MATEMATIKA KEUANGAN PENDAHULUAN
Julan HERNADI
1
Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah PonorogoUniversity of Kuliah Matematika Keuangan, Semester Genap 2011
Julan HERNADI
matematika keuangan
SIMULASI INVESTASI Kebutuhan pokok plus mencakup: sandang, pangan, papan, kendaraan, alat komunikasi, dll. Misalkan kebutuhan pokok tersebut telah terpenuhi dan anda masih mempunyai kelebihan uang, katakan 100 juta rupiah selama 1 tahun. Digunakan untuk apa uang 100 juta rupiah ini?
Dibelikan perhiasan/emas Didepositokan di bank Dibelikan property extra, mis tanah, dll Dibelikan saham perusahaan, misalkan ikut danareksa Dibelikan obligasi Disimpan di bawah kasur, dll Keadaan uang 1 tahun yang akan datang
Bertambah signi kan berlipat-lipat Tetap nominalnya Berkurang nominalnya Julan HERNADI
matematika keuangan
KEADAAN INVESTASI PADA 2 TITIK WAKTU
Figure: Model uktuasi investasi
Julan HERNADI
matematika keuangan
TENTANG MATA KULIAH INI
Deskripsi mata kuliah: mata kuliah ini membahas manajemen investasi khususnya portofolio ditinjau dari teori matematika khususnya teori probabilitas. Tujuan mata kuliah : memberikan pengetahuan tentang model-model investasi, mengetahui estimasi keuntungan (return) dan resikonya terhadap suatu investasi. Materi Kuliah :
Model pasar sederhana (istilah & asumsi dasar, Prinsip non-arbitrase, Model binomial 1 langkah, Resiko dan kembalian, Kontrak muka, Opsi) Aset bebas resiko Aset dengan resiko Model Pasar waktu diskrit Managemen Portofolio. Julan HERNADI
matematika keuangan
Lanjutan
Referensi : Capinski, M & Zastawniak, T. 2003. Mathematics for Finance: An Introduction to Financial Engineering,
Spring-Verlag, London. SISTEM PERKULIAHAN: Tatap muka, presentasi dosen, presentasi kelompok, menyusun makalah, dll. PENILAIAN: Keaktifan, presensi, presentasi, makalah, UTS, UAS.
Julan HERNADI
matematika keuangan
MACAM ASSET
Asset = harta/kekayaan. Asset dengan resiko (risky-asset), misalnya saham, logam mulia, valuta asing, dll Asset tanpa resiko (risk-free asset), misalnya deposito, obligasi pemerintah, dll Untuk sementara diperhatikan 2 titik waktu, yaitu t
=0
yaitu saat awal investasi
t
=1
yaitu akhir 1 periode investasi.
Misalkan S (0) harga/nilai asset dengan resiko, A(0) harga/nilai asset tanpa resiko pada saat t
= 0.
Kedua harga ini diketahui oleh
investor. Bayangkan S (t ) harga saham pada saat t , dan A(t ) banyaknya uang pada rekening bank. S (1) tidak diketahui oleh investor, sedangkan A(1) diketahui oleh investor.
Julan HERNADI
matematika keuangan
Rate of return
Rate of return atau disingkat return dide nisikan sebagai selisih perubahan nilai asset terhadap nilai asset mula-mula. Risky-asset: KS
S (0) := S (1S)− (0)
tidak diketahui oleh investor,
karena S (1) tak diketahui Risk free-asset: AS saat t
= 0.
A(0) := A(1A)− (0)
diketahui oleh investor pada
Tugas matematikawan dalam bidang keuangan: membangun model matematika dari pasar sekuritas keuangan. Diperlukan teori matematika yang relevan. Untuk itu diperlukan beberapa asumsi dasar agar dapat dianalisis secara matematika. Asumsi ini sedapat mungkin mempunyai kemiripan dengan keadaan sesungguhnya atau realitas.
Julan HERNADI
matematika keuangan
ASUMSI DASAR
( )
Asumsi RANDOM. Harga saham yang akan datang S 1
tidak pasti, dapat naik, turun atau tetap. Nilai kenaikan atau penurunan juga tidak diketahui. Harga obligasi yang akan datang A(1) sudah diketahui saat ini. Asumsi Positif. Semua harga saham dan obligasi selalu
positif, yaitu S (t ), A(t )
> 0, t = 0, 1.
