Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria “Insure and Invest!”
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014
1
Tentang AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria
Jadwal kuliah: Selasa, 13-; Kamis; 11Ujian: 2.10.14; 30.10.14; 4.12.14 (@ 30%) Buku teks: Sheldon Ross, Introduction to Mathematical Finance
2
Bab 1 - Kejadian, Peubah Acak, Peluang
Kegiatan asuransi berkaitan dengan keinginan untuk mengatur dan memindahkan risiko kepada pihak lain. Dalam praktiknya, perhitungan yang cermat tentang besar premi dan total jumlah biaya serta klaim yang kembali sangat diperlukan. Saat ini praktik asuransi mulai digabungkan dengan investasi. Hal ini dimaksudkan untuk menumbuhkan iklim asuransi dengan keuntungan dari investasi. Kuliah Matematika Keuangan Aktuaria mengajak kita untuk memahami konsep dan menghitung nilai uang, opsi dan, secara umum, “bermain” peluang (memahami kejadian dan peubah acak serta menghitung peluang atas keduanya menjadi sangat krusial). Ruang sampel dan kejadian Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Ruang sampel S adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Anggota dari S disebut kejadian elementer. Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel atau koleksi dari kejadian-kejadian elementer. Peluang kejadian A sesungguhnya adalah P (A) = lim
n→∞
n(A) n
Misalkan S adalah ruang sampel, A adalah kejadian. Peluang kejadian A adalah P (A) =
n(A) n(S)
Secara formal, peluang atau ukuran peluang P pada lap-σ A adalah suatu pemetaan dari A terhadap selang [0, 1] yang memenuhi tiga aksioma berikut: (i) 0 ≤ P (A) ≤ 1, untuk setiap A ∈ A (ii) P (S) = 1 (iii) Untuk himpunan terhitung kejadian-kejadian saling asing A1 , A2 , . . ., P
∞ (∪ i=1
∞ ) ∑ Ai = P (Ai ) i=1
Teorema: 1. P (Ac ) = 1 − P (A) 2. Jika A ⊂ B maka P (A) ≤ P (B) 3. P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) 3
Latihan: 1. Seorang agen asuransi menawarkan asuransi kesehatan kepada calon nasabah. Nasabah dapat memilih tepat 2 jenis asuransi dari pilihan A, B, C atau tidak memilih sama sekali. Proporsi nasabah memilih jenis asuransi A, B dan C, berturut-turut, adalah 1/4, 1/3 dan 5/12. Hitung peluang seorang nasabah memilih untuk tidak memilih jenis asuransi. 2. Catatan dalam perusahaan asuransi otomotif memberikan informasi bahwa (i) setiap pelanggan mengasuransikan setidaknya satu mobil (ii) 70% pelanggan mengasuransikan lebih dari satu mobil, dan (iii) 20% mengasuransikan jenis sports car. Dari pelanggan yang mengasuransikan lebih dari satu mobil, 15% mengasuransikan sports car. Hitung peluang bahwa seorang pelanggan yang terpilih secara acak mengasuransikan tepat satu mobil dan ini bukan sports car. Peubah acak Peubah acak tidaklah “acak” dan bukanlah “peubah”. Peubah acak adalah “fungsi” yang memetakan anggota S ke bilangan real R. Peubah acak X dikatakan diskrit jika terdapat barisan terhitung dari bilangan {ai , i = 1, 2, . . . } sedemikian hingga (∪ ) ∑ P {X = ai } = P (X = ai ) = 1. i
i
Catatan: Sebuah peubah acak diskrit tidak selalu berasal ruang sampel diskrit. FX disebut fungsi distribusi (diskrit) dari X jika terdapat barisan terhitung {ai , i = 1, 2, . . . } dari bilangan real dan barisan {fi , i = 1, 2, . . . } dari bilangan positif yang bersesuaian sehingga ∑ ∑ fi = 1 dan FX (x) = fi . i
ai ≤x
