Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR

Buku Kerja 5

Integrasi Vektor INTEGRASI VEKTOR

Materi pokok pertemuan ke 11: 1. Integral Biasa 2. Integral Garis

URAIAN MATERI

Sebelum masuk ke integral garis, Anda pelajari dulu mengenai integral biasa dari vektor. Integral Biasa Pada buku kerja 3, kita telah mengetahui hubungan antara perpindahan, kecepatan, dan percepatan. Kecepatan merupakan turunan dari perpindahan sebagai fungsi waktu. Percepatan merupakan turunan kecepatan sebagai fungsi waktu. Bagaimana jika kita ingin mencari kecepatan dan perpindahan dengan diketahui percepatannya? Percepatan adalah turunan dari kecepatan, berarti kecepatan adalah anti turunan dari percepatan. Sedangkan, kecepatan adalah turunan dari perpindahan, berarti perpindahan adalah anti turunan dari kecepatan. Oleh karena itu, untuk mencari kecepatan berarti kita harus mengintegralkan percepatan dan untuk mencari perpindahan berarti kita harus mengintegralkan kecepatan. Perhatikan definisi integral biasa dari fungsi vektor, sebagai berikut. Definisi Integral Biasa Misalkan , dimana sebuah vektor yang bergantung pada variabel atau parameter t dan kontinu dalam suatu selang yang ditentukan. Maka, integral tak tentu dari didefinisikan sebagai berikut.

Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 99 STKIP PGRI SUMBAR

Buku Kerja 5

Integrasi Vektor

Jika terdapat sebuah vektor

dimana

, sehingga

maka :

adalah vektor konstanta.

Sedangkan integral tentu dengan batas antara

dan t

, dapat ditulis

Jadi, misalkan fungsi percepatan diberikan oleh , yang bergantung pada parameter t (waktu). Maka, kecepatan adalah integral dari percepatan diberikan oleh.

Setelah Anda mempelajari integral biasa dari fungsi vektor, selanjutnya Anda pelajari integral garis dari fungsi vektor. Integral Garis Dalam buku kerja 2 telah dijelaskan bahwa usaha merupakan hasil dari perkalian titik antara gaya yang dilakukan dengan perpindahan yang terjadi. Rumusnya adalah

Selanjutnya, coba perhatikan gambar berikut.

B objek A


Buku Kerja 5

Integrasi Vektor

Apa yang bisa Anda kemukakan dari gambar tersebut? Ada objek yang bergerak dari titik A ke titik B namun objek tersebut bergerak tidak lurus. Jadi, jika gaya yang diberikan berubah besar dan arahnya, dan objek bergerak tidak lurus, maka usaha yang dilakukan adalah

Jika perubahannya kontinu, maka perumusan di atas berubah menjadi integral

untuk perpindahan dari titik a ke titik b sepanjang lintasan C. Usaha yang dihasilkan merupakan integral garis dari fungsi vektor . Untuk lebih jelasnya, berikut definisi integral garis. Definisi Integral Garis Integral garis dari suatu fungsi vektor sepanjang kurva C yang terdefinisi pada , didefinisikan sebagai berikut.

Selanjutnya, perhatikan gambar di bawah ini! Objek A Gambar di samping tampak bahwa objek bergerak sepanjang lintasan C B yang tidak lurus yang berawal dari titik A dan berakhir pada titik B, dimana A=B. Jadi, objek tersebut bergerak sepanjang lintasan tertutup.

Jadi, usaha yang diperoleh pada lintasan tertutup di atas adalah


Buku Kerja 5

Integrasi Vektor

CONTOH SOAL Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini! Contoh 1 Jika

, carilah (a)

dan (b)

Penyelesaian (a)

(b)

di mana c adalah vektor konstan Contoh 2 Jika

dan

, hitunglah

Penyelesaian


Buku Kerja 5

Integrasi Vektor

Contoh 3 Jika

, hitunglah

dari (0, 0, 0) sampai (1, 1, 1) sepanjang lintasan berikut. (a) (b) Garis lurus dari (0, 0, 0)sampai(0, 0, 1), kemudian sampai (0, 1, 1) dan setelah itu sampai (1, 1, 1) (c) Garis lurus yang menghubungkan (0, 0, 1) dan (1, 1, 1)

Penyelesaian

(a) Jika , titik (0, 0, 0)dan (1, 1, 1) masing-masing dengan t = 0 dan t = 1 yang diperoleh dengan menggunakan persamaan parameter. Maka

Metode lain Sepanjang C,

dan . Maka


Buku Kerja 5

Integrasi Vektor

(b) Sepanjang garis lurus dari (0, 0, 0) sampai (0, 0, 1), sedang berubah dari 0 sampai 1. Maka integral sepanjang bagian lintasan ini adalah

