Buku Kerja 1
Vektor dan Skalar VEKTOR DAN SKALAR
Materi pokok pertemuan ke I: 1. Vektor dan skalar 2. Komponen vektor 3. Operasi dasar aljabar vektor
URAIAN MATERI Masih ingatkah Anda tentang vektor? Apa beda vektor dengan skalar? Ya, vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah, sedangkan skalar adalah besaran yang memiliki nilai tetapi tidak memiliki arah. Coba sebutkan apa saja yang termasuk vektor dan apa saja yang termasuk skalar? Ya, panjang, waktu, volume, serta usaha termasuk skalar, sedangkan yang termasuk vektor adalah kecepatan, gaya, perpindahan, dan percepatan. Selain contoh di atas, coba Anda sebutkan contoh vektor dan skalar yang lainnya! Perpindahan merupakan salah satu contoh vektor. Apa itu perpindahan? Bagaimana menghitung besar perpindahan? Sebelumnya, coba Anda perhatikan gambar berikut!
C A
A : titik awal
A : titik awal
B
C : titik akhir
Apakah yang dapat Anda lihat dari gambar di atas? Dari gambar di atas, seorang anak berlari dengan lintasan dari titik A ke titik B, dan berakhir di titik C. Anak tersebut mengalami perpindahan, karena terjadi perubahan posisi dari titik A ke titik C. Jadi, perpindahan adalah perubahan posisi yang terjadi dalam selang waktu tertentu. Kemudian, bagaimanakah kita mengukur perpindahannya? Jika kita mengukur besar perpindahan, maka kita mengukur panjang dari titik awal ke titik akhir lintasan. Sehingga besar perpindahan yang dilakukan anak tersebut adalah Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny STKIP PGRI SUMBAR 1
C : titik akhir
Buku Kerja 1
Vektor dan Skalar
panjang lintasan dari titik A ke titik C, sedangkan arah perpindahannya adalah dari titik A ke titik C. Berikut ini definisi vektor secara lengkap. Secara grafik Coba lihat gambar di bawah ini! P
O
Apa yang Anda lihat pada gambar di atas? Ada sebuah anak panah yang berawal di titik O dan berujung di titik P. Gambar tersebut merupakan sebuah vektor, dimana titik O adalah titik pangkal (titik awal) vektor dan titik P adalah titik akhir (titik ujung) vektor. Titik ujung vektor menunjukkan arah yang dituju. Secara analisis Vektor dilambangkan oleh sebuah huruf. Anak panah diletakkan di atas huruf atau dengan menebalkan huruf tersebut, yang menandakan bahwa vektor memiliki arah. Jadi, vektor OP dilambangkan dengan . Besar dinyatakan dengan . Setelah Anda mengetahui definisi vektor secara grafik dan aljabar, maka selanjutnya akan dijelaskan mengenai aljabar vektor. Aljabar Vektor Vektor juga memiliki operasi-operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian. Penjelasannya sebagai berikut. 1. Dua buah vektor dan dikatakan sama jika vektor-vektor tersebut memiliki besar/panjang dan arah yang sama tanpa memandang titik-titik awalnya. Jadi seperti pada gambar dibawah ini.
pada gambar disamping, terlihat bahwa dan memiliki besar/panjang yang sama dan arah yang dituju pun sama. Oleh karena itu, , walaupun titik awal/pangkalnya berbeda.
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny STKIP PGRI SUMBAR 2
Buku Kerja 1
Vektor dan Skalar
2. Sebuah vektor yang arahnya berlawanan dengan vektor , tetapi memiliki besar/panjang yang sama dinyatakan oleh , dinyatakan dalam gambar berikut.
pada gambar disamping, terlihat bahwa dan memiliki besar/panjang yang sama namun arah yang dituju berbeda 1800 (berlawanan).
3. Jumlah atau resultan dari vektor-vektor dan ditulis dengan , adalah sebuah vektor yang dibentuk dengan menempatkan titik pangkal vektor pada titik ujung vektor , dan kemudian menghubungkan titik pangkal vektor dengan titik ujung vektor . Perhatikanlah contoh berikut. Misalkan dan seperti gambar berikut.
Untuk mencari resultan, maka letakkan titik pangkal ujung , sehingga diperoleh gambar berikut.
pada titik
Resultan yang diperoleh adalah dengan membuat garis yang menghubungkan titik pangkal dengan titik ujung . Jadi, resultan yang dihasilkan merupakan vektor dimana titik pangkalnya berada pada titik pangkal dan titik ujungnya berada pada titik ujung .