Julan HERNADI
matematika keuangan
PORTOFOLIO DALAM INVESTASI
Seorang investor mempunyai x lembar saham dan y lembar obligasi (surat berharga) akan mempunyai kekayaan
( ) = xS (t ) + yA(t ), t = 0, 1
V t
Pasangan
(x , y )
disebut portofolio dan V (t ) disebut nilai
portofolio atau kekayaan investor. Loncatan (perubahan) nilai asset adalah V
(1) − V (0) = x (S (1) − S (0)) + y (A(1) − A(0)) .
Return portofolio adalah
V=
K
Julan HERNADI
V
(1) − V (0) . V (0)
matematika keuangan
Contoh Return
1
2
(0) = 100 dan A(1) = 110 dollar. Return investasi sebesar 110−100 = 0.1 = 10%. KA = 100 Misalkan S (0) = 50 dollar, dan S (1) variabel random dengan A
dua kemungkinan nilai
( S
(1) =
52
dengan probabilitas p
48
dengan probabilitas 1 − p
maka returnnya juga ada dua kemngkinan, yaitu
(
S=
K
4%
bila saham naik
−4%
bila saham turun
Julan HERNADI
matematika keuangan
Contoh Portofolio
Misalkan harga per lembar saham dan obligasi sama seperti sebelumnya, yaitu S(0)=50 dollar dan A(0)=100 dollar. Pada t
= 0,
diketahui portofolionya adalah x = 20 lembar saham
dan y = 10 surat obligasi. Tentukan nilai portfolio padat = 0, 1. Kemudian hitunglah returnnya. Penyelesaian:
V(0)= (20)(50)+(10)(100) = 2000 dollar. Bila harga saham naik maka V(1) = (20)(52)+(10)(110)= 2140. Bila harga saham turun maka V(1) = (20)(48)+(10)(110)= 2060. Return agar dihitung sendiri ! LATIHAN Selesaikan Latihan 1.1 dan 1.2 (lihat hal 4)
Julan HERNADI
matematika keuangan
Asumsi Dasar Lanjutan Asumsi Keterbagian: banyak lembar saham x dan obligasi y
diasumsikan dapat bernilai bulat, pecahan, negatif, nol, positif, yaitu x , y
∈ R.
Fakta lapangannya, x dan y bilangan bulat tak
negatif. Asumsi Likuiditas: tidak ada pembatasan jumlah lembar
saham dan obligasi yang diperdagangkan. Ini merupakan idealisasi matematika, keadaan sesungguhnya tidak demikian. Long position
adalah suatu keadaan dimana sekuritas pada
portofolio bernilai positif. Kebalikannya adalah short position. Pada posisi short, Investor aset bebas resiko dapat pinjam tunai, bunganya dihitung dari nilai penjaman. Pengembalian pinjaman + bunga disebut closing short position. Investor saham dapat pinjam saham orang lain, menjualnya dan hasilnya digunakan untuk membuat investasi lainnya. Cara ini disebut juga short selling. Julan HERNADI
matematika keuangan
Asumsi kesanggupan: kekayaan investor tidak pernah minus,
yaitu
( ) ≥ 0, t = 0, 1
V t
Portofolio yang memenuhi kondisi ini disebut admisibble (layak).
( )
Harga satuan diskrit : harga saham yang akan datang S 1
mempunyai nilai diskrit atau banyak kemungkinannya berhingga.
Julan HERNADI
matematika keuangan
PRINSIP NON-ARBITRASE Pasar tidak membolehkan keuntungan tanpa resiko, yaitu dengan investasi nol. CONTOH: Misalkan pedagang A di Newyork menawarkan untukmembeli poundsterling seharga 1.62 US dollar per pound, sedangkan penjual B di London menawarkan untukmenjual 1.60 dollar per pound. Seorang investor tanpa modal dapat untung 1.62-1.60=0.02 dollar per pound dengan cara ambil short position dengan pedagang B dan long position dengan A. Keadaan seperti ini diasumsikan tidak boleh terjadi. Model matematika untuk prinsip non-arbitrase: tidak boleh ada admisibble portfolio dengan V(0)=0 sehingga V(1)>0 dengan probabilitas tidak nol. LATIHAN Kerjakan exercises 1.3 (lihat hal 6). Mungkinkah prinsip non-arbitrase dilanggar ! Julan HERNADI
matematika keuangan
