Buku Kerja 3
Diferensiasi Vektor DIFERENSIASI VEKTOR
Materi pokok pertemuan ke 5 : 1. Turunan biasa fungsi vektor
URAIAN MATERI Fungsi Vektor Jika sembarang nilai skalar t dikaitkan dengan suatu vektor , maka bisa dinyatakan sebagai fungsi vektor dari t atau , yaitu suatu vektor yang komponen-komponennya merupakan fungsi dari nilai skalar t. Dalam R2, fungsi vektor biasa ditulis dengan,
dalam R3, fungsi vektor
ditulis dengan,
Konsep fungsi vektor ini bisa diperluas, jika sembarang titik (x,y,z) di R3 dikaitkan dengan suatu vektor , maka bisa dinyatakan dalam bentuk fungsi vektor sebagai berikut:
Setelah kita mengetahui fungsi vektor, maka selanjutnya kita pelajari turunan biasa dari fungsi vektor. Turunan Biasa Masih ingat apa saja yang termasuk vektor? Coba sebutkan! Ya, kecepatan, percepatan, gaya, dan perpindahan termasuk vektor. Sekarang pada kegiatan belajar ini, kita fokuskan pada perpindahan, kecepatan, dan percepatan. Pernahkah Anda naik alat transportasi pada gambar di samping? Kalau pernah, kemana saja Anda pergi menggunakan alat transportasi tersebut? Pernahkah Anda ke Jakarta menggunakannya? Pesawat yang terbang dengan rute Padang-Jakarta berarti pesawat Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 49 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 3
Diferensiasi Vektor
tersebut melakukan perpindahan dengan titik awalnya Padang dan titik akhirnya Jakarta. Pesawat melakukan perpindahan karena pesawat memiliki kecepatan dan percepatan. Hubungan apa yang kita dapatkan dari perpindahan, kecepatan, dan percepatan? Kecepatan merupakan perpindahan benda tiap selang waktu tertentu atau bisa dikatakan turunan dari perpindahan sebagai fungsi waktu. Percepatan merupakan hasil bagi antara perubahan kecepatan dengan selang waktu berubahnya kecepatan tersebut atau dapat dikatakan turunan kecepatan sebagai fungsi waktu. Berikut definisi turunan vektor: Definisi Turunan Vektor adalah sebuah fungsi vektor yang bergantung pada sebuah variabel , didefinisikan turunan dari sebagai berikut: ... 3.1
jika limitnya ada. Jika fungsi vektor dengan fungsi skalarfungsi skalar , , dan dapat diferensialkan terhadap variabel , maka mempunyai turunan variabel terhadap yang dirumuskan sebagai berikut:
... 3.2
Selanjutnya, Anda pelajari sifat-sifatnya. Berikut sifat-sifat turunan fungsi vektor.
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 50 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 3
Diferensiasi Vektor
Sifat-sifat turunan biasa fungsi vektor: Jika
,
, dan
adalah fungsi-fungsi vektor dari sebuah skalar t yang
diferensiabel dan
sebuah fungsi skalar dari t yang diferensiabel, maka
i. ii. iii. iv. v. vi.
Bukti: Untuk membuktikan sifat-sifat dari turunan biasa, kita dapat menggunakan definisi turunan biasa dari fungsi vektor 3.1. i.
ii.
iv. Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 51 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 3
Diferensiasi Vektor
Pembuktian iii, v, dan vi dijadikan latihan untuk Anda. CONTOH SOAL Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini Contoh 1 Jika
, tentukan
Penyelesaian
Contoh 2 Buktikan sifat
Penyelesaian
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 52 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 3
Diferensiasi Vektor
Contoh 3 Jika
.
Tentukan
di t = 0
Penyelesaian Cara 1
pada saat t = 0, maka
Cara 2 (menggunakan sifat turunan)
pada saat t = 0, maka
Contoh 4 Jika pada titik
tentukan vektor singgung satuan .
Penyelesaian
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 53 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 3
Diferensiasi Vektor
Vektor singgung satuan (T)
Saat
, maka
LATIHAN TERBIMBING Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong Latihan 1 Jika
, carilah
pada saat t = 0
Penyelesaian (a)
saat t = 0, maka
(b)
saat t = 0, maka
(c) Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 54 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 3
Diferensiasi Vektor
(d) Latihan 2 Carilah kecepatan dan percepatan sebuah partikel yang bergerak sepanjang kurva pada sebarang saat . Carilah besarnya kecepatan dan percepatan
Penyelesaian Vektor posisi dari pergerakan partikel
Kecepatan diperoleh dari turunan pertama
Misalkan
Percepatan diperoleh dari turunan pertama
Misalkan
Jadi, besarnya kecepatan adalah
dan percepatan
.
