Catatan Kuliah MA4183 Model Risiko “Forecast and control your risk”
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015
1
Tentang MA4183 Model Risiko
Jadwal kuliah: Selasa, 7-; Rabu, 14Ujian: 22/9/15; 3/11/15; 1/12/15 (@ 25%) Kuis/Tugas 25%
Buku teks: • Yiu-Kuen Tse, 2009, Nonlife Actuarial Models: Theory, Methods and Evaluation • Stuart Klugman, Harry Panjer, Gordon Willmot, 2004, Loss Models
Jadwal Perkuliahan: M1 (24/8): Pengantar: risiko dan statistika; Distribusi frekuensi klaim M2 (31/8): Peubah acak Poisson*, Binomial dan Geometrik M3 (7/9): Zero-modified and zero-truncated distributions M4 (14/9): Compound distribution M5 (21/9): Ujian 1, Selasa 22/09/2015 M6 (28/9): Fungsi kesintasan, fungsi kegagalan, distribusi campuran M7 (5/10): Sifat deductible dan policy limit, transformasi peubah acak M8 (12/10): Distribusi eksponensial dan Pareto, Sifat ekor distribusi M9 (19/10): M10 (26/10): Agregasi kerugian M11 (2/11): Ujian 2, Senin 02/11/2015 M11 (2/11): Jenis dan sifat ukuran risiko, Value-at-Risk, CTE M12 (9/11): Transformasi ukuran risiko M13 (16/11): Teori kebangkrutan, peluang bangkrut M14 (23/11): Ujian 3, Selasa 24/11/2015
2
Pengantar: Risiko dan Statistika
Risiko adalah “sistem” yang dapat dikendalikan. Salah satu kegiatan penting dalam (men)transfer risiko adalah berasuransi; pemegang polis (insured) “menitipkan” atau “memindahkan” risiko kepada pihak lain yaitu perusahaan asuransi (insurer) dan sebaliknya. Kedua subyek memiliki risiko, pemegang polis membayar premi sedangkan perusahaan asuransi membayar klaim. Untuk memahami risiko diperlukan kemampuan ilmu statistika yang baik, khususnya teori peluang dan proses stokastik. Ilmu-ilmu tersebut mengajar logika ketidakpastian yang menjadi “roh” risiko.
3
Bab 1 - Distribusi Frekuensi Klaim
Silabus: Distribusi binomial, geometrik dan Poisson; kelas distribusi (a, b, 0); zero-modified and zero-truncated distributions; compound distribution Asuransi berkaitan erat dengan risiko karena dengan produk asuransi-lah terjadi perpindahan (tranfer) risiko dari pemegang polis kepada pihak asuransi. Pada pemodelan kerugian klaim (claim losses) terdapat dua ukuran penting yang harus diperhatikan yaitu frekuensi klaim (claim frequency) dan besar atau severitas klaim (claim severity).
1.1 Distribusi Binomial Distribusi yang tepat untuk memodelkan frekuensi klaim adalah distribusi diskrit, antara lain binomial, geometrik, negatif binomial dan Poisson. Misalkan peubah acak X menyatakan banyak klaim yang diproses dari semua klaim yang masuk. Misalkan X ∼ B(n, θ), maka fungsi peluangnya P (X = k) = Ckn θk (1 − θ)n−k , k = 0, 1, 2, . . . , n
Sifat momen, atau momen ke-m, dapat ditentukan dengan memanfaatkan fungsi peluang (fp), yaitu m
E(X ) =
n ∑
xm P (X = k).
k=0
Untuk m = 1, misalnya, didapat E(X) = · · · , dst. Momen ke-m dapat pula ditentukan dengan menggunakan fungsi pembangkit momen (fpm): MX (t) = · · · Catatan: Fpm suatu peubah acak berkorespondensi satu-satu dengan distribusi peubah acak tersebut. Bagaimana dengan fungsi pembangkit peluang (fpp), manfaat apa yang dapat diperoleh dengan fpp? Bagaimana menentukan peluang secara rekursif? Dapatkah ditentukan hubungan antara fpm dan fpp? 4
Misalkan X1 , X2 , . . . , Xn sampel acak dari X yang berdistribusi binomial dengan parameter (n, θ). Parameter θ dapat ditaksir dengan menggunakan metode likelihood maksimum sbb: • Fungsi likelihood dan log-likelihood: ... • Turunan pertama terhadap parameter dan normalisasi: ... b ... • Penaksir θ: • Turunan kedua terhadap parameter: ...
Tugas: Pandang data berdistribusi binomial dengan berbagai nilai parameter. Lakukan analisis statistika deskriptif dan inferensial terhadap data tersebut.
1.2 Distribusi Geometrik Distribusi lain yang dapat digunakan untuk memodelkan frekuensi klaim adalah distribusi geometrik. Pertanyaannya, definisi peubah acak apakah yang tepat untuk menggambarkan distribusi ini? Misalkan X ∼ Geo(α) dengan fungsi peluang p(x) = (1 − α)x−1 α, x = 1, 2, . . . Kita dapat menentukan sifat momen seperti sebelumnya, E(X) =
1 1 , V ar(X) = 2 , α α
dan juga fpm dan fpp. Selain itu, misalkan X ∼ Geo(α), kita dapat pula menentukan sifat distribusi dari X + 1. Namun yang menarik untuk dikaji adalah apakah sifat khusus yang hanya dimiliki distribusi geometrik? Jelaskan!
