HIMPUNAN MATEMATIKA Program Studi Agroteknologi Universitas Gunadarma
Ruang Lingkup
Pengertian Himpunan
Notasi Himpunan
Cara menyatakan Himpunan
Macam Himpunan
Diagram Venn
Operasi Himpunan dan Sifat-sifatnya
Pengertian Himpunan Himpunan : Suatu kumpulan atau gugusan dari sejumlah obyek. • Secara umum himpunan dilambangkan A, B, C, ...... Z • Obyek dilambangkan a, b, c, ..... z - A
∩
∩
- p A p anggota A B A himpunan bagian dari B
-
∩
- A = B himpunan A sama dengan B ∩
• Notasi :
= ingkaran
Penyajian Himpunan
Penyajian Himpunan cara daftar A = {1,2,3,4,5} berarti: himpunan A beranggotakan bilanganbilangan bulat positif 1,2,3,4, dan 5. cara kaidah A = {x; 0 < x < 6} berarti: himpunan A beranggotakan obyek x, dimana x adalah bilangan-bilangan bulat positif yang lebih besar dari nol tetapi lebih kecil dari enam.
Himpunan semesta (universal set)
Notasi: U atau S
Untuk membatasi himpunan yang dibicarakan
Setiap himpunan yang dibicarakan selalu ada dalam himpunan semesta
Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} A dan B adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5} dan B = {2, 3, 4}
Himpunan Bagian (Subset) Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. Diagram Venn: U
A
B
NOTASI :
himpunanbagian Superset, sumber himpunan
himpunanbagian sejati
P 1,2,3,5 A 3,1 B 1
C 1,2 D 1,2,3 E 1,3,5,2 F
AP PA BA E P D B F A
Himpunan kosong (null set) Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set). Notasi : atau {{ }} Contoh (i) Himpunan bilangan genap yang ganjil (ii) E = { x | x < x }, maka n(E) = 0 (iii) P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0 (iv) A = {x | x adalah akar persamaan kuadrat x2 + 1 = 0 }, n(A) = 0 Himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {} Himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {, {}} {} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu himpunan
kosong.
Operasi Himpunan
Irisan (Intersection)
A ∩ B = {x; x Є A dan x Є B}
Gabungan (Union) A U B = {x; x Є A atau x Є B}
Selisih A - B = A|B {x; x Є A tetapi x Є B}
Pelengkap (Complement) Ā = {x; x Є U tetapi x Є A} = U – A
Beda setangkup (symmetric difference)
Diagram Venn Contoh Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.
Diagram Venn:
U
A 1 3
B 2 5
7 8 6
4
Diagram Venn Gabungan ( A U B )
Irisan
Lanjutan ........ • Selisih ( A – B = A|B )
• Pelengkap / complement ( Ā )
Operasi Terhadap Himpunan 1. Irisan (intersection) Notasi : A B = { x x A dan x B }
Contoh (i) Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18}, maka A B = {4, 10} (ii) Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A B = . Artinya: A // B
2. Gabungan (union) Notasi : A B = { x x A atau x B }
Contoh (i) Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka A B = { 2, 5, 7, 8, 22 } (ii) A = A
3. Komplemen (complement) Notasi : A = { x x U, x A }
Contoh Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 }, (i) jika A = {1, 3, 7, 9}, maka A = {2, 4, 6, 8} (ii) jika A = { x | x/2 P, x < 9 }, maka A = { 1, 3, 5, 7, 9 }
4. Selisih (difference) Selisih antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘– ‘. Misalkan A dan B adalah himpunan, maka selisih A dan B dinotasikan oleh A – B = { x | x ∈ A dan x ∉ B } = A ∩ B
Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 3, 5, 7}, maka A – B = { 1, 4, 6, 8, 9 } dan B – A = ∅
5. Beda setangkup (symmetric difference) Beda setangkup antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘ ⊕ ‘. Misalkan A dan B adalah himpunan, maka A ⊕ B = (A ∪ B) – (A ∩ B) = (A – B) ∪ (B – A) Jika A = { 2, 3, 5, 7} dan B = { 1, 2, 3, 4, 5 }, maka A ⊕ B = { 1, 4, 7 }
Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut: (a) A ⊕ B = B ⊕ A (hukum komutatif) (b) (A ⊕ B ) ⊕ C = A ⊕ (B ⊕ C ) (hukum asosiatif)
Hukum Aljabar Himpunan Kaidah Idempoten a. A U A = A b. A ∩ A = A Kaidah Asosiatif a. ( A U B ) U C = A U ( B U C ) Kaidah Komutatif a. A U B = B U A
b. ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )
b. A ∩ B = B ∩ A
Kaidah Distributif a. A U ( B ∩ C ) = ( A U B ) ∩ ( A U C ) (A∩C)
b. A ∩ ( B U C ) = ( A ∩ B ) U
Lanjutan ............ Kaidah Identitas a. A U Ø = A
b. A ∩ Ø = Ø
c. A U U = U
d. A ∩ U = A
Kaidah Kelengkapan a. A U Ā = U
b. A ∩ Ā= Ø
c. ( Ā ) = A
d. U = Ø
Ø=U
Kaidah De Morgan a. (A U B)= A ∩ B
b. (A ∩ B) = A U B
PEMBUKTIAN KESAMAAN 2 HIMPUNAN 1. Pembuktian dengan menggunakan diagram Venn Contoh 22. Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan bahwa A (B C) = (A B) (A C) dengan diagram Venn. Bukti:
A (B C)
(A B) (A C)
Kedua digaram Venn memberikan area arsiran yang sama. Terbukti bahwa A (B C) = (A B) (A C).
LANJUTAN... 2. Pembuktian dengan menggunakan aljabar himpunan. Contoh Misalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa (A B) (A B ) = A Bukti: (A B) (A B ) = A (B B ) =AU =A
(Hukum distributif) (Hukum komplemen) (Hukum identitas)
LANJUTAN...
Contoh Misalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa A (B – A) = A B Bukti: A (B – A) = A (B A ) = (A B) (A A ) = (A B) U =AB
(Definisi operasi selisih) (Hukum distributif) (Hukum komplemen) (Hukum identitas)
Latihan 1)
Gambarkan sebuah diagram venn untuk menunjukkan himpunan universal U dan himpunan-himpunan bagian A serta B jika : U = {1,2,3,4,5,6,7,8 }
A = {2,3,5,7} B = {1,3,4,7,8 } Kemudian selesaikan :
(a) A – B (b) B – A
(c) A ∩ B (d) A U B
(e) Ā ∩ B (f) Ā U B
(g) A ⊕ B
Latihan 2. Buktikan bahwa untuk sembarang himpunan A dan B, bahwa (i) A ( A B) = A B dan (ii) A ( A B) = A B
3.
S
P -3
Q 4
-1 3
-2
5
1
2
0
10
8
6 R
Sebutkan seluruh anggota himpunan di bawah ini:
S=… Q=…
R’=…
9
P Q R
P Q PR P Q R
P Q R
R Q P
P Q R
7
FINISH
