Catatan Kuliah MA4183 Model Risiko “Forecast and control your risk”
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2015
1
Tentang MA4183 Model Risiko
Jadwal kuliah: Selasa, 7-; Rabu, 15Ujian: 22/9/15; 27/10/15; 1/12/15 (@ 25%) Buku teks: • Yiu-Kuen Tse, 2009, Nonlife Actuarial Models: Theory, Methods and Evaluation • Stuart Klugman, Harry Panjer, Gordon Willmot, 2004, Loss Models
Jadwal Perkuliahan: M1 (24/8): Pengantar: risiko dan statistika; Distribusi frekuensi klaim M2 (31/8): Peubah acak Poisson*, Binomial dan Geometrik M3 (7/9): Zero-modified and zero-truncated distributions M4 (14/9): Compound distribution M5 (21/9): Ujian 1, Selasa 22/9 [Kamis 24/9 libur]
2
Pengantar: Risiko dan Statistika
Risiko adalah “sistem” yang dapat dikendalikan. Salah satu kegiatan penting dalam (men)transfer risiko adalah berasuransi; pemegang polis (insured) “menitipkan” atau “memindahkan” risiko kepada pihak lain yaitu perusahaan asuransi (insurer) dan sebaliknya. Kedua subyek memiliki risiko, pemegang polis membayar premi sedangkan perusahaan asuransi membayar klaim. Untuk memahami risiko diperlukan kemampuan ilmu statistika yang baik, khususnya teori peluang dan proses stokastik. Ilmu-ilmu tersebut mengajar logika ketidakpastian yang menjadi “roh” risiko.
3
Bab 1 - Distribusi Frekuensi Klaim
Silabus: Distribusi binomial, geometrik dan Poisson; kelas distribusi (a, b, 0); zero-modified and zero-truncated distributions; compound distribution Asuransi berkaitan erat dengan risiko karena dengan produk asuransi-lah terjadi perpindahan (tranfer) risiko dari pemegang polis kepada pihak asuransi. Pada pemodelan kerugian klaim (claim losses) terdapat dua ukuran penting yang harus diperhatikan yaitu frekuensi klaim (claim frequency) dan besar atau severitas klaim (claim severity).
1.1 Distribusi Binomial Distribusi yang tepat untuk memodelkan frekuensi klaim adalah distribusi diskrit, antara lain binomial, geometrik, negatif binomial dan Poisson. Misalkan peubah acak X menyatakan banyak klaim yang diproses dari semua klaim yang masuk. Misalkan X ∼ B(n, θ), maka fungsi peluangnya P (X = k) = Ckn θk (1 − θ)n−k , k = 0, 1, 2, . . . , n
Sifat momen, atau momen ke-m, dapat ditentukan dengan memanfaatkan fungsi peluang (fp), yaitu m
E(X ) =
n ∑
xm P (X = k).
k=0
Untuk m = 1, misalnya, didapat E(X) = · · · , dst. Momen ke-m dapat pula ditentukan dengan menggunakan fungsi pembangkit momen (fpm): MX (t) = · · · Catatan: Fpm suatu peubah acak berkorespondensi satu-satu dengan distribusi peubah acak tersebut. Bagaimana dengan fungsi pembangkit peluang (fpp), manfaat apa yang dapat diperoleh dengan fpp? Bagaimana menentukan peluang secara rekursif? Dapatkah ditentukan hubungan antara fpm dan fpp? 4
Misalkan X1 , X2 , . . . , Xn sampel acak dari X yang berdistribusi binomial dengan parameter (n, θ). Parameter θ dapat ditaksir dengan menggunakan metode likelihood maksimum sbb: • Fungsi likelihood dan log-likelihood: ... • Turunan pertama terhadap parameter dan normalisasi: ... b ... • Penaksir θ: • Turunan kedua terhadap parameter: ...
Tugas: Pandang data berdistribusi binomial dengan berbagai nilai parameter. Lakukan analisis statistika deskriptif dan inferensial terhadap data tersebut.