Jika diberikan himpunan terhitung {ai , i = 1, 2, . . . } dan bilangan positif {fi , i = ∑ 1, 2, . . . } sehingga i fi = 1, fungsi peluang fX (x) adalah fX (x) = fi = P (X = ai ), dengan x = ai . Sementara itu, fungsi distribusi (kumulatif) nya F (x) = P (X ≤ x). Sifat-sifat fungsi distribusi sebagai berikut: (a) F fungsi tidak turun (b) limx→∞ F (x) = 1 (c) limx→−∞ F (x) = 0 (d) F fungsi kontinu kanan 4
Jika X adalah peubah acak sehingga fungsi peluangnya ada (turunan dari fungsi distribusi) maka X dikatakan sebagai peubah acak kontinu. Perhatikan: ∫ ∞ 1 = FX (∞) = fX (t) dt −∞
P (a ≤ X ≤ b) = FX (b) − FX (a) = ∫ a P (X = a) = fX (t) dt = 0
∫
b
fX (t) dt a
a
Latihan: 1. Tentukan fungsi peluang dari fungsi distribusi berikut: 0, x < −3.1 3/5, −3.1 ≤ x < 0 F (x) = 7/10, 0 ≤ x < 1 1, 1≤x 2. Diketahui, untuk peubah acak X, fungsi distribusi berikut: 0, x 4, F (x) = 12 + 11 12 , 1,
x−1 4 ,
x<0 0≤x<1 1≤x<2 2≤x<3 x≥3
Hitung (i) P (1 ≤ X < 5/2), (ii) E(X) Ekspektasi Nilai harapan/ekspektasi (expected value/expectation) atau ekspektasi dari peubah acak diskrit dan kontinu X, berturut-turut, adalah ∫ ∞ ∑ E(X) = x fX (x) dan E(X) = x fX (x) dx, x
−∞
dengan fX adalah fungsi peluang dari X. Catatan: 1. Ekspektasi adalah rata-rata tertimbang (weighted average) dari nilai yang mungkin dari X 2. Ekspektasi = mean = momen pertama 3. Ekspektasi suatu peubah acak adalah nilai rata-rata (long-run average value) 5
dari percobaan bebas yang berulang 3. Apakah ekspektasi harus berhingga? (Diskusi!) Sifat-sifat ekspektasi: ∫∞ 1. E(g(X)) = −∞ g(x) fX (x) dx 2. E(a X + b Y ) = a E(X) + b E(Y ) 3. E(XY ) = E(X) E(Y ), jika X dan Y saling bebas. ∫∞ 4. E(X) = 0 P (X > x) dx, untuk X > 0 (*) ∫∞ 5. E(X r ) = −∞ xr fX (x) dx (momen ke-r) ∫∞ 6. E((X − µX )r ) = −∞ (x − µX )r fX (x) dx (momen pusat ke-r) 7. E((X − µX )2 ) = V ar(X) = E(X 2 ) − (E(X))2 Deviasi standar dari X adalah akar kuadrat Variansi dari X. ∫∞ 8. E(etX ) = −∞ etx fX (x) dx = MX (t) (fungsi pembangkit momen) ′ (0) = E(X), M ′′ (0) = E(X 2 ) 9. MX X
Fungsi peluang bersama Misalkan kita punyai dua peubah acak, X dan Y . Kita dapat mengkaji peluang dan ekspektasi bersyarat suatu peubah acak, diberikan peubah acak yang lain. Fungsi peluang (distribusi) atas dua peubah acak dikatakan sebagai fungsi peluang (distribusi) bivariat. Secara umum, sering disebut sebagai fungsi peluang (distribusi) bersama. Misalkan X dan Y ada peubah acak-peubah acak diskrit yang terdefinisi di ruang sampel yang sama. Fungsi peluang bersama dari X dan Y adalah fX,Y (x, y) = P (X = x, Y = y). Kondisi bahwa X dan Y terdefinisi pada ruang sampel yang sama berarti dua peubah acak tsb memberikan informasi secara bersamaan terhadap keluaran (outcome) dari percobaan yang sama. Kejadian X bernilai x dan Y bernilai y, {X = x, Y = y}, adalah irisan kejadian {X = x} dan {Y = y}. Fungsi peluang bersama fX,Y memenuhi sifat-sifat berikut: (i) fX,Y (x, y) ≥ 0, ∀ (x, y), ∑∑ (ii) (x, y) ∈ R2 : fX,Y (x, y) ̸= 0 terhitung, (iii) x,y fX,Y (x, y) = 1. Misalkan X dan Y peubah acak-peubah acak ∑ diskrit yang didefinisikan pada ruang sampel yang sama. Maka, f (x) = X y fX,Y (x, y), x ∈ R dan fY (y) = ∑ x fX,Y (x, y), y ∈ R adalah, berturut-turut, fungsi peluang marginal dari X dan fungsi peluang marginal dari Y . Untuk dua peubah acak kontinu, fungsi peluang dan fungsi distribusi bersama didefinisikan sebagai . . . ; fungsi peluang marginalnya adalah . . .