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny STKIP PGRI SUMBAR 3
Buku Kerja 1
Vektor dan Skalar
4. Selisih dari vektor-vektor didefinisikan dengan resultan
dan
ditulis dengan
, dapat
.
Perhatikan contoh berikut.
Untuk mencari sama juga artinya dengan mencari , maka Anda perlu mencari terlebih dulu. Berikut ini akan diperlihatkan .
Setelah itu, dapat dicari resultan dengan menggunakan cara no.3 di atas. Buat garis yang menghubungkan titik pangkal dengan titik ujung vektor , maka merupakan vektor dimana titik pangkalnya berada pada titik pangkal dan titik ujungnya berada pada titik ujung . Sehingga, dapat kita lihat pada gambar di bawah ini.
5. Hasil kali sebuah vektor dengan sebuah skalar adalah sebuah vektor yang besarnya kali besarnya . Arah vektor ini memiliki arah
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny STKIP PGRI SUMBAR 4
Buku Kerja 1
Vektor dan Skalar
yang sama atau berlawanan dengan , bergantung pada apakah atau negatif. Jika , maka adalah sebuah vektor nol. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut. Misalkan vektor , yaitu dengan
positif
2cm
Karena skalar
dan panjang
, maka
adalah
adalah
4 cm
cm
cm
Berikut sifat-sifat aljabar vektor. Sifat-sifat Aljabar Vektor Jika , dan adalah vektor-vektor dan serta adalah skalar-skalar, 6. maka 1. Hukum Komutatif Penjumlahan 2. Hukum Asosiatif Penjumlahan 3. Hukum Komutatif Perkalian 4. Hukum Asosiatif Perkalian 5. Hukum Distributif 6. Hukum Distributif
CONTOH SOAL Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini Contoh 1 Jika A dan B seperti terlihat pada gambar di bawah ini. Gambarkanlah A – 2B
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny STKIP PGRI SUMBAR 5
Buku Kerja 1
Vektor dan Skalar
B A
Penyelesaian Langkah-langkahnya sebagai berikut. a. Buat vektor -2B, di mana panjangnya 2 |B| dan arahnya berlawanan dengan arah B b. Pindahkan -2B dengan meletakkan titik pangkalnya pada titik ujung A c. Hubungkan titik pangkal A dengan titik ujung -2B yang baru dipindahkan, maka didapat A – 2B
-2B A -2B
A
Contoh 2 Sebuah bus bergerak sejauh 50 km menuju arah timur, kemudian dilanjutkan sejauh 25 km menuju timur laut. a. Gambarkanlah dengan grafik perpindahan yang dilakukan bus tersebut. Gunakan skala 1 cm mewakili 10 km. b. Jika R adalah resultan dari perpindahan yang dilakukan bus tersebut, hitung panjang dan arah dari R dengan menggunakan grafik dan secara analitik. Penyelesaian a. Untuk menggambar grafik perpindahan yang dilakukan bus, pertamatama buat sumbu koordinat dan namai masing-masing sesuai dengan arah mata angin. Gunakan skala 1:100.000, artinya untuk 1 cm mewakili 1 km. Kemudian, gambar perpindahan sejauh 50 km ke arah timur dengan membuat garis (OA) sepanjang 5 cm ke arah timur. Perpindahan 25 km kerah timur laut digambar dengan membuat garis (AB) sepanjang 2,5 cm ke arah timur laut. Lalu, hubungkan titik awal ke titik akhir setelah perpindahan, garis ini dinamakan resultan perpindahan (BO = R). Sehingga diperoleh gambar berikut ini. Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny STKIP PGRI SUMBAR 6
Buku Kerja 1
Vektor dan Skalar Utara
B R
Ѳ
Timur A
O
Gambar 3 b. Secara grafik: Besar resultan perpindahan dapat ditentukan dengan mengukur panjang R, panjang R setelah diukur ternyata 7 cm. Ini berarti |R| = 7 x 10 km = 70 km. Arah R ditentukan dengan menggunakan busur derajat, setelah diukur diperoleh arah R = ke sebelah utara dari timur. Secara analitik: Untuk menghitung panjang R secara analitik gunakan rumus menghitung panjang sisi sebuah segitiga berkenaan dengan dalil kosinus, yaitu: |R|2 = |OA|2 + |AB|2 – 2|OA| |AB| cos = 2500 + 625 – 2500 cos = 4892,7670 |R| = 69,9483 Selanjutnya menghitung arah R, gunakan dalil sinus. Misalkan ∠ yang merupakan arah R
Akibatnya
, dengan arah ke sebelah utara dari timur.