5
1.3 Distribusi Poisson Misalkan X peubah acak yang menyatakan banyaknya/frekuensi klaim pada suatu periode waktu. Distribusi untuk X adalah Poisson dengan parameter λ. Ciri khas distribusi ini adalah nilai mean dan variansi yang sama yaitu λ, E(X) = V ar(X) = λ. Dalam praktiknya, mungkinkah kita memperoleh data dengan nilai mean sama dengan variansi? (selanjutnya nanti akan dipelajari konsep overdispersion dan underdispersion) Bagaimana kaitan antara distribusi Poisson dan Binomial? adakah manfaat yang dapat kita ambil? Teorema Jika X1 , . . . , Xn peubah acak-peubah acak yang saling bebas dengan Xi ∼ P OI(λi ) maka X = X1 + · · · + Xn ∼ P OI(λ1 + . . . + λn ).
Misalkan X dan Y peubah acak Poisson dengan parameter, berturut-turut, λ1 dan λ2 . Kita dapat menentukan distribusi X|X + Y = n sebagai berikut P (X = k|X + Y = n) = = = = =
P (X = k, X + Y = n) P (X + Y = n) P (X = k, Y = n − k) P (X + Y = n) P (X = k) P (Y = n − k) P (X + Y = n) ((n − k)!)−1 exp(−λ1 ) λk1 (k!)−1 exp(−λ2 ) λn−k 2 exp(−(λ1 + λ2 )) (λ1 + λ2 )n (n!)−1 )k ( )n−k ( n! λ2 λ1 . k!(n − k)! λ1 + λ2 λ1 + λ2
Dengan kata lain, X|X + Y = n ∼ B(n, λ1 /(λ1 + λ2 )).
6
1.4 Kelas Distribusi (a, b, 0) Perhatikan fungsi peluang dari peubah acak Poisson(λ): f (x) =
e−λ λx , x = 0, 1, 2, . . . x!
yang dapat dituliskan rekursif dengan memperhatikan fungsi peluang untuk X = x − 1, f (x − 1) =
e−λ λx−1 . (x − 1)!
Diperoleh f (x) e−λ λx / e−λ λx−1 = f (x − 1) x! (x − 1)! λ = x atau ( ) λ f (x − 1), x = 1, 2, . . . f (x) = x
Distribusi-distribusi diskrit yang sudah dikenalkan sebelumnya (binomial, geometrik, binomial negatif, Poisson) dapat dikelompokkan menjadi sebuah Kelas Distribusi (a, b, 0) dengan fungsi peluang memenuhi sifat rekursif: ( ) b f (x) = a + f (x − 1), x = 1, 2, . . . , x dengan a, b konstanta dan f (0) diberikan. Catatan: Kelas distribusi (a, b, 1) dapat pula dibentuk dengan analogi.
1.5 Zero-Modified and Zero-Truncated Distributions Misalkan X ∼ B(3, 0.4). Kita dapat menentukan distribusi peluang sebagai berikut: Dalam aplikasi teori peluang, seringkali kita dihadapkan pada fenomena dimana peluang terjadinya “0” telah ditentukan, misalnya P (X = 0) = 0.3, atau bahkan mungkin tidak ada, P (X = 0) = 0. Untuk itu, perlu adanya modifikasi fungsi peluang diatas. Distribusi yang dihasilkan dikatakan sebagai zero-modified and zero-truncated distributions. 7
X 0 1 2 3
P (X = k) 0.216 0.432 0.288 0.064
Misalkan peubah acak X dari suatu distribusi (a, b, 0) memiliki fungsi peluang f (x). Misalkan f M (x) fungsi peluang yang merupakan modifikasi dari f (x); f M (x) adalah fungsi peluang dari distribusi (a, b, 1). Untuk f M (0) yang ditentukan, hubungan antara f M (x) dan f (x) adalah f M (x) = c f (x), x = 1, 2, . . . dengan c konstanta. Catatan: Fungsi peluang f M (x) haruslah terdefinisi dengan baik; akibatnya, c dapat diperoleh, c=
1 − f M (0) . 1 − f (0)
Untuk distribusi Binomial dengan parameter (3, 0.4) diatas, kita dapat menghitung f M (k), k = 1, 2, 3 sebagai berikut: 1 − f M (0) f (1) 1 − f (0) 1 − 0.3 0.432 = 1 − 0.216
f M (1) =
= 0.386. Dengan cara sama, kita peroleh f M (2) = 0.258 dan f M (3) = 0.056. Untuk zero-truncated distribution, nilai P (X = 0) = 0. Diperoleh nilai seperti tabel berikut: X 0 1 2 3
P (X = k) 0.216 0.432 0.288 0.064
Zero-Modified 0.3 0.386 0.258 0.056
8
Zero-Truncated 0
Latihan: 1. Tentukan zero-modified distribution untuk X yang berdistribusi Poisson dengan parameter 2.5 2. Misalkan X ∗ adalah zero-truncated distribution dari X. Diketahui, fungsi peluang dan fungsi pembangkit peluang X, berturut-turut, adalah fX (x) dan PX (t). Tentukan fungsi pembangkit peluang untuk X ∗ .
