MAKALAH
OLEH KELOMPOK DUA NAMA
: 1.GIYATNI ( 4007227 ) 2. SEPTI PRATIWI ( 4007196 ) 3.HARI YADI (4007163 )
PROGRAM STUDI
: PENDIDIKAN MATEMATIKA
MATA KULIAH
: GEOMETRI TRANSFORMASI
DOSEN PENGAMPU
: PADLI M.Pd
SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA (STKIP-PGRI) LUBUKLINGGAU TAHUN 2009/2010
ISOMETRI DEFINISI : Isometri adalah suatu transformasi atas refleksi (pencerminan),translasi (pergeseran) dan rotasi (perputaran) pada sebuah garis yang mempertahankan jarak ( panjang suatu ruas garis ).
Suatu isometri memiliki sifat-sifat sebagai berikut: a) Memetakan garis menjadi garis. b) Mempertahankan ukuran dua garis. c ) Mempertahankan kesejajaran.
Bukti ; a) Andaikan g sebuah garis dan T suatu isometri. kita akan membuktikan bahwa T (g) = h adalah suatu garis juga.
B’
.
.
B
A’
.
.
A .
.
G
H
Ambil A ∈ g dan B ∈ g. Maka A' = T(A) ∈ h, B' = T (B) ∈ h ; melalui A' dan B' ada satu garis. Misalnya h'. Untuk ini akan dibuktikan h' ⊂ h dan h ⊂ h' (i) Bukti h' ⊂ h Ambil X' ∈ h'. Oleh karena bidang kita adalah bidang Euclides. Kita andaikan (A' X B' ), artinya A' X + XB' =A'B'. Oleh karena T suatu isometri. Jadi suatu transformasi maka ada X sehingga T (X) = X’ dan oleh karena T suatu isometri maka AX =A'X; begitu pula XB =XB'. Jadi AX +XB =AB.
Ini berarti bahwa A . X . B segaris pada g. Ini berarti bahwa X = T (X) ∈ h sehingga h' ⊂ h sebab bukti serupa berlaku untuk posisi X dengan ( X A' B') atau ( A'B' X). (ii) Bukti h ⊂ h' Ambil lagi y ∈ h Maka ada y ∈ g sehingga T(y) = y dengan y misalnya (A Y B). Artinya Y ∈ g dan AY + YB = AB. Oleh karena T sebuah isometri maka A'Y = AY, Y B' = YB,A'B' = AB. Sehingga A'Y + Y B' = A'B'. Ini berarti bahwa A'. Y.B' segaris, yaitu garis yang melalui A'dan B'. Oleh karena h' satusatunya garis melalui A'dan B' maka Y ∈ h'. Jadi haruslah h ⊂ h'. Bukti serupa berlaku untuk keadaan ( Y A B) atau ( A B Y). Sehingga h = h'. Jadi kalau g sebuah garis maka h = T( g) adalah sebuah garis.
B .
B’
.
A.
. A’
G
H
AB = A'B' Bukti : b). Ambil sebuah ∠ ABC A’
.
A
.
B
.
. C
B’
Andaikan A'= T(A), B'= T(B), C'= T(C). Menurut (a) maka A' B' dan B' C' adalah garis lurus.
.
.
C’
Oleh karena ∠ ABC = BA ∪ BC maka ∠ A' B'C'= B'A' ∪ B'C' sedangkan A'B' = AB, B'C' = BC, C'A' = CA. Sehingga ∆ ABC = ∆ A'B'C'. Jadi ∠ A' B'C' = ∠ ABC sehingga suatu isometri Mempertahankan besarnya sebuah sudut.
.
B .
A’
.
A
.
c).
B’
Kita harus memperhatikan bahwa a'// b'. Andaikan a' memotong b' disebuah titik P jadi P ∈ a dan P ∈ b. Oleh karena T sebuah transformasi maka ada P sehingga T (B)= P dengan P ∈ a dan P ∈ b.Ini berarti bahwa a memotong b di p. Jadi bertentangan dengan yang diketahui bahwa a// b, maka pengandaian bahwa a' memotong b' salah. Jadi haruslah a'//b'.