LATIHAN TERBIMBING Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny STKIP PGRI SUMBAR 7
Buku Kerja 1
Vektor dan Skalar
Latihan 1 Jika vektor-vektor A, B, dan C seperti terlihat pada gambar di bawah ini. Gambarkan R = A – 2B – C
B A
C
Penyelesaian Langkah-langkahnya sebagai berikut: a. Buat vektor -2B dimana panjangnya …… dan arahnya …………… dengan arah B b. Pindahkan …… dengan meletakkan ……………… di ……………..A c. Buat vektor ........ dimana panjangnya …… dan arahnya …………….. dengan …… d. Pindahkan C dengan meletakkan …………….. di ujung …… e. Hubungkan titik pangkal …… dengan titik …….……… …… sehingga diperoleh A – 2B – C Sehingga diperoleh gambar A + 2B – C berikut ini.
Latihan 2 Sederhanakanlah Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny STKIP PGRI SUMBAR 8
Buku Kerja 1
Vektor dan Skalar
Penyelesaian
Latihan 3 Misalkan titik-titik P(1, -2), Q(-3, 4), dan R(2, -3). Dapatkanlah (a) PQ, (b) QR, (c) PQ – QR, (d) -3RP
Penyelesaian (a) PQ = (-3 - ..., ... + ... ) = (-4, ...) (b) QR = ( ... + ..., ... – 4) = (... , ... ) (c) PQ – QR = (-4, ...) – ( ... , ... ) = (-4 - ... , ... + ... ) = ( ... , 13) (d) -3RP = -3( ... – 2 , ... + ...) = -3( ..., ...) = ( ... , ... ) Latihan 3 Sebuah pesawat terbang menempuh jarak 200 km ke arah barat dan kemudian 150 km ke arah ke sebelah utara dari barat. Tentukan pergeseran resultan a. secara grafis, b. secara analitis. Penyelesaian a. Secara grafis Gambar vektor perpindahan resultan Skala …… U
B
T O
Misalkan vektor perpindahan ke arah barat adalah A dan di sebelah utara dari barat sebagai B, resultan perpindahan R. Dengan menggunakan penggaris diperoleh resultan perpindahan R …… dan Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny STKIP PGRI SUMBAR 9
Buku Kerja 1
Vektor dan Skalar
dengan menggunakan busur derajat diperoleh sudut ….. Maka R besarnya …… dengan arah …… ke sebelah utara dari …… b. Secara analitis |R2| = |A2| + |B2| - 2|A||B cos ∠…… Jadi R …… Dari hukum sinus Sin ∠ …..
…… …… - … … cos
……
maka …..
∠…. ….. jadi C besarnya …… km dan arahnya ....... ke ..………… dari ………..
LATIHAN MANDIRI Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia Latihan 1 Dua buah sisi sebuah segitiga dibentuk oleh vektor-vektor V = 3i + 4j dan W = 5i +2j. Hitunglah panjang sisi-sisi segitiga yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut. Penyelesaian
Latihan 2 Diketahui vektor-vektor A, B, C dan D.
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny STKIP PGRI SUMBAR 10
Buku Kerja 1
Vektor dan Skalar
A B C
D
Bentuklah a. 3A – 2B – (C – D) b.
C + (A – B + 2D)
Penyelesaian
Latihan 3 Sebuah mobil bergerak sejauh 100 km menuju ke arah barat, kemudian dilanjutkan sejauh 60 km menuju barat laut, dan 80 km menuju timur.
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny STKIP PGRI SUMBAR 11
Buku Kerja 1
Vektor dan Skalar
a. Gambarkan dengan grafik perpindahan yang dilakukan bus tersebut. Untuk itu gunakan skala 1 cm untuk mewakili 20 km b. Jika R adalah perpindahan yang dilakukan oleh bus tersebut, hitunglah panjang dan arah R dengan menggunakan grafik dan secara analitik Penyelesaian
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny STKIP PGRI SUMBAR 12
Buku Kerja 1
Vektor dan Skalar
Kunci Jawaban Latihan 1 : 5, , 10 Latihan 3 : b. besarnya 80 km, arahnya
ke sebelah utara dari barat
Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny STKIP PGRI SUMBAR 13
Buku Kerja 1
Vektor dan Skalar
Materi pokok pertemuan ke 2: 4. Vektor satuan 5. Komponen vektor dan vektor komponen 6. Himpunan vektor kolinear dan takkolinear
URAIAN MATERI Vektor satuan Vektor satuan adalah suatu vektor yang besarnya satu satuan. Jika sebuah vektor yang diketahui dan adalah sebuah vektor satuan, maka vektor satuannya dapat dituliskan dengan
dimana
.
