CATATAN KULIAH
Pertemuan IV: Model-model linier dan Aljabar Matriks (2)
A. Mencari Matriks Invers • Suatu matriks A (nxn) mempunyai invers bila terdapat suatu matriks B, sehingga AB = BA = I. Matriks B disebut invers matriks A, ditulis A-1, yang merupakan matriks bujur sangkar berdimensi n. • Syarat keberadaan dari Matriks Invers adalah jika |A| ≠0 y Kita tertarik untuk mencari invers, karena matriks invers dapat digunakan untuk memecahkan sistem persamaan linier Ax=d, yaitu: x=A-1d • Cara mencari Matriks Invers: 1. Mencari invers melalui transformasi elementer dengan reduksi Gauss (Gaussian Reduction). Prosedurnya adalah: a. Menggandengkan matriks A di depan matriks identitas: (A|I). b. Lakukan operasi baris elementer sehingga matriks A bertransformasi menjadi matriks identitas (I); di mana A-1 dapat dilihat di sebelah kanan garis vertikal. Contoh: ⎛ 3 7⎞ ⎟⎟ A = ⎜⎜ ⎝ 2 5⎠ ⎛ 3 7 1 0⎞ ⎟ ⎟ 2 5 0 1 ⎝ ⎠
Kalikan baris pertama dengan 1/3
⎛ 1 7 / 3 1/ 3 0⎞ ⎟ ⎟ 0 1 2 5 ⎝ ⎠
Kalikan baris 1 dgn –2 dan tambahkan ke baris ke-2
( A | I ) = ⎜⎜
( A | I ) = ⎜⎜
⎛ 1 7 / 3 1/ 3
0⎞ ⎟ ⎟ 0 1 / 3 2 / 3 1 − ⎝ ⎠
Kalikan baris 2 dengan 3
⎛ 1 7 / 3 1/ 3 0⎞ ⎟ ⎟ 0 1 2 3 − ⎝ ⎠
Kalikan baris 2 dgn –7/3 dan tambahkan dengan baris pertama
( A | I ) = ⎜⎜ ( A | I ) = ⎜⎜
⎛1 0 5 − 7⎞ ⎟ ⎟ 0 1 2 3 − ⎝ ⎠
( A | I ) = ⎜⎜
2. Mencari Invers dengan Kofaktor. Prosedurnya adalah: a. Tentukan matriks kofaktor Ac dari matriks A
⎡ C11 ⎢ C AC = ⎢ 21 ⎢ # ⎢ ⎢⎣ C n1
C1n ⎤ ⎥ " C2n ⎥ # ⎥ ⎥ " C nn ⎥⎦ "
C12 C 22 # Cn2
Ingat kembali bahwa:
Cij ≡ (− 1)
i+ j
M ij
Dan matriks Mij adalah matriks A tanpa baris ke-i dan kolom ke-j b. Tentukan adjoint matriks Aj yang merupakan transpose dari Ac, sehingga: Aj = AcT c. Invers dari A diperoleh dengan mengalikan adjoint matriks dengan determinan dari A, sehingga didapat:
A −1 =
•
•
1 adjo int( A) A
Contoh: Carilah Matriks Invers dari matriks A dengan metode kofaktor, 3⎞ ⎛ 4 ⎟⎟ A = ⎜⎜ ⎝ − 2 − 1⎠ Jika matriks A berukuran (nxn),maka Mij merupakan suatu cubmatriks dari A yang berukuran (n-1) x (n-1), di mana baris ke-i dan kolom ke-j (dari A) dihilangkan. 3⎞ ⎛ 4 ⎟⎟ maka M 11 = −1; M 12 = −2 A = ⎜⎜ ⎝ − 2 − 1⎠ M 21 = 3; M 22 = 4
