Catatan Kuliah AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria “Insure and Invest”
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2017
1
Tentang AK5161 Matematika Keuangan Aktuaria
Jadwal kuliah: Senin, 13- (R. Sem 5.4); Rabu, 7- (R. Sem 5.4 ; Jumat, 7- (R. Aktuaria) Penilaian: • Ujian: 30/08/17; 29/09/17; 27/10/17; 24/11/17 (@ 20%) • Kuis (20%)
Minggu
Tanggal
Pertemuan
Kuliah
M1
21.08.17
1,2,-3
Kuliah
M2
28.08.17
1,-2
Kuliah
30.08.17
2
Ujian 1
M5
18.09.17
2,-3
Kuliah
M6
25.09.17
1,2
Kuliah
29.09.17
3
Ujian 2
M8
09.10.17
2,3
Kuliah
M9
16.10.17
1,2
Kuliah
M10
23.10.17
1,2
Kuliah
27.10.17
3
Ujian 3
M13
13.11.17
2,3
Kuliah
M14
20.11.17
1,2
Kuliah
24.11.17
3
Ujian 4
Buku teks: • Sheldon Ross, 2011, Introduction to Mathematical Finance •-
2
Risiko versus Nilai Uang: Matematika versus Stokastik Keuangan
Risiko adalah “sistem” yang dapat dikendalikan. Salah satu kegiatan penting dalam (men)transfer risiko adalah berasuransi; pemegang polis (insured) “menitipkan” atau “memindahkan” risiko kepada pihak lain yaitu perusahaan asuransi (insurer) dan sebaliknya. Kedua subyek memiliki risiko, pemegang polis membayar premi sedangkan perusahaan asuransi membayar klaim. Kegiatan lain yang juga berisiko adalah investasi atau “bermain uang”. Jika kita ingin menggandakan uang untuk mendapatkan nilai yang lebih besar maka kita dapat melakukan kegiatan investasi baik kepada individu atau institusi. Adakah hubungan antara investasi dan asuransi dan investasi? Saat ini praktik asuransi mulai digabungkan dengan investasi. Hal ini dimaksudkan untuk menumbuhkan iklim (atau minat) asuransi dengan keuntungan dari investasi. Kuliah Matematika Keuangan Aktuaria mengajak kita untuk memahami konsep dan menghitung nilai uang, opsi dan, secara umum, “bermain” peluang (memahami kejadian dan peubah acak serta menghitung peluang atas keduanya) menjadi sangat krusial. Return Nilai Uang: Matematik vs Stokastik Misalkan saya meminjamkan uang kepada Laila, pada waktu t0 , sebesar U . Saya ingin Laila mengembalikan, pada waktu t1 , sebesar U + rU , dengan r suku bunga per waktu t1 , atau U (t1 ) = U (t0 ) + r U (t0 ) = U (t0 ) (1 + r). Perhatikan: r=
U (t1 ) U (t1 ) − U (t0 ) −1= , U (t0 ) U (t0 )
yang sering dikatakan sebagai imbal hasil (return). Adakah formula imbal hasil yang lain? Dapatkah imbal hasil berubah menurut waktu?
3
Latihan 1. Tentukan imbal hasil atau rate of return (tahunan) jika saya melakukan investasi: 100, 110 (setelah dua tahun) 2. Tentukan ekspektasi dari imbal hasil (tahunan) jika saya melakukan investasi: 100, 120 atau 100 (setelah dua tahun) 3. Saya mempertimbangkan membayar pinjaman di bank dengan dua cara. Pertama, membayar lunas 16 (juta). Kedua, membayar 10 sekarang dan 10 lagi di akhir tahun kesepuluh (suku bunga 10%). Tentukan pilihan cicilan yang “baik”. Apakah konsep imbal hasil dapat digunakan?
Solusi-1: Nilai imbal hasil (atau return atau rate of return) adalah 110 = 100 ⇔ r ≈ 0.0488. (1 + r)2
Solusi-2: Ekpektasi imbal hasilnya adalah 120 = 100 ⇔ r ≈ 0.0954, (1 + r)2 100 = 100 ⇔ r = 0. (1 + r)2 Jadi, E(R) = (1/2)(0.0954) + (1/2)(0) = 0.0477.
