ATURAN INFERENSI Dr. Julan HERNADI & (Asrul dan Enggar) Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Unmuh Ponorogo
Pertemuan 6 FONDASI MATEMATIKA
Dr. Julan HERNADI & (Asrul dan Enggar)
ATURAN INFERENSI
Masalah Penarikan Kesimpulan Kesimpulan apa yang dapat diambil dari deskripsi berikut 1 Jika seseorang kuliah di perguruan tinggi Muhammadiyah maka pengetahuan al-Islamnya mumpuni. Ditemukan seseorang bernama Badu yang pengetahuan al-Islamnya sangat minim. 2 Jika mahasiswa rajin belajar maka ia akan sukses studi. Ditemukan seorang mhs bernama Ani rajin belajar. 3 Jika kemarau maka cuaca panas. Jika cuaca panas maka kosumsi energi listrik tinggi. 4 Lebih banyak penduduk Yogyakarta daripada banyak rambut di kepala setiap penduduk. Tidak ada satupun penduduk yang botak total. (petunjuk: misalkan banyak penduduk adalah n. Setiap orang paling sedikit memiliki 1 helai rambut dan paling banyak n-1 helai. Andaikan semua orang mempunyai jumlah rambut yang berbeda, apa yang terjadi. Terus disimpulkan!) Dr. Julan HERNADI & (Asrul dan Enggar)
ATURAN INFERENSI
Aturan Inferensi Aturan inferensi adalah aturan yang digunakan untuk pengambilan kesimpulan. Proses atau prosedur dalam inferensi disebut argumen. Bentuk argumen:
p1 p2 . . .
pn ∴q dengan Notasi
p1 , p2 , · · · , pn premis atau hipotesis dan q disebut kesimpulan.
∴
dibaca jadi. Sebuah argumen dikatakan valid atau sahih jika
(p1 ∧ p2 ∧ · · · ∧ pn ) → q
(1)
membentuk suatu tautologi. Jadi kesimpulan pada argumen valid harus didasarkan pada premis. Jika semua premis benar dan argumennya valid maka kesimpulannya pasti benar.
Dr. Julan HERNADI & (Asrul dan Enggar)
ATURAN INFERENSI
Bentuk Dasar Inferensi Modus ponens
p p→q ∴q p → q benar dan p benar maka haruslah q juga benar, sebab q salah maka suatu kontradiksi dengan de nisi implikasi.
Penjelasan: bila bila
Contoh: Jika belanja anda lebih dari 100 ribu maka anda mendapat diskon 10% dan ternyata belanja anda 125 ribu. Maka dengan modus ponens, disimpulkan bahwa anda hanya membayar 112.5 ribu
Modus tollens ¬q
p→q ∴ ¬p p → q benar dan diketahui ¬q benar (atau q salah) p salah (atau ¬p benar). Bila tidak maka terjadi kontradiksi.
Penjelasan: bila implikasi maka haruslah
Dr. Julan HERNADI & (Asrul dan Enggar)
ATURAN INFERENSI
Bentuk Dasar Inferensi (Lanj...) Silogisme Hipotetis: p→q q→r ∴p→r Contoh: Jika
x
dan
y
maka disimpulkan
x < z.
Kesimpulan ini
menggunakan silogisme hipotetis. Bentuk dasar inferensi lainnya adalah Silogisme disjungsi:
(p ∨ q ) ∧ ¬ p ) → q
((p ∨ q ) ∧ (¬p ∨ r )) → q ∨ r p → (p ∨ q ) Simpli kasi: (p ∧ q ) → p Konjungsi: ((p ) ∧ (q )) → (p ∧ q ) Resolusi: Adisi:
Dr. Julan HERNADI & (Asrul dan Enggar)
ATURAN INFERENSI
Bahan Diskusi Buktikan semua bentuk dasar inferensi di atas merupakan argumen yang valid, yaitu membentuk sebuah tautologi. Diskusikan bagaimana kesimpulan pada masalah penarikan kesimpulan sebelumnya. Contoh: Tunjukkan bahwa hipotesis sore ini tidak cerah dan lebih dingin dari kemarin, kalau kita berenang maka hari cerah, jika kita tidak pergi berenang, maka kita akan naik perahu, jika kita naik perahu maka kita akan tiba di rumah magrib, menghasilkan kesimpulan kita akan tiba di rumah magrib.