1.2 Distribusi Geometrik Distribusi lain yang dapat digunakan untuk memodelkan frekuensi klaim adalah distribusi geometrik. Pertanyaannya, definisi peubah acak apakah yang tepat untuk menggambarkan distribusi ini? Misalkan X ∼ Geo(α) dengan fungsi peluang p(x) = (1 − α)x−1 α, x = 1, 2, . . . Kita dapat menentukan sifat momen seperti sebelumnya, E(X) =
1 1 , V ar(X) = 2 , α α
dan juga fpm dan fpp. Selain itu, misalkan X ∼ Geo(α), kita dapat pula menentukan sifat distribusi dari X + 1. Namun yang menarik untuk dikaji adalah apakah sifat khusus yang hanya dimiliki distribusi geometrik? Jelaskan!
5
1.3 Distribusi Poisson Misalkan X peubah acak yang menyatakan banyaknya/frekuensi klaim pada suatu periode waktu. Distribusi untuk X adalah Poisson dengan parameter λ. Ciri khas distribusi ini adalah nilai mean dan variansi yang sama yaitu λ, E(X) = V ar(X) = λ. Dalam praktiknya, mungkinkah kita memperoleh data dengan nilai mean sama dengan variansi? (selanjutnya nanti akan dipelajari konsep overdispersion dan underdispersion) Bagaimana kaitan antara distribusi Poisson dan Binomial? adakah manfaat yang dapat kita ambil? Teorema Jika X1 , . . . , Xn peubah acak-peubah acak yang saling bebas dengan Xi ∼ P OI(λi ) maka X = X1 + · · · + Xn ∼ P OI(λ1 + . . . + λn ).
Misalkan X dan Y peubah acak Poisson dengan parameter, berturut-turut, λ1 dan λ2 . Kita dapat menentukan distribusi X|X + Y = n sebagai berikut P (X = k|X + Y = n) = = = = =
P (X = k, X + Y = n) P (X + Y = n) P (X = k, Y = n − k) P (X + Y = n) P (X = k) P (Y = n − k) P (X + Y = n) ((n − k)!)−1 exp(−λ1 ) λk1 (k!)−1 exp(−λ2 ) λn−k 2 exp(−(λ1 + λ2 )) (λ1 + λ2 )n (n!)−1 )k ( )n−k ( n! λ2 λ1 . k!(n − k)! λ1 + λ2 λ1 + λ2
Dengan kata lain, X|X + Y = n ∼ B(n, λ1 /(λ1 + λ2 )).
6
1.4 Kelas Distribusi (a, b, 0) Perhatikan fungsi peluang dari peubah acak Poisson(λ): f (x) =
e−λ λx , x = 0, 1, 2, . . . x!
yang dapat dituliskan rekursif dengan memperhatikan fungsi peluang untuk X = x − 1, f (x − 1) =
e−λ λx−1 . (x − 1)!
Diperoleh f (x) e−λ λx / e−λ λx−1 = f (x − 1) x! (x − 1)! λ = x atau ( ) λ f (x − 1), x = 1, 2, . . . f (x) = x
Distribusi-distribusi diskrit yang sudah dikenalkan sebelumnya (binomial, geometrik, binomial negatif, Poisson) dapat dikelompokkan menjadi sebuah Kelas Distribusi (a, b, 0) dengan fungsi peluang memenuhi sifat rekursif: ( ) b f (x) = a + f (x − 1), x = 1, 2, . . . , x dengan a, b konstanta dan f (0) diberikan. Catatan: Kelas distribusi (a, b, 1) dapat pula dibentuk dengan analogi.