Sepanjang garis lurus dari (0, 0, 1) sampai (0, 1, 1), sedang berubah dari 0 sampai 1. Maka integral sepanjang bagian lintasan ini adalah


Jadi (c) Garis lurus yang menghubungkan (0, 0, 0) dan (1, 1, 1) dalam bentuk persamaan parameter adalah Maka

Contoh 4 Carilah usaha yang dilakukan untuk menggerakkan sebuah partikel dalam medan gaya yang diberikan oleh sepanjang kurva dari t =0 hingga t =2

Penyelesaian


Buku Kerja 5

Integrasi Vektor

Jadi, usaha yang dilakukan untuk menggerakkan sebuah partikel dalam medan gaya adalah 100/3.

LATIHAN TERBIMBING Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong! Latihan 1 Hitunglah

Penyelesaian

Latihan 2 Percepatan a dari sebuah partikel pada sebarang t diberikan oleh . Jika kecepatan v dan perpindahan r adalah nol pada saat t = 0, carilah v dan r pada sebarang saat.

Penyelesaian Perhatikan

,

, maka:

(*) Jika v = 0 pada saat t = 0, menyebabkan

substitusi

ke persamaan (*), sehingga diperoleh Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 105 STKIP PGRI SUMBAR

Buku Kerja 5

Integrasi Vektor

Jika v = 0 pada saat t = 0, menyebabkan

(**) substitusi

ke persamaan (**), sehingga diperoleh

Latihan 3 Jika

. Hitunglah

sepanjang

lintasan-lintasan C berikut: (a) dari t = 0 hingga t = 1 (b) garis-garis lurus dari (0, 0, 0) ke (0, 0, 1), kemudian ke (0, 1, 1) dan kemudian ke (2, 1, 1) (c) garis lurus yang menghubungkan (0, 0, 0) dan (2, 1, 1)

Penyelesaian

(a) Jika

, dari t = 0 dan t = 1. Maka

(b) garis-garis lurus dari (0, 0, 0) ke (0, 0, 1), kemudian ke (0, 1, 1) dan kemudian ke (2, 1, 1). Sepanjang garis lurus dari (0, 0, 0) ke (0, 0, 1), sedangkan z berubah dari 0 sampai 1. Maka integral sepanjang bagian lintasan ini adalah


Buku Kerja 5

Integrasi Vektor



Jadi (c) Garis lurus yang menghubungkan (0, 0, 0) dan (2, 1, 1) dalam bentuk persamaan parameter adalah Maka

Latihan 4 Jika

, hitunglah

mengelilingi segitiga C

pada gambar berikut (2,1) )

O

(2,0)

Penyelesaian

Sepanjang garis lurus dari (0, 0) ke (2, 0), sedangkan berubah dari 0 sampai 2. Maka integral sepanjang bagian lintasan ini adalah


Buku Kerja 5

Integrasi Vektor

Sepanjang garis lurus dari (2, 0) ke (2, 1), sedangkan berubah dari 0 sampai 1. Maka integral sepanjang bagian lintasan ini adalah

Sepanjang garis lurus dari (2, 1) ke (0, 0), dalam bentuk persamaan parameter adalah Maka

Jadi,

LATIHAN MANDIRI Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia! Latihan 1 Misalkan Hitunglah

,

, dan

.

Penyelesaian


Buku Kerja 5

Integrasi Vektor

Latihan 2 Hitunglah

. Jika

dan

Penyelesaian


Buku Kerja 5

Integrasi Vektor

Latihan 3 Percepatan a dari sebuah benda pada sebarang titik saat t diberikan oleh a = - g j, di mana g sebuah konstanta. Pada saat t = 0 kecepatan diberikan oleh dan perpindahan = 0. Carilah v dan r pada sebarang saat t > 0. Ini menggambarkan gerak sebuah peluru yang ditembakkan dari sebuah meriam yang membuat sudut terhadap sumbu positif dengan kecepatan awal yang besarnya .

Penyelesaian

Latihan 4 Carilah usaha yang dilakukan dalam menggerakkan sebuah partikel dalam medan gaya sepanjang (a) garis lurus dari (0, 0, 0) ke (2, 1, 3) (b) kurva ruang dari t = 0 ke t = 1 (c) Kurva yang didefinisikan oleh dari

Penyelesaian


Buku Kerja 5

Integrasi Vektor

Latihan 5 Hitunglah

dan C adalah kurva

di mana

tertutup dalam bidang

,

dari

Penyelesaian


Buku Kerja 5

Integrasi Vektor

Latihan 6 Hitunglah

mengelilingi kurva tertutup C dari gambar di bawah

jika y Y2=x

(1,1) Y=x2

0

x

Penyelesaian


Buku Kerja 5

Integrasi Vektor

Latihan 7 Jika . Hitunglah sirkulasi A mengelilingi sebuah lingkaran C dengan pusat di titik asal dan jari-jari 2, jika C dilintasi dalam arah positif.

