x ∈ / (A ∪ B ). Diubah ke dalam kalimat logika, ini tidak x ∈ A ∪ B . Dengan kata lain ¬(x ∈ A ∪ B ), yaitu ekuivalen dengan ¬(x ∈ A ∨ x ∈ B ). Dengan menggunakan aturan De Morgan pada proposisi logika maka diperoleh ¬(x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B ). Bentuk terakhir ini berarti tidak benar bahwa x ∈ A dan tidak benar bahwa x ∈ B . Dikembalikan lagi ke denisi himpunan diperoleh x ∈ / A∧x ∈ / B , yaitu x ∈ / Ac ∩ B c . Ini berarti

benar bahwa

(A ∪ B )c ⊆ Ac ∩ B c .

(*)

c c Sebaliknya, misalkan x ∈ A ∩ B . Kita kerjakan dalam kalimat logika, yaitu ¬(x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B ). Menerapkan De Morgan proposisi diperoleh ¬ (x ∈ A ∨ x ∈ B ), c yaitu ¬(x ∈ A ∪ B ). Akhirnya diperoleh x ∈ (A ∪ B ) . Ini berarti Ac ∩ B c ⊆ (A ∪ B )c . Dengan menggunakan (*) dan (**) maka disimpulkan

Cara 2: Menggunakan sifat keanggotaan (A ∪ B )c = {x |x ∈ / A ∪ B}

(**)

(A ∪ B )c = Ac ∩ B c .

= {x |¬(x ∈ A ∪ B )} = {x |¬(x ∈ A ∨ x ∈ B ) = {x |¬(x ∈ A) ∨ ¬(x ∈ B )}

= {x |(x ∈ / A) ∧ (x ∈ / B )} = {x |x ∈ Ac ∧ x ∈ B c } = Ac ∩ B c . Julan HERNADI


Bukti lanjutan...

Cara

3: Menggunakan tabel keanggotaan.

Misalkan

Ω

dalam

adalah

A

himpunan semesta himpunan dan

τA (x )

A ⊂ Ω.

Nilai keanggotaan

x ∈Ω

di

di mana

( τA (x ) =

1

bila

0

bila

x ∈A x ∈/ A.

Tabel keanggotaan: tabel yang memuat nilai keanggotaan himpunan.

A

B

Ac

Bc

A∪B

(A ∪ B )c

Ac ∩ B c

A∩B

(A ∩ B )c

Ac ∪ B c

1

1

0

0

1

0

0

1

0

0

1

0

0

1

1

0

0

0

1

1

0

1

1

0

1

0

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

1

0

1

1

Perhatikan 2 kolom dengan warna merah dan 2 kolom warna biru, nilai keanggotaannya sama. Disimpulkan kedua himpunan ini sama.

Julan HERNADI


Generalisasi Irisan dan Gabungan

Misalkan

A1 , A2 , · · · , An

himpunan-himpunan yang diberikan. Maka berlaku denisi

berikut:

A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An = ∪ni=1 Ai := {x |x ∈ Ak A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An = ∩ni=1 Ai := {x |x ∈ Ak

untuk suatu

k = 1, 2, · · · , n}. k = 1, 2, · · · , n}

untuk semua

Bahan diskusi: 1 2

Misalkan Bila

An

Ai

dan

Tambahan:

Ai = {i , i + 1, i + 2, · · · },

tentukan

= (1 − 1i , 1 + 1i ), tentukan

Bn

bila

n → ∞?

∪10 i =1 A i

An := ∩ni=1 Ai

dan

dan

∩10 i =1 A i .

Bn := ∩ni=1 Bi .

Bagaimana

Representasi himpunan pada komputer

Misalkan semesta

Ω

terdiri dari

n

elemen, katakan

disajikan sebagai string-bit dengan panjang

n,

Ω = {a1 , a2 , · · · , an }. Himpunan A ai ∈ A dan 0 jika ai ∈/ A.

bernilai 1 jika

Example

Misalkan Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} maka A = {1, 7, 9} disajikan sebagai A = 1000001010, B = {2, 5, 8, 10} disajikan sebagai B = 0100100101.

Soal-soal yang dipecahkan : Hal 94 - 96. Julan HERNADI


Teori Dasar Himpunan. Julan HERNADI. December 27, Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo

Recommend Documents