1.5 Zero-Modified and Zero-Truncated Distributions Misalkan X ∼ B(3, 0.4). Kita dapat menentukan distribusi peluang sebagai berikut: Dalam aplikasi teori peluang, seringkali kita dihadapkan pada fenomena dimana peluang terjadinya “0” telah ditentukan, misalnya P (X = 0) = 0.3, atau bahkan mungkin tidak ada, P (X = 0) = 0. Untuk itu, perlu adanya modifikasi fungsi peluang diatas. Distribusi yang dihasilkan dikatakan sebagai zero-modified and zero-truncated distributions. 7
X 0 1 2 3
P (X = k) 0.216 0.432 0.288 0.064
Misalkan peubah acak X dari suatu distribusi (a, b, 0) memiliki fungsi peluang f (x). Misalkan f M (x) fungsi peluang yang merupakan modifikasi dari f (x); f M (x) adalah fungsi peluang dari distribusi (a, b, 1). Untuk f M (0) yang ditentukan, hubungan antara f M (x) dan f (x) adalah f M (x) = c f (x), x = 1, 2, . . . dengan c konstanta. Catatan: Fungsi peluang f M (x) haruslah terdefinisi dengan baik; akibatnya, c dapat diperoleh, c=
1 − f M (0) . 1 − f (0)
Untuk distribusi Binomial dengan parameter (3, 0.4) diatas, kita dapat menghitung f M (k), k = 1, 2, 3 sebagai berikut: 1 − f M (0) f (1) 1 − f (0) 1 − 0.3 0.432 = 1 − 0.216
f M (1) =
= 0.386. Dengan cara sama, kita peroleh f M (2) = 0.258 dan f M (3) = 0.056. Untuk zero-truncated distribution, nilai P (X = 0) = 0. Diperoleh nilai seperti tabel berikut: X 0 1 2 3
P (X = k) 0.216 0.432 0.288 0.064
Zero-Modified 0.3 0.386 0.258 0.056
8
Zero-Truncated 0
Latihan: 1. Tentukan zero-modified distribution untuk X yang berdistribusi Poisson dengan parameter 2.5 2. Misalkan X ∗ adalah zero-truncated distribution dari X. Diketahui, fungsi peluang dan fungsi pembangkit peluang X, berturut-turut, adalah fX (x) dan PX (t). Tentukan fungsi pembangkit peluang untuk X ∗ .
1.6 Compound distribution Misalkan X1 , . . . , Xn sampel acak dari X dengan fungsi distribusi FX . Apakah yang dapat kita katakan tentang distribusi S = X1 + · · · + Xn , ? Bagaimana dengan S = X1 + · · · + XN , ? (dimana N adalah peubah acak) Jika N peubah acak bernilai integer yang saling bebas dengan X1 , . . . , XN , maka peubah acak S = X1 + · · · + XN dikatakan memiliki compound distribution. Catatan: - Distribusi N disebut sebagai distribution pertama (primary distribution), sedangan distribusi X dikatakan distribusi kedua (secondary distribution) - Penamaan distribusi: primary-secondary distribution - Distribusi compound Poisson adalah distribusi dengan distribusi pertama adalah distribusi Poisson dan sebarang distribusi untuk distribusi kedua
9
Untuk menentukan distribusi S, perhatikan ilustrasi berikut. Misalkan Xi ∼ B(1, θ) dan kita tahu Xi = 0, 1. Sehingga nilai yang mungkin untuk S adalah {0, 1, 2}. P (S = 0) = P (X1 = 0, X2 = 0) = P (X1 = 0)P (X2 = 0) = f (0)f (0) P (S = 1) = P (X1 = 0, X2 = 1) + P (X1 = 1, X2 = 0) = f (0)f (1) + f (1)f (0) P (S = 2) = P (X1 = 1, X2 = 1) = f (1)f (1) Jadi, fungsi peluang S adalah P (S = s) =
∑
P (X1 = x, X2 = s − x).
x
Dalam menentukan distribusi S dengan N peubah acak alias compound distribution, distribusi N harus ditentukan lebih dahulu. Dengan demikian, kita peroleh P (S = s) =
∑
P (S|N = n)fN (n),
n
dengan sifat momen pertama E(S) = E(E(S|N )) = · · · dan fungsi pembangkit momen MS (t) = · · · . Latihan: 1. Misalkan S1 memiliki compound distribution dengan distribusi pertama Poisson dengan parameter 1 dan kedua Geometrik dengan parameter p1 . Misalkan S2 memiliki compound distribution dengan distribusi pertama Poisson dengan parameter 2 dan kedua Geometrik dengan parameter p2 . Diketahui S1 dan S2 saling bebas. Misalkan S = S1 + S2 . Hitung P (S = s), s = 0, 1, 2. 2. Tentukan fpm dan fpp dari dari geometric-binomial compound distribution.
10