Penyelesaian


Buku Kerja 5

Integrasi Vektor

Latihan 8 Diketahui (a) Buktikan bahwa F adalah medan vektor konservatif (b) Carilah potensial skalar untuk F

Penyelesaian


Buku Kerja 5

Integrasi Vektor

Kunci Jawaban Latihan 1 : 12 Latihan 2 : 10 Latihan 3 : Latihan 4 : (a) 16, (b) 14,2 (c) 16 Latihan 5 : , jika C dilintasi dalam arah positif (berlawanan arah jarum jam) Latihan 6 : 2/3 Latihan 7 : 8 Latihan 8 :

Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah


Buku Kerja 5

Integrasi Vektor

Materi pokok pertemuan ke I1: 3. Integral permukaan

URAIAN MATERI Integral Permukaan Pernahkah Anda terpikir dari manakah kita mendapat air bersih? Ya, kita mendapat air tersebut dari PDAM. Bagaimana PDAM menyalurkan air tersebut? Agar air dapat sampai ke tempat kita, air disalurkan melalui pipa. Air yang mengalir melalui pipa tersebut memiliki kecepatan. Kita dapat mengetahui berapa volume air yang mengalir melewati pipa tersebut dengan menggunakan rumus integral permukaan. Semakin besar kecepatan yang dimiliki air tersebut, maka semakin besar pula volume air yang mengalir tersebut. Jadi, misalkan = kecepatan pada setiap titik dari fluida yang bergerak, dimana air adalah salah satu jenis fluida Volume dari fluida yang melewati dalam detik = volume yang terkandung dalam silinder dengan luas alas dan tinggi atau panjang Maka volume per detik dari fluida yang melewati Volume total per detik dari fluida yang keluar dari permukaan tertutup S

adalah integral permukaan S dari vektor Berikut definisi integral permukaan Definisi Integral Permukaan Misalkan S suatu permukaan 2 sisi yang demikian mulus dan adalah vektor normal satuan positif, maka fluks (massa yang mengalir per satuan waktu) dari melalui permukaan S adalah


Buku Kerja 5

Integrasi Vektor

yang disebut integral permukaan. Untuk menghitung integral permukaan akan lebih sederhana dengan memproyeksikan S pada salah satu bidang koordinat, kemudian menghitung integral lipat 2 dari proyeksinya. Misalkan permukaan S memiliki proyeksi pada bidang xy, maka integral permukaan diberikan oleh

Sedangkan jika proyeksi pada bidang xz, maka integral permukaannya adalah

Dan proyeksi pada bidang yz, maka integral permukaan diberikan oleh:

CONTOH SOAL Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini! Contoh 1 Hitunglah

dimana

bidang normal satuan pada S.

, S adalah bagian dari

yang terletak pada oktan pertama dan n adalah

Penyelesaian Suatu normal untuk S adalah

, sehingga


Buku Kerja 5

Integrasi Vektor

maka

Permukaan S proyeksi R nya terhadap bidang permukaan yang diinginkan adalah

. Sehingga integral


Buku Kerja 5

Integrasi Vektor

Contoh 2 melalui permukaan S dari kubus satuan yang dibatasi

Hitunglah oleh bidang-bidang

Penyelesaian C

B E

D 0 G

Bidang DEFG :

Bidang ABCO :

Bidang ABGF :

A F

. Maka

. Maka

. Maka


Buku Kerja 5

Integrasi Vektor

Bidang OGDC :

. Maka

Bidang BCDE :

. Maka

Bidang AFGO :

. Maka

=1+0+1+0+1+0=3

LATIHAN TERBIMBING Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong!


