Catatan Kuliah MA4183 Model Risiko “Forecast, assess, and control your risk”
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2016
1
Tentang MA4183 Model Risiko
Jadwal kuliah: Senin, 13- (R. StudyHall); Kamis, 9- (R. 9025) Penilaian: • Ujian: 9/9/16; 30/9/16; 21/10/16 (@ 25%) • Kuis dan Tugas Besar (25%) Buku teks: • Yiu-Kuen Tse, 2009, Nonlife Actuarial Models: Theory, Methods and Evaluation • Stuart Klugman, Harry Panjer, Gordon Willmot, 2012, Loss Models: From Data to Decisions 4th ed. Jadwal Perkuliahan: M1 (22/8): Pengantar: risiko stokastik; kerugian acak, momen dan persentil, ekor distribusi M2 (29/8): Model frekuensi kerugian (klaim): Poisson, Binomial, Geometrik; mixed and mixture distributions M3 (5/9): Model frekuensi kerugian (klaim): kelas distribusi (a, b, 0) dan (a, b, 1); zero-modified and zero-truncated distributions M3 (5/9): Ujian 1, Jumat 9/9/16 M4 (12/9): Nilai kerugian (klaim) dan distribusi kontinu: normal, eksponensial, gamma, Pareto, Weibull; fungsi kesintasan, fungsi kegagalan M5 (19/9): Nilai kerugian (klaim) dan distribusi kontinu: deductibles, policy limits, coinsurance M6 (26/9): Model risiko agregat: momen dan fungsi pembangkit momen M6 (26/9): Ujian 2, Jumat 30/9/16 M7 (3/10): Model risiko agregat: mixed and compound Poisson models M8 (10/10): Ukuran risiko: definisi, sifat koheren, Value-at-Risk (VaR) M9 (17/10): Ukuran risiko: Expected Shortfall, transformasi M9 (17/10): Ujian 3, Jumat 21/10/16
2
Pengantar: Risiko Stokastik
Risiko berkonotasi negatif dan sering diterjemahkan sebagai kerugian. Risiko adalah “sistem” yang dapat diukur dan dikendalikan. Risiko bersifat tidak pasti (uncertain). Pengukuran risiko dapat dilakukan secara stokastik. Model risiko merupakan salah satu cara untuk menerjemahkan fenomena kerugian melalui distribusi statistik. Pemodelan risiko dapat digunakan untuk memprediksi risiko di masa yang akan datang (forecasting future risk). Artinya, pemahaman konsep proses stokastik (deret waktu) sangat esensial. Salah satu bidang yang berkaitan erat dengan risiko adalah asuransi. Ini terjadi karena dengan produk asuransi-lah terjadi perpindahan (tranfer) risiko dari pemegang polis kepada pihak asuransi. Pada pemodelan kerugian klaim (claim losses) terdapat dua ukuran penting yang harus diperhatikan yaitu frekuensi kerugian klaim (claim frequency) dan besar atau nilai atau severitas kerugian klaim (claim severity). Kerugian Acak dan Sifat Statistik Misalkan X peubah acak yang menyatakan kerugian (selanjutnya disebut sebagai kerugian acak atau random loss). Sebagai peubah acak, X memiliki karakteristik utama yaitu memiliki distribusi. Akibatnya, sifat-sifat statistik akan melekat pada peubah acak. Contoh: Misalkan X kerugian acak yang memiliki fungsi distribusi: F1 (x) = x/100, 0 ≤ x < 100. ( F2 (x) = 1 −
2000 x + 2000
) , x ≥ 0.
Apa yang dapat kita lakukan terhadap fungsi distribusi tersebut? 1. Membuat grafik/plot fungsi distribusi. 2. Mencari (find) fungsi peluang. 3. Menentukan nilai peubah acak X yang mungkin. 3
4. Menghitung mean, median, modus. 5. Mencari fungsi kesintasan (survival function). 6. Mengkaji fungsi laju kegagalan (hazard rate, failure rate, force of mortality).