1.6 Compound distribution Misalkan X1 , . . . , Xn sampel acak dari X dengan fungsi distribusi FX . Apakah yang dapat kita katakan tentang distribusi S = X1 + · · · + Xn , ? Bagaimana dengan S = X1 + · · · + XN , ? (dimana N adalah peubah acak) Jika N peubah acak bernilai integer yang saling bebas dengan X1 , . . . , XN , maka peubah acak S = X1 + · · · + XN dikatakan memiliki compound distribution. Catatan: - Distribusi N disebut sebagai distribution pertama (primary distribution), sedangan distribusi X dikatakan distribusi kedua (secondary distribution) - Penamaan distribusi: primary-secondary distribution - Distribusi compound Poisson adalah distribusi dengan distribusi pertama adalah distribusi Poisson dan sebarang distribusi untuk distribusi kedua
9
Untuk menentukan distribusi S, perhatikan ilustrasi berikut. Misalkan Xi ∼ B(1, θ) dan kita tahu Xi = 0, 1. Sehingga nilai yang mungkin untuk S adalah {0, 1, 2}. P (S = 0) = P (X1 = 0, X2 = 0) = P (X1 = 0)P (X2 = 0) = f (0)f (0) P (S = 1) = P (X1 = 0, X2 = 1) + P (X1 = 1, X2 = 0) = f (0)f (1) + f (1)f (0) P (S = 2) = P (X1 = 1, X2 = 1) = f (1)f (1) Jadi, fungsi peluang S adalah P (S = s) =
∑
P (X1 = x, X2 = s − x).
x
Dalam menentukan distribusi S dengan N peubah acak alias compound distribution, distribusi N harus ditentukan lebih dahulu. Dengan demikian, kita peroleh P (S = s) =
∑
P (S|N = n)fN (n),
n
dengan sifat momen pertama E(S) = E(E(S|N )) = · · · dan fungsi pembangkit momen MS (t) = · · · . Latihan: 1. Misalkan S1 memiliki compound distribution dengan distribusi pertama Poisson dengan parameter 1 dan kedua Geometrik dengan parameter p1 . Misalkan S2 memiliki compound distribution dengan distribusi pertama Poisson dengan parameter 2 dan kedua Geometrik dengan parameter p2 . Diketahui S1 dan S2 saling bebas. Misalkan S = S1 + S2 . Hitung P (S = s), s = 0, 1, 2. 2. Tentukan fpm dan fpp dari dari geometric-binomial compound distribution.
10
Bab 2 - Distribusi Severitas Klaim
Silabus: Fungsi kesintasan, distribusi exponensial, Weibull dan Pareto; mixed and mixture distributions; tail weight and CTE; Aplikasi: deductible, policy limit dan coinsurance Severitas klaim atau claim severity menyatakan besar kerugian suatu klaim asuransi. Umumnya, severitas klaim dimodelkan dengan distribusi kontinu nonnegatif. Secara khusus, akan dibahas distribusi eksponensial dan Pareto serta sifat-sifat yang menyertainya seperti sifat ekor dan kuantil.
2.1 Aplikasi Dalam Asuransi Salah satu motivasi yang dapat digunakan dalam mempelajari sifat-sifat khusus peubah acak seperti sifat ekor, kuantil dll adalah manfaat atau aplikasi dalam bidang profesional seperti asuransi. Dalam hal ini, kajian aplikasi akan ditekankan pada pembayaran klaim oleh perusahaan asuransi (insurer), khususnya pada kasus adanya modifikasi cakupan polis (policy coverage). Pandang situasi seseorang mengasuransikan kendaraan yang dimilikinya. Tidak jarang pengendara bersikap ceroboh terhadap kendaraannya karena keyakinan akan dijamin oleh asuransi. Untuk mengurangi risiko dan mengendalikan masalah-masalah perilaku pemegang polis (moral hazard), perusahaan asuransi melakukan modifikasi cakupan polis seperti deductible, policy limits dan coinsurance. Misalkan X menyatakan besar uang yang dibayar (amount paid) dalam suatu kejadian kerugian (loss event) dimana tidak ada modifikasi cakupan atau disebut ground-up loss. Misalkan XL menyatakan besar uang yang dibayar dimana ada modifikasi cakupan atau cost per loss; XP menyatakan besar uang yang dibayar dalam suatu kejadian pembayaran (payment event) dimana ada modifikasi cakupan. Catatan: loss event terjadi jika terdapat kerugian, payment event terjadi hanya jika pihak asuransi membayar kerugian. Deductible Suatu polis asuransi dengan per-loss deductible d tidak akan menbayar pada pemegang polis (the insured) jika kerugian X kurang dari atau sama dengan d; akan membayar pemegang polis sebesar X −d jika kerugian X lebih dari d. Jadi, besar uang yang dibayar dalam suatu kejadian
11
kerugian, XL , adalah XL = X − d, untuk X > d, dan XL = 0 untuk X ≤ d. Distribusi peluang untuk XL adalah... Peubah acak XP (excess-loss variable) didefinisikan jika terjadi pembayaran, yaitu saat X > d, XP = X − d|X > d. Fungsi kesintasan SXP adalah... Catatan: XL memiliki censored distribution, XP memiliki truncated distribution. Latihan. Misalkan X dan Y , dengan deductible d = 0.25. Hitung E(XL ), E(XP ), E(YL ), E(YP ), jika X berdistribusi eksponensial dan Y berdistribusi lognormal. Policy limit Modifikasi lain dari cakupan polis adalah menentukan suatu nilai u yang ditentukan dari awal dengan aturan XU = u, untuk X ≥ u, dan XU = X untuk X < u. Notasi: XU = X ∧ u. Coinsurance Dapatkah anda menjelaskan tentang Coinsurance?
