Catatan Kuliah
AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria “Insure and Invest”
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015
1
Tentang AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria
Jadwal kuliah: Rabu, 7-; Kamis; 7Ujian: 23/9/15; 29/10/15; 3/12/15 (@ 30%) Buku teks: Sheldon Ross, Introduction to Mathematical Finance
Jadwal Perkuliahan: M1 (24/8): Pengantar: risiko dan nilai uang, Kuis M2 (31/8): Peubah acak, peluang dan ekspektasi bersyarat M3 (7/9): Distribusi normal M4 (14/9): Gerak Brown M5 (21/9): Ujian 1, Rabu 23/9 [Kamis 24/9 libur] M6 (28/9): Gerak Brown and GB Geometrik M7 (5/10): [Rabu, 7/10 seminar] PVA (?) M8 (12/10): [Rabu, 14/10 libur] PVA (?) M9 (19/10): Return dan Distribusi M10 (26/10): Ujian 2, Kamis 29/10 M11(2/11): Konsep dan Jenis Opsi M12 (9/11): Menghitung Opsi M13 (16/11): Formula Black-Scholes M14 (23/11): M15 (30/11): Ujian 3, Kamis 3/12
2
Pengantar: Risiko dan Nilai Uang
Risiko adalah “sistem” yang dapat dikendalikan. Salah satu kegiatan penting dalam (men)transfer risiko adalah berasuransi; pemegang polis (insured) “menitipkan” atau “memindahkan” risiko kepada pihak lain yaitu perusahaan asuransi (insurer) dan sebaliknya. Kedua subyek memiliki risiko, pemegang polis membayar premi sedangkan perusahaan asuransi membayar klaim. Kegiatan lain yang juga berisiko adalah investasi atau “bermain uang”. Jika kita ingin menggandakan uang untuk mendapatkan nilai yang lebih besar maka kita dapat melakukan kegiatan investasi baik kepada individu atau institusi. Adakah hubungan antara investasi dan asuransi dan investasi? Saat ini praktik asuransi mulai digabungkan dengan investasi. Hal ini dimaksudkan untuk menumbuhkan iklim (atau minat) asuransi dengan keuntungan dari investasi. Kuliah Matematika Keuangan Aktuaria mengajak kita untuk memahami konsep dan menghitung nilai uang, opsi dan, secara umum, “bermain” peluang (memahami kejadian dan peubah acak serta menghitung peluang atas keduanya) menjadi sangat krusial.
3
Bab 1 - Peubah Acak, Peluang dan Ekspektasi Bersyarat
Kegiatan asuransi berkaitan dengan keinginan untuk mengatur dan memindahkan risiko kepada pihak lain. Kegiatan berinvestasi adalah upaya meningkatkan “nilai” uang. Keduanya memiliki kesamaan yaitu (1) memiliki risiko (besar) dan (ii) bersifat tidak pasti. Untuk itu, belajar dan “bermain” tentang ketidakpastian merupakan suatu keharusan. Dengan kata lain, memahami konsep dan menghitung peluang (atas kejadian dan/atau nilai peubah acak) menjadi sangat krusial.
1.1 Ruang sampel dan kejadian Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Ruang sampel S adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Anggota dari S disebut kejadian elementer. Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel atau koleksi dari kejadian-kejadian elementer. Peluang kejadian A sesungguhnya adalah P (A) = lim
n→∞
n(A) n
Misalkan S adalah ruang sampel, A adalah kejadian. Peluang kejadian A adalah P (A) =
n(A) n(S)
Secara formal, peluang atau ukuran peluang P pada lap-σ A adalah suatu pemetaan dari A terhadap selang [0, 1] yang memenuhi tiga aksioma berikut: (i) 0 ≤ P (A) ≤ 1, untuk setiap A ∈ A (ii) P (S) = 1 (iii) Untuk himpunan terhitung kejadian-kejadian saling asing A1 , A2 , . . ., P
∞ (∪ i=1
) Ai =
∞ ∑
P (Ai )
i=1
4
Teorema: 1. P (Ac ) = 1 − P (A) 2. Jika A ⊂ B maka P (A) ≤ P (B) 3. P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
1.2 Peubah acak Peubah acak tidaklah “acak” dan bukanlah “peubah”. Peubah acak adalah “fungsi” yang memetakan anggota S ke bilangan real R. Peubah acak X dikatakan diskrit jika terdapat barisan terhitung dari bilangan {ai , i = 1, 2, . . . } sedemikian hingga P
(∪
) ∑ {X = ai } = P (X = ai ) = 1.
