Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria “Insure and Invest!”
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014
1
Tentang AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria
Jadwal kuliah: Selasa, 13-; Kamis; 11Ujian: 2.10.14; 30.10.14; 4.12.14 (@ 30%) Buku teks: Sheldon Ross, Introduction to Mathematical Finance
2
Bab 1 - Kejadian, Peubah Acak, Peluang
Kegiatan asuransi berkaitan dengan keinginan untuk mengatur dan memindahkan risiko kepada pihak lain. Dalam praktiknya, perhitungan yang cermat tentang besar premi dan total jumlah biaya serta klaim yang kembali sangat diperlukan. Saat ini praktik asuransi mulai digabungkan dengan investasi. Hal ini dimaksudkan untuk menumbuhkan iklim asuransi dengan keuntungan dari investasi. Kuliah Matematika Keuangan Aktuaria mengajak kita untuk memahami konsep dan menghitung nilai uang, opsi dan, secara umum, “bermain” peluang (memahami kejadian dan peubah acak serta menghitung peluang atas keduanya menjadi sangat krusial). Ruang sampel dan kejadian Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Ruang sampel S adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Anggota dari S disebut kejadian elementer. Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel atau koleksi dari kejadian-kejadian elementer. Peluang kejadian A sesungguhnya adalah P (A) = lim
n→∞
n(A) n
Misalkan S adalah ruang sampel, A adalah kejadian. Peluang kejadian A adalah P (A) =
n(A) n(S)
Secara formal, peluang atau ukuran peluang P pada lap-σ A adalah suatu pemetaan dari A terhadap selang [0, 1] yang memenuhi tiga aksioma berikut: (i) 0 ≤ P (A) ≤ 1, untuk setiap A ∈ A (ii) P (S) = 1 (iii) Untuk himpunan terhitung kejadian-kejadian saling asing A1 , A2 , . . ., P
∞ (∪ i=1
∞ ) ∑ Ai = P (Ai ) i=1
Teorema: 1. P (Ac ) = 1 − P (A) 2. Jika A ⊂ B maka P (A) ≤ P (B) 3. P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) 3
Latihan: 1. Seorang agen asuransi menawarkan asuransi kesehatan kepada calon nasabah. Nasabah dapat memilih tepat 2 jenis asuransi dari pilihan A, B, C atau tidak memilih sama sekali. Proporsi nasabah memilih jenis asuransi A, B dan C, berturut-turut, adalah 1/4, 1/3 dan 5/12. Hitung peluang seorang nasabah memilih untuk tidak memilih jenis asuransi. 2. Catatan dalam perusahaan asuransi otomotif memberikan informasi bahwa (i) setiap pelanggan mengasuransikan setidaknya satu mobil (ii) 70% pelanggan mengasuransikan lebih dari satu mobil, dan (iii) 20% mengasuransikan jenis sports car. Dari pelanggan yang mengasuransikan lebih dari satu mobil, 15% mengasuransikan sports car. Hitung peluang bahwa seorang pelanggan yang terpilih secara acak mengasuransikan tepat satu mobil dan ini bukan sports car. Peubah acak Peubah acak tidaklah “acak” dan bukanlah “peubah”. Peubah acak adalah “fungsi” yang memetakan anggota S ke bilangan real R. Peubah acak X dikatakan diskrit jika terdapat barisan terhitung dari bilangan {ai , i = 1, 2, . . . } sedemikian hingga (∪ ) ∑ P {X = ai } = P (X = ai ) = 1. i
i
Catatan: Sebuah peubah acak diskrit tidak selalu berasal ruang sampel diskrit. FX disebut fungsi distribusi (diskrit) dari X jika terdapat barisan terhitung {ai , i = 1, 2, . . . } dari bilangan real dan barisan {fi , i = 1, 2, . . . } dari bilangan positif yang bersesuaian sehingga ∑ ∑ fi = 1 dan FX (x) = fi . i
ai ≤x