2.2 Fungsi Kesintasan Fungsi kesintasan (survival function) merupakan komplemen dari fungsi distribusi. Dapat pula dikatakan bahwa fungsi kesintasan S(x) adalah nilai kumulatif peluang yang lebih besar dari x atau S(x) = 1 − F (x) = P (X > x), 12
dengan sifat-sifat sbb:... Fungsi hazard berkaitan dengan peluang mendapatkan kegagalan pada suatu waktu, h(x) =
f (x) S(x)
= P (x < X < x + dx|X > x)
Suatu peubah acak X dapat berdistribusi kontinu dan diskrit, ∫ F (x) = P (X ≤ x) =
x
f (x) dx +
∑
−∞
P (X = x)
x
dengan sifat ekspektasi... Contoh: Misalkan X ∼ U (0, 10). Misalkan Y = X − 2 untuk X > 2.
2.3 Distribusi Eksponensial dan Pareto Misalkan X peubah acak eksponensial. Fungsi distribusi dan fungsi hazardnya dapat ditentukan sbb. Distribusi eksponensial sering digunakan untuk menentukan distribusi waktu antarkedatangan. Peubah acak X berdistribusi Pareto dengan parameter α > 0 dan γ > 0 jika fungsi distribusinya F (x). Distribusi ini cocok untuk memodelkan pendapatan. Karakteristik menarik dari distribusi Pareto adalah tidak dimilikinya fpm dan dapat diturunkannya distribusi ini dari distribusi eksponensial. Misalkan X ∼ exp(λ), dengan Λ berdistribusi Gamma(α, β). Kita ketahui fX (x|λ) = λ e−λ x , x ≥ 0, dan fΛ (λ|α, β) =
( β1 )α Γ(α)
λα−1 e− β λ , λ ≥ 0. 1
13
Jadi, ∫
∞
fX (x|λ) fΛ (λ|α, β) 0
= ···
[ ]α+1 α β = α β βx + 1 atau ∫
∞
fX (x|λ) fΛ (λ|α, β) = 0
αγ α , (x + γ)α+1
dengan γ = 1/β, yang merupakan fungsi peluang dari distribusi Pareto(α, γ). Dengan kata lain, gamma-exponensial mixture berdistribusi Pareto.
2.4 Transformasi Peubah Acak Beberapa cara dapat digunakan untuk memanipulasi suatu peubah acak menjadi peubah acak baru. Peubah acak baru ini diperoleh dengan membentuk fungsi peubah acak. Sebagai contoh, diketahui peubah acak X dengan fungsi distribusi tertentu. Kita dapat membentuk fungsi peubah acak Y = dsb.
1 X ;Y = Xα, λ
Contoh lain, misalkan X1 , . . . , Xn peubah acak dengan fungsi peluang fX1 , . . . , fXn .
Peubah acak baru X dapat dibentuk dengan fungsi peluang fX (x) = p1 fX1 (x) + · · · + pn fXn (x), dengan pi ≥ 0,
∑n i=1
pi = 1.