Contoh soal: Diketahui garis g = {( x, y ) | y = − x }dan garis h= {( x, y ) | y = 2 x − 3 } . Apabila Mg adalah refleksi pada garis g. Tentukanlah persamaan garis h' = Mg (h).
Penyelesaian : Oleh karena Mg sebuah refleksi pada g jadi suatu isometri, maka menurut sifat isometri h' adalah sebuah garis. Garis h' akan melalui titik potong antara h dan g.
Persamaan y = 2x – 3 Misalkan, y = 0
x=0
y = 2x – 3
y = 2x – 3
0 = 2x – 3
y = 2 (0) – 3
-2x = -3
y = -3 (0, -3 )
x=
3 3 ( ,0) 2 2
kemudian di refleksikan menjadi (0, -
3 ) dan ( 3, 0) 2
rumus persamaan garis :
y − y1 y 2 − y1
=
x − x1 x 2 − x1
3 y −− 2 = x−0 3 3− 0 0−− 2 3 2=x 3 3 2
y+
3 3 3 y + = x 2 2 3y +
9 3 = x 2 2
kedua ruas di kali 2
6y + 9 = 3x -3x + 6y + 9 = 0
kedua ruas di bagi -3
x – 2y -3 = 0
dengan demikian persamaan h' adalah : h' =
{(x, y ) x − 2 y − 3 = 0}.
Perhatikan gambar berikut :
Y H
.
G .
.
H’ .
3
1,5 .
.
.
1
O
X
.
.
.
R(1, -1) .
.
-1
.
,5 -1
.
.
-3
.
.
.
.
Isometri Langsung dan Isometri Lawan Definisi : Misalkan (P,Q,R) adalah ganda tiga titik yang tidak kolinier (tak segaris). Apabila urutan perputaran P,Q,R sesuai dengan perputaran jarum jam, maka P,Q,R disebut memiliki orientasi negatif. Sedangkan apabila urutan perputaran P,Q,R berlawanan dengan perputaran jarum jam maka, P,Q,R disebut memiliki orientasi positif.
Definisi : Suatu transformasi T disebut langsung jika dan hanya jika transformasi itu mempertahankan orientasi.sedangkan transformasi T disebut transformasi lawan jika dan hanya jika transformasi itu mengubah orientasi.
Definisi : Misalkan T suatu transformasi.T disebut mempertahankan orientasi apabila untuk setiap ganda tiga titik P,Q,R yang tidak kolinear (tak segaris) orientasinya sama dengan orientasi dari petanya.sedangkan lainnya disebut mengubah orientasi.
CONTOH : •
ISOMETRI LAWAN misalnya sebuah refleksi (pencerminan)
R
P
Q’
P’
Q
R’
∆ PQR berlawanan dengan jarum jam (+) sedangkan ∆ P'Q'R' searah
dengan jarum jam (-). •
ISOMETRI LANGSUNG misalnya suatu rotasi (perputaran)
R’
P
Q
R
P’
Q’
∆ PQR berlawanan dengan jarum jam (+) sedangkan ∆ P'Q'R' tetap
berlawanan dengan jarum jam (+).
Sifat yang penting dalam geometri transformasi ialah : •
Setiap refleksi (pencerminan) pada garis adalah suatu isometri lawan.
•
Akan tetapi tidak setiap isometri adalah isometri lawan, ini dapat di lihat pada gambar di atas yaitu rotasi (perputaran) adalah sebuah isometri langsung.
•
Setiap isometri adalah sebuah isometri langsung atau sebuah isometri lawan.
HASIL KALI TRANSFORMASI ( KOMPOSISI TRANSFORMASI ) DEFINISI : Misalkan ada dua transformasi Τ 1 dan Τ 2 maka komposisi dari Τ 1 dan
Τ 2 merupakan suatu transformasi, ditulis dengan notasi Τ 1 o Τ 2 , ditetapkan sebagai :
(Τ
1
oΤ2
) (Ρ ) =
[
]
Τ 1 Τ 2 (Ρ ) , ∀ Ρ ∈ ν .