Jika diberikan himpunan terhitung {ai , i = 1, 2, . . . } dan bilangan positif {fi , i = ∑ 1, 2, . . . } sehingga i fi = 1, fungsi peluang fX (x) adalah fX (x) = fi = P (X = ai ), dengan x = ai . Sementara itu, fungsi distribusi (kumulatif) nya F (x) = P (X ≤ x). Sifat-sifat fungsi distribusi sebagai berikut: (a) F fungsi tidak turun (b) limx→∞ F (x) = 1 (c) limx→−∞ F (x) = 0 (d) F fungsi kontinu kanan 4
Jika X adalah peubah acak sehingga fungsi peluangnya ada (turunan dari fungsi distribusi) maka X dikatakan sebagai peubah acak kontinu. Perhatikan: ∫ ∞ 1 = FX (∞) = fX (t) dt −∞
P (a ≤ X ≤ b) = FX (b) − FX (a) = ∫ a P (X = a) = fX (t) dt = 0
∫
b
fX (t) dt a
a
Latihan: 1. Tentukan fungsi peluang dari fungsi distribusi berikut: 0, x < −3.1 3/5, −3.1 ≤ x < 0 F (x) = 7/10, 0 ≤ x < 1 1, 1≤x 2. Diketahui, untuk peubah acak X, fungsi distribusi berikut: 0, x 4, F (x) = 12 + 11 12 , 1,
x−1 4 ,
x<0 0≤x<1 1≤x<2 2≤x<3 x≥3
Hitung (i) P (1 ≤ X < 5/2), (ii) E(X) Ekspektasi Nilai harapan/ekspektasi (expected value/expectation) atau ekspektasi dari peubah acak diskrit dan kontinu X, berturut-turut, adalah ∫ ∞ ∑ E(X) = x fX (x) dan E(X) = x fX (x) dx, x
−∞
dengan fX adalah fungsi peluang dari X. Catatan: 1. Ekspektasi adalah rata-rata tertimbang (weighted average) dari nilai yang mungkin dari X 2. Ekspektasi = mean = momen pertama 3. Ekspektasi suatu peubah acak adalah nilai rata-rata (long-run average value) 5
dari percobaan bebas yang berulang 3. Apakah ekspektasi harus berhingga? (Diskusi!) Sifat-sifat ekspektasi: ∫∞ 1. E(g(X)) = −∞ g(x) fX (x) dx 2. E(a X + b Y ) = a E(X) + b E(Y ) 3. E(XY ) = E(X) E(Y ), jika X dan Y saling bebas. ∫∞ 4. E(X) = 0 P (X > x) dx, untuk X > 0 (*) ∫∞ 5. E(X r ) = −∞ xr fX (x) dx (momen ke-r) ∫∞ 6. E((X − µX )r ) = −∞ (x − µX )r fX (x) dx (momen pusat ke-r) 7. E((X − µX )2 ) = V ar(X) = E(X 2 ) − (E(X))2 Deviasi standar dari X adalah akar kuadrat Variansi dari X. ∫∞ 8. E(etX ) = −∞ etx fX (x) dx = MX (t) (fungsi pembangkit momen) ′ (0) = E(X), M ′′ (0) = E(X 2 ) 9. MX X
Fungsi peluang bersama Misalkan kita punyai dua peubah acak, X dan Y . Kita dapat mengkaji peluang dan ekspektasi bersyarat suatu peubah acak, diberikan peubah acak yang lain. Fungsi peluang (distribusi) atas dua peubah acak dikatakan sebagai fungsi peluang (distribusi) bivariat. Secara umum, sering disebut sebagai fungsi peluang (distribusi) bersama. Misalkan X dan Y ada peubah acak-peubah acak diskrit yang terdefinisi di ruang sampel yang sama. Fungsi peluang bersama dari X dan Y adalah fX,Y (x, y) = P (X = x, Y = y). Kondisi bahwa X dan Y terdefinisi pada ruang sampel yang sama berarti dua peubah acak tsb memberikan informasi secara bersamaan terhadap keluaran (outcome) dari percobaan yang sama. Kejadian X bernilai x dan Y bernilai y, {X = x, Y = y}, adalah irisan kejadian {X = x} dan {Y = y}. Fungsi peluang bersama fX,Y memenuhi sifat-sifat berikut: (i) fX,Y (x, y) ≥ 0, ∀ (x, y), ∑∑ (ii) (x, y) ∈ R2 : fX,Y (x, y) ̸= 0 terhitung, (iii) x,y fX,Y (x, y) = 1. Misalkan X dan Y peubah acak-peubah acak ∑ diskrit yang didefinisikan pada ruang sampel yang sama. Maka, f (x) = X y fX,Y (x, y), x ∈ R dan fY (y) = ∑ x fX,Y (x, y), y ∈ R adalah, berturut-turut, fungsi peluang marginal dari X dan fungsi peluang marginal dari Y . Untuk dua peubah acak kontinu, fungsi peluang dan fungsi distribusi bersama didefinisikan sebagai . . . ; fungsi peluang marginalnya adalah . . .
6
Latihan: 1. Misalkan X dan Y memiliki fungsi peluang bersama f (x, y) = c (y 2 − x2 ) e−y , −y ≤ x ≤ y, 0 < y < ∞ a. b. c. d.
Tentukan c Tentukan fungsi peluang marginal X dan Y Hitung P (Y > 2X) Apakah X dan Y saling bebas?