2.5 Sifat Ekor Pada Severitas Klaim Severitas klaim dapat bernilai sangat besar walau dengan frekuensi yang kecil. Kerugian dengan nilai ekstrim, yang terjadi pada ekor kanan (upper tail) distribusi, perlu diperhatikan karena akan mempengaruhi kebijakan polis berikutnya. Distribusi dengan ekor tebal (fat/heavy/thick 14
tail) dapat diidentifikasi melalui eksistensi momen. Sebagai contoh, distribusi Pareto memiliki hingga order α. Jadi, jika α < 2 maka distribusi Pareto tidak memiliki variansi. Artinya, terdapat indikasi adanya distribusi ekor tebal. Untuk membandingkan perilaku ekor distribusi, kita dapat menghitung limit rasio kedua fungsi kesintasan. Semakin cepat suatu fungsi kesintasan menuju nol, maka semakin tipis ekor distribusi tersebut. Cara lain untuk menentukan ketebalan ekor adalah dengan menentukan (i) fungsi hazard dan (ii) fungsi kuantil. Misalkan X suatu kerugian acak atau random loss dengan fungsi distribusi FX . Kita dapat menentukan suatu nilai dα sedemikian hingga P (X ≤ dα ) = F (dα ) = α. Dengan kata lain, dα = FX−1 (α), atau dα adalah α-kuantil dari distribusi X. Keakuratan dα dapat dihitung dengan peluang cakupan atau coverage probability. Catatan: dα sering dikatakan VaRα (X) yang menyatakan kerugian maksimum yang dapat ditolerir padan tingkat α. Ukuran lain yang dapat dihitung dengan memanfaatkan dα adalah CTE atau Conditioan Tail Expectation, ( ) E X|X > dα , yang, apabila kita menggunakan VaRα (X), ukuran tersebut disebut Expected Shortfall (ES). Perhatikan kasus distribusi eksponensial dengan parameter λ. Kita peroleh ( ) 1 E X − VaRα (X)|X > VaRα (X) = = E(X). λ
Latihan: MG, Soal 3.18, 4.20, 4.22, 4.52, 13.24,
15
Bab 3 - Model Kerugian Agregat
Silabus: Model risiko individu, model risiko kolektif Informasi yang telah diperoleh tentang distribusi frekuensi dan severitas klaim bermanfaat dalam membangun model risiko individu dan kolektif. Pada model risiko individu (individual risk model), misalkan nilai/besar kerugian (loss) untuk setiap polis, Xi untuk i = 1, . . . , n, terjadi pada suatu blok (yang berisi sejumlah polis). Asumsikan kerugian-kerugian tersebut saling bebas dan berdistribusi identik. Secara teori, X1 , . . . , Xn dapat merupakan sampel acak dari X. Kerugian atau risiko agregatnya adalah S = X1 + · · · + Xn . Dalam praktiknya, seringkali kerugian suatu polis bernilai nol. Dengan demikian, perlu diperhatikan bahwa X memiliki mixed distribution. Pada model risiko kolektif, kerugian agregat diasumsikan mengikuti suatu distribusi majemuk atau compound distribution, S = X1 + · · · + XN , dengan N peubah acak yang menyatakan frekuensi klaim dan X1 , . . . , XN peubah acak-peubah acak, yang bersifat saling bebas dan berdistribusi identik (iid), menyatakan severitas klaim.
3.1 Model Risiko Individu Misalkan Sn = X1 + X2 + · · · + Xn . Pandang kasus n = 2. Perhatikan bahwa X1 dan X2 masing-masing dapat merupakan peubah acak diskrit atau kontinu. • Kedua peubah acak X1 dan X2 diskrit, fS2 (s) = P (S2 = s) = P (X1 + X2 = s) =
s ∑
P (X1 = x, X2 = s − x)
x=0
16
• Kedua peubah acak X1 dan X2 kontinu, fS2 (s) = fX1 +X2 (s) ∫s ∫s = fX1 (s − x)fX2 (x) dx = fXs (s − x)fX1 (x) dx 0
0
(distribusi X1 dan X2 tidak harus identik) • Kedua peubah acak X1 dan X2 diskrit dan kontinu atau mixed distribution, atau fXi (0) = 1 − θi ; fXi (x) = θi fYi (x), x > 0, untuk i = 1, 2. Catatan: Perhatikan transformasi peubah acak Yi .
Misalkan diketahui peluang adanya suatu klaim adalah 0.2. Hal ini dapat dinyatakan dalam peubah acak Bernoulli I dengan parameter p = 0.2 atau P (I = 1) = 0.2. Jika suatu klaim terjadi, besar kerugiannya merupakan peubah acak eksponensial dengan parameter λ = 1/2. Kita ingin menentukan mean dan variansi kerugian agregat Sn untuk sejumlah n polis. Secara umum, misalkan X = 0, dengan peluang 1 − θ, dan X = Y , dengan peluang θ. Dengan kata lain, X = IY , dengan I peubah acak Bernoulli dengan parameter θ. Mean dan variansi X, berturut-turut, adalah E(X) = E(IY ) = E(I)E(Y ) = θ µY dan V ar(X) = V ar(IY ) = E(IY − θ µY )2 = E(I 2 Y 2 ) − 2 θ µY E(IY ) + [E(IY )]2 = E(I 2 )E(Y 2 ) − 2 [E(I)]2 [E(Y )]2 + [E(I)]2 [E(Y )]2 = E(I 2 )E(Y 2 ) − [E(I)]2 [E(Y )]2 = E(I 2 )E(Y 2 ) − [E(I)]2 [E(Y )]2 + [E(I)]2 E(Y 2 ) − [E(I)]2 E(Y 2 ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 = E(Y ) E(I ) − [E(I)] + E(I ) E(Y ) − [E(Y )] = E(Y 2 )V ar(I) + E(I 2 )V ar(Y ). Jadi, mean dan variansi kerugian agregat Sn adalah E(S) = n E(S); V ar(S) = n V ar(X). 17
Untuk Y berdistribusi eksponensial dengan parameter λ = 1/2, mean kerugian dalam suatu loss event (kejadian kerugian) adalah E(Y ) = µY =
1 1 = = 2. λ 0.5
Jadi, untuk suatu polis yang acak, mean kerugiannya adalah E(X) = E(I)E(Y ) = (0.2)(2) = 0.4. Sementara itu, apabila diketahui adalah n = 500 polis yang saling bebas, mean kerugian agregatnya adalah E(S) = n E(X) = (500)(0.4) = 200.