Vektor Basis Satuan Vektor basis satuan dalam Perhatikan suatu sistem koordinat XOY dalam . Pilih dua vektor satuan dan sebagai basis yang masing-masing sejajar dan searah dengan sumbu x dan y positif dan berpangkal di O.
O Vektor dan disebut dengan vektor-vektor basis di
.
Vektor basis satuan dalam Pada sistem koordinat dalam , terdapat tiga vektor satuan, yaitu vektor satuan , , dan yang masing-masing sejajar dan searah dengan sumbu x, y, dan z positif dan berpangkal di O.
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny STKIP PGRI SUMBAR 14
Buku Kerja 1
Vektor dan Skalar
O
Vektor Posisi Vektor posisi dalam Jika dan adalah vektor-vektor basis di yaitu vektor satuan yang masingmasing sejajar dan searah dengan sumbu x dan sumbu y dan berpangkal di titik O dalam , maka sebarang vektor dari titik O ke titik P(x,y) dalam bidang XOY selalu bisa dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor basis dan .
Sehingga, vektor posisi titik P diberikan oleh
dimana
; disebut vektor-vektor komponen. adalah komponen vektor pada sumbu x adalah komponen vektor pada sumbu y Vektor disebut vektor posisi titik P, karena komponenkomponennya merupakan koordinat yang menunjukkan posisi titik P. Panjang/besar dari dinyatakan oleh
, dimana
.
Vektor posisi dalam Vektor-vektor basis dalam adalah vektor-vektor satuan , , dan yang masing-masing berimpit dan searah dengan sumbu-sumbu x, y, dan z positif dan berpangkal di titik O. Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny STKIP PGRI SUMBAR 15
Buku Kerja 1
Vektor dan Skalar
Vektor posisi titik P(x,y,z) diberikan oleh
Panjang/besar dari dinyatakan oleh
, dimana
Secara umum untuk sebarang vektor pada yang mempunyai komponenkomponen vektor , , dan dapat dituliskan dalam bentuk
, , dan disebut vektor-vektor komponen dari koordinat tegak lurus X, Y, dan Z.
pada sistem
z
y
x
Panjang vektor
diberikan oleh ... 1.1
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny STKIP PGRI SUMBAR 16
Buku Kerja 1
Vektor dan Skalar
Kemudian jika vektor satuan dari , maka
... 1.2
Berikut sifat-sifat aljabar vektor.
Sifat-sifat aljabar vektor: Misalkan
, dan
adalah vektor-vektor,
dan
adalah skalar,
maka berlaku sifat-sifat: a.
(komutatif pada penjumlahan)
b.
(asosiatif pada penjumlahan)
c.
(identitas pada penjumlahan)
d.
(identitas pada perkalian)
e.
(distributif perkalian skalar terhadap vektor)
f.
(distributif)
g.
jika dan hanya jika
h. i.
Himpunan vektor yang bergantung linear dan bebas linear Himpunan vektor disebut bergantung linear jika dan hanya jika ada himpunan skalar yang tidak semuanya nol, sehingga . Jika himpunan skalar semuanya nol, maka himpunan vektor tersebut dikatakan bebas linear. Beberapa sifat dari himpunan vektor yang bergantung linear: 1. Jika dan adalah dua vektor kolinear/sejajar, maka kedua vektor tersebut bergantung linear. 2. Jika , , dan adalah tiga buah vektor yang terletak pada sebuah bidang, maka ketiga vektor tersebut bergantung linear.
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny STKIP PGRI SUMBAR 17
Buku Kerja 1
Vektor dan Skalar
3. Jika , , , dan adalah empat buah vektor yang terletak dalam ruang dimensi tiga, maka keempat vektor tersebut bergantung linear. CONTOH SOAL Contoh 1 Jika A = 3i + 2j + 4k, B = i + 3j - 2k, dan C = 2i – j. Carilah a. A + 2B – C , b. |A + 2B – C|, c. vektor satuan dari A + 2B – C. Penyelesaian a. A + 2B + C = (3i + 2j + 4k) + 2(i + 3j - 2k) - (2i – j) = (3i + 2i - 2i) + (2j + 6j + j) + (4k – 4k) = 3i + 9j b. |A + 2B + C| = = c. Misalkan u adalah vektor satuan dari A + 2B – C, maka u= Contoh 2 Apakah A = 3i + j dan B = -i + 3j bergantung linear? Penyelesaian Jika A dan B bergantung linear, maka skalar a dan b tidak keduanya nol sehingga aA + bB =0 a(3i + j) + b(-i + 3j) = 0 karena i dan j takkolinear, maka (3a – b)i + (a + 3b)j = 0 sehingga 3a – b = 0 (1) a + 3b = 0 (2) dari (1) dan (2) diperoleh a = 0 dan b = 0. Jadi, karena semua skalarnya 0 sehingga aA + bB = 0. Maka vektor A dan B tidak bergantung linear (bebas linear).