Buku Kerja 5

Integrasi Vektor

Latihan 1 Hitung

jika

dan S adalah permukaan bidang

dalam oktan pertama yang dipotong oleh bidang

Penyelesaian

Suatu normal untuk S adalah

, sehingga

maka


. Sehingga integral


Buku Kerja 5

Integrasi Vektor

Latihan 2 Hitung bidang

dan S adalah permukaan

jika dalam oktan pertama

Penyelesaian

Suatu normal untuk S adalah sehingga

,

maka


Sehingga integral


Buku Kerja 5

Integrasi Vektor

LATIHAN MANDIRI Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia! Latihan 1 Hitunglah bidang satuan pada S.

dimana

, S adalah bagian dari

yang terletak pada oktan pertama dan n normal

Penyelesaian


Buku Kerja 5

Integrasi Vektor

Latihan 2 Jika dan S adalah permukaan silinder parabolik dalam oktan pertama yang dibatasi oleh bidang-bidang y=4 dan z=6, hitunglah

Penyelesaian


Buku Kerja 5

Integrasi Vektor

Latihan 3 melalui seluruh permukaan S dari daerah yang

Hitunglah dibatasi oleh silinder

,

Penyelesaian


Buku Kerja 5

Integrasi Vektor

Latihan 4 dan S

Hitunglah integral

jika

adalah permukaan

yang dibatasi oleh

Penyelesaian

Latihan 5 Hitunglah

jika

,

, dan S

adalah permukaan 2x+y+2z=6 yang dibatasi oleh x=0, x=1, y=0, dan y=2, maka

Penyelesaian


Buku Kerja 5

Integrasi Vektor


Buku Kerja 5

Integrasi Vektor

Kunci Jawaban Latihan 1 : 27/4 Latihan 2 : 132 Latihan 3 : Latihan 4 : Latihan 5 :



Buku Kerja 5

Integrasi Vektor

Materi pokok pertemuan ke I3: 4. Integral Volume

URAIAN MATERI Integral volume Pernahkah terpikir berapa banyak air yang dapat ditampung oleh sebuah bak mandi? Anda dapat mencarinya dengan menggunakan integral volume.

Berikut definisi integral volume Integral Volume Pandang sebuah permukaan tertutup dalam ruang yang menutup volume V, maka

dinyatakan sebagai limit dari jumlah. Berikut penjelasannya: Bagi ruang V ke dalam M buah kubus-kubus dengan volume seperti diperlihatkan pada gambar berikut.


Buku Kerja 5

Integrasi Vektor

Misalkan sebuah titik dalam kubus ini. Definisikan Pandang jumlah

yang diambil untuk semua kubus yang mungkin dalam ruang yang ditinjau. Limit dari jumlah ini, bila sehingga kuantitas-kuantitas terbesar akan mendekati nol, dan jika limit ini ada, dinyatakan oleh

adalah integral volume. Agar lebih paham, pelajari contoh-contoh berikut!

CONTOH SOAL Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini! Contoh 1 Misalkan

. Hitunglah

dimana

adalah ruang

yang dibatasi oleh permukaan-permukaan

Penyelesaian


.

Buku Kerja 5

Integrasi Vektor

Integral untuk komponen i

Integral untuk komponen j

Integral untuk komponen k


Buku Kerja 5

Integrasi Vektor

Maka,

Contoh 2 Hitung yang dibatasi oleh

,V adalah ruang tertutup

di mana ,

.

Penyelesaian


Buku Kerja 5

Integrasi Vektor

Jadi,

LATIHAN TERBIMBING Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong! Latihan 1 Hitung

di mana V

adalah ruang tertutup yang dibatasi oleh dengan

Penyelesaian 1

0

1

1


Buku Kerja 5

Integrasi Vektor

Latihan 2 Hitung silinder

, di mana V adalah ruang tertutup yang dibatasi oleh dan bidang-bidang

Penyelesaian


Buku Kerja 5

Integrasi Vektor

Latihan 3 Jika ruang

, hitunglah tertutup

yang

dibatasi

oleh

di mana V adalah

bidang-bidang

Penyelesaian


Buku Kerja 5

Integrasi Vektor

LATIHAN MANDIRI Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia! Latihan 1 Hitunglah volume benda yang dibatasi oleh permukaan , yang terletak dikuadran pertama jika diketahui .

Penyelesaian


Buku Kerja 5

Integrasi Vektor

Latihan 2 Hitung integral lipat tiga di mana

yang dibatasi oleh bidang

Penyelesaian


Buku Kerja 5

Integrasi Vektor

Latihan 3 Jika

, hitunglah

di mana V

adalah ruang tertutup yang dibatasi oleh bidang-bidang

Penyelesaian


Buku Kerja 5

Integrasi Vektor

Latihan 4 Tentukanlah volume dan pusat daerah R parabolik dan bidang-bidang

yang dibatasi oleh silinder .

Penyelesaian


Buku Kerja 5

Integrasi Vektor


Buku Kerja 5

Integrasi Vektor

Kunci Jawaban Latihan 1 : Latihan 2 : 11/3 Latihan 3 : Latihan 4 : 3/2



Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR

Recommend Documents