Latihan: Suatu portofolio memiliki 100 polis asuransi yang saling bebas. Setiap polis memiliki peluang 0.2 untuk mengajukan klaim. Ketika suatu klaim diajukan, kerugian sebesar 10, 50, dan 80 memiliki peluang berturut-turut 0.4, 0.4, dan 0.2. Tentukan mean klaim agregate dari portofolio tersebut. Solusi: Peubah acak yang menyatakan kerugian memiliki distribusi peluang: Y =y P (Y = y)
10 50 80 0.4 0.4 0.2
dengan mean E(Y ) = 10(0.4) + 50(0.4) + 80(0.2) = 40. Untuk suatu polis acak, E(X) = (0.2)(40) = 8. Jadi, suatu portofolio dengan 100 polis yang saling bebas memiliki mean agregat E(S) = (100)(8) = 800.
18
3.2 Model Risiko Kolektif Pandang kerugian agregat SN yang memiliki distribusi majemuk atau compound distribution dengan distribusi pertama untuk N dan distribusi kedua untuk X. Asumsikan bahwa X dan N saling bebas. Kita dapat menentukan beberapa sifat untuk S antara lain fungsi pembangkit momen, MS (t) = E(etS ) = E(et(X1 +···+XN ) ) [ ( )] = E E et(X1 +···+XN ) |N [ ( ) ( )] = E E etX1 · · · E etXN [{ ( )} ] N = E E etX [ ] N = E {MX (t)} [{ }N ] = E elog MX (t) [ ] = E elog MX (t)N = MN (log MX (t)) Sedangkan mean dan variansi untuk S adalah E(S) = E(N )E(X); V ar(S) = E(N )V ar(X) + V ar(N )[E(X)]2 .
Latihan: 1. Misalkan kerugian agregat S pada model risiko kolektif memiliki distribusi primer Poisson dengan parameter 100 dan distribusi sekunder eksponensial dengan parameter 0.5. Tentukan peluang kerugian agregat kurang dari 180. 2. Misalkan kerugian agregat S pada model risiko kolektif memiliki distribusi primer Poisson dengan parameter λ dan distribusi sekunder Pareto dengan parameter (α, γ). Tentukan mean dan variansi kerugian agregat jika polis memiliki deductible d. 3. Misalkan kerugian agregat S hanya bernilai integer positif. Diketahui E((S − 2)+ ) = 1/5, E((S − 3)+ ) = 0 dan fS (1) = 1/2. Hitung E(S).
19
Bab 4 - Ukuran Risiko
Silabus: Ukuran risiko (premium-based, capital-based), Aksioma risiko, Value-at-Risk dan CTE, transformasi ukuran risiko. Setelah kita dapat memodelkan risiko atau kerugian acak (random loss) diskrit/kontinu, selanjutnya ukuran risiko dapat dihitung. Dalam praktiknya, risiko yang kita ukur dapat berupa: (i) risiko pasar (kerugian akibatan perubahan pada harga dan kondisi pasar), (ii) risiko kredit (risiko dari nasabah), dan (iii) risiko operasional (risiko bisnis yang bukan risiko pasar atau risiko kredit). Ukuran risiko dihitung menggunakan metodologi statistik seperti kuantil dan konsep prediksi peubah acak. Ukuran risiko memiliki kegunaan dalam menentukan modal, premi, manajemen risiko internal, dan melaporkan kebijakan eksternal.
4.1 Definisi dan Jenis Ukuran Risiko Suatu ukuran risiko dari kerugian acak X, notasi ϱ(X), adalah fungsi bernilai riil ϱ : X → R, dimana R adalah himpunan bilangan riil. Peubah acak X tak negatif. 2 Misalkan mean dan variansi kerugian acak X adalah µX dan σX . Ukuran risiko “expected-value
principle premium” didefinisikan sebagai ϱ(X) = (1 + θ) µX = µX + θ µX , dimana θ ≥ 0 adalah “premium loading factor”. Ukuran risiko dikatakan “pure premium” saat θ = 0. Ukuran risiko “variance principle premium” didefinisikan sebagai: 2 , ϱ(X) = µX + α σX
dimana α ≥ 0 adalah “loading factor”. Beberapa aksioma dalam ukuran risiko, yang apabila dipenuhi maka ukuran risiko tersebut dikatakan “coherent” (koheren). Aksioma-aksioma tersebut adalah: 20
1. (T) Untuk setiap X dan konstanta tak negatif a, ϱ(X + a) = ϱ(X) + a
2. (S) Untuk setiap X dan Y , ϱ(X + Y ) ≤ ϱ(X) + ϱ(Y )
3. (PH) Untuk setiap X dan konstanta tak negatif a, ϱ(a X) = a ϱ(X)
4. (M) Untuk setiap X dan Y sdh X ≤ Y , ϱ(X) ≤ ϱ(Y )
Latihan: 1. Tunjukkan, dengan aksioma PH, bahwa ϱ(0) = 0. Dengan hasil itu, buktikan bahwa jika aksioma PH dan M dipenuhi maka ϱ(X) ≥ 0 untuk X ≥ 0. 2. “no unjustified loading”? 3. “no ripoff”? 4. Tunjukkan bahwa ukuran risiko “expected-value principle premium” memenuhi aksioma S, PH dan M namun tidak memenuhi aksioma T. Bagaiman dengan ukuran risiko “variance/standard deviation principle premium”?