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny STKIP PGRI SUMBAR 18
Buku Kerja 1
Vektor dan Skalar
LATIHAN TERBIMBING Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong Latihan 1 Jika A = 3i – j – 4k, B = -2i + 4j – 3k, dan C = i + 2j – k. Carilah a. 2A – B + 3C, b. |A + B + C|, c. |3A – 2B + 4C|, dan d. vektor satuan yang sejajar dengan 3A – 2B + 4C Penyelesaian a. 2A – B + 3C = 2 (....... - …… - …... – ….. .…. - …..) …… …… …… - ...… = (…… …… …… (…… - …… …… …… …… - …… …… i …… j …… k b. A + B + C = …… –…… – …… …… …… …… |A + B + C| =
…
…
…… …… – …… + …… …… – …… …
…..
c. 3A – 2B + 4C … ..… –…… – ….. - … …… …… – …… +… ….. .….. – .…) …… –…… – …… …… …… – …… + …… …… – …… = ....... …… …… |3A – 2B + 4C| =
…
…
…
…..
d. Vektor satuan yang sejajar dengan 3A – 2B + 4C =
– –
….
….
….
……
Latihan 2 Misalkan A = i – j + 2k, B = 2i + 2j + k, dan C = 3i + j + 2k. Selidiki apakah A, B, dan C bergantung linear?. Penyelesaian Jika A, B, dan C bergantung linear, maka skalar a, b dan c tidak semuanya nol sehingga aA + bB + cC =0 a(i – …… …… b …… …… …… c …… …… …… = 0 Karena i, j, dan k takkolinear, maka (a + …… ……)i + (…… + 2b ……)j
…… …… …… k = 0
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny STKIP PGRI SUMBAR 19
Buku Kerja 1
Vektor dan Skalar
sehingga …… + 2b …… = 0 …… ….. …… …… ….. ……
(1) (2) (3)
Eliminasi persamaan (1) dan (2) diperoleh 4b …… …… ….. …… …… (4) Eliminasi persamaan (2) dan (3) diperoleh …… …… …… (5) Eliminasi persamaan (4) dan (5) diperoleh b …… Substitusi b …… ke persamaan c ……
diperoleh
Substitusi b …… dan c …… ke persamaan (1) sehingga diperoleh a …… Jadi, karena terdapat skalar a, b, c yang ……………… sehingga aA + bB + cC = 0. Maka A, B, dan C …………….. linear.
LATIHAN MANDIRI Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia Latihan 1 Carilah vektor satuan yang sejajar dengan resultan dari vektor-vektor r1 = -5i + 4j + 2k dan r2 = 3i + 2j + k. Penyelesaian
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny STKIP PGRI SUMBAR 20
Buku Kerja 1
Vektor dan Skalar
Latihan 2 Dalam tiap-tiap kasus berikut apakah vektor-vektornya bebas linear atau bergantung linear: a. A = 2i + j – 3k, B = i – 4k, C = 4i + 3j – k b. A = i – 3j + 2k, B = 2i – 4j – k, C = 3i + 2j – k Penyelesaian
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny STKIP PGRI SUMBAR 21
Buku Kerja 1
Vektor dan Skalar
Latihan 3 Jika a dan b adalah vektor-vektor takkolinear dan A = (x + 4y)a + (2x + y + 1)b dan B = (y – 2x + 2)a + (2x – 3y – 1)b, maka carilah x dan y sehingga 3A = 2B. Penyelesaian
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny STKIP PGRI SUMBAR 22
Buku Kerja 1
Vektor dan Skalar
Kunci Jawaban Latihan 1 : Latihan 2 : a. bebas linear, b. bergantung linear Latihan 3 : x = 2 dan y = -1 Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini di tempat kosong di bawah
Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny STKIP PGRI SUMBAR 23
