Teori Dasar Fungsi
Julan HERNADI1 Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo
December 27, 2012
Julan HERNADI
Teori Dasar Fungsi
PENGERTIAN DASAR De nition Misalkan A dan B himpunan.
Sebuah fungsi f dari A ke B ditulis f : A → B adalah aturan pengawanan (pemetaan) di mana setiap anggota A mempunyai tepat satu pasangan anggota B . Himpunan A disebut domain, B disebut kodomain, dan himpunan f (A) := {y ∈ B |y = f (x ), x ∈ A}disebut range fungsi f , kadang ditulis Rf . Bila f (a) = b maka b disebut bayangan (image) dari a, a disebut pre-image dari b. Untuk E ⊆ A, himpunan f (E ) := {y ∈ B |y = f (x ), x ∈ E } disebut image dari E .
Bahan Diskusi:
Misalkan 1 2
A = {a, b, c } dan B = {1, 2, 3}.
Susunlah semua pemetaan yang merupakan fungsi. Susunlah semua pemetaan yang bukan merupakan fungsi.
Sajikan konstruksi Anda dengan diagram! Misalkan A = {a, b, c , d , e } dan B = {1, 2, 3, 4}. Dide nisikan f (a) = 2, f (b) = 1, f (c ) = 4, f (d ) = 1, f (e ) = 1. 1 2
Tentukan range fungsi f . Apakah range dan kodomainnya sama ? Tentukan image himpunan S = {b, c , d }. Julan HERNADI
Teori Dasar Fungsi
Fungsi dalam Narasi
1
Apakah pemetaan f yang mengawankan himpunan semua string-bit ke integer merupakan fungsi atau bukan? 1 2 3 4
2
f (S ) adalah posisi bit 0 pada string-bit S f (S ) adalah banyaknya bit 1 pada S . f (S ) adalah integer terkecil i sehingga bit ke-i pada S adalah 1. f (S ) adalah banyaknya bit 0 pada posisi genap.
Temukan domain dan range fungsi berikut 1 2 3 4 5 6
Fungsi yang mengawankan setiap bulat positif ke digit terakhirnya. Fungsi yang mengawankan setiap bit-string ke banyaknya bit 1 dalam string tersebut Fungsi yang mengawankan setiap bulat positif ke bilangan kuadrat terbesar yang tidak melebihi bilangan tersebut Fungsi yang mengawankan setiap bilangan real ke bilangan bulat terkecil yang tidak kurang dari bilangan real terebut. Fungsi yang mengawankan setiap bilangan real ke bilangan bulat terbesar yang tidak melebihi bilangan real tersebut. Fungsi yang mengawankan setiap pasangan bilangan real ke nilai maksimumnya.
Julan HERNADI
Teori Dasar Fungsi
Operasi Aljabar Fungsi
De nition Misalkan f1 dan f2 fungsi dari A ke B . Fungsi f1 + f2 dan f1 f2 dari A ke B dide nisikan sebagai (f1 + f2 )(x ) := f1 (x ) + f2 (x ) dan (f1 f2 )(x ) = f1 (x )f2 (x ). Pembagian dua fungsi dide nikan sebagai gf (x ) := gf ((xx)) asalkan g (x ) 6= 0. Example Misalkan f , g : R → R dengan f (x ) = x 2 + 1 dan g (x ) = 1 + x − x 2 . 1 2 3
Tentukan formula untuk f + g dan Tentukan Rf , Rg , Rfg dan Rf +g . Tentukan gf dan R f .
fg
g
Penyelesaian: 1 2
(f + g )(x ) = x 2 + 1 + (1 + x − x 2 ) = 2 + x , (fg )(x ) = (x 2 + 1)(1 + x − x 2 ) = 1 + x + x 3 − x 4 .
Rf
= {y |y ≥ 1}, Rf +g = {y | − ∞ < y < ∞}.Berikan alasan mengapa bisa demikian. Lanjutkan pertanyaan berikutnya. Julan HERNADI
Teori Dasar Fungsi
Fungsi Monoton Fungsi monoton terbagi dua, yaitu monoton naik atau naik saja dan monoton turun atau turun saja.