Untuk membuktikan transformasi ini yang harus ditunjukkan adalah : 1. Τ 1 o Τ 2 fungsi dari ν ke ν Karena Τ 2 suatu transformasi maka Τ 2 merupakan fungsi dari ν ke ν , sehingga prapeta dari Τ 1 o Τ 2 = prapeta dari Τ 2 . Ambil x ∈ ν sebarang, karena Τ 2 transformasi berarti ada y ∈ ν sehingga
Τ 2 ( x ) = y dan Τ 1 juga merupakan transformasi berarti ada z ∈ ν sehingga Τ 1 ( y ) = z. ∴ z = Τ 1 ( y ), y = Τ 2 ( x )⇒ z = Τ 1 [ Τ 2 ( x )]= ( Τ 1 o Τ 2 )( x )
Jadi ∀ x ∈ν nilai dari ( Τ 1 o Τ 2 )( x ) adalah z ∈ν . Akibatnya transformasi ini dikatakan sebagai fungsi dari ν ke ν . 2. Τ 1 o Τ 2 fungsi bijektif : a) Τ 1 o Τ 2 fungsi kepada ambil z ∈ ν karena Τ 1 transformasi maka Τ 1 fungsi kepada,
akibatnya ada y ∈ ν sehingga Τ 1 ( y ) = z dan karena Τ 2 juga transformasi maka Τ 2 juga fungsi kepada, akibatnya y ∈ ν sehingga Τ 2 ( x ) = y . Jadi, untuk z ∈ ν sebarang ada x ∈ ν sehingga
z = Τ 1 ( y ) = Τ 1 [ Τ 2 ( x )] = ( Τ 1 o Τ 2 )(x ). ∴∀ ∈ ν mempunyai prapeta oleh Τ 1 o Τ 2 akibatnya Τ 1 o Τ 2 suatu
fungsi kepada. b) Τ 1 o Τ 2 fungsi satu – satu ambil x,y ∈ ν sehingga
[
]
( Τ 1 o Τ 2 )(x ) = ( Τ 1 o Τ 2 )( y )
maka
Τ 1 Τ 2 ( x ) = Τ 1 [ Τ 2 ( y )] dari hubungan ini didapat
Τ 2 ( x ) = Τ 2 ( y ) → x = y. karena Τ1 o Τ 2 fungsi satu – satu dan kepada Maka Τ 1 o Τ 2 suatu fungsi bijektif. Kesimpulan : dari uraian di atas maka Τ 1o Τ 2 suatu transformasi.
.
CONTOH : .P
K
.G
.
.
.
.Q
H
Di ketahui garis – garis g dan h dan titik – titik p dan q. Carilah : a) A = M g [ M h ( p )]
[
]
b) B = M h M g ( p )
c) C = M h [ M h ( p )]
Penyelesaian :
a)
A = M g [M h ( p )] M h ( p ) = p'
( )
M g p' = A
b)
[
]
B = M h M g ( p) M g ( p ) = p' M h (p ' ) = B
c)
C = M h [ M h ( p )] M h ( p ) = p' M h (p ' ) = p
Latihan : 1.
Misalkan V bidang Euclid, A sebuah titik tertentu pada V. Transformasi T yang ditetapkan sebagai berikut: i) T(A) =A ii) Apabila P ∈ V dan P ≠ A ,T(p) = Q dengan Q merupakan titik tengah ruas garis AP. Apakah transformasi T ini suatu isometri?
Penyelesaian : Perhatikan gambar dibawah ini.Ambil P,R ∈ V ,misalkan
P P’ R
A R’
P' = T(P) dan R' = T (R),maka AP' = P'P dan AR'=R'R.Akibatnya R'P' = ½ RP. Jadi T bukan suatu isometri. 2. Diberikan relasi T : V → V yang ditetapkan sebagai berikut: Apabila P = (x,y) ∈ V ,maka ; (i) T (P) = (x+1,y) untuk x ≥ 0 (ii) T (P) = (x-1,y) untuk x<0 Apakah T suatu transformasi ?