Sifat Momen dan Ekor Distribusi Kerugian acak dan distribusinya dapat dikaji lebih jauh melalui sifat momen (khususnya hingga momen ke-4) dan perilaku ekor distribusi. Kedua sifat ini dapat digunakan sebagai indikator adanya observasi ekstrem yang penting dalam menghitung risiko. Misalkan X kerugian acak dengan fungsi peluang fX (x). Fungsi pembangkit moment (fpm) untuk X adalah ∫∞ MX (t) = E(etX ) =
etx f (x) dx. −∞
Perhatikan bahwa: etX = 1 + tX +
t2 X 2 tn X n + ··· + + ··· . 2! n!
Jadi, MX (t) = · · · . (*) Misalkan MX (t) adalah fpm untuk kerugian acak X. Turunan pertama fpm terhadap t adalah: MX′ (t)
dMX (t) d = = E(etX ) = E dt dt
(
d tX e dt
)
( ) = E XetX .
Jika fungsi tersebut dievaluasi di t = 0, kita peroleh MX′ (0) = E(X) atau momen pertama dari X. Kita dapat pula menentukan momen ke-k secara simultan menggunakan (*).
Latihan: 1. Tentukan momen ke-k dari kerugian acak X. 2. Tentukan kondisi agar seluruh momen ke-k dari peubah acak X ada. 3. Misalkan X1 dan X2 kerugian acak-kerugian acak yang saling bebas. Tentukan fpm dari X1 + X2 . 4
4. Misalkan X kerugian acak dengan MX (t) sebagai fungsi pembangkit momen. Didefinisikan f (t) = ln MX (t). Tunjukkan bahwa f ′′ (0) = V ar(X). 5. Jelaskan momen ke-k dalam kaitannya dengan sifat ekor tebal suatu distribusi. 6. Misalkan N kerugian acak dengan fungsi peluang: P (N = n) = e−5.6
5.6n , n = 0, 1, 2, . . . . n!
Hitung E(3N ). Petunjuk: Fungsi pembangkit peluang (fpp) GX (s) = E(sX ).
5
Bab 1 - Distribusi Frekuensi Kerugian (Klaim)
Silabus: Distribusi Poisson, binomial, geometrik; kelas distribusi (a, b, 0); zero-modified and zero-truncated distributions;
Kegiatan berasuransi pada dasarnya berkaitan dengan kerugian (klaim), baik frekuensi maupun nilai atau severitas. Frekuensi klaim dapat dikaji melalui kerugian acak diskrit, khususnya distribusi Poisson, binomial dan geometrik.
1.1 Distribusi Poisson Misalkan N kerugian acak yang menyatakan frekuensi kerugian klaim (yang masuk atau diajukan) pada suatu periode waktu. Distribusi untuk N adalah Poisson dengan parameter λ. Ciri khas distribusi ini adalah nilai mean dan variansi yang sama yaitu λ, E(N ) = V ar(N ) = λ. Dalam praktiknya, mungkinkah kita memperoleh data dengan nilai mean sama dengan variansi? (selanjutnya nanti akan dipelajari konsep overdispersion dan underdispersion). Jika kita memiliki kerugian acak Poisson (atau kerugian acak diskrit lainnya) maka kita dapat menentukan (i) peluang frekuensi kerugian melalui fungsi peluang atau fungsi pembangkit peluang atau fungsi pembangkit momen (ii) ekspektasi (bersyarat) frekuensi kerugian. Latihan: 1. Diketahui N kerugian acak berdistribusi Poisson dengan parameter mean 0.1. Tentukan P (N = 1|N ≤ 1). 2. Diketahui N ∼ P OI(0.2). Hitung E(1/(N + 1)). 3. Diketahui N ∼ P OI(2). Hitung E(N |N > 1). 4. Tentukan E(3N ), jika N kerugian acak Poisson dengan mean λ.
6
Teorema: Jika N1 , . . . , Nk kerugian acak-kerugian acak yang saling bebas dengan Xi ∼ P OI(λi ) maka N1 + · · · + Nk ∼ P OI(λ1 + . . . + λk ).