4.2 Value-at-Risk (VaR) dan CTE Value at Risk (VaR) dari suatu peubah/variabel kerugian adalah nilai minimum suatu distribusi sdh peluang untuk mendapatkan kerugian lebih besar dari nilai tersebut tidak akan melebihi peluang yang diberikan.
21
Misalkan X adalah peubah acak kerugian dengan fungsi distribusi FX (.) dan δ adalah peluang, makab VaR pada tingkat peluang δ adalah δ-kuantil dari X: V aRδ (X) = FX−1 (δ) = xδ
Jika FX (.) fungsi tangga (X tidak kontinu), didefiniskan V aRδ (X) = inf {x ∈ [0, ∞) : FX (x) ≥ δ}
Latihan: 1. Hitung V aRδ untuk distribusi kerugian X: E(λ), N (µ, σ 2 ), P(α, γ). 2. Hitung V aRδ untuk δ = 0.94, 0.97 dari distribusi kerugian berikut: 100, 90, X= 80, 50, 0,
dgn peluang 0.03; dgn peluang 0.01; dgn peluang 0.04; dgn peluang 0.12; dgn peluang 0.8
3. Tunjukkan bahwa V aRδ memenuhi aksioma T, PH dan M, namun tidak memenuhi aksioma S.
CTE memperhatikan informasi pada distribusi ekor diluar VaR. CTE pada level peluang δ, notasi CT Eδ (X), didefinisikan sebagai CT Eδ (X) = E(X|X > xδ ) atau [ ] CT Eδ (X) = E X|X > V aRδ (X) , untuk X kontinu. Ekspektasi diatas yang berpusat pada nilai V aRδ (X): [ ] E X − V aRδ (X)|X > V aRδ (X) , 22
disebut “conditional VaR” dan dinotasikan CV aRδ (X). Perhatikan bahwa [ ] CV aRδ (X) = E X − V aRδ (X)|X > V aRδ (X) = CT Eδ (X) − V aRδ (X)
Jika V aRδ digunakan sebagai modal, maka “shortfall” dari modal adalah (X − V aRδ )+ . Ketika X kontinu, V aRδ = xδ dan “mean shortfall” nya adalah [ ] [ ] E (X − xδ )+ = E X − xδ |X > xδ P (X > xδ ) = (1 − δ) CV aRδ [ ] 1 E (X − xδ )+ = CV aRδ (1 − δ) = CT Eδ (X) − xδ
Untuk mengevaluasi CT Eδ , perhatikan bahwa ∫ ∞ 1 CT Eδ = E(X|X > xδ ) = x fX (x) dx (1 − δ) xδ ∫ ∞ 1 = x dFX (x) (1 − δ) xδ ∫ 1 1 = xξ dξ, (1 − δ) δ untuk ξ = FX (x). CT Eδ dengan demikian dapat diinterpretasikan sebagai rata-rata kuantil yang melampaui xδ . Analog, 1 (1 − δ)
∫
1
V aRξ dξ δ
yang disebut dengan “tail VaR” atau T V aRδ (X). Latihan: 1. Tentukan CT Eδ dan CV ARδ pada distribusi kerugian X: E(λ), N (µ, σ 2 ), P(α, γ). 2. Hitung CT Eδ untuk δ = 0.95 (juga TVaR yang berkorespondensi dengan nilai δ)dari 23
distribusi kerugian berikut: 100, 90, X= 80, 50, 0,
dgn peluang 0.03; dgn peluang 0.01; dgn peluang 0.04; dgn peluang 0.12; dgn peluang 0.8
3. Tunjukkan bahwa CTE memenuhi aksioma T, S, PH dan M. 4.3 Transformasi Ukuran Risiko Misalkan X adalah kerugian acak kontinu tak negatif. Kerugian yang diharapkan (expected loss) dituliskan sebagai ∫ µX =
∞
(
) 1 − FX (x) dx =
0
∫
∞
SX (x) dx 0
˜ terdistribusi dengan Misalkan X ( )1/ρ SX˜ (x) = SX (x) , ρ ≥ 1, maka ∫
∫
∞
˜ = µ˜ = E(X) X
SX˜ (x) dx = 0
∞
(
)1/ρ SX (x) dx,
0
˜ disebut “PH (proportional dimana parameter ρ disebut “risk-aversion index”. Distribusi dari X hazard) transform” atau transformasi PH dari distribusi X dengan parameter ρ. ˜ maka Misalkan hX (x) dan hX˜ (x) sebagai fungsi hazard (hf) dari X dan X, ( ) 1 d SX˜ (x) hX˜ (x) = − SX˜ (x) dx ( )(1/ρ)−1 ′ SX (x) 1 SX (x) =− ( )1/ρ ρ SX (x) ( ′ ) 1 SX (x) =− ρ SX (x) 1 = hX (x) ρ 24
˜ proporsional terhadap hf dari X. Jika ρ ≥ 1, maka hf dari Dapat disimpulkan bahwa hf dari X ˜ lebih kecil dari hf dari X, sehingga X ˜ memiliki ekor yang lebih tebal dari X. X Latihan: 1. Misalkan X beridistribusi Eksponensial dengan parameter λ. Maka sf dari transformasi PH dari X adalah ( )1/ρ SX˜ = e−λx , yang berakibat ˜ ∼ E(λ/ρ) X Jadi, ˜ = ρ/λ ≥ λ = E(X) E(X)