i
i
Catatan: Sebuah peubah acak diskrit tidak selalu berasal ruang sampel diskrit. FX disebut fungsi distribusi (diskrit) dari X jika terdapat barisan terhitung {ai , i = 1, 2, . . . } dari bilangan real dan barisan {fi , i = 1, 2, . . . } dari bilangan positif yang bersesuaian sehingga ∑
fi = 1 dan FX (x) =
i
∑
fi .
ai ≤x
Jika diberikan himpunan terhitung {ai , i = 1, 2, . . . } dan bilangan positif {fi , i = 1, 2, . . . } ∑ sehingga i fi = 1, fungsi peluang fX (x) adalah fX (x) = fi = P (X = ai ), dengan x = ai . Sementara itu, fungsi distribusi (kumulatif) nya F (x) = P (X ≤ x). Sifat-sifat fungsi distribusi sebagai berikut: (a) F fungsi tidak turun (b) limx→∞ F (x) = 1 (c) limx→−∞ F (x) = 0 (d) F fungsi kontinu kanan 5
Jika X adalah peubah acak sehingga fungsi peluangnya ada (turunan dari fungsi distribusi) maka X dikatakan sebagai peubah acak kontinu. Perhatikan: ∫ 1 = FX (∞) =
∞
−∞
fX (t) dt ∫
P (a ≤ X ≤ b) = FX (b) − FX (a) = ∫ a P (X = a) = fX (t) dt = 0
b
fX (t) dt a
a
1.3 Ekspektasi Nilai harapan/ekspektasi (expected value/expectation) atau ekspektasi dari peubah acak diskrit dan kontinu X, berturut-turut, adalah E(X) =
∫
∑
x fX (x) dan E(X) =
x
∞
−∞
x fX (x) dx,
dengan fX adalah fungsi peluang dari X. Catatan: 1. Ekspektasi adalah rata-rata tertimbang (weighted average) dari nilai yang mungkin dari X 2. Ekspektasi = mean = momen pertama 3. Ekspektasi suatu peubah acak adalah nilai rata-rata (long-run average value) dari percobaan bebas yang berulang 3. Apakah ekspektasi harus berhingga? (Diskusi!) Sifat-sifat ekspektasi: 1. E(g(X)) =
∫∞ −∞
g(x) fX (x) dx
2. E(a X + b Y ) = a E(X) + b E(Y ) 3. E(XY ) = E(X) E(Y ), jika X dan Y saling bebas. 4. E(X) =
∫∞
5. E(X r ) =
0
P (X > x) dx, untuk X > 0 (*)
∫∞ −∞
xr fX (x) dx (momen ke-r)
6. E((X − µX )r ) =
∫∞ −∞
(x − µX )r fX (x) dx (momen pusat ke-r)
6
7. E((X − µX )2 ) = V ar(X) = E(X 2 ) − (E(X))2 Deviasi standar dari X adalah akar kuadrat Variansi dari X. 8. E(etX ) =
∫∞ −∞
etx fX (x) dx = MX (t) (fungsi pembangkit momen)
9. MX′ (0) = E(X), MX′′ (0) = E(X 2 )
Latihan: 1. SyuCare, perusahaan asuransi kesehatan terbesar di Australia, memiliki polis yang menanggung 100% biaya kesehatan hingga maksimum 1 juta dolar per tahun polis. Diketahui total tagihan kesehatan X (dalam juta dolar) per tahun memiliki fungsi peluang fX (x) =
x(4 − x) , 0 < x < 3. 9
Jika Y adalah total pembayaran yang dilakukan SyuCare, hitung E(Y ).