2. Ketika kebakaran terjadi dan dilaporkan ke perusahaan asuransi, perusahaan asuransi tersebut segera membuat perkiraan awal X yaitu besar nilai klaim yang akan diberikan. Setelah klaim dihitung secara lengkap, perusahaan harus melunasi pembayaran klaim sebesar Y . Perusahaan menentukan bahwa X dan Y memiliki fungsi peluang bersama fX,Y (x, y) =
2 y −(2x−1)/(x−1) , x > 1, y > 1 − 1)
x2 (x
a. Tentukan fX (x) b. Jika besar klaim awal yang diberikan adalah 2, tentukan peluang bahwa klaim yang diterima berikutnya adalah antara 1 dan 3. Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak, dengan fX (x) > 0. Fungsi peluang bersyarat dari Y diberikan X = x adalah fY |X (y|x) =
fX,Y (x, y) , ∀y ∈ R fX (x)
Jika fX (x) = 0, kita definiskan fY |X (y|x) = 0 namun tidak dikatakan sebagai fungsi peluang bersyarat. Fungsi peluang bersyarat adalah fungsi peluang! Dua peubah acak dikatakan saling bebas jika . . . Ekspektasi bersyarat Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama fX,Y (x, y). Jika fX (x) > 0 maka ekspektasi bersyarat dari Y diberikan X = x adalah ekspektasi dari Y relatif terhadap distribusi bersyarat Y diberikan X = x, ∫ ∞ ∫ ∞ fX,Y (x, y) E(Y |X = x) = y dy = y fY |X (y|x) dy fX (x) −∞ −∞ Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama fX,Y (x, y). Misalkan ekspektasi dari Y hingga. Maka ∫ ∞ E(Y ) = E(Y |X = x) fX (x) dx −∞
7
atau E(Y ) = E(E(Y |X = x)) Latihan: Misalkan X dan Y peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama f (x, y) = e−x(y+1) , 0 ≤ x, 0 ≤ y ≤ e − 1 a. Tentukan fY (y) b. Hitung P (X > 1|Y = 12 ) c. Hitung E(X|Y = 12 ) Kovariansi Kita ketahui bahwa jika X dan Y saling bebas maka fX,Y (x, y) = fX (x) gY (y). Akibatnya,(E(XY ) = )E(X)(E(Y ).) Konsekuensi ini juga berlaku untuk setiap fungsi ( ) g dan h, E g(X)h(Y ) = E g(X) E h(Y ) . Kovariansi antara peubah acak X dan Y , dinotasikan Cov(X, Y ), adalah (( )( )) Cov(X, Y ) = E X − E(X) Y − E(Y ) Catatan: Jika X dan Y saling bebas maka Cov(X, Y ) = 0 (implikasi). Sifat-sifat kovariansi 1. Cov(X, Y ) = Cov(Y, X) 2. Cov(X, X) = V ar(X) 3. Cov(a X, Y ) = a Cov(X, Y ) (∑ ) ∑ ∑m ∑m n n 4. Cov X , Y i i=1 j=1 j = i=1 j=1 Cov(Xi , Yj ) Perhatikan bahwa: ( n ) n n ∑ ∑ ∑ V ar Xi = Cov Xi , Xj i=1
i=1
=
=
n ∑
n ∑
i=1 j=1 n ∑
j=1
Cov(Xi , Xj )
V ar(Xi ) +
∑∑
i=1
i̸=j
8
Cov(Xi , Xj ).
Korelasi antara peubah acak X dan Y , dinotasikan ρ(X, Y ), didefinisikan sebagai ρ(X, Y ) = √
Cov(X, Y V ar(X) V ar(Y )
,
asalkan V ar(X) dan V ar(Y ) bernilai positif. Dapat ditunjukkan pula bahwa −1 ≤ ρ(X, Y ) ≤ 1. Koefisien korelasi adalah ukuran dari derajat kelinieran antara X dan Y . Nilai ρ(X, Y ) yang dekat dengan +1 atau −1 menunjukkan derajat kelinieran yang tinggi. Nilai positif korelasi mengindikasikan nilai Y yang cenderung membesar apabila X membesar. Jika ρ(X, Y ) = 0 maka dikatakan X dan Y tidak berkorelasi. Latihan: 1. Tunjukkan: Cov(X, E(Y |X)) = Cov(X, Y ) 2. Misalkan X peubah acak normal standar dan I (bebas dari X) peubah acak dengan sifat P (I = 1) = P (I = 0) = 1/2. Didefinisikan Y = X, jika I = 1; Y = −X, jika I = 0. Tunjukkan: Cov(X, Y ) = 0
9
Bab 2 - Peubah acak normal
Peubah acak normal merupakan salah satu kajian menarik dalam berbagai bidang, termasuk keuangan, karena pola yang dikenal dan dianggap dapat dipahami dengan mudah. Suatu peubah acak X dikatakan normal apabila memiliki fungsi peluang f (x) = · · · Apa yang dapat kita lakukan terhadap X atau f (x) tersebut? (i) membuat plot f untuk berbagai nilai µ dan σ 2 (ii) menentukan sifat-sifat statistik peubah acak normal (iii) menghitung peluang; termasuk dengan akurasi yang lebih tinggi (hal 25-26) (iv) mengkaji hubungan dengan peubah acak lognormal: Y = exp(X) Contoh 2.3d Misalkan X1 , X2 , . . . , Xn sampel acak normal dengan parameter (µ, σ 2 ). Misalkan Sn =
n ∑
Xi .