2. Apakah ukuran risiko µX˜ memenuhi aksioma T, S, PH, dan M?
Metode lain untuk memindahkan bobot ke kerugian yang lebih besar adalah dengan mentrans˜ dengan pdf f ˜ (x), formasi pdf. Jika X memiliki pdf fX (x), definisikan distribusi kerugian X X fX˜ (x) = w(x) fX (x), dengan syarat w′ (x) > 0 agar lebih banyak bobot di ekor bagian kanan dari distribusi kerugian. Pdf fX˜ (x) juga harus terdefinisi dengan baik. Fungsi bobot yang dapat digunakan adalah w(x) =
eρx eρx = ∫ ∞ ρx , ρ > 0, MX (ρ) e f (x) dx X 0
where MX (ρ) adalah fungsi pembangkit momen dari X. Dapat ditunjukkan bahwa w′ (x) > 0
25
dan ∫
∞
fX˜ (x) dx = 1 0
(pdf yang terdefinisi dengan baik) ˜ Distribusi dari X fX˜ (x) =
eρx fX (x) , ρ>0 MX (ρ)
disebut “Esscher transform” atau transformasi Esscher dari X dengan parameter ρ. Fungsi ˜ adalah pembangkit momen dari X MX˜ (t) =
MX (ρ + t) MX (ρ)
Ukuran risiko dapat dikonstruksi sebagai nilai harapan dari transformasi Esscher dari X, ρX ˜ = E(X e ) , ϱ(X) = E(X) E(eρX )
dimana dϱ(X)/dρ ≥ 0 sehingga ρ dapat diinterpretasikan sebagai “risk-aversion index”. Latihan: 1. X berdistribusi Eksponensial dengan parameter λ. Hitung transformasi Esscher dari X dan “risk-adjusted premium” 2. Lakukan transformasi Esscher pada distribusi kerugian yang lain.
Definisi: Fungsi distorsi adalah fungsi tidak turun g(.) yang memenuhi g(1) = 1 dan g(0) = 0. Misalkan
X peubah acak kerugian dengan sf SX (x). Fungsi distorsi g(.) tidak turun dan SX (.) tidak naik, sehingga g(SX (x)) adalah fungsi tidak naik dari x atau dg(SX (x)) ≤0 dx
26
˜ dengan sf g(SX (x)) diinterpretasikan sebagai p.a. “risk-adjusted loss” dan Peubah acak X ˜ g(SX (x)) sebagai “risk-adjusted sf”. Diasumsikan g(.) terbuka ke bawah, sehingga pdf dari X adalah fX˜ (x) = −
dg(SX (x)) = g ′ (SX (x)) fX (x) dx
dimana dg ′ (SX (x)) ≥0 dx sehingga g ′ (SX (x)) fungsi tidak turun. Misalkan X peubah acak kerugian tak negatif. Ukuran risko distorsi berdasarkan fungsi distorsi g(.) didefinisikan ∫ ϱ(X) =
∞
g(SX (x)) dx, 0
˜ yang merupakan mean dari “risk-adjusted loss” X. Ukuran risiko distorsi antara lain • “Pure premium”: g(u) = u
• “PH risk-adjusted premium”: g(u) = u1/ρ
• VaR g(SX (x)) = 1, 1 − δ ≤ SX (x) ≤ 1 atau g(SX (x)) = 1, 0 ≤ x ≤ V aRδ
27
• CTE g(SX (x)) =
SX (x) , x > xδ 1−δ
= 1, 0 ≤ x ≤ xδ
TEOREMA: Misalkan g(.) adalah fungsi distorsi terbuka ke bawah. Ukuran risiko dari kerugian X, ∫ ϱ(X) =
∞
g(SX (x)) dx, 0
memenuhi aksioma T, S, PH dan M. Dengan kata lain, ukuran risiko diatas adalah koheren. Pandang fungsi distorsi ( ) g(u) = Φ Φ−1 (u) + ρ , dimana Φ(.) adalah fungsi distribusi normal standar dan ρ parameter risiko, ρ > 0. Fungsi diatas dikenal dengan nama “Wang transform” atau transformasi Wang. ˜ peubah acak hasil transformasi Wang dari X. Misalkan X adalah peubah acak kerugian dan X Ukuran risiko hasil transformasi adalah ∫
∞
˜ = ϱ(X) = E(X)
( ) Φ Φ−1 (SX (x)) + ρ dx
0
Latihan: 1. Tentukan nilai g(0) dan g(1) 2. Tunjukkan bahwa transformasi Wang adalah fungsi naik dan terbuka ke bawah ˜ >0 3. Tunjukkan bahwa dE(X)/dρ 4. Jika X berdistribusi normal dengan mean µ dan variansi σ 2 , tentukan distribusi kerugian berdasarkan transformasi Wang dan tentukan pula “risk-adjusted premium”
28