De nition Fungsi f : A → R dikatakan naik tegas jika ia memenuhi pernyataan berikut ∀x , y ∈ A [x < y → f (x ) < f (y )]
Fungsi
f dikatakan turun tegas jika pernyataan berikut TRUE ∀x , y ∈ A [x < y → f (x ) > f (y )] .
Sebuah fungsi yang bersifat f (x ) = C , ∀x ∈ A disebut fungsi konstan. Pada fungsi konstan berlaku ∀x , y ∈ A, f (x ) = f (y ).
Example Identi kasilah sifat monoton fungsi berikut pada domain R. 1 2 3 4
f (x ) := x 2 f (x ) := 1 − x 2 f (x ) := x + 1 f (x ) := −x Julan HERNADI
Teori Dasar Fungsi
Fungsi Injektif dan Surjektif
De nition
Sebuah fungsi f : A → B dikatakan berlaku:
satu-satu
atau
injektif
jika pernyataan berikut
∀x , y ∈ A [f (x ) = f (y ) → x = y ] .
Dikatakan
kepada
atau
surjektif
jika pernyataan berikut TRUE:
∀y ∈ B , ∃x ∈ A sehingga f (x ) = y .
Fungsi yang surjektif dan injektif disebut
bijektif .
Fungsi injektif tidak terjadi percabangan. Sedangkan pada fungsi surjektif, semua elemen pada domain habis terpasang.
Julan HERNADI
Teori Dasar Fungsi
Surjektif dan Injektif lanj...
Bahan diskusi Selidikah sifat surjektif dan injektif fungsi berikut 1 2 3 4 5 6 7 8
f (x ) = x 2 dari Z ke Z. f (x ) = x + 1 dari R ke R. Fungsi f : {a, b, c , d } → {1, 2, 3} yang dide nisikan sebagai f (a) = 3, f (b) = 2, f (c ) = 1 dan f (d ) = 3. f (x ) = |x | dari R ke R. f (n) = n3 dari Z ke Z. f (m, n) = m2 − n dari Z × Z ke Z. f (m, n) = |n| dari Z × Z ke Z. f (m, n) = |m| − |n| dari Z × Z ke Z.
Julan HERNADI
Teori Dasar Fungsi
Fungsi Identitas dan Fungsi Invers
De nition
adalah fungsi iA : A → A di mana iA (x ) = x untuk setiap x ∈ A. Untuk fungsi bijektif f : A → B kita selalu dapat membaliknya dengan mende nisikan fungsi f −1 : B → A b = f (a) ←→ f −1 (a) = b (*) Fungsi identitas
Fungsi f −1 yang memenuhi (*) disebut invers dari fungsi f . Fungsi f dikatakan invertibel jika ia mempunyai invers. Jadi fungsi bijektif adalah invertibel. A
B f a = f-1(b)
a = f-1(b) f
Bila f fungsi invertibel pada Buktikan!
-1
A maka berlaku f (f −1 (x )) = f − (f (x )) = iA (x ) = x .
Julan HERNADI
Teori Dasar Fungsi
Bahan Diskusi Fungsi Invers...
Selidikilah apakah fungsi berikut invertibel. Bila tidak invertibel, berikan alasannya. Bila invertibel, tentukan fungsi inversnya. 1 2 3 4 5
f : {a, b, c } → {1, 2, 3} di mana f (a) = 2, f (b) = 3 dan f (3) = 1. f (x ) = x + 1 dari dari Z ke Z. f (x ) = xx +−12 dari R\{−2} ke R. f (x ) = x 2 dari Z ke Z. f (x ) = xx 22 ++21 dari R ke R.
Julan HERNADI
Teori Dasar Fungsi
Komposisi Fungsi Misalkan g : A → B , f : B → C . Komposisi fungsi dari A ke C yang dide nisikan sebagai
f dan g , ditulis f ◦ g adalah fungsi
(f ◦ g ) (x ) = f (g (x )) .