Solusi-3: Cicilan yang baik ditentukan oleh nilai saat ini (Present Value): P V = 10 + 10(e−0.1 )10 = 13.6788 < 16. Bagaimana jika suku bunga r = 0.01, 0.05? Perhatikan formula PV sebagai kebalikan imbal hasil
4
Bab 1 - Peluang Nilai Uang
Apa yang dapat kita lakukan terhadap perilaku nilai uang? Dapatkah kajian peluang atau stokastik membantu kita memahami hal tersebut? Misalkan X peubah acak. Kita dapat menghitung peluang nilai peubah acak secara (i) langsung atau (ii) melalui kejadian. Perhatikan contoh berikut: Ayo berjudi! Saya bertaruh 1 untuk Merah (yang akan muncul dengan peluang 18/38). Jika Merah muncul, saya dapat 1 dan berhenti. Atau, Saya tambah 1 untuk Merah untuk dua putaran/taruhan berikutnya lalu berhenti. Misalkan X nilai kemenangan saya saat saya berhenti. Tentukan nilai X yang mungkin dan peluangnya. Hitung P (X > 0).
5
Bab 2 - Peubah acak normal
Peubah acak normal merupakan salah satu kajian menarik dalam berbagai bidang, termasuk keuangan, karena pola yang dikenal dan dianggap dapat dipahami dengan mudah. Suatu peubah acak X dikatakan normal apabila memiliki fungsi peluang ( ) (x − µ)2 exp − f (x) = √ , −∞ < x < ∞. 2σ 2 2πσ 2 1
Catatan: Untuk µ = 0 dan σ 2 = 1, peubah acak X dikatakan sebagai peubah acak normal standar/unit; fungsi peluangnya dinotasikan ϕ(x) sedangkan fungsi distribusinya Φ(x). Perhatikan pertaksamaan berikut yang merupakan salah satu hasil teoritis penting untuk peubah acak normal: 1 √ 2π
(
1 1 − 3 x x
)
1 1 exp(−x2 /2) < 1 − Φ(x) < √ exp(−x2 /2), ∀x > 0. 2π x
Akibatnya, untuk x yang besar, 1 − Φ(x) ≈
√1 x 2π
exp(−x2 /2).
Diskusi: Bagaimana untuk x (relatif) kecil? Formula pendekatan apa yang dapat digunakan? (lihat butir (iii) dibawah) Apa yang dapat kita lakukan terhadap X atau f (x) tersebut? (i) membuat plot f untuk berbagai nilai µ dan σ 2 (ii) menentukan sifat-sifat statistik peubah acak normal (iii) menghitung peluang; termasuk dengan akurasi yang lebih tinggi (hal 25-26) (iv) mengkaji hubungan dengan peubah acak lognormal: Y = exp(X) Latihan: 1. Misalkan X peubah acak normal dengan parameter (µ, σ 2 ). Misalkan Y = exp(X). Tentukan mean dan variansi Y . 2. Lakukan simulasi data berdistribusi normal dan lognormal. Plot kedua data. Tepatkah perilaku harga aset dimodelkan dengan distribusi normal/lognormal?
6
Misalkan X1 , X2 , . . . , Xn sampel acak normal dengan parameter (µ, σ 2 ). Misalkan Sn =
n ∑
Xi .
i=1
Apakah yang kita dapat dapatkan (perilaku Sn ) untuk n besar? Adakah ukuran/statistik lain selain Sn ? Dapatkah kita melakukan hal yang sama diatas untuk peubah acak lain yang berdistribusi Binomial? Poisson? tanpa asumsi distribusi? (Jelaskan!) Latihan: 1. Suatu model pergerakan harga aset harian memiliki perilaku sebagai berikut. Jika harga aset saat ini adalah s maka setelah satu periode waktu akan menjadi τ s dengan peluang p atau λs dengan peluang 1 − p. Misalkan pergerakan harga saling bebas. Diketahui τ = 1.012, λ = 0.990, p = 0.52. Tentukan peluang bahwa harga aset akan naik setidaknya 30% setelah 1000 hari. 2. Nilai penjualan mingguan di suatu perusahaan adalah peubah acak normal dengan mean 2200 dan deviasi standar 230. Hitung peluang bahwa total penjualan pada 2 minggu kedepan melampaui 5000. Hitung peluang bahwa penjualan mingguan melampaui 2000 pada setidaknya 2 dari 3 minggu kedepan. 3. Sebagai pedagang baru dibidang valas, Yeni dan Yena bersaing dalam mendapatkan poin penjualan. Poin Yeni adalah peubah acak normal dengan mean 170 dan variansi 400; Poin Yena adalah peubah acak normal dengan mean 160 dan deviasi standar 15. Jika pada hari ini keduanya sama-sama berjualan valas (asumsikan kedua poin saling bebas), hitung peluang (a) nilai Yena lebih tinggi (b) poin total keduanya lebih dari 350.