1.4 Fungsi peluang bersama Misalkan kita punyai dua peubah acak, X dan Y . Kita dapat mengkaji peluang dan ekspektasi bersyarat suatu peubah acak, diberikan peubah acak yang lain. Fungsi peluang (distribusi) atas dua peubah acak dikatakan sebagai fungsi peluang (distribusi) bivariat. Secara umum, sering disebut sebagai fungsi peluang (distribusi) bersama. Misalkan X dan Y ada peubah acak-peubah acak diskrit yang terdefinisi di ruang sampel yang sama. Fungsi peluang bersama dari X dan Y adalah fX,Y (x, y) = P (X = x, Y = y). Kondisi bahwa X dan Y terdefinisi pada ruang sampel yang sama berarti dua peubah acak tsb memberikan informasi secara bersamaan terhadap keluaran (outcome) dari percobaan yang sama. Kejadian X bernilai x dan Y bernilai y, {X = x, Y = y}, adalah irisan kejadian {X = x} dan {Y = y}. Fungsi peluang bersama fX,Y memenuhi sifat-sifat berikut: (i) fX,Y (x, y) ≥ 0, ∀ (x, y), (ii) ∑∑ (x, y) ∈ R2 : fX,Y (x, y) ̸= 0 terhitung, (iii) x,y fX,Y (x, y) = 1.
7
Misalkan X dan Y peubah acak-peubah acak diskrit yang didefinisikan pada ruang sampel ∑ ∑ yang sama. Maka, fX (x) = y fX,Y (x, y), x ∈ R dan fY (y) = x fX,Y (x, y), y ∈ R adalah, berturut-turut, fungsi peluang marginal dari X dan fungsi peluang marginal dari Y . Untuk dua peubah acak kontinu, fungsi peluang dan fungsi distribusi bersama didefinisikan sebagai . . . ; fungsi peluang marginalnya adalah . . . Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak, dengan fX (x) > 0. Fungsi peluang bersyarat dari Y diberikan X = x adalah fY |X (y|x) =
fX,Y (x, y) , ∀y ∈ R fX (x)
Jika fX (x) = 0, kita definiskan fY |X (y|x) = 0 namun tidak dikatakan sebagai fungsi peluang bersyarat. Fungsi peluang bersyarat adalah fungsi peluang! Dua peubah acak dikatakan saling bebas jika . . .
Latihan: 1. Perusahaan asuransi menjual dua jenis polis asuransi kendaraan bermotor: “Basic” dan “Deluxe”. Misalkan waktu hingga klaim Basic selanjutnya masuk adalah peubah acak eksponensial dengan mean dua. Misalkan waktu hingga klaim Deluxe selanjutnya masuk adalah peubah acak eksponensial dengan mean tiga. Kedua waktu saling bebas. Hitung peluang bahwa klaim yang masuk selanjutnya adalah klaim Deluxe. 2. Dua perusahaan asuransi memberikan penawaran pada perusahaan besar. Nilai tawaran adalah antara 2000 dan 2200. Perusahaan akan menerima tawaran terendah jika kedua tawaran berbeda 20 atau lebih. Jika tidak demikian, perusahaan akan mempertimbangkan dua tawaran berikutnya. Asumsikan bahwa kedua tawaran saling bebas dan berdistribusi Uniform pada selang [2000, 2200]. Hitung peluang bahwa perusahaan mempertimbangkan dua tawaran berikutnya.