(#)
Syarat agar fungsi f ◦ g terde nisi sebagai fungsi maka haruslah Rg ⊆ B . B
A
C
f
g
f
gf
Berdasarkan sifat sebelumnya diperoleh f ◦ f −1 = f −1 ◦ f = iA sebuah fungsi identitas pada A. Bahan Diskusi:
Misalkan f dan g fungsi dari R ke R di mana f (x ) = x 2 + 1 dan g (x ) = x − 2. Temukan formula untuk kombinasi fungsi berikut 1 2
f ◦ g dan g ◦ f . Apakah f ◦ g = g ◦ f . f + g dan fg . Julan HERNADI
Teori Dasar Fungsi
Fungsi Pembulatan Fungsi lantai ( ooring): bx c :=bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan x . Fungsi plafon (ceiling): dx e :=bilangan bulat terkecil yang lebih dari atau sama dengan x . Fungsi pembulatan (rounding): [x ] :=bilangan bulat terdekat dari x .
1 2 3
Example b1.2c = 1, b0.7c = 0, b−0.5c = −1, b3c = 3. d1.2e = 2, d0.7e = 1, d−0.5e = 0, d3e = 3. [1.2] = 1, [0.7] = 1, [−0.5] = −1, [3] = 3. 3
3
3
2
2
2
1
1
1
0
0
0
-1
-1
-1
-2
-2
-2
flooring
ceiling -3
rounding
-3 -3
-2
-1
0
1
2
3
-3 -3
-2
-1
Julan HERNADI
0
1
2
3
-3
Teori Dasar Fungsi
-2
-1
0
1
2
3
Sifat-sifat Fungsi Pembulatan 1
2 3 4
n ∈ Z dan x ∈ R. Maka berlaku 1 bx c = n jika dan hanya jika n ≤ x < n + 1 2 dx e = n jika dan hanya jika n − 1 < x ≤ n 3 bx c = n jika dan hanya jika x − 1 < n ≤ x 4 dx e = n jika dan hanya jika x ≤ n < x + 1. Untuk setiap x ∈ R, berlaku x − 1 < bx c ≤ x ≤ dx e < x + 1. Untuk setiap x ∈ R, beralku b−x c = − dx e dan d−x e = − bx c. Untuk n ∈ Z dan x ∈ R, berlaku 1 bx + nc = bx c + n 2 dx + ne = dx e + n. Misalkan
Bukti 4: 1
2
Misalkan bx c = m. Dengan sifat 1(1) berlaku m ≤ x < n + 1. Tambahkan ketiga ruas dengan n diperoleh (m + n) ≤ x + n < (m + n) + 1. Dengan sifat yang sama (kebalikannya), diperoleh bx + nc = m + n = bx c + n. Misalkan dx e = m. Dengan sifat 1(2) berlaku m − 1 < x ≤ m → (m + n) − 1 < x + n ≤ (m + n). Dengan sifat yang sama (kebalikannya), disimpulkan dx + ne = m + n = dx e + n. Julan HERNADI
Teori Dasar Fungsi
Bahan Diskusi Fungsi Pembulatan
1
Apakah berlaku bx + y c = bx c + by c. Bila tidak, berikan contoh pengingkarnya.
2
Buktikan berlaku b2x c = bx c +
3
Diberikan himpunan 1 2 3
4
x + 12 .
S = {−1, 0, 2, 4, 6}. Temukan f (S ) jika
f (x ) = djx /3e k f (x ) = x 22+3 f (x ) = x3 + x3
Gambarkan gra k fungsi pembulatan berikut pada domain −5 ≤ x ≤ 5. 1 2 3 4
f (x ) = d2x + 1e f (x ) = bx c + dx /2e f (x ) = dx /2e bx /2c f (x ) = 2 dx /2e + 12 .
Soal-soal yang dipecahkan: hal 108 - 111.
Julan HERNADI
Teori Dasar Fungsi