7
Bab 3 - Gerak Brown and GB Geometrik
Sebelum kita membahas Gerak Brown (GB) lebih jauh, perhatikan kembali definisi koleksi peubah acak {Xt } atau lebih dikenal dengan “proses stokastik”. Proses atau model stokastik melibatkan beberapa peubah acak dengan indeks waktu. Kalau kita mempunyai satu peubah acak, maka nilai yang mungkin dari peubah acak tersebut akan mengikuti distribusi peluang yang bersesuaian. Kini, kita akan melihat peubah acak setiap waktu. Akibatnya, tingkat kesulitan akan menjadi lebih tinggi. Misalkan kita punyai proses stokastik {Xt , t ≥ 0}. Proses stokastik atau deret waktu (sederhana) yang bergantung pada observasi sebelumnya adalah: Xt = α Xt−1 + εt , dengan asumsi-asumsi yang ditentukan. Catatan: Proses ini dikenal dengan nama Autoregressive (AR) Pada Bab ini, proses stokastik diatas kita sederhanakan sebagai berikut: • Xt ∼ i.i.d. N (0, 1) Jelaskan! Kita dapat menuliskan proses ini sebagai Xt = εt , dengan {εt } barisan peubah acak saling bebas dan berdistribusi identik (normal/Gauss) dengan mean nol dan variansi satu; atau dikenal dengan proses Gaussian WN (white noise) • Xt ∼ N (0, σt2 ). Apa perbedaan dengan model sebelumnya? Jika X1 , X2 , . . . dari proses ini saling (tidak) bebas, dapatkah kita menentukan fungsi peluang bersamanya? Mungkinkah Xt dan Xt+s − Xs yang bersifat saling bebas? Pandang koleksi peubah acak {Xt , t ≥ 0} dengan sifat-sifat: (i) X0 = 0 (atau konstanta tidak nol ) (ii) ∀ t > 0, Xt berdistribusi normal dengan mean µt dan variansi σ 2 t 8
(iii) Xtn − Xtn−1 , Xtn−1 − Xtn−2 , . . . , Xt2 − Xt1 , Xt1 saling bebas (memiliki kenaikan bebas atau independent increments) (iv) Xt+s − Xt tidak bergantung pada t (memiliki kenaikan stasioner atau stationary increments). Proses stokastik tersebut dikatakan sebagai Gerak Brown atau GB dengan parameter drift µ dan parameter variansi σ 2 . Misalkan dipunyai proses stokastik GB dengan µ = 0, σ 2 = 1 atau dikenal dengan GB standar. Perhatikan kasus t = 1, 2. Fungsi peluang Xt adalah ( ) 1 1 2 fXt (xt ) = √ exp − xt , −∞ < xt < ∞. 2t 2πt Fungsi peluang bersama dari X1 dan X2 adalah.... Fungsi peluang bersama dari X1 − X0 dan X2 − X1 adalah fX1 −0,X2 −X1 (x1 − 0, x2 − x1 ) = f (x1 )f (x2 − x1 ),
(1)
karena sifat kenaikan saling bebas. Persamaan (1) tersebut sama dengan ( ( 2 )) 1 x1 1 (x2 − x1 )2 exp − + , (2π)2/2 ((1 − 0)(2 − 1))1/2 2 1−0 2−1 dengan t1 = 1, t2 = 2 dan sifat kenaikan stasioner X2 − X1 ∼ N (0, 2 − 1). Kita dapat menentukan fungsi peluang bersyarat dengan memanfaatkan fungsi peluang bersama diatas. Untuk t1 = 1 < t2 = 2 diatas, fungsi peluang bersyarat Xt1 , diberikan Xt2 = xt2 adalah... fX1 ,X2 −X1 (x1 , x2 − x1 ) fX2 (x2 ) fX (x1 ) · fX2 −X1 (x2 − x1 ) = 1 fX2 (x2 )
fX1 |X2 (x1 |x2 ) =
= ··· Dengan kata lain, distribusi dari X1 |X2 = x2 adalah normal dengan mean dan variansi E(X1 |X2 = x2 ) = · · · ; V ar(X1 |X2 = x2 ) = · · · 9
Latihan: 1. Dapatkah kita menentukan distribusi dari X2 |X1 = x1 ? Jelaskan! 2. Pandang {Xt , 0 ≤ t ≤ 1} sebagai proses stokastik yang mengikuti GB dengan parameter variansi σ 2 . Misalkan Xt menyatakan lama (detik) kompetitor 1 memimpin saat 100t persen dari suatu kompetisi telah diselesaikan. Jika kompetitor 1 memimpin σ detik di tengah kompetisi, berapa peluang dia adalah pemenang? Jika kompetitor 1 memenangkan kompetisi dengan margin σ detik, berapa peluang dia memimpin di tengah kompetisi?