6
Latihan: 1. Misalkan X dan Y memiliki fungsi peluang bersama f (x, y) = c (y 2 − x2 ) e−y , −y ≤ x ≤ y, 0 < y < ∞ a. b. c. d.
Tentukan c Tentukan fungsi peluang marginal X dan Y Hitung P (Y > 2X) Apakah X dan Y saling bebas?
2. Ketika kebakaran terjadi dan dilaporkan ke perusahaan asuransi, perusahaan asuransi tersebut segera membuat perkiraan awal X yaitu besar nilai klaim yang akan diberikan. Setelah klaim dihitung secara lengkap, perusahaan harus melunasi pembayaran klaim sebesar Y . Perusahaan menentukan bahwa X dan Y memiliki fungsi peluang bersama fX,Y (x, y) =
2 y −(2x−1)/(x−1) , x > 1, y > 1 − 1)
x2 (x
a. Tentukan fX (x) b. Jika besar klaim awal yang diberikan adalah 2, tentukan peluang bahwa klaim yang diterima berikutnya adalah antara 1 dan 3. Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak, dengan fX (x) > 0. Fungsi peluang bersyarat dari Y diberikan X = x adalah fY |X (y|x) =
fX,Y (x, y) , ∀y ∈ R fX (x)
Jika fX (x) = 0, kita definiskan fY |X (y|x) = 0 namun tidak dikatakan sebagai fungsi peluang bersyarat. Fungsi peluang bersyarat adalah fungsi peluang! Dua peubah acak dikatakan saling bebas jika . . . Ekspektasi bersyarat Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama fX,Y (x, y). Jika fX (x) > 0 maka ekspektasi bersyarat dari Y diberikan X = x adalah ekspektasi dari Y relatif terhadap distribusi bersyarat Y diberikan X = x, ∫ ∞ ∫ ∞ fX,Y (x, y) E(Y |X = x) = y dy = y fY |X (y|x) dy fX (x) −∞ −∞ Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama fX,Y (x, y). Misalkan ekspektasi dari Y hingga. Maka ∫ ∞ E(Y ) = E(Y |X = x) fX (x) dx −∞
7
atau E(Y ) = E(E(Y |X = x)) Latihan: Misalkan X dan Y peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama f (x, y) = e−x(y+1) , 0 ≤ x, 0 ≤ y ≤ e − 1 a. Tentukan fY (y) b. Hitung P (X > 1|Y = 12 ) c. Hitung E(X|Y = 12 ) Kovariansi Kita ketahui bahwa jika X dan Y saling bebas maka fX,Y (x, y) = fX (x) gY (y). Akibatnya,(E(XY ) = )E(X)(E(Y ).) Konsekuensi ini juga berlaku untuk setiap fungsi ( ) g dan h, E g(X)h(Y ) = E g(X) E h(Y ) . Kovariansi antara peubah acak X dan Y , dinotasikan Cov(X, Y ), adalah (( )( )) Cov(X, Y ) = E X − E(X) Y − E(Y ) Catatan: Jika X dan Y saling bebas maka Cov(X, Y ) = 0 (implikasi). Sifat-sifat kovariansi 1. Cov(X, Y ) = Cov(Y, X) 2. Cov(X, X) = V ar(X) 3. Cov(a X, Y ) = a Cov(X, Y ) (∑ ) ∑ ∑m ∑m n n 4. Cov X , Y i i=1 j=1 j = i=1 j=1 Cov(Xi , Yj ) Perhatikan bahwa: ( n ) n n ∑ ∑ ∑ V ar Xi = Cov Xi , Xj i=1
i=1
=
=
n ∑
n ∑
i=1 j=1 n ∑
j=1
Cov(Xi , Xj )
V ar(Xi ) +
∑∑
i=1
i̸=j
8
Cov(Xi , Xj ).