i=1
Apakah yang kita dapat dapatkan untuk n besar? Sn akan mendekati peubah acak normal dengan mean nµ dan variansi nσ 2 ? (Jelaskan!) Latihan 2.9, 2.30
10
Bab 3 - Gerak Brown and GB Geometrik
Sebelum kita membahas Gerak Brown (GB) lebih jauh, perhatikan kembali definisi koleksi peubah acak {Xt } atau lebih dikenal dengan “proses stokastik”. Proses atau model stokastik melibatkan beberapa peubah acak dengan indeks waktu. Kalau kita mempunyai satu peubah acak, maka nilai yang mungkin dari peubah acak tersebut akan mengikuti distribusi peluang yang bersesuaian. Kini, kita akan melihat peubah acak setiap waktu. Akibatnya, tingkat kesulitan akan menjadi lebih tinggi (rumit namun menarik kok). Misalkan kita punyai proses stokastik {Xt , t ≥ 0}. Proses stokastik atau deret waktu (sederhana) yang bergantung pada observasi sebelumnya adalah: Xt = α Xt−1 + εt , dengan asumsi-asumsi yang ditentukan. Catatan: Proses ini dikenal dengan nama Autoregressive (AR) Pada Bab ini, proses stokastik diatas kita sederhanakan sebagai berikut: • Xt ∼ i.i.d. N (0, 1) Jelaskan! Kita dapat menuliskan proses ini sebagai Xt = εt , dengan {εt } barisan peubah acak saling bebas dan berdistribusi identik (normal/Gauss) dengan mean nol dan variansi satu; atau dikenal dengan proses Gaussian WN (white noise) • Xt ∼ N (0, σt2 ). Apa perbedaan dengan model sebelumnya? Jika X1 , X2 , . . . dari proses ini saling (tidak) bebas, dapatkah kita menentukan fungsi peluang bersamanya? Mungkinkah Xt dan Xt+s − Xs yang bersifat saling bebas? Pandang koleksi peubah acak {Xt , t ≥ 0} dengan sifat-sifat: (i) X0 = 0 (atau konstanta tidak nol ) (ii) ∀ t > 0, Xt berdistribusi normal dengan mean µt dan variansi σ 2 t (iii) Xtn − Xtn−1 , Xtn−1 − Xtn−2 , . . . , Xt2 − Xt1 , Xt1 saling bebas (memiliki kenaikan bebas atau independent increments) (iv) Xt+s − Xt tidak bergantung pada t (memiliki kenaikan stasioner atau stationary increments). Proses stokastik tersebut dikatakan sebagai Gerak Brown atau GB dengan parameter drift µ dan parameter variansi σ 2 .