Perhatikan kasus n = 2. Distribusi N1 + N2 dapat ditentukan melalui teknik (i) fungsi peluang (ii) fungsi pembangkit momen. Misalkan N1 dan N2 kerugian acak Poisson dengan parameter, berturut-turut, λ1 dan λ2 . Apa yang dapat kita katakan tentang kerugian acak N1 |N1 + N2 = m? Bagaimana kita dapat menentukan distribusi kerugian acak tersebut?
1.2 Distribusi Binomial Misalkan kerugian acak N menyatakan frekuensi kerugian klaim yang diproses dari semua klaim yang masuk. Distribusi yang tepat untuk N adalah distribusi binomial dengan parameter m (frekuensi klaim yang masuk) dan θ (peluang klaim diproses). Notasi: N ∼ B(m, θ). Fungsi peluang untuk N adalah P (N = k) = Ckm θk (1 − θ)m−k , k = 0, 1, 2, . . . , m
Sifat momen, atau momen ke-r, dapat ditentukan dengan memanfaatkan fungsi peluang yaitu E(X r ) =
m ∑
xr P (X = k).
k=0
Untuk m = 1, misalnya, didapat E(X) = m θ. Momen kedua dan seterusnya (jika ada) dapat ditentukan dengan menggunakan fungsi pembangkit momen (fpm): MX (t) = (1 − θ + θet )m Catatan: Fpm suatu kerugian acak berkorespondensi satu-satu dengan distribusi kerugian acak tersebut. Bagaimana dengan fungsi pembangkit peluang (fpp), manfaat apa yang dapat diperoleh dengan fpp? Bagaimana menentukan peluang secara rekursif? 7
Misalkan N1 , N2 , . . . , Nk sampel acak dari N yang berdistribusi binomial dengan parameter (m, θ). Parameter θ dapat ditaksir dengan menggunakan metode likelihood maksimum sbb: • Fungsi likelihood dan log-likelihood: ... • Turunan pertama terhadap parameter dan normalisasi: ... b ... • Penaksir θ: • Turunan kedua terhadap parameter: ...
Latihan: 1. AXAh menjamin 60 risiko secara bebas. Setiap risiko memiliki peluang 0.04 untuk terjadi rugi setiap tahunnya. Seberapa sering lima atau lebih risiko akan diharapkan merugi pada tahun yang sama? 2. -
1.3 Distribusi Geometrik Distribusi lain yang dapat digunakan untuk memodelkan frekuensi kerugian klaim adalah distribusi geometrik. Pertanyaannya, definisi peubah acak apakah yang tepat untuk menggambarkan distribusi ini? Misalkan N ∼ Geo(α) dengan fungsi peluang p(n) = (1 − α)n−1 α, n = 1, 2, . . . Kita dapat menentukan sifat momen seperti sebelumnya, E(X) =
1 1 , V ar(X) = 2 , α α
serta fpm dan fpp. Selain itu, misalkan N ∼ Geo(α), kita dapat pula menentukan sifat distribusi dari N + 1. Namun yang menarik untuk dikaji adalah apakah sifat khusus yang hanya dimiliki distribusi geometrik? Jelaskan! 8
Latihan: 1. Diketahui N ∼ Geo(0.2). Hitung P (N = 1|N ≤ 1). 2. -
1.4 Mixed and Mixture Distributions Kita dapat memiliki suatu kerugian acak yang bersifat diskrit dan kontinu secara bersamaan. Distribusi tersebut dikatakan distribusi campuran atau mixed distribution. Misalkan X kerugian acak yang menyatakan nilai atau severitas klaim; nilai klaim berada pada [0, 100]. Definisikan: 0, X ≤ 20, Y = X − 20, X > 20. Tentukan fungsi peluang, fungsi kesintasan, mean dan momen pusat kedua dari nilai kerugian acak Y . Misalkan N kerugian acak dengan fungsi peluang fN . Kita dapat membangun kerugian acak baru (dan juga distribusi baru) dengan memanfaatkan proporsi beberapa “klasifikasi” dari kerugian acak N . Distribusi yang dihasilkan disebut distribusi atas proporsi kerugian acak atau mixture distribution. Contoh: Frekuensi kegagalan bisnis suatu perusahaan adalah kerugian acak N berdistribusi Poisson dengan parameter λ. Kegagalan bisnis yang dimaksud dapat 60% dapat berupa kegagalan atau risiko kredit, sisanya berupa risiko operasional. Kerugian acak yang menyatakan frekuensi kegagalan bisnis adalah N ∼ P OI(λ) dengan fungsi peluang fN (n) = a1 fN1 (n) + a2 fN2 (n), dengan Ni frekuensi kegagalan bisnis karena, berturut-turut, risiko kredit dan risiko operasional. Dengan demikian, Ni adalah kerugian acak baru berdistribusi Poisson dengan parameter λi = ai λ.