•
Minor dari suatu matriks A adalah |Mij| dan kofaktor dari A adalah: i+ j Cij ≡ (− 1) M ij Maka: C11 ≡ (− 1)1+1 − 1 = 1.(−1) = −1
C12 ≡ (− 1)
1+ 2
− 2 = (−1).(−2) = 2
C 21 ≡ (− 1)
2 +1
C 22 ≡ (− 1) •
Maka:
3 = (−1).3 = −3
2+ 2
4 = 1.4 = 4
3⎞ ⎛ 4 ⎟⎟ A = ⎜⎜ ⎝ − 2 − 1⎠ ⎛ −1 2⎞ ⎟⎟ Kofaktor Ac = ⎜⎜ ⎝ − 3 4⎠ ⎛ − 1 − 3⎞ T ⎟ Matriks Adjoint A j = Ac = ⎜⎜ 4 ⎟⎠ ⎝ 2 Determinan | A |= 2 Maka A −1 =
⎛ − 1/ 2 − 3 / 2 ⎞ 1 ⎟ A j = ⎜⎜ 2 ⎟⎠ det( A) ⎝ 1
B. Aturan Kramer (Cramer’s Rule)
• •
Pendekatan lain untuk mencari solusi bagi x dari SPL Ax = b : ATURAN CRAMER. Misalkan sistem persamaan linear Ax = b, apabila diasumsikan |A|≠0, maka untuk mencari solusi digunakan metode determinan di mana:
xj =
Aj A
Dimana |Aj|= determinan matriks A dengan kolom ke–j diganti vektor b.
•
Contoh pecahkan sistem persamaan linear berikut ini:
3x1 + 2 x 2 = 80 2 x1 + 4 x 2 = 80 ⎛ 3 2 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ 2 4 ⎠ ⎝ x2 ⎠ ⎝ A
. x
=
⎛ 80 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 80 ⎠ b
Jawab:
80 ∆1 80 x1 = = 3 ∆ 2
2 4 = 20 2 4
3 ∆2 2 x2 = = 3 ∆ 2
80 80 = 10 2 4
C. Aplikasi pada Model Pasar dan Pendapatan Nasional
• •
Aplikasi dalam Model Pasar dan Pendapatan Nasional akan dipecahkan dengan mudah menggunakan aturan Cramer atau matriks invers. Model Pasar (Market Model) Model dua komoditi dapat ditulis sebagai suatu sistem dua persamaan linear, sbb: c1 P1 + c2 P2 = −co
γ 1 P1 + γ 2 P2 = −γ o Akan dipecahkan dengan metode matriks Invers: ⎡ c1 c2 ⎤ ⎡ P1 ⎤ ⎡ − co ⎤ ⎢γ γ ⎥ ⎢ P ⎥ = ⎢− γ ⎥ 2 ⎦⎣ 2 ⎦ ⎣ 1 ⎣ o⎦ A=
c1
c2
γ1 γ 2
⎡γ AC = ⎢ 2 ⎣− c 2
= c1γ 2 − c2γ 1
⎡ P1 ⎤ ⎡ γ2 1 ⎢ P ⎥ = c γ − c γ ⎢− γ ⎣ 2⎦ 1 2 2 1 ⎣ 1
•
⎡γ adjA = ⎢ 2 ⎣− γ 1
− γ1⎤ c1 ⎥⎦ − c2 ⎤ ⎡ − co ⎤ c1 ⎥⎦ ⎢⎣− γ o ⎥⎦
Model Pendapatan Nasional Y= C + I0 + G0 (a>0, 0
− c2 ⎤ c1 ⎥⎦
Variabel endogen= Y (pendapatan nasional), C (pengeluaran konsumsi) Parameter = a, b Variabel eksogen = I0 (investasi),G0(pengeluaran pemerintah) Nilai ekuilibrium pendapatan nasional Ye dan ekuilibrium pengeluaran konsumsi (Ce) akan dicari dengan Aturan Cramer.
