Aljabar Linier & Matriks Tatap Muka 3
1
Eliminasi Gauss-Jordan Sistem persamaan linier dengan n variabel dan m persamaan
secara umum dinyatakan sbg:
Sistem persamaan linier tsb dapat dinyatakan dalam bentuk
matriks sbb:
AxX=b dengan A adalah matriks koefisien disebelah kiri tanda samadengan, X adalah vektor variabel x, dan b adalah matriks koefisien disebelah kiri tanda sama-dengan. 2
Maka:
a11 a 21 ... am1
a12 a22 ... am 2
a1n x1 b1 ... a2 n x2 b2 ... ... ... ... ... amn xn bm ...
A X b Selanjutnya dapat dibentuk matriks augmentasi sbb (seperti pada materi pertemuan 1) : a11 a21 ... am1
a12
... a1n
a22
... a2 n
...
...
am 2 ... amn
partisi 1 3
...
b1 b2 ... bm
partisi 2
Dengan eliminasi Gauss, maka matriks augmentasi (partisi 1)
dibawa menjadi matriks segitiga atas atau matriks segitiga bawah
a11 a21 ... am1
4
a12
... a1n
a22
... a2 n
...
...
...
am 2 ... amn
b1 b2 ... bm
1 0 ... 0
d1 d 1 ... c3 2 ... ... ... ... 0 ... 1 d m c1 ... c2
1 0 ... e1 1 ... ... ... ... e2 e3 ...
f1 0 f2 ... ... 1 f m 0
Dengan metode eliminasi Gauss-Jordan, sistem persamaan linier
di atas dapat diselesaikan menggunakan operasi baris elementer sehingga diperoleh matriks yang ekivalen dengan matriks augmentasi yang berbentuk sbb:
a11 a21 ... am1
a12
... a1n
a22
... a2 n
...
...
...
am 2 ... amn
b1 b2 ... bm
1 0 ... 0
h1 1 ... 0 h2 ... ... ... ... 0 ... 1 hm 0 ... 0
Perhatikan bahwa matriks yang terdiri atas koefisien variabel berubah menjadi matriks identitas dimana komponen pada diagonal utama nilainya 1 dan komponen lainnya nilainya nol (tidak termasuk kolom terakhir). Kolom terakhir menunjukkan nilai variabel yang dicari (sesuai dengan posisinya) 5
Contoh Selesaikan sistem persamaan linier berikut ini menggunakan eliminasi Gauss dan lanjutkan dengan eliminasi Gauss-Jordan. x y 2z 9 2 x 4 y 3z 1 3x 6 y 5 z 0
Penyelesaian: Matriks augmentasi dari sistem persamaan linier adalah sbb:
6
Penyelesaian dengan eliminasi Gauss Jumlahkan baris ke-2 (R2) dgn (-2) kali baris pertama (R1) atau (R2) - 2(R1) sehingga diperoleh matriks baru sbb:
Berdasarkan matriks yang baru, jumlahkan baris ke-3 (R3)
dengan (-3) kali baris pertama (R1) atau (R3) - 3(R1) sehingga diperoleh matriks baru sbb:
7
Kalikan baris kedua dengan -1/2 atau –(1/2)R2 sehingga
diperoleh matriks baru sbb:
Berdasarkan matriks yang baru, jumlahkan baris ke-3 (R3)
dengan (-3) kali baris pertama (R2) atau (R3) - 3(R2) sehingga diperoleh matriks baru sbb:
8
Kalikan baris ke-3 dengan –2 atau (–2)R3 sehingga diperoleh
matriks baru sbb:
Maka terlihat bahwa matriks augmentasi telah berbentuk
matriks segitiga atas (contoh ini telah dibahas pada pertemuan sebelumnya).
Penyelesaian persamaan linier dapat diperoleh menggunakan
matriks ini. (Cobalah kerjakan dengan membawa matriks augmentasi menjadi matriks segitiga bawah)
9
Penyelesaian dengan eliminasi Gauss-Jordan Matriks terakhir yang diperoleh pada pengerjaan menggunakan eliminasi Gauss dapat dilanjutkan sehingga matriks segitiga atas (bawah) dapat diubah menjadi matriks identitas. Langkah penyelesaian Jumlahkan baris ke-2 dengan 7/2 kali baris ke-3 atau R2+(7/2)R3 Kurangi baris ke-1 dengan 2 kali baris ke-3 atau R1 - 2R3 Kurangi baris ke-1 dengan baris ke-2 atau R1 – R2 Selesaikan
10
Jumlahkan baris ke-2 dengan 7/2 kali baris ke-3 atau
R2+(7/2)R3 sehingga diperoleh matriks baru sbb: 1 1 2 9 0 1 0 2 0 0 1 3
Kurangi baris ke-1 dengan 2 kali baris ke-3 atau R1 - 2R3
sehingga diperoleh matriks baru sbb:
1 1 0 3 0 1 0 2 0 0 1 3
11
Kurangi baris ke-1 dengan baris ke-2 atau R1 – R2 sehingga
diperoleh matriks baru sbb:
1 0 0 1 0 1 0 2 0 0 1 3 Maka terlihat bahwa matriks terakhir yang kita peroleh telah
berbentuk matriks identitas (tanpa melihat kolom yang terakhir atau kolom paling kanan).
Langkah selanjutnya adalah membawa kembali matriks yang
diperoleh menjadi dalam bentuk persamaan linier, yaitu x1 = 1 x2 = 2 x3 = 3
12
Soal Latihan Selesaikan sistem persamaan linier berikut ini menggunakan elminasi Gauss-Jordan. x + y + 4z = 8 – x + 2y – 4z = – 2 2x – y – 3z = – 1 Penyelesaian: Matriks augmentasi
13
4 8 1 1 1 2 4 2 2 1 3 1
1 1 4 8 1 2 4 2 R 2 R2 R1 2 1 3 1
1 1 4 8 0 3 0 6 2 1 3 1
4 8 8 1 1 1 1 4 R3 R3 2 R1 R3 R3 R2 0 3 0 6 10 3 0 6 0 3 11 17 0 0 11 11 1 1 4 8 2 / 3 dan R3 / 11 1 R1 4 R3 R 0 1 0 2 R 0 0 1 1 14
1 1 0 4 0 1 0 2 0 0 1 1
1 0 0 2 1 R1 R2 R 0 1 0 2 0 0 1 1
Maka diperoleh penyelesaian untuk sistem persamaan linier di atas sbb: x=2 y=2 z=1
15
Quiz (20 minutes) Selesaikan sistem persamaan linier berikut ini menggunakan
elminasi Gauss-Jordan. 2x1 + 2x3 =0 3x1 – x2 + 4x3 = – 1 6x1 + x2 – x3 = – 5
16
Referensi Aljabar Linier Elementer, Howard Anton alih bahasa Pantur
Silaban dkk, Penerbit Erlangga, 1984. Elementary Linear Algebra with Applications 9th Edition, Howard Anton, John Wiley & Sons, 2005. AljabarLinier,Yuliant Sibaroni,2002
17