Proses stokastik GB dapat bernilai negatif yang dianggap tidak tepat untuk memodelkan harga saham. Untuk itu, diusulkan model stokastik St = S0 eXt , dengan nilai awal S0 ; St berdistribusi lognormal. Tentu saja ln St − ln S0 = Xt berdistribusi normal dengan mean µt dan variansi σ 2 t. Model ini dikenal sebagai GB geometrik. Sifat mean dan variansi dari St dapat diturunkan dengan memanfaatkan sifat distribusi lognormal. Kita dapatkan E(St ) = · · · V ar(St ) = · · ·
Latihan: 1. Pandang GB dengan µ = 3, σ 2 = 9. Diketahui X0 = 10. Hitung E(X2 ), V ar(X2 ), P (X2 > 20), P (X0.5 > 10) . 2. Pandang GB geometrik {St , t ≥ 0} dengan µ = 0.1, σ 2 = 0.4. Hitung P (S1 > S0 ), P (S3 < S1 > S0 ). 3. Pandang GB geometrik {St , t ≥ 0}; µ = 0.1, σ 2 = 0.16, S0 = 2. Tentukan E(S3 ) dan V ar(S3 ).
10
Pandang proses stokastik GB, {Xt }. Misalkan n = 2. Vektor peubah acak (X1 , X2 ) berdistribusi normal bivariat dalam versi yang lain karena kejadian {X1 = x1 , X2 = x2 } dapat dinyatakan dalam kejadian-kejadian kenaikan saling bebas {X1 = x1 , X2 − X1 = x2 − x1 }, sehingga kita peroleh fungsi distribusi bersama f (x1 , x2 ) = f1 (x1 )f2−1 (x2 − x1 ).
Untuk proses berukuran n, kita dapat memperoleh distribusi multivariat. Dengan demikian, GB adalah Proses Gaussian, proses yang memiliki realisasi kontinu dengan distribusi hingganya adalah normal multivariat. Distribusi normal multivariat ditentukan pula melalui mean dan kovariansinya. Jadi, suatu proses Gaussian juga ditentukan melalui mean dan kovariansinya. Sebagai contoh, untuk proses GB standar, Bt , meannya adalah E(Bt ) = 0 dan kovariansinya, untuk s < t, Cov(Bs , Bt ) = Cov(Bs , Bs + Bt − Bs ) = Cov(Bs , Bs ) + Cov(Bs , Bt − Bs ) yang sama dengan V ar(Bs ) = s = min{s, t}.
Apakah GB atau GB geometrik merupakan Proses Markov ? Misalkan St+h , yang saling bebas dengan proses {Su , 0 ≤ u < t}, diberikan St , St+h = S0 eXt+h = S0 eXt +Xt+h −Xt = S0 eXt eXt+h −Xt = St eXt+h −Xt . Jadi, St+h , diberikan St , hanya bergantung pada kenaikan Xt+h − Xt . Kita ketahui bahwa GB memiliki kenaikan saling bebas, jadi saling bebas dengan data lampau. Proses {Xt+h − Xt , h ≥ 0} merupakan GB dengan parameter drift dan variansi yang sama. Jadi, proses {St eXt+h −Xt , h ≥ 0} mendefinisikan proses GB geometrik dengan nilai awal St yang baru.
Apakah GB atau GB geometrik merupakan martingale ? 11