Latihan 3 Jika
dan
, carilah
Penyelesaian Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 55 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 3
Diferensiasi Vektor
LATIHAN MANDIRI Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia Latihan 1 Jika Tentukan
dan pada saat
.
Penyelesaian
Latihan 2 Carilah
Penyelesaian
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 56 STKIP PGRI SUMBAR
.
Buku Kerja 3
Diferensiasi Vektor
Latihan 3 Carilah
vektor
singgung
satuan di sebarang dimana
titik pada kurva adalah konstanta-
konstanta.
Penyelesaian
Latihan 4 Jika
, carilah A bila saat dan
diketahui bahwa
saat
Penyelesaian
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 57 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 3
Diferensiasi Vektor
Kunci Jawaban Latihan 1 : -30i + 14j + 20k Latihan 2 : Latihan 3 : Latihan 4 : Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 58 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 3
Diferensiasi Vektor
Materi pokok pertemuan ke 6 : 2. Turunan parsial fungsi vektor
URAIAN MATERI Turunan parsial Turunan parsial untuk fungsi vektor dua variabel atau lebih, prinsipnya sama dengan definisi turunan fungsi vektor satu variabel, dimana semua variabel dianggap konstan, kecuali satu, yaitu variabel terhadap apa fungsi vektor itu diturunkan. Misalkan adalah sebuah fungsi vektor yang tergantung kepada variabel skalar , , dan , maka kita tuliskan . Ketiga turunan parsialnya didefinisikan sebagai berikut:
... 3.3
adalah masing-masing turunan parsial dari limitnya ada.
terhadap
,
, dan
jika
Jika fungsi vektor dengan fungsi skalar-fungsi skalar , , dan mempunyai turunan parsial terhadap variabel , , dan , maka juga mempunyai turunan variabel terhadap , , dan yang dirumuskan sebagai berikut:
... 3.4
Selanjutnya pelajari sifat-sifatnya. Berikut sifat-sifat turunan parsial: Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 59 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 3
Diferensiasi Vektor
Sifat-sifat turunan parsial: Misalkan , dan
dan
adalah fungsi-fungsi vektor dan
adalah fungsi skalar ,
dan dapat dideferensialkan terhadap ketiga variabel tersebut,
maka berlaku i. ii. iii. iv. v.
Bukti: i. Berdasarkan definisi 3.3, maka
Sehingga
ii.
Untuk membuktikannya, kita dapat menggunakan definisi 3.3. Maka
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 60 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 3
Diferensiasi Vektor
Sehingga
atau
Pembuktian iii, iv, dan v dijadikan tugas buat Anda. Aturan Rantai Misalkan adalah fungsi vektor yang dapat dideferensialkan terhadap variabel , , dan , dimana , , dan adalah fungsi-fungsi skalar yang dapat dideferensialkan terhadap variabel , , dan , maka bentuk fungsi tersusun dapat dituliskan dengan
Turunan parsial berikut:
terhadap variabel , , dan
dapat diberikan sebagai
... 3.5
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 61 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 3
Diferensiasi Vektor
CONTOH SOAL Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini Contoh 1 Jika
, tentukanlah (a)
, (b)
, (c)
Penyelesaian (a)
(b) (c)
Contoh 2 Misalkan
. Tentukan(a) ,(b)
,(c)
Penyelesaian (a)
(b)
(c)
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 62 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 3
Diferensiasi Vektor
Contoh 3 Jika
, dengan
dan
, tentukan
dan
nyatakan dalaam bentuk s dan t.
Penyelesaian
LATIHAN TERBIMBING Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong Latihan 1 Jika
. Tentukan
Penyelesaian
Latihan 2 Jika
,
, tentukan
Penyelesaian
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 63 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 3
Diferensiasi Vektor
LATIHAN MANDIRI Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia Latihan 1 Jika
,
carilah
Penyelesaian
Latihan 2 Jika
dan
, carilah
di titik (1,0,-2)
Penyelesaian
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 64 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 3
Diferensiasi Vektor
Latihan 3 Misalkan Tentukan (a)
, , (b)
dimana , (c)
Penyelesaian
Latihan 4 Jika
, tentukanlah (a) , (b) , (c)
Penyelesaian
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 65 STKIP PGRI SUMBAR
.