9
1.5 Kelas Distribusi (a, b, 0) Perhatikan fungsi peluang dari kerugian acak Poisson(λ): f (n) =
e−λ λn , n = 0, 1, 2, . . . n!
yang dapat dituliskan rekursif dengan memperhatikan fungsi peluang untuk N = n − 1, f (n − 1) =
e−λ λx−1 . (x − 1)!
Diperoleh e−λ λn / e−λ λn−1 f (n) = f (n − 1) n! (n − 1)! λ = n atau ( ) λ f (n) = f (n − 1), n = 1, 2, . . . n
Distribusi-distribusi diskrit yang sudah dikenalkan sebelumnya (binomial, geometrik, binomial negatif, Poisson) dapat dikelompokkan menjadi sebuah Kelas Distribusi (a, b, 0) dengan fungsi peluang memenuhi sifat rekursif: ( ) b f (n − 1), n = 1, 2, . . . , f (n) = a + n dengan a, b konstanta dan f (0) diberikan. Catatan: Kelas distribusi (a, b, 1) dapat pula dibentuk dengan analogi.
1.6 Zero-Modified and Zero-Truncated Distributions Misalkan kerugian acak N ∼ B(3, 0.4). Dalam aplikasi teori peluang, seringkali kita dihadapkan pada fenomena dimana peluang terjadinya “0” telah ditentukan, misalnya P (N = 0) = 0.3, atau bahkan mungkin tidak ada, P (N = 0) = 0.
10
Untuk itu, perlu adanya modifikasi fungsi peluang dibawah. Distribusi yang dihasilkan dikatakan sebagai distribusi modifikasi nol (zero-modified distribution) dan distribusi bernilai nol (zerotruncated distribution). N 0 1 2 3
P (N = k) 0.216 0.432 0.288 0.064
Misalkan kerugian acak N dari suatu distribusi (a, b, 0) memiliki fungsi peluang f (n). Misalkan f mod (n) fungsi peluang yang merupakan modifikasi dari f (n); f mod (n) adalah fungsi peluang dari distribusi (a, b, 1). Untuk f mod (0) yang ditentukan, hubungan antara f mod (n) dan f (n) adalah f mod (n) = c f (n), n = 1, 2, . . . dengan c konstanta. Fungsi peluang f mod (n) haruslah terdefinisi dengan baik; akibatnya, c dapat diperoleh, c=
1 − f mod (0) . 1 − f (0)
Untuk distribusi binomial dengan parameter (3, 0.4) diatas, kita dapat menghitung f mod (k), k = 1, 2, 3 sebagai berikut: 1 − f mod (0) f (1) 1 − f (0) 1 − 0.3 0.432 = 1 − 0.216
f mod (1) =
= 0.386. Dengan cara sama, kita peroleh f mod (2) = 0.258 dan f mod (3) = 0.056.
11
Untuk distribusi bernilai nol (zero-truncated distribution), nilai P (N = 0) = 0. Diperoleh nilai seperti tabel berikut: N 0 1 2 3
P (N = k) Zero-Modified Zero-Truncated 0.216 0.3 0 0.432 0.386 0.288 0.258 0.064 0.056
Latihan: 1. Tentukan zero-modified distribution untuk N yang berdistribusi Poisson dengan parameter 2.5. 2. Misalkan N ∗ adalah zero-truncated distribution dari N . Diketahui, fungsi peluang dan fungsi pembangkit peluang N , berturut-turut, adalah fN (n) dan GN (s). Tentukan fungsi pembangkit peluang untuk N ∗ .
12