1.5 Ekspektasi bersyarat Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama fX,Y (x, y). Jika fX (x) > 0 maka ekspektasi bersyarat dari Y diberikan X = x adalah ekspektasi 8
dari Y relatif terhadap distribusi bersyarat Y diberikan X = x, ∫ E(Y |X = x) =
∞
−∞
fX,Y (x, y) dy = y fX (x)
∫
∞
−∞
y fY |X (y|x) dy
Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama fX,Y (x, y). Misalkan ekspektasi dari Y hingga. Maka ∫
∞
E(Y ) = −∞
E(Y |X = x) fX (x) dx
atau E(Y ) = E(E(Y |X = x))
Latihan: 1. Misalkan X menyatakan usia mobil yang mengalami kecelakaan. Misalkan Y menyatakan lama waktu pemilik mobil mengasuransikan mobilnya saat kecelakaan. Fungsi peluang bersama: f (x, y) = (10 − xy 2 )/64, 2 ≤ x ≤ 10, 0 ≤ y ≤ 1. Tentukan usia mobil yang diharapkan terlibat dalam kecelakaan. 2. Seorang aktuaris menentukan banyaknya musibah dalam setahun di kota P(0,1,2) dan Q(0,1,2) dengan distribusi bersama sbb: 0.12, 0.06, 0.05; 0.13, 0.15, 0.12; 0.05, 0.15, 0.10. Hitung mean/variansi bersyarat banyak musibah di kota Q, diberikan tidak ada musibah di kota P.
1.6 Kovariansi dan Korelasi Kita ketahui bahwa jika X dan Y saling bebas maka fX,Y (x, y) = fX (x) gY (y). Akibatnya, E(XY ) = E(X) E(Y ). Konsekuensi ini juga berlaku untuk setiap fungsi g dan h, ( ) ( ) ( ) E g(X)h(Y ) = E g(X) E h(Y ) .
9
Kovariansi antara peubah acak X dan Y , dinotasikan Cov(X, Y ), adalah Cov(X, Y ) = E
((
)( )) X − E(X) Y − E(Y )
Catatan: Jika X dan Y saling bebas maka Cov(X, Y ) = 0 (implikasi). Sifat-sifat kovariansi 1. Cov(X, Y ) = Cov(Y, X) 2. Cov(X, X) = V ar(X) 3. Cov(a X, Y ) = a Cov(X, Y ) 4. Cov
(∑
n i=1
Xi ,
∑m j=1
) ∑ ∑ Yj = ni=1 m j=1 Cov(Xi , Yj )
Perhatikan bahwa: ( V ar
n ∑
) Xi
= Cov
i=1
( n ∑
Xi ,
i=1
=
n ∑ n ∑
n ∑
) Xj
j=1
Cov(Xi , Xj )
i=1 j=1
=
n ∑
V ar(Xi ) +
i=1
∑∑
Cov(Xi , Xj ).
i̸=j
Korelasi antara peubah acak X dan Y , dinotasikan ρ(X, Y ), didefinisikan sebagai ρ(X, Y ) = √
Cov(X, Y V ar(X) V ar(Y )
,
asalkan V ar(X) dan V ar(Y ) bernilai positif. Dapat ditunjukkan pula bahwa −1 ≤ ρ(X, Y ) ≤ 1.
Koefisien korelasi adalah ukuran dari derajat kelinieran antara X dan Y . Nilai ρ(X, Y ) yang dekat dengan +1 atau −1 menunjukkan derajat kelinieran yang tinggi. Nilai positif korelasi mengindikasikan nilai Y yang cenderung membesar apabila X membesar. Jika ρ(X, Y ) = 0 maka dikatakan X dan Y tidak berkorelasi.
10
Latihan: 1. Misalkan (sisa) masa hidup pasangan suami isteri saling bebas dan berdistribusi Uniform pada selang [0, 40]. Perusahaan asuransi menawarkan dua produk: pertama, produk yang membayar nilai klaim saat suami meninggal; kedua, produk yanga membayar nilai klaim saat kedua suami isteri meninggal. Tentukan kovariansi kedua waktu pembayaran tersebut. 2. Misalkan X dan Y harga dua saham pada akhir periode lima tahun. X berdistribusi Uniform pada selang (0, 12). Diberikan X = x, Y berdistribusi Uniform pada selang (0, x). Hitung Cov(X, Y ).
11