Penyelesaian.
Kumpulkan semua premis yang ada
p q r s t
: sore ini cerah : saat ini lebih dingin dari kemarin : kita akan pergi berenang : kita akan naik perahu : kita akan tiba di rumah magrib
Dr. Julan HERNADI & (Asrul dan Enggar)
ATURAN INFERENSI
Tulis semua konektivitas yang ada pada premis (hipotesis), terapkan aturan dasar inferensi: Langkah 1. ¬p ∧ q 2. ¬p 3. r → p 4. ¬r 5. ¬r → s 6. s 7. s → t 8. t
Alasan hipotesis (diketahui) simpli kasi hipotesis modus tollens langkah 2 dan 3 hipotesis modus ponens langkah 4 dan 5 hipotesis modus ponens langkah 6 dan 7
Dr. Julan HERNADI & (Asrul dan Enggar)
ATURAN INFERENSI
Pembuktian 1=2 Misalkan a dan b dua bilangan real yang sama. Kita lakukan penjabaran berikut:
Langkah
Alasan dan keterangan
1.
diketahui
2. 3. 4. 5. 6.
a=b a2 = ab a2 − b2 = ab − b2 (a + b )(a − b ) = (a − b )b a+b =b 2b = b
7. 2
=1
kedua ruas pada (1) dikalikan dengan kedua ruas (2) dikurangi oleh
b2
a
kedua ruas (3) difaktorkan
(a − b ) a dengan b (diketahui) kedua ruas dibagi dengan b kedua ruas (4) dibagi oleh substitusi
Bagaimana menurut pendapat Anda? Mengapa terjadi kontradiksi ? Dr. Julan HERNADI & (Asrul dan Enggar)
ATURAN INFERENSI
Aturan Inferensi untuk Kuanti kasi Aturan inferensi
∀x , P (x ) ∴ P (c ) P (c ) untuk sebarang c ∴ ∀x , P (x ) ∃x , P (x ) ∴ P (c ) untuk suatu c P (c ) untuk suatu c ∴ ∃x , P (x )
Nama 1
Instantisasi
2
Generalisasi
universal
universal
Instantisasi eksistensial
Generalisasi eksistensial
Jika berlaku untuk setiap (for every) maka berlaku untuk tertentu (for some) Untuk membuktikan kebenaran untuk sebarang
x.
1 Pengkhususan 2 Perumuman Dr. Julan HERNADI & (Asrul dan Enggar)
∀x , P (x )
cukup ditunjukkan berlaku
ATURAN INFERENSI
Contoh Inferensi Kuanti kasi Tunjukkan bahwa premis-premis berikut
1 2
Seorang mahasiswa dalam kelas ini belum membaca buku Pak Julan, Setiap orang dalam kelas ini lulus pada ujian pertama
menghasilkan kesimpulan Seseorang yang lulus pada ujian pertama belum membaca buku Pak Julan.
Penyelesaian. C (x ) : x di dalam kelas ini, B (x ) : x sudah membaca buku Pak Julan dan
P (x ) : x
lulus pada ujian pertama. Maka premis
di atas berbentuk sebagai berikut
1 ∃x (C (x ) ∧ ¬B (x )) 2 ∀x (C (x ) → P (x )) dan kesimpulannya adalah
∃x (P (x ) ∧ ¬B (x )).
Dr. Julan HERNADI & (Asrul dan Enggar)
ATURAN INFERENSI
Penyelesaian Lanj... Tahap
Keterangan dan alasan
1.
premis 1
2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
∃x (C (x ) ∧ ¬B (x ))
C (a) ∧ ¬B (a) untuk suatu a C (a) ∀x (C (x ) → P (x )) C (a) → P (a) untuk suatu a P (a ) ¬ B (a ) P (a ) ∧ ¬ B (a ) ∃x (P (x ) ∧ ¬B (x ))
instantisasi eksistensial aturan simpli kasi premis 2 instantisasi universal modus ponens dari (3) dan (5) simpli kasi dari (2) konjungsi dari (6) dan (7) generalisasi eksistensial dari (8)
Tugas Terstruktur (wajib dikumpul) pekan depan: Kerjakan 5 soal sebarang pada exercise h. 73 - 75, No 1 - 16. Dr. Julan HERNADI & (Asrul dan Enggar)
ATURAN INFERENSI