Korelasi antara peubah acak X dan Y , dinotasikan ρ(X, Y ), didefinisikan sebagai ρ(X, Y ) = √
Cov(X, Y V ar(X) V ar(Y )
,
asalkan V ar(X) dan V ar(Y ) bernilai positif. Dapat ditunjukkan pula bahwa −1 ≤ ρ(X, Y ) ≤ 1. Koefisien korelasi adalah ukuran dari derajat kelinieran antara X dan Y . Nilai ρ(X, Y ) yang dekat dengan +1 atau −1 menunjukkan derajat kelinieran yang tinggi. Nilai positif korelasi mengindikasikan nilai Y yang cenderung membesar apabila X membesar. Jika ρ(X, Y ) = 0 maka dikatakan X dan Y tidak berkorelasi. Latihan: 1. Tunjukkan: Cov(X, E(Y |X)) = Cov(X, Y ) 2. Misalkan X peubah acak normal standar dan I (bebas dari X) peubah acak dengan sifat P (I = 1) = P (I = 0) = 1/2. Didefinisikan Y = X, jika I = 1; Y = −X, jika I = 0. Tunjukkan: Cov(X, Y ) = 0
9
Bab 2 - Peubah acak normal
Peubah acak normal merupakan salah satu kajian menarik dalam berbagai bidang, termasuk keuangan, karena pola yang dikenal dan dianggap dapat dipahami dengan mudah. Suatu peubah acak X dikatakan normal apabila memiliki fungsi peluang f (x) = · · · Apa yang dapat kita lakukan terhadap X atau f (x) tersebut? (i) membuat plot f untuk berbagai nilai µ dan σ 2 (ii) menentukan sifat-sifat statistik peubah acak normal (iii) menghitung peluang; termasuk dengan akurasi yang lebih tinggi (hal 25-26) (iv) mengkaji hubungan dengan peubah acak lognormal Y = exp(X) Contoh 2.3d Misalkan X1 , X2 , . . . , Xn sampel acak normal dengan parameter (µ, σ 2 ). Misalkan Sn =
n ∑
Xi .
i=1
Untuk n besar, Sn akan mendekati peubah acak normal dengan mean nµ dan variansi nσ 2 . Catatan: · · · (peubah acak Binomial dan batas nilai) Latihan 2.9, 2.30
10
Bab 3 - Gerak Brown and GB Geometrik
Sebelum kita membahas Gerak Brown (GB) lebih jauh, perhatikan koleksi peubah acak {Xt } atau lebih dikenal dengan “proses stokastik”. Proses atau model stokastik melibatkan beberapa peubah acak dengan indeks waktu. Kalau kita mempunyai satu peubah acak, maka nilai yang mungkin dari peubah acak tersebut akan mengikuti distribusi peluang yang bersesuaian. Kini, kita akan melihat peubah acak setiap waktu. Akibatnya, tingkat kesulitan akan menjadi lebih tinggi (rumit namun menarik kok). Misalkan kita punyai proses stokastik {Xt , t ≥ 0}. Proses stokastik atau deret waktu (sederhana) yang bergantung pada observasi sebelumnya adalah: Xt = α Xt−1 + εt , dengan asumsi-asumsi yang ditentukan. Catatan: Proses ini dikenal dengan nama Autoregressive (AR) Pada Bab ini, proses stokastik diatas kita sederhanakan sebagai berikut: • Xt ∼ i.i.d. N (0, 1) Jelaskan! Kita dapat menuliskan proses ini sebagai Xt = εt , dengan {εt } barisan peubah acak saling bebas dan berdistribusi identik (normal/gauss) dengan mean nol dan variansi satu; atau dikenal dengan proses gaussian WN (white noise) • Xt ∼ N (0, σt2 ). Apa perbedaan dengan model sebelumnya? Jika X1 , X2 , . . . dari proses ini saling (tidak) bebas, dapatkah kita menentukan fungsi peluang bersamanya? Mungkinkah Xt dan Xt+s − Xs yang bersifat saling bebas? Pandang koleksi peubah acak {Xt , t ≥ 0} dengan sifat-sifat: (i) X0 = 0 (ii) ∀ t > 0, Xt berdistribusi normal dengan mean nol dan variansi σ 2 t (iii) Xtn − Xtn−1 , Xtn−1 − Xtn−2 , . . . , Xt2 − Xt1 , Xt1 saling bebas (memiliki kenaikan bebas atau independent increments) (iv) Xt+s − Xt tidak bergantung pada t (memiliki kenaikan stasioner atau stationary increments). Proses stokastik tersebut dikatakan sebagai Gerak Brown.