11
Misalkan dipunyai proses stokastik GB dengan µ = 0, σ 2 = 1 atau dikenal dengan GB standar. Perhatikan kasus t = 1, 2. Fungsi peluang Xt adalah ( ) 1 1 fXt (xt ) = √ exp − x2t , −∞ < xt < ∞. 2t 2πt Fungsi peluang bersama dari X1 dan X2 adalah.... Fungsi peluang bersama dari X1 − X0 dan X2 − X1 adalah fX1 −0,X2 −X1 (x1 − 0, x2 − x1 ) = f (x1 )f (x2 − x1 ),
(1)
karena sifat kenaikan saling bebas. Persamaan (1) tersebut sama dengan ( ( 2 )) 1 1 x1 (x2 − x1 )2 exp − + , 2 1−0 2−1 (2π)2/2 ((1 − 0)(2 − 1))1/2 dengan t1 = 1, t2 = 2 dan sifat kenaikan stasioner X2 − X1 ∼ N (0, 2 − 1). Kita dapat menentukan fungsi peluang bersyarat dengan memanfaatkan fungsi peluang bersama diatas. Untuk t1 = 1 < t2 = 2 diatas, fungsi peluang bersyarat Xt1 , diberikan Xt2 = xt2 adalah... fX1 ,X2 −X1 (x1 , x2 − x1 ) fX2 (x2 ) fX1 (x1 ) · fX2 −X1 (x2 − x1 ) = fX2 (x2 ) = ···
fX1 |X2 (x1 |x2 ) =
Dengan kata lain, distribusi dari X1 |X2 = x2 adalah normal dengan mean dan variansi E(X1 |X2 = x2 ) = · · · ; V ar(X1 |X2 = x2 ) = · · · Latihan: 1. Dapatkah kita menentukan distribusi dari X2 |X1 = x1 ? Jelaskan! 2. Tentukan E(Xt |Xu , 0 ≤ u ≤ s) 3. Pandang {Xt , 0 ≤ t ≤ 1} sebagai proses stokastik yang mengikuti GB dengan parameter variansi σ 2 . Misalkan Xt menyatakan lama (detik) kompetitor 1 memimpin saat 100t persen dari suatu kompetisi telah diselesaikan. Jika kompetitor 1 memimpin σ detik di tengah kompetisi, berapa peluang dia adalah pemenang? Jika kompetitor 1 memenangkan kompetisi dengan margin σ detik, berapa peluang dia memimpin di tengah kompetisi?
12
Proses stokastik GB dapat bernilai negatif yang dianggap tidak tepat untuk memodelkan harga saham. Untuk itu, diusulkan model stokastik St = S0 eX t , dengan nilai awal S0 ; St berdistribusi lognormal. Tentu saja ln St − ln S0 = Xt berdistribusi normal dengan mean µt dan variansi σ 2 t. Model ini dikenal sebagai GB geometrik. Sifat mean dan variansi dari St dapat diturunkan dengan memanfaatkan sifat distribusi lognormal. Kita dapatkan E(St ) = · · · V ar(St ) = · · · Latihan: 1. Pandang GB dengan µ = 3, σ 2 = 9. Diketahui X0 = 10. Hitung E(X2 ), V ar(X2 ), P (X2 > 20), P (X0.5 > 10) 2. Pandang GB geometrik {St , t ≥ 0} dengan µ = 0.1, σ 2 = 0.4. Hitung P (S1 > S0 ), P (S3 < S1 > S0 ) 3. Pandang GB geometrik {St , t ≥ 0}; µ = 0.1, σ 2 = 0.16, S0 = 2. Tentukan E(S3 ) dan V ar(S3 ) Solusi: Misalkan St = eXt . Diketahui µ = 0.1, σ = 0.4. Hitung P (S1 > S0 ), P (S3 < S1 > S0 ). ) ( S1 >1 P (S1 > S0 ) = P S0 = P (ln S1 − ln S0 > 0) = P (X1 − X0 > 0) ) ( 0 − (0.1)(1) =P Z> (0.4)(1) = P (Z > −0.25) = Φ(0.25) dengan X1 − X0 ∼ N (0.1 · 1, 0.42 · 1). Catatan: P (S1 > S0 ) dapat dinarasikan sebagai “peluang harga aset pada akhir waktu pertama lebih besar daripada harga awal” (asumsikan bahwa St menyatakan harga aset).
13
Selanjutnya, untuk menentukan P (S3 < S1 > S0 ), kita dapat lebih dahulu menjabarkan P (S3 < S1 > S0 ) = P (S3 < S1 , S1 > S0 ) = P (S3 < S1 )P (S1 > S0 ). Kemudian, kita gunakan cara yang sama dengan sebelumnya untuk menentukan kedua peluang tersebut. Solusi: Misalkan proses GB geometrik {St , t ≥ 0}, µ = 0.1, σ 2 = 0.16, S0 = 2. Tentukan E(S3 ) dan V ar(S3 ). E(S3 ) = 2 e(0.1)(3)+0.5·(0.16)(3) , 2
dengan E(St ) = S0 eµt+0.5σ t . Sementara itu, V ar(S3 ) = 22 e(2)(0.1)(3)+0.5·(0.16)(3) (e(0.16)(3) − 1).