⎡ 1 − 1⎤ ⎡Y ⎤ ⎡ I 0 + G0 ⎤ ⎢− b 1 ⎥ ⎢C ⎥ = ⎢ a ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Dengan Aturan Cramer: I 0 + G0 − 1 1 a I + G0 + a Ye = = 0 1 −1 1− b −b 1
1 I 0 + G0 −b a a + b( I 0 + G 0 ) Ce = = 1 −1 1− b −b 1 Model Pendapatan Nasional dengan Pajak y Y=C+I0+G 1Y - 1C – 1G = I0 y C=a+b*(Y-T0) -bY + 1C + 0G = a-bT0 y G=g*Y -gY + 0C +1G = 0
⎡ 1 ⎢− b ⎢ ⎢⎣ − g
− 1 − 1⎤ 1 0 ⎥⎥ 0 1 ⎥⎦
⎡Y ⎤ ⎢C ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣G ⎥⎦
=
⎡ I0 ⎤ ⎢ a − bT ⎥ 0⎥ ⎢ ⎢⎣ 0 ⎥⎦
Carilah nilai Y, C, G dengan (a) Matriks Invers (b) Aturan Cramer a. Dengan Matriks Matriks
⎡ 1 −1 −1⎤ A = ⎢⎢− b 1 0 ⎥⎥ ⎢⎣− g 0 1 ⎥⎦
⎡ 1 A = ⎢⎢ − b ⎢⎣− g
− 1 − 1⎤ 1 0 ⎥⎥ = 1 − (b + g ) 0 1 ⎥⎦
1 ⎤ ⎡1 1 ⎢ Aj = ⎢b 1 − g b ⎥⎥ ⎢⎣g g 1 − b⎥⎦
g⎤ ⎡1 b ⎢ AC = ⎢1 1− g g ⎥⎥ ⎢⎣1 b 1−b⎥⎦ Maka: ⎡Y ⎤ 1 ⎢C ⎥ = ⎢ ⎥ 1− b − g ⎢⎣G ⎥⎦
1 1 ⎤⎡ I 0 ⎤ ⎡1 ⎢b 1 − g b ⎥⎥ ⎢⎢a − bT0 ⎥⎥ ⎢ ⎢⎣ g 1 − b ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ g
Sehingga:
I 0 + a − bT0 1 − (b + g ) bI + (1 − g )(a − bT0 ) C= 0 1 − (b + g ) g (I 0 + a − bT0 ) G= 1 − (b + g )
Y=
b. Dengan Aturan Cramer ⎡ 1 A = ⎢⎢ − b ⎢⎣− g
− 1 − 1⎤ 1 0 ⎥⎥ = 1 − (b + g ) 0 1 ⎥⎦ − 1 − 1⎤ 1 0 ⎥⎥ = I 0 + a − bT0 0 1 ⎥⎦
⎡ I0 AY = ⎢⎢a − bT0 ⎢⎣ 0 ⎡ 1 AC = ⎢⎢ − b ⎢⎣− g ⎡ 1 AG = ⎢⎢ − b ⎢⎣− g
− 1⎤ 0 ⎥⎥ = bI 0 + (1 − g )(a − bT0 ) 1 ⎥⎦
I0 a − bT0 0 −1 1 0
Y* =
AY A
=
C* =
I 0 + a − bT0 1 − (b + g )
AC A
=
bI 0 + (1 − g )(a − bT0 ) 1 − (b + g )
⎤ A g (a − bT0 + I 0 ) a − bT0 ⎥⎥ = g (a − bT0 + I 0 ) G * = G = A 1 − (b + g ) 0 ⎥⎦ I0
D. Aplikasi pada Model I-O
•
•
Model Input-Output (I-O) menjawab pertanyaan: “Berapa tingkat output dari setiap industri n yang harus diproduksi dalam perekonomian, sehingga memenuhi total permintaan produk tersebut?” Susunan Model I-O adalah:
x1 = a11 x1 + a12 x2 + " a1n xn + d1 x2 = a21 x1 + a22 x2 + " + a2 n x n + d 2 # xn = an1 x1 + an 2 x2 + " + ann xn + d n Dengan: xi = tingkat output industri i aij = input komoditi ke-i untuk menghasilkan output ke-j. di = permintaan akhir untuk output ke-i ⎡(1 − a11 ) ⎢ ⎢a 21 ⎢a ⎣ n1
− a12
"
(1 − a 22 ) − an 2
⎡ x ⎤ ⎡d ⎤ ⎤⎢ 1 ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎥ ⎢ x 2 ⎥ ⎢d 2 ⎥ − a2n ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ # # − (1 − a nn )⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎦ xn ⎣ ⎦ ⎣d n ⎦ − a1n
y Selanjutnya dapat diturunkan solusi untuk Model I-O dengan Matriks invers sbb:
[A ][x ] + [d ] = [x ] [A ][x ] + [d ] = [I ][x ] [d ] = [I ][x ] − [A ][x ] [I ][x ] − [A ][x ] = [d ] [I − A ][x ] = [d ] ij
i
i
ij
i
i
i
i
i
i
i
ij
ij
ij
i
i
i
i
[x ] = [I − A ] [d ] −1
* i
ij
i
i
• Contoh Model I-O dalam numerik Misal : ⎡.15 .25⎤ A=⎢ ⎥ ⎣.20 .05⎦ Maka Model I-O menjadi:
⎡ . 15 ⎢ . 20 ⎣
. 25 ⎤ ⎡ x 1 ⎤ ⎡ d 1 ⎤ ⎡x ⎤ + ⎢ = ⎢ 1⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ . 05 ⎦ ⎣ x 2 ⎦ ⎣ d 2 ⎦ ⎣x2 ⎦
⎡ . 15 ⎢ . 20 ⎣
. 25 ⎤ ⎡ x 1 ⎤ ⎡ d 1 ⎤ ⎡1 + ⎢ = ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ . 05 ⎦ ⎣ x 2 ⎦ ⎣ d 2 ⎦ ⎣0
⎡ d1 ⎤ ⎡1 ⎢d ⎥ = ⎢0 ⎣ ⎣ 2⎦
⎡1 ⎢0 ⎣
0 ⎤ ⎡ x 1 ⎤ ⎡ . 15 − 1 ⎥⎦ ⎢⎣ x 2 ⎥⎦ ⎢⎣ . 20
0 ⎤ ⎡ x 1 ⎤ ⎡ . 15 − 1 ⎥⎦ ⎢⎣ x 2 ⎥⎦ ⎢⎣ . 20
⎡ 1 − . 15 ⎢ − . 20 ⎣
0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ 1 ⎥⎦ ⎢⎣ x 2 ⎥⎦ . 25 ⎤ ⎡ x 1 ⎤ . 05 ⎥⎦ ⎢⎣ x 2 ⎥⎦
. 25 ⎤ ⎡ x 1 ⎤ ⎡d ⎤ = ⎢ 1⎥ ⎢ ⎥ ⎥ . 05 ⎦ ⎣ x 2 ⎦ ⎣d 2 ⎦
− . 25 ⎤ ⎡ x 1 ⎤ ⎡d ⎤ = ⎢ 1⎥ ⎢ ⎥ ⎥ 1 − . 05 ⎦ ⎣ x 2 ⎦ ⎣d 2 ⎦ −1
⎡ x1 ⎤ ⎡ .85 − .25⎤ ⎡ d1 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢− .20 .95 ⎥ ⎢d ⎥ ⎦ ⎣ 2⎦ ⎣ 2⎦ ⎣ ⎡ x1 ⎤ 1 ⎡.95 .25⎤ ⎡ 350 ⎤ ⎡1000 ⎤ ⎢ x ⎥ = .7575 ⎢.20 .85⎥ ⎢1700⎥ = ⎢2000⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 2⎦ Latihan 1. Diberikan SPL sbb : 2X1 + 3X2 – X3 = 0 X1 + X2 + X3 = 4 3X1 – 2X2 + X3 = 5 Tentukanlah solusi bagi X1, X2, X3 dengan aturan cramer dan matriks invers