11
Misalkan dipunyai proses stokastik GB dengan σ 2 = 1 atau dikenal dengan GB standar. Perhatikan kasus t = 1, 2. Fungsi peluang Xt adalah ( ) 1 1 fXt (xt ) = √ exp − x2t , −∞ < xt < ∞. 2t 2πt Fungsi peluang bersama dari X1 dan X2 adalah.... Fungsi peluang bersama dari X1 − X0 dan X2 − X1 adalah fX1 −0,X2 −X1 (x1 − 0, x2 − x1 ) = f (x1 )f (x2 − x1 ),
(1)
karena sifat kenaikan saling bebas. Persamaan (1) tersebut sama dengan ( ( 2 )) 1 1 x1 (x2 − x1 )2 exp − + , 2 1−0 2−1 (2π)2/2 ((1 − 0)(2 − 1))1/2 dengan t1 = 1, t2 = 2 dan sifat kenaikan stasioner X2 − X1 ∼ N (0, 2 − 1). Kita dapat menentukan fungsi peluang bersyarat dengan memanfaatkan fungsi peluang bersama diatas. Untuk t1 = 1 < t2 = 2 diatas, fungsi peluang bersyarat Xt1 , diberikan Xt2 = xt2 adalah... fX1 ,X2 −X1 (x1 , x2 − x1 ) fX2 (x2 ) fX1 (x1 ) · fX2 −X1 (x2 − x1 ) = fX2 (x2 ) = ···
fX1 |X2 (x1 |x2 ) =
Dengan kata lain, distribusi dari X1 |X2 = x2 adalah normal dengan mean dan variansi E(X1 |X2 = x2 ) = · · · ; V ar(X1 |X2 = x2 ) = · · · Latihan: 1. Dapatkah kita menentukan distribusi dari X2 |X1 = x1 ? Jelaskan! 2. Pandang {Xt , 0 ≤ t ≤ 1} sebagai proses stokastik yang mengikuti GB dengan parameter variansi σ 2 . Misalkan Xt menyatakan lama (detik) kompetitor 1 memimpin saat 100t persen dari suatu kompetisi telah diselesaikan. Jika kompetitor 1 memimpin σ detik di tengah kompetisi, berapa peluang dia adalah pemenang? Jika kompetitor 1 memenangkan kompetisi dengan margin σ detik, berapa peluang dia memimpin di tengah kompetisi?
12
Proses stokastik {Xt } dikatakan GB dengan parameter drift µ dan variansi σ 2 jika... Proses stokastik adalah GB geometrik jika... Catatan: Perhatikan bahwa pada GB geometrik distribusi dari peubah acak exp(Xt ) memegang peranan penting; termasuk dalam menentukan ekspektasi bersyaratnya. Latihan: 1. Tentukan E(Xt |Xu , 0 ≤ u ≤ s) 2. Pandang GB dengan µ = 3, σ 2 = 9. Diketahui X0 = 10. Hitung E(X2 ), V ar(X2 ), P (X2 > 20), P (X0.5 > 10) Diskusi: Pada aplikasi harga aset (saham), peubah acak harga Pt tidak menarik untuk dikaji; namun tidak demikian dengan perubahan harga: Pt − Pt−1 ;
Pt Pt ; ln . Pt−1 Pt−1
Misalkan Rt menyatakan return (majemuk) suatu aset. Maka, eR t =
Pt Pt−1
umumnya diasumsikan berdistribusi lognormal.
13