14
Bab 4 - PVA
PVA atau Present Value Analysis
15
Bab 5 - Lebih Jauh Tentang Gerak Brown Kajian tentang GB, termasuk GB standar dan GB geometrik, menarik untuk dibahas, baik sebagai peubak acak maupun model harga aset. Secara khusus, masalahmasalah yang muncul (dalam Ujian misalnya) antara lain: - menentukan peluang bersyarat Contoh-1: Pandang GB dengan parameter drift µ = 2 dan parameter variansi σ 2 = 16. Diketahui X0 = 8. Hitung P (X3 > 10). Solusi: P (X3 > 10|X0 = 8) = P (X3 − X0 > 10 − 8) ( ) (10 − 8) − (2)(3) √ =P Z> (4)( 3) ( ) √ 1 =P Z>− 3 3 ( ) 1√ =Φ 3 , 3 dengan X3 − X0 ∼ N (2 · 3, 16 · 3). Contoh-2: Harga suatu komoditas bergerak mengikuti GB, Xt = µt + σBt ; dengan µ = −5, σ 2 = 4 dan Bt adalah GB standar. Diberikan harga bernilai 4 saat t = 8, hitung peluang harga komoditas bernilai kurang dari 1 saat t = 9. Solusi: E(Xt ) = µt + σ · 0; V ar(Xt ) = σ 2 · t Jadi, ( ) −3 − µ P (X9 < 1|X8 = 4) = P (X9 − X8 < −3) = P Z < = P (Z < 1), σ karena X9 − X8 ∼ N (9µ − 8µ, σ 2 · (9 − 8)). Contoh-3: Misalkan St menyatakan harga saham pada waktu t: St = S0 exp(µt + σBt ), dengan Bt adalah GB standar; µ dan σ diberikan. Hitung peluang S10 lebih besar dari 15, diberikan S5 = 10. Solusi: Pandang Xt = µt + σBt ; Xt ∼ N (µt, σ 2 t); {Xt } suatu GB; St = S0 eXt , {St } GB geometrik. Jadi, ( ) ( ) S10 S10 P (S10 > 15|S5 = 10) = P > 1.5 = P ln > ln 1.5 S5 S5 16
atau P (X10 − X5 > ln 1.5) = P
( ) ln 1.5 − 5µ √ Z> σ 5
karena X10 − X5 ∼ N (5µ, 5σ 2 ). - menentukan ekspektasi bersyarat dan ekspektasi hasil kali Contoh-1: Pandang pergerakan harga suatu aset yang mengikuti proses stokastik GB standar, Bt . Jika harga berada di posisi 1.7 saat t = 2, tentukan nilai yang diharapkan (ekspektasi) saat t = 4. Solusi: E(B4 |B2 = 1.7) = E(B4 − B2 + B2 |B2 = 1.7) = E(B4 − B2 |B2 = 1.7) + E(B2 |B2 = 1.7) = E(B4 − B2 ) + 1.7 = 0 + 1.7 = 1.7 karena B4 − B2 ∼ N (0 · (4 − 2), 1 · (4 − 2)). Contoh-2: Tentukan E(X1 X2 ), untuk {Xt } suatu proses GB. Solusi: ( ) E(X1 X2 ) = E X1 (X2 − X1 ) + X12 ( ) = E X1 (X2 − X1 ) + E(X12 ) = E(X1 )E(X2 − X1 ) + E(X12 ) Contoh-3: Tentukan E(X1 X2 X4 ) pada GB dengan parameter drift µ dan parameter variansi σ 2 . Solusi: ( ) E(X1 X2 X4 ) = E X1 (X2 − X1 )(X4 − X2 ) + X1 X2 (X2 − X1 ) + X12 X3 ( ) ( ) = E X1 (X2 − X1 )(X4 − X2 ) + E X1 X2 (X2 − X1 ) + E(X12 X3 ), dengan ( ) ( ) E X1 X2 (X2 − X1 ) = E X1 (X2 − X1 )2 + X12 (X2 − X1 ) E(X12 X3 ) = E(X12 )E(X3 − X1 ) + E(X 3 )
17
GB Sebagai Proses Gaussian, Markov dan Martingale Pandang proses stokastik GB, {Xt }. Misalkan n = 2. Vektor peubah acak (X1 , X2 ) berdistribusi normal bivariat dalam versi yang lain karena kejadian {X1 = x1 , X2 = x2 } dapat dinyatakan dalam kejadian-kejadian kenaikan saling bebas {X1 = x1 , X2 − X1 = x2 − x1 }, sehingga kita peroleh fungsi distribusi bersama f (x1 , x2 ) = f1 (x1 )f2−1 (x2 − x1 ). Untuk proses berukuran n, kita dapat memperoleh distribusi multivariat. Dengan demikian, GB adalah proses Gaussian, proses yang memiliki realisasi kontinu dengan distribusi hingganya adalah normal multivariat. Distribusi normal multivariat ditentukan pula melalui mean dan kovariansinya. Jadi, suatu proses Gaussian juga ditentukan melalui mean dan kovariansinya. Sebagai contoh, untuk proses GB standar, Bt , meannya adalah E(Bt ) = 0 dan