Penyelesaian : Bukti dari relasi T adalah fungsi dari V ke V. Ambil sebarang titik P = (x,y) ∈ V , ada dua kasus : Untuk x ≥ 0 ,x+1 ∈ R dan tunggal, akibatnya (x+1,y) ∈ V dan tunggal. Untuk x<0, x-1 ∈ R dan tunggal, akibatnya (x-1,y) ∈ V dan tunggal. Sehingga P ∈ V selalu mempunyai peta di V dan tunggal.
Jadi relasi T merupakan fungsi dari V ke V. Ambil (0,0) ∈ V sehingga (0,0)=T (P)=(x+1,y), jika x ≥ 0 didapat x=-1 dan y = 0. Dalam hal ini terjadi kontradiksi dengan persyaratan x ≥ 0 . Akibatnya (-1,0) bukan prapeta dari (0,0). Berdasarkan : i) Apabila (0,0) =T(P) =(x-1,y), jika x<0 didapat x =1 dan y = 0, dan ini pun terjadi lagi kontradiksi dengan persyaratan x< 0. Akibatnya (1,0) bukan prapeta dari (0,0) ii) Akibatnya dari kedua hal ini (0,0) tidak mempunyai prapeta oleh T. Akibatnya fungsi T bukan fungsi kepada. Jadi relasi T bukan suatu transformasi. 3. Untuk transformasi Τ 2 ,misalkan ν bidang Euclid, g suatu garis tertentu dan
Τ 2 ditetapkan ∀ Ρ ∈ ν : a. jika Ρ ∈ Α, Τ (Ρ ) = Α b. jika Ρ ∉ Α, Τ (Ρ ) = Ρ 1 dengan Ρ 1 titik tengah ruas garis tengah dari x ke g. apakah Τ 2 suatu transformasi ?
Penyelesaian : a) akan ditunjukkan bahwa : 1. Τ 2 fungsi dari ν ke ν .
∀ x ∈ ν dan x ∈ g , maka x tunggal dari x oleh Τ 2 dan ada tunggal Garis ⊥ kepada g melalui x. yang mengakibatkan tunggalnya titik tengah ruas garis ⊥ dari x ke g. jadi ∀ x ∈ ν dan x ∈ g ada tunggal peta ∈ ν yang memenuhi.
∴Τ 2 suatu fungsi dari ν ke ν . 2. Τ 2 fungsi bijektif a) Τ 2 fungsi kepada ambil y ∈ ν sebarang.apabila y ∈ g, maka ada prapeta y sendiri oleh
Τ 2 dan apabila y ∉ g , maka ada tunggal garis l yang ⊥ g melalui y.
Misalnya (n ) = g n l ,akibatnya ada garis.yang mengakibatkan ada ruas garis NX,sehingga y ∈ NX dan yN = Nx. Dari uraian ini berakibat ada x, sehingga Υ Χ ⊥ g dan y = Τ ( x ) . Jadi Τ 2 fungsi kepada. b) Τ 2 fungsi satu – satu ambil x, y ∈ ν sebarang sehingga x ≠ y. untuk x, y pada sisi yang berbeda oleh garis g,maka Τ2 ( x ) ≠ Τ 2 ( y ) sebab Τ 2 ( x ) dan Τ 2 ( y ) terletak pada sisi yang berbeda oleh garis g.
G T (x)
T (y) .
. X
Y
Untuk x, y pada sisi yang sama oleh garis g, dengan x, y ⊥ g maka jarak dari x ke g dengan jarak dari y ke g berbeda. Akibatnya Τ 2 ( x ) ≠ Τ 2 ( y ) sebab jarak dari Τ 2 ( x ) ke g setengah jarak dari x ke g, sedangkan jarak dari Τ 2 ( y ) ke g setengah jarak dari y ke g.
G .
T (y)
. T (x) .
X
Y
Untuk x, y pada sisi yang sama oleh garis g dengan x, y tidak ⊥ g maka garis l melalui x ⊥ g dan garis m melalui y ⊥ g akan sejajar. Karena
Τ 2 (x ) ∈ l , Τ 2 ( y )∈ m dan l // m, maka Τ 2 ( x ) ≠ Τ 2 ( y ) . Jadi Τ 2 fungsi satu – satu .
G T (x) . . L . X T (y) . Y M ∴Τ 2 disebut sebagai suatu transformasi.