Buku Kerja 3
Diferensiasi Vektor
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 66 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 3
Diferensiasi Vektor
Kunci Jawaban Latihan 1 :
, ,
, ,
Latihan 2 : Latihan 3 : (a) (b) (c) Latihan 4 : (a) (b) (c)
Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 67 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 3
Diferensiasi Vektor
Materi pokok pertemuan ke 7 : 3. Rumus Frenet-Serret
URAIAN MATERI Vektor Singgung Satuan Misalkan adalah vektor posisi menghubungkan titik pangkal dengan sebarang titik ruang R3. Jika
adalah sebuah vektor yang searah dengan
yang dalam
berubah, maka
.
Sedangkan
adalah sebuah vektor yang searah dengan arah garis singgung pada kurva ruang di . Jika adalah vektor singgung satuannya, maka
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 68 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 3
Diferensiasi Vektor
Rumus Frenet-Serret
Jika kurva C dalam ruang oleh kurva
adalah sebuah kurva ruang yang didefinisikan
, maka kita telah mengetahui bahwa
adalah sebuah vektor
yang searah dengan garis singgung pada C. Jika skalar u diambil sebagai panjang busur s yang diukur dari suatu titik pada C, maka ... 3.6
adalah sebuah vektor singgung satuan pada C. Laju perubahan terhadap s adalah ukuran dari kelengkungan C dan dinyatakan dengan
Arah dari
pada sebarang titik pada C adalah normal terhadap kurva pada
titik tersebut. Jika adalah sebuah vektor satuan dalam arah normal ini, maka disebut normal utama pada kurva. Jadi
dimana Besaran
disebut kelengkungan dari C pada titik yang dispesifikasikan.
... 3.7
disebut jari-jari kelengkungan.
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 69 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 3
Diferensiasi Vektor
Vektor satuan sehingga
yang tegak lurus pada bidang
dan
sedemikian rupa
... 3.8 disebut binormal terhadap kurva. Dari sini diperoleh bahwa , , dan membentuk sebuah sistem koordinat tegak lurus tangan kanan pada sebarang titik dari C. Himpunan relasi-relasi yang mengandung turunan-turunan dari vektorvektor , , dan dikenal sebagai rumus Frenet-Serret yang diberikan oleh
... 3.9
dimana adalah sebuah skalar yang disebut torsi. Besaran ... 3.10 disebut jari-jari torsi. CONTOH SOAL Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini Contoh 1 Carilah (a) vektor singgung satuan T, (b) normal utama N, kelengkungan dan jari-jari kelengkungan , (c) Binormal B, torsi , dan jari-jari torsi untuk kurva ruang .
Penyelesaian (a) Vektor kedudukan dari sebarang titik pada kurva adalah , maka
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 70 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 3
Diferensiasi Vektor
Jadi
(b)
karena
, maka
dan dari
, diperoleh
(c)
dari
, diperoleh
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 71 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 3
Diferensiasi Vektor
LATIHAN TERBIMBING Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong Latihan 1 Diketahui
. Carilah (a) vektor singgung satuan T,
(b) kelengkungan , (c) normal utama N, dan (d) Binormal B
Penyelesaian (a) Vektor kedudukan dari sebarang titik pada kurva adalah , maka
Jadi
(b)
karena
, maka Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 72 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 3
Diferensiasi Vektor
(c) dari
, diperoleh
(d)
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 73 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 3
Diferensiasi Vektor
LATIHAN MANDIRI Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia Latihan 1 Tentukan torsi dari Penyelesaian
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 74 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 3
Diferensiasi Vektor
Latihan 2 Carilah (a) vektor singgung satuan T, (b) kelengkungan , (c) jari-jari kelengkungan , (d) normal utama N, (e) Binormal B, dan (f) torsi , untuk kurva Penyelesaian
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 75 STKIP PGRI SUMBAR
Buku Kerja 3
Diferensiasi Vektor
Kunci Jawaban Latihan 1 :0 Latihan 2 :
Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 76 STKIP PGRI SUMBAR