kovariansinya, untuk s < t, Cov(Bs , Bt ) = Cov(Bs , Bs + Bt − Bs ) = Cov(Bs , Bs ) + Cov(Bs , Bt − Bs ) = V ar(Bs ) + 0 = s = min{s, t} Apakah GB atau GB geometrik merupakan proses Markov? Misalkan St+h , yang saling bebas dengan proses {Su , 0 ≤ u < t}, diberikan St , St+h = S0 eXt+h = S0 eXt +Xt+h −Xt = S0 eXt eXt+h −Xt = St eXt+h −Xt Jadi, St+h , diberikan St , hanya bergantung pada kenaikan Xt+h − Xt . Kita ketahui bahwa GB memiliki kenaikan saling bebas, jadi saling bebas dengan data lampau. Proses {Xt+h − Xt , h ≥ 0} merupakan GB dengan parameter drift dan variansi yang sama. Jadi, proses {St eXt+h −Xt , h ≥ 0} mendefinisikan proses GB geometrik dengan nilai awal St yang baru. Apakah GB atau GB geometrik merupakan martingale? 18
GB Sebagai Model Harga Saham Pandang model stokastik GB geometrik: St = S0 eXt . Definisikan: Li =
St i , 1 ≤ i ≤ n, 0 = t0 < t1 < · · · < tn = t, Sti−1
barisan peubah acak lognormal yang saling bebas. Sebagai contoh, L1 =
St 1 St = eXt1 , L2 = 1 = eXt2 −Xt1 , St 0 St 0
saling bebas karena sifat “kenaikan saling bebas” dari Xt1 dan Xt2 −Xt1 . Kita dapat menuliskan St = Ln × Ln−1 × · · · × L2 × L1 × S0 sebagai perkalian (product) saling bebas dari n peubah acak lognormal. Kita ingat kembali model binomial : Sn = Yn × Yn−1 × · · · × Y2 × Y1 × S0 , dengan Yi peubah acak bersifat saling bebas dan berdistribusi identik (i.i.d): P (Y = u) = p dan P (Y = d) = 1 − p, dengan 0 < d < 1 + r < u, 0 < p < 1. • Bagaimana kita dapat mengaitkan ln Li dengan Yi ? • Dapatkah kita menentukan u, d, p sehingga E(Y ) = E(L) dan E(Y 2 ) = E(L2 ) ? Perhatikan bahwa: E(Y ) = up + d(1 − p); E(Y 2 ) = u2 p + d2 (1 − p), dan E(L) = · · · (∗); E(L2 ) = · · · (∗∗) Kita ingin menyelesaikan kedua persamaan up + d(1 − p) = ∗; u2 p + d2 (1 − p) = ∗∗ yang solusinya tidak tunggal. Misalkan ud = 1, maka kita peroleh p = ··· u = ··· d = ··· 19
Catatan: Untuk n besar, ln(Yn × · · · × Y2 × Y1 ) =
n ∑
ln(Yi ) ≈ Xt ∼ N (µt, σ 2 t),
i=1
karena Teorema Limit Pusat (TLP). Jadi, Sn = Yn × Yn−1 × · · · Y2 × Y1 × S0 ≈ S0 eXt = St ,
20
Model Binomial untuk Harga Saham Pandang bentuk rekursif untuk harga saham Sn+1 = Sn Yn+1 , n ≥ 0 dengan Yi saling bebas dan memiliki distribusi peluang P (Y = u) = p, P (Y = d) = 1 − p. Asumsikan 0 < d < 1 + r < u konstan, r suku bunga bebas risiko (risk-free interest rate). Catatan: (1 + r)x adalah payoff yang kita terima satu waktu mendatang jika kita memiliki aset seharga x pada waktu sekarang. Untuk nilai Sn yang diberikan, { uSn , dengan peluang p; Sn+1 = dSn , dengan peluang 1 − p. untuk n ≥ 0, bebas dengan sebelumnya. Jadi, harga saham akan naik (“u”) atau turun (“d”) setiap waktu. Sifat “acak” disebabkan nilai peluang naik atau turun tersebut. Bentuk rekursif diatas dapat ditulis Sn = Yn × · · · × Y1 × S0 , n ≥ 1 dengan S0 harga awal, Sn harga saat n. Untuk n yang diberikan, Sn = ui dn−i S0 untuk suatu i ∈ {0, . . . , n}; artinya “harga saham naik sebanyak i kali dan turun n − i kali selama periode n”. Peluang yang bersesuaian adalah P (Sn = ui dn−i S0 ) = Cin pi (1 − p)n−i , 0 ≤ i ≤ n. Perhatikan diagram berikut: -
21
Pandang portofolio aset berisiko (saham) dan tidak berisiko, yaitu suatu pasangan (α, β), dengan α menyatakan koefisien banyaknya saham, dan β untuk aset tidak berisiko. Nilai α dan β tidak harus integer dan dapat bernilai negatif. Contoh: (2.3, −7.4), artinya membeli 2.3 unit (shares) saham dan 7.4 (shorted) unit aset tidak berisiko (pinjam 7.4 dengan bunga r). Perhatikan bahwa suatu portofolio selalu memiliki harga yang terdefinisi dengan baik: harga portofolio pada saat t = 0 adalah αS0 + β, pada saat t = n, n ≥ 0 adalah αSn + β(1 + r)n . Pandang opsi call (untuk membeli) Eropa dengan harga eksekusi K waktu habis berlaku t = 1. Payoff untuk pemilik opsi ini, pada saat t = 1, adalah peubah acak C1 = (S1 − K)+ , dimana pembeli berharap harga akan lebih besar dari K. Payoff acak ini memiliki dua kemungkinan C1 = Cu = (uS0 − K)+ atau C1 = Cd = (dS0 − K)+ , jika harga saham, berturut-turut, naik atau turun. Kita ingin menentukan harga yang pantas (fair) untuk opsi ini, notasikan C0 , dengan C0 ≤ S0 karena C1 = (S1 − K)+ ≤ S1 . Catatan: Orang membeli opsi karena harganya lebih murah dari saham, namun memiliki potensi untuk untung atau mendapatkan payoff lebih tinggi. Analog dengan portofolio diatas, kita konstruksikan portofolio dengan payoff C1 , pada saat t = 1, adalah Cu (jika harga saham naik) atau Cd (jika harga turun). Payoff portofolio adalah αS1 + β(1 + r). Kita ingin menentukan α dan β sehingga αS1 + β(1 + r) = C1 atau, dengan kata lain, menentukan α dan β sehingga αuSo + β(1 + r) = Cu dan αdSo + β(1 + r) = Cd . Kita peroleh: α = ··· β = ··· C0 = αS0 + β = · · ·
22
Penghargaan Opsi (Option Pricing) untuk GB geometrik: Black-Scholes Misalkan pada opsi call Eropa, t = T ada waktu habis berlaku (expiration date), K harga eksekusi (strike price), CT = (ST − K)+ payoff. Kita ingin menentukan harga opsi jika harga saham mengikuti model GB geometrik. Perhatikan harga opsi dengan model binomial, dengan waktu habis berlaku t = n, yang diberikan sebagai nilai harapan C0 =
1 E ∗ (Sn − K)+ , (1 + r)n
dengan E ∗ adalah nilai harapan dibawah peluang tidak berisiko (risk-neutral probability) p∗ untuk gerakan harga saham naik dan turun. Dibawah p∗ , rate of return yang diharapkan dari saham sama dengan suku bunga tidak berisiko r, untuk n = 1: E(S1 ) = (1 + r)S0 atau up + d(1 − p) = (1 + r). Kita peroleh p = p∗ =
1+r−d . u−d
Faktanya, dibawah p∗ , harga saham discounted {(1 + r)−n Sn , n ≥ 0} adalah “fair” (membentuk martingale). Jika harga saham mengikuti GB geometrik maka kita mengharapkan C0 = erT E ∗ (Sn − K)+
Misalkan St = S0 eXt dengan Xt adalah GB dengan parameter drift dan variansi. Kita tentukan nilai µ dan σ yang baru, sebut µ∗ dan σ ∗ , yang mana harga “fair” yaitu discounted price {ert St : t ≥ 0} membentuk martingale atau E(St ) = ert S0 , t ≥ 0 Jadi, kita ingin µ + σ 2 /2 = r ∗
Ketika menghargai opsi, kita harus menggantikan St dengan St∗ = S0 eXt , dengan Xt∗ = µ∗ t + σBt = (r − σ 2 /2)t + σBt Jadi, C0 = erT E ∗ (ST − K)+ = erT E(ST∗ − K)+ = · · · Catatan: Perhatikan bahwa C0 tidak bergantung pada µ, namun bergantung pada volatilitas σ 2 . 23
Formula Black-Scholes Misalkan harga saham mengikuti GB geometrik: St = S0 eµt+σBt , t ≥ 0, maka harga opsi call Eropa dengan waktu habis berlaku (expiration date) t = T dan harga eksekusi (strike price) K adalah √ C0 = S0 Φ(c + σ T ) − e−rT KΦ(c), dengan c=
ln(S0 /K) + (r − σ 2 /2)T √ σ T
dan r suku bunga tidak berisiko (risk-free interest rate).
24
